da Tartaglia a Galois
Classe II B - anno scolastico 2002/03
IL CINQUECENTO
Incremento demografico
Miglioramento condizioni di vita
Ascesa del ceto mercantile-imprenditoriale
Costituzione di grandi imperi coloniali
Riforma protestante
Germania: cuius regio eius religio
Concilio di Trento 1545
Francia: guerra di religione fra Cattolici e Ugonotti
Rinascimento: decentralizzazione uomo
Classe II B - anno scolastico 2002/03
Niccolò Tartaglia
Brescia 1499 – Venezia 1557
Classe II B - anno scolastico
2002/03
Regola di Scipion del Ferro
“Quando le cose e li cubi si
eguagliano al numero [ax+bx3=c]
ridurai la equatione a un cubo
[x3+px=q] partendo per la quantità
dei cubi [dividendo per il coefficiente
di x3], poi cuba la terza parte delle
cose [p3/27], poi quadra la metà del
numero [q2/4] e questo suma con il
detto cubato [q2/4+p3/27], et la
radice di deta summa più la metà del
numero fa un binomio
[ 3 q 2 4  p 3 27  q/2 ] et la radice
cuba di tal binomio, men la radice
cuba del suo residuo val la cosa ”.
x3
q 2 4  p3 27  q 2  3
Classe II B - anno scolastico 2002/03
q 2 4  p3 27  q 2
Alcuni problemi proposti da fiori:
trovare un numero che, sommato alla sua radice cubica, dia come
risultato sei.
Un ebreo presta un capitale a condizione che alla fine dell’anno gli
venga pagata come interesse la radice cubica del capitale. Alla fine
dell’anno, l’ebreo riceve ottocento ducati, tra capitale e interessi. Qual
era il capitale?
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Alcuni problemi posti da Tartaglia
un vascello sul quale si trovano quindici turchi e quindici cristiani viene
colpito da una tempesta e il capitano ordina di gettare fuori bordo la metà dei
passeggeri. Per sceglierli si procederà come segue: tutti i passeggeri verranno
disposti in cerchio e, cominciando a contare a partire da un certo punto, ogni
nono passeggero verrà gettato in mare. In che modo si devono disporre i
passeggeri perché solo i turchi siano designati alla sorte per essere gettati in
mare?
Suddividere un segmento di lunghezza data in tre segmenti con i quali sia
possibile costruire un triangolo rettangolo.
Una botte è piena di vino puro. Ogni giorno se ne attingono due secchi, che
vengono sostituiti con due secchi d’acqua.in capo a sei giorni, la botte è piena
per metà d’acqua e per metà di vino. Qual era la sua capacità?
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Partiamo dall’equazione x3+6x=20; applicando il procedimento di Tartaglia si ha:
•
u – v = 20
•
uv = 216/27 = 8
sostituendo la 1) nella 2) si ottiene:
(20 + v)v = 8 da cui v2 + 20v – 8 = 0
applicando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado si ha v1,2  10  108
la radice positiva è v  108 10 , conseguentemente u  108 10
Infine
x  3 108 10  3 108 10
In generale
x3
p 3  q 2
3
3
q 2 3
p 3  q 2
3
2
q 2
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Girolamo Cardano
Padova 1501 – Roma 1576
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2002/03
La
Le opere
pubblicazione
della
formula risolutiva delle
Practicae arithmeticae,
Norimberga, 1539
Artis magnae, sive De
regulis algebraicis liber
unus, Norimberga, 1545
De vita propria liber,
1575
equazioni di terzo grado
nell’Ars Magna, portò ai
sei cartelli di “matematica
disfida” con Tartaglia, che
tra l’altro lo ingiuriò con
l’appellativo di “huomo
che tien poco sugo”.
Classe II B - anno scolastico 2002/03
Equazioni di 3° grado… in rima!
Quando che ‘l cubo con le cose
appresso
Se agguaglia a qualche numero
discreto:
Trovami dui altri, differenti in esso;
Dapoi terrai, questo per consueto,
Che ‘l loro prodotto, sempre sia eguale
Al terzo cubo delle cose netto;
El residuo poi suo generale
Delli lor lati cubi, ben sottratti
Varrà la tua cosa principale. […]
x  px
3
q
u-v q
u*v
p 3
3
u v
x
3
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3
Ludovico Ferrari
Bologna 1522 - 1565
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2002/03
Formula risolutiva per le equazioni di 4°
grado
Data un’equazione del tipo ax4 + bx² + c = dx, aggiungendo ad entrambi i membri
opportune quantità in modo da rendere entrambi dei quadrati ed estraendo, poi, la radice
quadrata, si ottiene un’equazione facilmente risolubile, ma non era in termini geometrici.
Metodo escogitato da Ferrari con l’esempio numerico dell’equazione:
x4 + 6x² + 36 = 60x
 Se si aggiunge ai due membri dell’equazione: 6x² + 2x²y + (y² + 12y), dove y è una nuova
incognita, si ottiene:
(x² + y + 6)² = 2(y + 3)x² +60x + y² + 12y
 Il primo membro è un quadrato perfetto ; affinché lo sia anche il secondo deve essere :
30² = 2(y + 3)(y² + 12y)
 da cui si ottiene la risolvente di 3° grado
2y³ + 30y² + 72y = 900  y³ + 15y² + 36y = 450
 che permette di determinare la y e risolvere completamente l’equazione data
con un’estrazione di radice quadrata, che porta ad un’equazione di 2° grado in x.
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Raffaele Bombelli
Bologna (?)
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2002/03
Nella sua opera, Algebra, espose i metodi di risoluzione delle equazioni di 3°
grado.
Bombelli si occupò del cosiddetto “caso irriducibile”, utilizzando nella sua
risoluzione radici quadrate di numeri negativi, operando su di esse come se
fossero veri numeri, “cosa assurda” per un matematico dell’epoca.
In particolare, partendo da una dimostrazione geometrica
basata sulla scomposizione di un cubo in due cubi e sei
parallelepipedi, fornì il metodo per calcolare le soluzioni
reali di equazioni del tipo
x³+ px = q
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Osserviamo il cubo sottostante:
Sia a il lato del cubo completo, (a-b) il lato del cubo più grande e b quello del più piccolo che si forma dalla
sezione effettuata. I parallelepipedi che si formano sono tre di base (a-b)(a-b) ed altezza b, e tre di base b b
ed altezza (a-b).
Unendo ognuno dei maggiori con ognuno dei minori si formano tre parallelepipedi di base a(a-b) e altezza b.
Assegnate le misure dei lati alle diverse figure, si ha: x3=(a-b)3+b3+3b2(a-b)+3(a-b)2b, ossia il volume del
cubo assegnato è uguale alla somma dei volumi delle figure in cui si scompone.
Svolgendo i prodotti, raccogliendo e portando al primo membro (a-b), si ottiene: (a-b)3=a3-3ab(a-b)-b3.
L’obiettivo è trovare le soluzioni dell’equazione del tipo x 3+px=q.
Se prendo come incognita la quantità x=(a-b), ossia il lato del cubo più grande ottenuto dalla
scomposizione, e la sostituisco nella precedente equazione si ha l’identità:
(a-b)3=a3-3ab(a-b)-b3
x3=a3-3abx-b3
x3+3abx=a3-b3
L’equazione x3+px=q si riduce all’identità precedente quando a e b siano tali da rendere
3ab=p
a3-b3=q
quindi
ab=p/3
a3-b3=q
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Esempio
Trovare la soluzione dell’equazione x³+6x=20.
Per trovare la soluzione di questa equazione, posto x=a–b risolvere il sistema:
ab=6/3=2
a3-b3=20
Dalla prima equazione, preso b=2/a e sostituitolo nella seconda equazione, otteniamo a³-8/a³=20; facendo il
m.c.m. si ha a6 -20a³-8=0. Posto a³=t, l’equazione si trasforma in t² -20t–8=0 che ha come soluzioni,
applicando la formula ridotta, t=10± 100  8 ma, poiché la nostra incognita è il lato di un cubo, la soluzione
negativa non sarà accettabile, per cui l’unica soluzione che possiamo considerare è t=10+ 100  8
Quindi si avrà a= 3 10  108 e b=2/a, quindi b=2/ 3 10  108 , che razionalizzando si può scrivere come:
23 10  108
b
3
10  108  3 10  108

23 10  108 23 10  108 23 10  108


 3 10  108
3
3
2
100  108
8
Quindi


x  3 10  108   3 10  108  3 10  108  3 10  108
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Ciò equivale alla forma che si trova nell’opera di Bombelli
x  3 108  10  3 108  10

Ora
3  1  3 3  3  1  3  3  1  3  1  10  6 3
3
e poiché
108  10  33  2 2  10  2  3 3  10  3 10  108  3

3  1  3  1
3
Operando allo stesso modo su
3
108  10
si ha che
x  3  1   3  1  2
Come si è detto in precedenza Bombelli introdusse i numeri immaginari per trattare le equazioni cubiche
anche nel caso irriducibile, circostanza che capitava assai più frequentemente della risoluzione con
radicali cubici reali. Il nome proposto per l’unità immaginaria (oggi i) è proprio solo di Bombelli:
poiché “non si può chiamare né più, né meno,
però lo chiamerò più di meno (+ i) quando egli si dovrà aggiungere, e quando si dovrà cavare lo
chiamerò men di meno (- i)”.
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François Viète
Fontenay-le-Comte 1540
Parigi 1603
Classe II B - anno scolastico
2002/03
Convocato al parlamento di Parigi nel 1571, fu dapprima consigliere presso il parlamento
di Bretagna, poi presso quello di Parigi dove divenne consigliere di Enrico III e di Enrico
di Navarra.
Introdusse l’uso delle lettere nel calcolo per rappresentare le quantità note e le incognite e
portò contributi fondamentali alla teoria delle equazioni.
La prima raccolta della sua Opera mathematica fu pubblicata solo nel 1643: ciò ne impedì
la valorizzazione mantenendo nell’ombra i suoi meriti.
1579, Canon Mathematicus: introduzione di frazioni decimali, in luogo di quelle
sessagesimali, per ottenere tavole trigonometriche migliori (inventa le regole di
prostaferesi).
Conferma dell’intuizione bombelliana riguardo all’esistenza di una relazione tra il caso
irriducibile delle equazioni di 3° grado e il problema della trisezione dell’angolo.
Dall’equazione x3 + px + q = 0 con la sostituzione x = my si ottiene, infatti, l’equazione
y3 + yp/m2 + q/m3 = 0, dove m rappresenta una quantità che possiamo determinare a
piacere. Confrontando ora quest’ultima equazione con la seguente identità trigonometrica:
cos3 /3 – ¾ cos /3 – ¼ cos  = 0
richiedendo che sia
p/m2 = - ¾ e q/m3 = - ¼ cos
si ricavano per m e cos  i seguenti valori reali (poiché p<0)
m   4p 3  cosθ   q 2  p3 27
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De aequationum recognitione et
emendatione
Risoluzione trigonometrica dell’equazione di 3° grado.
Presentazione di funzioni simmetriche per le equazioni fino al 5° grado.
Conservazione del formalismo dell’algebra retorica usato da Cardano e
Bombelli.
Es.: per indicare l’uguaglianza preferì abbreviare in “aeq” il latino
“aequalis”, ignorando, invece, il simbolo “=”, già introdotto nel 1557;
tuttavia propose di indicare con consonanti le grandezze o quantità
che si ritenevano note e le vocali per rappresentare le incognite nelle
equazioni.
Classe II B - anno scolastico 2002/03
IL SETTECENTO E L’OTTOCENTO
Crescita popolazione: teorie di Malthus e Hume
Inghilterra: rivoluzione agricola, capitalismo agrario, lavoro salariato,
rivoluzione industriale; altri Paesi arretrati
Grandi potenze mercantili europee; imperi coloniali
Indipendenza Stati Uniti d’America (1776)
Liberismo e fisiocrazia
Rivoluzione dei consumi: nuovi alimenti importati dall’America
Nascita della politica dell’equilibrio come soluzione alle guerre del
secolo
Illuminismo francese: l’Encyclopèdie; diffusione anche nel resto
d’Europa
Giusnaturalismo e contrattualismo
Rivoluzione francese e ascesa napoleonica
Classe II B - anno scolastico 2002/03
Niel Henrick Abel
Norvegia 1802 - 1829
Classe II B - anno scolastico
2002/03
Testi di grandi matematici:
Eulero, Newton e Lagrange
Nel 1821, a soli diciannove anni
fece una scoperta eccezionale:
riuscì a dimostrare che è
impossibile risolvere
un’equazione di quinto grado
attraverso una formula.
Nel 1823 scoprì che è
impossibile risolvere in radicali
un’equazione generale di quinto
grado e ne ricavò il problema
inverso: quello della
classificazione completa delle
equazioni algebriche risolvibili in
radicali.
N.H.Abel
Classe II B - anno scolastico 2002/03
Evariste Galois
Bourg-la-Reine 1811 – Parigi 1832
Classe II B - anno scolastico
2002/03
Arrestato nel 1831 per le sue idee
repubblicane ed espulso dall’Ecole
Normale di Parigi.
Pubblicazione postuma dei
manoscritti: fama indiscussa di
matematico geniale.
Galois ricavò che a ogni equazione
risolvente è associato un gruppo di
numeri algebrici intermediario fra
il corpo generato dalle radici
dell’equazione in esame e quello
determinato dai suoi coefficienti.
La risolubilità per radicali di
un’equazione di grado n dipende
quindi dalla presenza o meno di
determinate proprietà nella
sequenza di gruppi da cui è
costituita. Queste proprietà sono
sempre presenti per la equazioni di
grado 4. In generale non ci sono
per quelle di grado >4.
E. Galois in un disegno dell’epoca
Classe II B - anno scolastico 2002/03
Realizzazione: Manuela ZARDONI
Flaminia SPARACINO
Elisabetta BORRONI
Linuccia BLANCO
Veronica COLLINI
Si ringrazia per la collaborazione: Daniela Zardoni
Liceo Classico Linguistico “D. Crespi” - Busto Arsizio
Classe II B - anno scolastico 2002/03