Geometria descrittiva dinamica
Introduzione
Presentazione
Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge
Questo learning object presenta ed esplicita gli elementi fondamentali
necessari per sviluppare una comunicazione grafica di
“Geometria
descrittiva dinamica”.
Essi sono:
L’oggetto
Il mezzo
Il luogo
Considerando “la proiezione” come “un trasferimento”; esso può
avvenire solo in presenza di questi tre componenti ponendo, così, le basi
per la rappresentazione descrittiva degli elementi geometrici sia nella
loro singolarità (punto, retta, piano) sia nella loro complessità (figure
piane e forme solide), in relazione al messaggio grafico da veicolare,
anche in relazione alle singole e diverse abilità degli studenti.
Geometria descrittiva dinamica
Al sommario
Ritorno a Introduzione
Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di
Monge
LA RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICODESCRITTIVA E RELATIVA TIPOLOGIA
DEGLI ELEMENTI PRIMITIVI
(Oggetto, mezzo, luogo)
Il disegno di copertina è stato eseguito nell’a.s. 2001/02 da Luca Pelusi
della classe 3°B
dell’Istituto Statale d’Arte “M. Dei Fiori” di Penne
per la materia : “Disegno geometrico ed architettonico”
La revisione delle formalizzazioni è stata
curata dal dott. Gabriella Mostacci
IL materiale può essere riprodotto citando la fonte
Autore
Prof. Elio Fragassi
Sommario
Copertina
Sfogliare
Titolo dell’argomento
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Rappresentazione geometrico-descrittiva e tipologia degli elementi primitivi
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L’oggetto della proiezione
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Il mezzo della proiezione
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Il luogo della proiezione: il diedro
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Caratterizzazione topologica dei diedri
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Caratterizzazione grafica dei diedri
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Caratterizzazione complessiva dei diedri
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Caratterizzazione topologica e grafica del primo diedro (ID)
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Caratterizzazione topologica e grafica del secondo diedro (IID)
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Caratterizzazione topologica e grafica del terzo diedro (IIID)
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Caratterizzazione topologica e grafica del quarto diedro (IVD)
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Quadro sinottico dei caratteri dei diedri
Per approfondimenti consultare il sito personale
http://www.webalice.it/eliofragassi
Sommario
RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICO-DESCRITTIVA
E TIPOLOGIA DEGLI ELEMENTI PRIMITIVI
Introduzione generale (1)
Per rappresentare un oggetto qualunque, un solido, un progetto
architettonico, un oggetto di uso comune, un mobile, ecc. si usa eseguire
una "proiezione" dell'oggetto stesso. E’ bene, pertanto, chiarire
anzitutto cosa vuole intendersi per "proiezione”, riguardandola come
operazione grafica di tipo geometrico con caratteristiche descrittive.
Il vocabolario Zingarelli esplicita il termine “proiezione”come “...atto, effetto
del proiettare...” oppure come “...trasmissione di un’immagine su uno
schermo...”, oppure ancora come “...Rappresentazione di una figura spaziale su
un piano usando sistemi diversi...”.
Lo stesso vocabolario esplicita, poi, il verbo “proiettare” come “...gettare,
scagliare fuori o avanti...” oppure come operazione per “...Riprodurre su uno
schermo una diapositiva o un fotogramma a mezzo di proiettore”.
In sintesi, "proiettare" equivale a "trasferire" cioè “eseguire una proiezione"
equivale ad "effettuare un trasferimento"; o meglio, sviluppare una serie di
operazioni razionalmente coordinate mediante le quali riuscire a "trasferire”,
“qualcosa" da un "luogo" ad un altro "luogo".
Introduzione generale (2)
Poiché l’operazione di trasferimento implica un aspetto dinamico, tale
sarà anche l’operazione della proiezione, conseguentemente, poiché la
geometria descrittiva si fonda sulle proiezioni ne discende il carattere
dinamico, per cui trattasi di “Geometria descrittiva dinamica”.
Per poter eseguire questa operazione di "trasferimento" abbiamo
bisogno, fondamentalmente, dei tre elementi specificati di seguito.
L’”oggetto” della proiezione o del trasferimento
Il “mezzo” per eseguire la proiezione o il trasferimento
Il “luogo” ove effettuare la proiezione o il trasferimento
Sommario
L’oggetto della proiezione (1)
L'oggetto può essere costituito da "qualcosa" sia concreto che astratto; può quindi essere
un solido o un gruppo di solidi, un organismo architettonico esistente e/o di progetto,
un’idea progettuale, il rilievo e la restituzione grafica di un manufatto, di un immobile, di un
mobile, o più in generale, un "oggetto” reale e/o virtuale da definirsi di volta in volta in
relazione al momento ed alle esigenze rappresentative
Nello specifico di questi appunti di "Geometria descrittiva dinamica", l'oggetto della
trattazione è costituito dagli elementi primitivi della geometria come definiti in altro
fascicolo che, in particolare, si sintetizzano come di seguito.
Il Punto P inteso come “ Ente geometrico adimensionale "
La retta r riguardata nel suo aspetto dinamico-insiemistico come generata da un punto in
movimento definito ed orientato secondo la seguente sintetica espressione insiemistica e
descrittiva
 
 P  W  ! r 

-
 P | P  r
Il piano p riguardato nel suo aspetto dinamico-insiemistico come elemento generato da
una retta in movimento definito ed orientato nello spazio secondo la seguente sintetica
espressione insiemistica e descrittiva
 
 r  W  ! p 

-
 r  | r p
L’oggetto della proiezione (2)
Questi tre elementi, composti ed articolati nello spazio, determinano la
configurazione di forme e figurazioni piane e/o solide di varia natura e
complessità; comunque sempre suscettibili di essere ricondotte ad un
abaco di forme principali ove rintracciare, sempre, le forme
fondamentali di prima specie, di seconda o terza specie che si ricorda
essere le seguenti
Forme geometriche fondamentali
Forme di 1a specie
Forme di 2a specie Forme di 3a specie
Retta punteggiata Piano punteggiato
Spazio punteggiato
Fascio di rette
Piano rigato
Spazio rigato
Fascio di piani
Stella di rette
Spazio di piani
Stella di piani
Sommario
Il mezzo della proiezione
Nello specifico, il “mezzo” grafico, per
l'esecuzione delle rappresentazioni, è
costituito dalle leggi della proiezione
cilindrica ortogonale (Fig. 01). Ricordiamo,
sinteticamente, che le proiezioni si
distinguono in: “proiezioni coniche” o
“proiezioni centrali” e “proiezioni
cilindriche” o “proiezioni parallele”; queste
ultime a loro volta si differenziano in
proiezioni ortogonali ed oblique
Nello sviluppo di questi appunti di "Geometria descrittiva dinamica" si fa riferimento
esclusivamente alla "Proiezione cilindrica ortogonale" le cui caratteristiche geometricodescrittive sono sintetizzate dalla seguente espressione
[S  A’= A]
per
r ^a ed
A’ a
Mentre la proiezione conica può essere sintetizzata dalla seguente espressione
[S  A’ A]
S = Sorgente proiettiva impropria.
S
= Sorgente proiettiva reale.
A’ = Proiezione o immagine dell’oggetto in corso di
elaborazione descrittiva.
A = Oggetto (reale e/o virtuale) della rappresentazione.
r = Raggio proiettivo.
per r a ed
A’ a
^ = Perpendicolare o ortogonale.
 = Obliquo o comunque inclinato
 = Appartiene
a = Luogo della proiezione. (Supporto del disegno
e/o della rappresentazione grafica descrittiva)
Sommario
Il luogo della proiezione: il diedro
Di norma, nel campo della geometria
descrittiva gli "oggetti” della proiezione
si immaginano collocati nello spazio
fisico denominato "diedro"(Fig.02)
I due piani (Fig. 02) p1 e p2, comunque
collocati nello spazio, e, fermo restando il
reciproco rapporto di ortogonalità,
intersecandosi definiscono quattro
porzioni di spazio solido che prendono il
nome di diedri; quindi ciascuna delle
quattro parti dello spazio solido (Fig. 03),
delimitata da due semipiani aventi in
comune la retta di origine, determina un
“luogo” della possibile collocazione
dell’oggetto della proiezione e/o della
rappresentazione.
Il diedro, come angolo solido, è costituito dallo spazio
racchiuso tra due semipiani p1/2 e p2/2 (Fig.03) in
rapporto ortogonale tra di loro così come definito nel
"Metodo delle doppie proiezioni ortogonali o
metodo di Monge“ cui questi appunti fanno
completo riferimento
I due piani p1 e p2, intersecandosi l'uno con
l'altro danno origine ad una retta reale che
rappresenta l'origine dei semipiani e quindi
dei diedri da essi costituiti.
Per questa sua caratteristica particolare (origine dei
semipiani) la retta, nello specifico, assume il nome di
"linea di terra". Essa, sia negli appunti seguenti che
nelle didascalie dei disegni, sarà indicata con le
lettere iniziali del nome "lt" minuscole perché trattasi
di linea retta.
Sommario
Caratterizzazione topologica dei diedri (1)
Se la retta "lt” rappresenta l'origine dei semipiani p1/2 e p2/2, muovendosi, su ciascuno di essi, ci sia
allontanerà da detta origine spostandosi sia su p1 che su p2
Allora, per poter definire, in modo univoco, il semipiano in cui ci si muove attribuiamo ad esso delle
caratteristiche topologiche, proprio in riferimento all'origine cioè alla “lt” (Fig.04).
Pertanto, se dalla lt ci si allontana verso destra
diremo che i valori della distanza sono crescenti
positivamente ed allora indicheremo il semipiano
come "semipiano anteriore positivo" che in
forma sintetica diventa p1+; se ci si allontana
verso sinistra diremo che i valori delle distanze
sono crescenti negativamente e allora
definiremo il semipiano come “semipiano
posteriore negativo" che in forma sintetica
diventa p1-
Muovendosi, poi, su p2 accade che per allontanarsi dalla linea di terra bisogna muoversi
verso l'alto; in questo caso i valori della distanza dall'origine sono crescenti
positivamente, allora indichiamo il semipiano in oggetto come “semipiano superiore
positivo" che in forma sintetica diventa p2+; se invece ci si allontana verso il basso,
allontanandosi dalla "lt" i valori crescono negativamente per questo si definisce tale
semipiano come “semipiano inferiore negativo” che in forma sintetica diventa p2-.
E’ possibile, quindi, caratterizzare e definire dal punto di vista topologico i diversi diedri, con
riferimento ai semipiani costituenti gli stessi, come nella tabella che segue
Caratterizzazione topologica dei diedri (2)
Sommario
Caratterizzazione topologica dei diedri
Nome
semipiano
Carattere
topologico
Sintesi
didascalica
Anteriore
Positivo
Superiore
Positivo
p1+
p2+
Posteriore
Negativo
p
1
Superiore
Positivo
p
2
Posteriore
Negativo
p
1
Inferiore
Negativo
p
2
Anteriore
Positivo
p
1
Inferiore
Negativo
p
2
Indicazione
sintetica
Numero
diedro
ID
Primo Diedro
Secondo diedro
Terzo Diedro
Quarto Diedro
II D
III D
IVD
Il primo diedro è un
diedro positivo
+
Il secondo diedro è un
diedro misto
+
Il terzo diedro è un
diedro negativo
-
Per una maggiore sintesi possiamo esprimere con la
tabella sinottica che segue la “ definizione
topologica” dei quattro diedri
Il quarto diedro è un
diedro misto
Tabella sinottica dei caratteri topologici dei quattro diedri
Primo Diedro
ID
p
p
1
+
2
+
Secondo Diedro
II D
p
p
1
2
+
Terzo Diedro
III D
p
p
1
2
Quarto Diedro
-
IVD
Ragionando sulla
“caratterizzazione topologica”
possiamo fare le seguenti
considerazioni generali
p
1
+
p
2
-
Inoltre il primo diedro è opposto al
terzo “dal punto di vista topologico"
e, al contempo, il secondo è, sempre
“ dal punto di vista topologico”,
opposto al quarto
Sommario
Caratterizzazione grafica dei diedri (1)
Dovendo, il “luogo”, rappresentare il
supporto ove definire la proiezione intesa
come trasferimento, è necessario che,
oltre la “definizione fisica”, sia
determinata una “caratterizzazione
topologica" dei singoli diedri.
Poiché, in generale, il "luogo grafico” della
proiezione corrisponde ad un "luogo
geometrico piano", è necessario definire
le operazioni mediante le quali è possibile
passare da una determinazione
tridimensionale dell’ ”oggetto” alla sua
trasposizione grafica e descrittiva su un
“luogo geometrico piano”(Fig.05).
In sintonia con quanto definito dal "Metodo
delle doppie proiezioni ortogonali o metodo
di Monge", il passaggio dalla definizione
tridimensionale alla rappresentazione
bidimensionale del “luogo” della proiezione
avviene immaginando di far ruotare il piano p1
attorno alla linea di terra in senso orario fino
a quando si otterrà la coincidenza tra i due
piani; fino a quando cioè non sarà p1 p2 .
Con questa operazione di rotazione accade che i semipiani come "fisicamente definiti”
andranno a coincidere. La rotazione in oggetto, assunta come processo omologico[9] di
ribaltamento di cui la “lt” ne rappresenta l’asse, determinerà la seguente corrispondenza
tra i semipiani che definiscono i diedri e quindi i luoghi della rappresentazione.
Sommario
Caratterizzazione grafica dei diedri (2)
p 1- p 2+
semipiani coincidenti collocati, topologicamente, nella parte
superiore alla lt
p1 + p2 -
semipiani coincidenti collocati, topologicamente, nella parte
inferiormente alla lt
Mediante questa operazione di ribaltamento il “luogo” tridimensionale della
proiezione si trasforma in “luogo geometrico piano” ove l’unico elemento di
riferimento diventa la linea di terra nella sua qualità di origine dei diedri essendo
la retta di intersezione tra i due piani p1 e p2.
Quindi ogni superficie piana su cui si
disegna una retta, a cui si
attribuisce la funzione di linea di
terra, può essere riguardata come
trasformata di un diedro di cui la
linea di terra ne rappresenta
l'origine (Fig.06).
Ciascuna superficie di quelle rappresentate, pertanto, può essere riguardata
come trasformata piana di un diedro.
Sommario
Caratterizzazione complessiva singoli diedri
Come è stato evidenziato nelle pagine precedenti, ad ogni diedro
possiamo attribuire caratteri fisici specifici che rendono il diedro
stesso identificabile in modo preciso.
Oltre l’attribuzione dei caratteri fisici, abbiamo definito le
caratterizzazioni grafiche che unite alle prime individuano in modo
univoco l’ambito spaziale entro cui elaborare la rappresentazione ed il
relativo luogo geometrico piano della trasposizione grafica e descrittiva.
Nelle pagine successive si definisce la caratterizzazione complessiva di
ogni diedro sia nell’aspetto fisico che in quello grafico.
Analizziamo, ora, singolarmente i quattro diedri ed i relativi elementi
costituenti.
Sommario
Caratterizzazione fisica e grafica
del primo diedro (ID)
Il primo diedro (Fig.07) è costituito
dai semipiani p1+ e p2+; aventi per
origine la linea di terra. Questa viene
assunta come asse di rotazione (asse
dell’omologia) per concatenare il
semipiano p1+ al semipiano p2+. A
rotazione completata i due semipiani
si dispongono in modo distinto uno
nella parte inferiore della “lt” e
l’altro nella parte superiore della
stessa come mostrato dalla sequenza
grafica della fig.07.
Pertanto alla definizione fisica del I
Diedro possiamo aggiungere la
descrizione grafica, completando
l’analisi e la descrizione del diedro
come di seguito.
I luoghi grafici del I Diedro si
articolano in modo distinto l’uno sotto
e l’altro sopra la linea di terra
(Fig.08).
Sommario
Caratterizzazione fisica e grafica
del secondo diedro (II D)
Questa viene assunta come asse di
rotazione (asse omologico) per
ribaltare p1- su p2+.
A rotazione completata i due
semipiani, che definiscono il diedro,
si disporranno sovrapposti l’uno
sull’altro, tanto da poter dire che
p1-  p2+ come mostrato dalla
sequenza grafica della fig. 09.
Alla definizione fisica del II diedro
possiamo aggiungere, infine, la
raffigurazione grafica attinente
completando l’analisi e la descrizione
del diedro come in fig.10.
I luoghi grafico-rappresentativi del
diedro si definiscono coincidenti e
disposti entrambi nella parte
superiore alla linea di terra.
Sommario
Caratterizzazione fisica e grafica
del terzo diedro (IIID)
Il terzo diedro è definito dai semipiani p1- e
p2- aventi come origine la linea di terra e
disposti come di seguito (Fig. 11). Si ricorda
che il ribaltamento è un processo omologico
di cui la linea di terra (asse omologico)
costituisce l’asse della rotazione necessaria
per poter effettuare il ribaltamento che
trasforma il diedro nel luogo geometrico
piano della rappresentazione descrittiva.
A rotazione completata i due semipiani si
disporranno in maniera distinta l’uno sopra,
l’altro sotto la linea di terra come mostrato
dalla sequenza grafica di fig.11.
Quindi, in aggiunta alla definizione fisica, si
può esplicitare anche la corrispondente
caratterizzazione grafica, completando
l’analisi e la descrizione del diedro come di
seguito(Fig.12).
I luoghi grafico-rappresentativi del diedro si presentano distinti e disposti ai due lati della linea di terra,
normalmente l’uno sopra, l’altro sotto la “lt”. Nel rapporto con il primo diedro, questo si caratterizza
essere opposto a quello sia nell’aspetto fisico che nelle caratteristiche grafiche e topologihe, infatti,
p1-
si colloca nella parte superiore alla “lt”, mentre p2- si dispone nelle parte inferiore alla “lt” secondo due
posizioni esattamente opposte ai semipiani del primo diedro.
Sommario
Caratterizzazione fisica e grafica
del quarto diedro (IVD)
Il quarto diedro è delimitato dai semipiani
p1+ e p2- aventi , come di consueto, la linea
di terra come origine comune ai due
semipiani. Essa viene assunta come asse di
rotazione (asse omologico) per poter
effettuare il ribaltamento di p1+ su p2- e
passare così dalla forma tridimensionale
alla figurazione bidimensionale del luogo
descrittivo. A rotazione completata i due
semipiani, che definiscono il diedro si
disporranno in maniera sovrapposta l’uno
sull’altro, tanto da poter dire che p1+  p2come esplicitato dalla sequenza grafica
della fig. 13.
Pertanto, alla definizione fisica del IV
diedro possiamo aggiungere anche la
caratterizzazione grafica, completando
l’analisi e la descrizione del diedro come di
seguito (Fig.14).
In questo caso i luoghi grafico-rappresentativi del diedro si presentano coincidenti e
disposti entrambi nella parte inferiore alla linea di terra. Nel raffronto con il secondo
diedro, questo si caratterizza essere opposto a quello sia nell’aspetto fisico che nella
caratterizzazione grafica.
Sommario
Quadro sinottico dei caratteri dei diedri
Ricapitolando e sintetizzando, i quattro luoghi possibili della rappresentazione ortogonale
si presentano con le caratteristiche sintetizzate nella seguente tabella.
Diedri e relativi caratteri
Diedro
ID
IID
IIID
IVD
Semipiani
Aspetto
fisico
Didascalia
p1
+
p1+
p2
+
p2+
p1
-
p1-
p2
+
p2+
p1
-
p1-
p2
-
p2-
p1
+
p1+
-
p2-
p2
Caratterizzazione grafica
p2+
p1+
p1-  p2+
p1p2p1+  p2-
lt
lt
lt
lt
Per maggiore completezza ed approfondimento degli
argomenti si può consultare il seguente sito
http://www.webalice.it/eliofragassi