Geometria descrittiva dinamica
Al sommario
Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di
Monge
LA RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICODESCRITTIVA E RELATIVA TIPOLOGIA
DEGLI ELEMENTI PRIMITIVI
(Oggetto, mezzo, luogo)
Il disegno di copertina è stato eseguito nell’a.s. 2001/02 da Luca Pelusi
della classe 3°B
dell’Istituto Statale d’Arte “M. Dei Fiori” di Penne
per la materia : “Disegno geometrico ed architettonico”
La revisione delle formalizzazioni è stata
curata dal dott. Gabriella Mostacci
IL materiale può essere riprodotto citando la fonte
Autore
Prof. Elio Fragassi
Sommario
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Titolo dell’argomento
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Rappresentazione geometrico-descrittiva e tipologia degli elementi primitivi
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L’oggetto della proiezione
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Il mezzo della proiezione
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Il luogo della proiezione: il diedro
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Caratterizzazione topologica dei diedri
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Caratterizzazione grafica dei diedri
omesso
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Caratterizzazione complessiva dei diedri
omesso
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Caratterizzazione topologica e grafica del primo diedro (ID)
omesso
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Caratterizzazione topologica e grafica del secondo diedro (IID)
omesso
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Caratterizzazione topologica e grafica del terzo diedro (IIID)
omesso
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Caratterizzazione topologica e grafica del quarto diedro (IVD)
omesso
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Quadro sinottico dei caratteri dei diedri
omesso
Sommario
RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICO-DESCRITTIVA
E TIPOLOGIA DEGLI ELEMENTI PRIMITIVI
Introduzione generale (1)
Per rappresentare un oggetto qualunque, un solido, un progetto
architettonico, un oggetto di uso comune, un mobile, ecc. si usa eseguire
una "proiezione" dell'oggetto stesso. E’ bene, pertanto, chiarire
anzitutto cosa vuole intendersi per "proiezione”, riguardandola come
operazione grafica di tipo geometrico con caratteristiche descrittive.
Il vocabolario Zingarelli esplicita il termine “proiezione”come “...atto,
effetto del proiettare...” oppure come “...trasmissione di un’immagine su uno
schermo...”, oppure ancora come “...Rappresentazione di una figura spaziale su
un piano usando sistemi diversi...”.
Lo stesso vocabolario esplicita, poi, il verbo “proiettare” come “...gettare,
scagliare fuori o avanti...” oppure come operazione per “...Riprodurre su uno
schermo una diapositiva o un fotogramma a mezzo di proiettore”.
In sintesi, "proiettare" equivale a "trasferire" cioè “eseguire una
proiezione" equivale ad "effettuare un trasferimento"; o meglio, sviluppare una
serie di operazioni razionalmente coordinate mediante le quali riuscire a
"trasferire”, “qualcosa" da un "luogo" ad un altro "luogo".
Introduzione generale (2)
Poiché l’operazione di trasferimento implica un aspetto dinamico, tale
sarà anche l’operazione della proiezione, conseguentemente, poiché la
geometria descrittiva si fonda sulle proiezioni ne discende il carattere
dinamico, per cui trattasi di “Geometria descrittiva dinamica”.
Per poter eseguire questa operazione di "trasferimento" abbiamo
bisogno, fondamentalmente, dei tre elementi specificati di seguito.
L’”oggetto” della proiezione o del trasferimento
Il “mezzo” per eseguire la proiezione o il trasferimento
Il “luogo” ove effettuare la proiezione o il trasferimento
Sommario
L’oggetto della proiezione (1)
L'oggetto può essere costituito da "qualcosa" sia concreto che astratto; può quindi essere
un solido o un gruppo di solidi, un organismo architettonico esistente e/o di progetto,
un’idea progettuale, il rilievo e la restituzione grafica di un manufatto, di un immobile, di un
mobile, o più in generale, un "oggetto” reale e/o virtuale da definirsi di volta in volta in
relazione al momento ed alle esigenze rappresentative
Nello specifico di questi appunti di "Geometria descrittiva dinamica", l'oggetto della
trattazione è costituito dagli elementi primitivi della geometria come definiti in altro
fascicolo che, in particolare, si sintetizzano come di seguito.
Il Punto P inteso come "Ente geometrico adimensionale"
La retta r riguardata nel suo aspetto dinamico-insiemistico come generata da un punto in
movimento definito ed orientato secondo la seguente sintetica espressione insiemistica e
descrittiva
 
 P  W  ! r 

-
 P | P  r
Il piano p riguardato nel suo aspetto dinamico-insiemistico come elemento generato da
una retta in movimento definito ed orientato nello spazio secondo la seguente sintetica
espressione insiemistica e descrittiva
 
 r  W  ! p 

-
 r  | r p
L’oggetto della proiezione (2)
Questi tre elementi, composti ed articolati nello spazio, determinano la
configurazione di forme e figurazioni piane e/o solide di varia natura e
complessità; comunque sempre suscettibili di essere ricondotte ad un
abaco di forme principali ove rintracciare, sempre, le forme
fondamentali di prima specie, di seconda o terza specie che si ricorda
essere le seguenti
Forme geometriche fondamentali
Forme di 1a specie
Forme di 2a specie Forme di 3a specie
Retta punteggiata Piano punteggiato
Spazio punteggiato
Fascio di rette
Piano rigato
Spazio rigato
Fascio di piani
Stella di rette
Spazio di piani
Stella di piani
Sommario
Il mezzo della proiezione
Nello specifico, il “mezzo” grafico, per
l'esecuzione delle rappresentazioni, è
costituito dalle leggi della proiezione
cilindrica ortogonale (Fig. 01). Ricordiamo,
sinteticamente, che le proiezioni si
distinguono in: “proiezioni coniche” o
“proiezioni centrali” e “proiezioni
cilindriche” o “proiezioni parallele”; queste
ultime a loro volta si differenziano in
proiezioni ortogonali ed oblique
Nello sviluppo di questi appunti di "Geometria descrittiva dinamica" si fa riferimento
esclusivamente alla "Proiezione cilindrica ortogonale" le cui caratteristiche geometricodescrittive sono sintetizzate dalla seguente espressione
[S  A’= A]
per
r ^a ed
A’ a
Mentre la proiezione conica può essere sintetizzata dalla seguente espressione
[S  A’ A]
S = Sorgente proiettiva impropria.
S
= Sorgente proiettiva reale.
A’ = Proiezione o immagine dell’oggetto in corso di
elaborazione descrittiva.
A = Oggetto (reale e/o virtuale) della rappresentazione.
r = Raggio proiettivo.
per r a ed
A’ a
^ = Perpendicolare o ortogonale.
 = Obliquo o comunque inclinato
 = Appartiene
a = Luogo della proiezione. (Supporto del disegno
e/o della rappresentazione grafica descrittiva)
Sommario
Il luogo della proiezione: il diedro
Di norma, nel campo della geometria
descrittiva gli "oggetti” della proiezione
si immaginano collocati nello spazio
fisico denominato "diedro"(Fig.02)
I due piani (Fig. 02) p1 e p2, comunque
collocati nello spazio, e, fermo restando il
reciproco rapporto di ortogonalità,
intersecandosi definiscono quattro
porzioni di spazio solido che prendono il
nome di diedri; quindi ciascuna delle
quattro parti dello spazio solido (Fig. 03),
delimitata da due semipiani aventi in
comune la retta di origine, determina un
“luogo” della possibile collocazione
dell’oggetto della proiezione e/o della
rappresentazione.
Il diedro, come angolo solido, è costituito dallo spazio
racchiuso tra due semipiani p1/2 e p2/2 (Fig.03) in
rapporto ortogonale tra di loro così come definito nel
"Metodo delle doppie proiezioni ortogonali o metodo
di Monge“ cui questi appunti fanno completo
riferimento
I due piani p1 e p2, intersecandosi l'uno con
l'altro danno origine ad una retta reale che
rappresenta l'origine dei semipiani e quindi
dei diedri da essi costituiti.
Per questa sua caratteristica particolare (origine dei
semipiani) la retta, nello specifico, assume il nome di
"linea di terra". Essa, sia negli appunti seguenti che
nelle didascalie dei disegni, sarà indicata con le
lettere iniziali del nome "lt" minuscole perché trattasi
di linea retta.
Sommario
Caratterizzazione topologica dei diedri (1)
Se la retta "lt” rappresenta l'origine dei semipiani p1/2 e p2/2, muovendosi, su ciascuno di essi, ci sia
allontanerà da detta origine spostandosi sia su p1 che su p2
Allora, per poter definire, in modo univoco, il semipiano in cui ci si muove attribuiamo ad esso delle
caratteristiche topologiche, proprio in riferimento all'origine cioè alla “lt” (Fig.04).
Pertanto, se dalla lt ci si allontana verso destra
diremo che i valori della distanza sono crescenti
positivamente ed allora indicheremo il semipiano
come "semipiano anteriore positivo" che in
forma sintetica diventa p1+; se ci si allontana
verso sinistra diremo che i valori delle distanze
sono crescenti negativamente e allora
definiremo il semipiano come “semipiano
posteriore negativo" che in forma sintetica
diventa p1-
Muovendosi, poi, su p2 accade che per allontanarsi dalla linea di terra bisogna muoversi
verso l'alto; in questo caso i valori della distanza dall'origine sono crescenti
positivamente, allora indichiamo il semipiano in oggetto come “semipiano superiore
positivo" che in forma sintetica diventa p2+; se invece ci si allontana verso il basso,
allontanandosi dalla "lt" i valori crescono negativamente per questo si definisce tale
semipiano come “semipiano inferiore negativo” che in forma sintetica diventa p2-.
E’ possibile, quindi, caratterizzare e definire dal punto di vista topologico i diversi diedri, con
riferimento ai semipiani costituenti gli stessi, come nella tabella che segue
Caratterizzazione topologica dei diedri (2)
Sommario
Caratterizzazione topologica dei diedri
Numero diedro
Primo Diedro
Indicazione
sintetica
Nome semipiano
Carattere
topologico
Sintesi
didascalica
Anteriore
Positivo
Superiore
Positivo
p1+
p2+
Posteriore
Negativo
p
1
Superiore
Positivo
p
2
Posteriore
Negativo
p
1
Inferiore
Negativo
p
2
Anteriore
Positivo
p
1
Inferiore
Negativo
p
2
ID
Secondo Diedro
Terzo Diedro
Quarto Diedro
II D
III D
IVD
Il primo diedro è un
diedro positivo
+
Il secondo diedro è un
diedro misto
+
-
Per una maggiore sintesi possiamo esprimere con la
tabella sinottica che segue la “ definizione topologica”
dei quattro diedri
Tabella sinottica dei caratteri topologici dei quattro diedri
Primo Diedro
ID
p
p
1
+
2
+
Secondo Diedro
II D
p
p
1
2
+
Terzo Diedro
III D
p
p
1
2
Quarto Diedro
-
IVD
Ragionando sulla
“caratterizzazione topologica”
possiamo fare le seguenti
considerazioni generali
p
1
+
p
2
-
Il terzo diedro è un
diedro negativo
Il quarto diedro è un
diedro misto
Inoltre il primo diedro è opposto al
terzo “dal punto di vista topologico"
e, al contempo, il secondo è, sempre
“ dal punto di vista topologico”,
opposto al quarto