Come le frazioni e le proporzioni,le equazioni
costituiscono validi strumenti per risolvere
problemi, che vengono chiamati di 1°,2°…a
seconda del grado dell’equazione risolvente.
Per fissare le idee,analizziamo qualche
situazione problematica ricavata da
contesti diversi e proviamo a risolverla…
Una persona deve costruire uno steccato a forma di
trapezio isoscele. Sapendo che la base maggiore è uguale
a ciascuno dei lati obliqui,mentre la base minore è
i 3/5 di quella maggiore e il perimetro è di 18 metri,
calcolate quale sarà la lunghezza di ciascuno dei lati
dello steccato.
Ricorda
che,per la risoluzione di
un problema,occorre
individuare:
Obiettivi
Quali risultati dobbiamo ottenere?
Dati
Quali informazioni ci fornisce il testo
del problema?
Incognite
Quali sono le grandezze di cui non
conosciamo il valore?
Dominio
Con quale insieme numerico sono
rappresentabili le grandezze indicate
dalle incognite?
Relazioni
Di quali “risorse” (conoscenze
teoriche,strumenti di
calcolo)disponiamo per formalizzare
le informazioni?
D
A
C
DATI
1)
2)
OBIETTIVI
La lunghezza di ciascuno dei lati dello
steccato
INCOGNITE
La lunghezza, in metri, del lato AD del
trapezio che indicheremo con X
DOMINIO
La lunghezza del lato incognito è
rappresentabile con un numero naturale
diverso da zero,quindi:
x Є N -{0}
RELAZIONE
P(ABCD) =18m
ossia
AB+BC+CD+DA=18
B
AB = BC = AD
DC = 3/5 AB
FORMALIZZAZIONE
LINGUAGGIO NATURALE
LINGUAGGIO FORMALE
La base maggiore è uguale
a ciascuno dei lati obliqui;la loro misura
sarà un certo numero di metri
x
la base minore è
i 3/5 di quella maggiore
Il perimetro
3
x
5
3
xxx x
5
é
=
di 18 metri
18
Quindi la relazione
prima indicata
diventa:
x x x
3
x  18
5
Rappresenta
una
equazione di
1 grado
nell’incognit
ax
Reggio Calabria
Napoli
Due automobilisti partono da due diverse località,Reggio Calabria e
Napoli,che distano fra di loro 510 km.
Il primo viaggia alla velocità costante di 90km/h,il secondo alla velocità
costante di 80 km/h.
Dopo quanto tempo si incontrano?E a quale distanza da Reggio
Calabria?
Provate a dare le vostre risposte:
I due automobilisti si incontrano dopo…………..
Si trovano alla distanza di km…….da Reggio Calabria
Proviamo adesso a risolvere il problema con lo strumento “equazione” e dopo
confrontiamo i risultati e soprattutto il modo di procedere.
Ricordate che in Fisica il rapporto tra lo
spazio,percorso da un mobile,e il tempo
impiegato a percorrerlo,viene misurato da
una grandezza chiamata velocità ed espresso
in m/s o km/h.?
s
In formule: v 
t
Da cui si ricavano
facilmente,come vedrete dopo
aver studiato le equazioni,
s  v t
s
t
v
NEL NOSTRO PROBLEMA:
1.
OBIETTIVI
DATI
INCOGNITE
DOMINIO
2.
a)
b)
c)
Determinare dopo quanto tempo i due automobilisti
si incontrano.
Determinare a quale distanza da Reggio Calabria si
incontrano.
Distanza tra le due località
: km 510
Velocità del primo automobilista: 90km/h
Velocità del secondo automobilista: 80 km/h
Numero delle ore trascorse dalla partenza al momento in
cui gli automobilisti si incontrano : x
Le ore sono rappresentabili con un numero naturale
diverso da zero,quindi:
x Є N -{0}
FORMALIZZAZIONE
LINGUAGGIO NATURALE
LINGUAGGIO FORMALE
Due automobilisti partendo da due località
diverse si incontrano dopo un certo
numero di ore
Il primo automobilista si muove alla
velocità costante di 90 km/h e quindi
percorre un certo numero di chilometri
x
Il secondo automobilista si muove alla
velocità costante di 80 km/h e quindi
percorre chilometri
Quando i due si incontrano,la somma dei
due percorsi
corrisponde
Alla distanza tra le due località
90x
80x
90x+80x
=
510
LA RELAZIONE :
90x+80x=510
COSTITUISCE
IL MODELLO MATEMATICO
del problema
E’ una
equazione di
primo grado in
una incognita!
Un’equazione è un’uguaglianza fra due espressioni algebriche
che risulta verificata solo per particolari valori attribuiti alla
lettera x. Tali particolari valori costituiscono le soluzioni
dell’equazione.
Esempio: 2x+1=7
2x-6 = 0
è un’equazione e
risulta verificata solo
per il valore di x=3
(soluzione)
Grado di
un’equazione
intera nella
forma P(x)=0:
È il grado del
polinomio
È di 1° perché il
polinomio al primo
membro è di 1°.
Le due espressioni a sinistra e a destra del segno di
uguaglianza si chiamano membri dell’equazione.
Data una generica
x-1+2x = 3x-1
Chiameremo 1° membro l’espressione posta a sinistra
dell’uguale e 2° membro l’espressione a destra.
x – 1 + 2x
1° membro
=
3x - 1
2° membro
I valori che rendono vera l’uguaglianza si chiamano soluzioni o
radici dell’equazione. Si può anche dire che tali valori
“verificano” l’equazione.
Esempio: y-9=1
Ha come soluzione il valore 10, perché
10-9=1. Diciamo che la soluzione è y=10.
Risolvere un’equazione significa determinare tutte le sue
soluzioni, cioè tutti i valori che verificano l’uguaglianza.
Data un’equazione ax = b determinare una soluzione significa
determinare quel particolare valore dell’incognita che rende il
primo membro uguale al secondo
5x = 15
x
1° membro 2° membro
-3
-15
15
-2
-10
15
-1
-5
15
0
0
15
1
5
15
2
10
15
3
15
15
x = 3 è la soluzione cercata
Due equazioni contenenti la stessa incognita si dicono
equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni.
L’equivalenza tra equazioni è una relazione di equivalenza nell’insieme delle
equazioni, perché gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.
Per risolvere un’equazione è necessario applicare un procedimento
risolutivo, occorre cioè conoscere i metodi che consentono di
trasformare un’assegnata equazione in una nuova equazione ad essa
equivalente ma di forma più semplice.
A tale scopo è necessario applicare due importanti teoremi detti
principi di equivalenza.
Si utilizzano per trasformare un’equazione in
una equivalente, di solito più semplice
PRIMO PRINCIPIO DI
EQUIVALENZA
Se si aggiunge o si sottrae una
stessa espressione letterale,
contenente o no l’ incognita,
per entrambi i membri, si
ottiene un’equazione
equivalente.
Esempio:
8x – 6 = 7x + 4
; x = 10
SECONDO PRINCIPIO DI
EQUIVALENZA
Se si moltiplicano o o si dividono
entrambi i membri di un’equazione per
uno stesso numero, diverso da 0,o per
una stessa espressione letterale (
escludere i valori delle lettere che la
annullano o che la rendono priva di
significato), si ottiene un’equazione
equivalente alla precedente.
Esempio:
8x = -16 ; x= -2
Applicando il 1° principio, aggiungiamo ambo i membri l’espressione: 6 – 7x:
Applicando il 2° principio, dividendo ambo i membri per 80:
8x – 6 + 6 – 7x = 7x + 4 + 6 – 7x
x = 10
8x : 8 = – 16 : 8
x=–2
Ecco la soluzione del primo problema
analizzato
L’equazione risolvente era:
3
x  x  x  x  18
5
18
x  18
5
cioé
ossia:
18
90
x
5
5
Per il secondo principio di equivalenza,moltiplicando ambedue i membri per 5,
diventa 18x = 90
e,dividendo ancora entrambi i membri per 18
si ottiene x= 5 quindi
i lati dello steccato AB=BC=AD =5 metri,mentre il lato DC=3 metri.
LA RELAZIONE :
90x+80x=510
Ecco la soluzione del secondo
problema analizzato
Equivale a:
170x=510
( modello generale; ax=b)
Da cui
Dividendo ambedue i membri per 170 ( II principio di equivalenza)
Si ottiene:
170 x 510

170 170
E cioè:
x3
Ciò significa che gli automobilisti si incontrano dopo 3 ore dalla partenza
Sostituendo poi quest’ultimo
dato nella formula già vista
s  v t
km
s  90
 3h  270km
h
L’incontro avviene a 270 km da Reggio Calabria
Equazioni di primo grado numeriche intere ad un’incognita
Forma normale: è la forma più semplice in cui può presentarsi un’equazione di primo grado ad un’incognita
Ax=B
Risoluzione :
Equazione in forma
complessa
Principi di equivalenza
Equazione
determinata
A<>0
Soluzione x=B/A
Equazione equivalente in
forma normale Ax=B
Equazione
indeterminata
A=0; B=0
Equazione
impossibile
A=0 B<>0
Le equazioni si classificano in base:
alla posizione dell’incognita
intere
fratte
ai coefficienti
numeriche
letterali
determinate
all’ esistenza di soluzioni
indeterminate
impossibili
Si dice che un’equazione è intera se l’incognita è presente
soltanto nei numeratori.
L’incognita è solo al numeratore.
Un’equazione fratta si ha quando un’incognita è presente
anche al denominatore.
L’incognita è presente anche al
denominatore.
Quando si risolve
un’equazione
fratta,bisogna fare
attenzione al dominio,cioè
all’insieme numerico
dell’incognita x !
Ad esempio,nell’equazione fratta
4
1

3x x  1
Il dominio è rappresentato da R-{0,-1},cioé
dall’insieme dei numeri reali tranne 0 e -1.
Ciò significa che la x e quindi la
soluzione non potrà mai assumere
valore 0 o -1.
I valori 0 e -1
sostituiti
nell’equazione alla
x,renderebbero i
denominatori
nulli,quindi le frazioni
senza significato e
l’equazione
impossibile!
Abbiamo delle equazioni numeriche quando tutti i coefficienti
sono numeri.
Sono tutti numeri
In un’equazione letterale nei coefficienti sono presenti anche
le lettere
Contiene delle lettere
Anche le
equazioni letterali
vanno ridotte alla
forma normale ax
=b
Ho capito! Le equazioni
letterali,sono quelle che si devono
discutere!
Le loro soluzioni dipendono dal
valore del coefficiente della
incognita x.
Forse è meglio rivedere la slide
n.22!
Nelle equazioni
letterali compaiono
oltre alla incognita
x altre lettere che
possono assumere
valore diverso e
dare così luogo ad
equazioni
numeriche di tipo
diverso.
Un’equazione è determinata se ha un numero finito di soluzioni
È determinata in quanto ha una sola
soluzione:
Se un’equazione ha infinite soluzioni è detta indeterminata
È indeterminata perché possiede infiniti
valori di x, al variare di y e viceversa:
Esempi:
Se y=0 allora x=1;
Se y =1 allora x=0;
Se x=3 allora y=-2 ..ecc.
Questo è un altro caso di equazione indeterminata
in quanto
NB: la soluzione di questa equazione è data da
qualsiasi numero reale, quindi tale equazione ha
infinite soluzioni: tutti i numeri reali.
Un’equazione che non ha soluzioni si chiama impossibile.
Non esiste alcun valore di x
che renda vera l’uguaglianza,
per questo si dice che è una
equazione impossibile.
Un’equazione di 1°,ridotta alla forma normale,assume in
generale la forma:
ax = b con a,b,x
Equazioni
determinate
(una soluzione)
Equazioni
indeterminate
(infinite soluzioni)
Equazioni
impossibili
(nessuna soluzione)
ax = b
0x = 0
0x = b
Classificazione
Equazioni
Razionali
Irrazionali
Le incognite non
compaiono sotto un segno
di radice
Le incognite compaiono
sotto un segno di radice
Numeriche
letterali
Oltre alle incognite non
compaiono altre lettere
Oltre alle incognite
compaiono altre lettere
Intere
Fratte
le incognite non
compaiono in un
denominatore
Le incognite compaiono
anche nei denominatori