Elaborazione e trasmissione delle immagini
Esercitazione n.4
Pisa, 20/10/2004
Anno Accademico 2004-2005
Argomenti trattati
1. Trasformata di segnali spazio discreti e serie discreta
2. Ricostruzione del segnale dalla sola ampiezza o
dalla sola fase
3. Filtraggio nel dominio delle frequenze spaziali
4. Operatori derivata
Trasformata di Fourier segnali spazio-discreti non periodici
M 1 N 1
~
F ( X , Y )   f [m, n]e  j 2 [ mX  nY ]
m 0 n 0
1
f [m, n] 
2

1
2
~
j 2 [ mX  nY ]
dXdY
 F ( X , Y )e
1 1
2 2
Serie discreta di Fourier
di segnali spazio-discreti
periodici
M 1 N 1
~
~
 j 2 [ mr
 nNs ]
M
F [r , s ]   f [m, n]e
m 0 n 0
~
1
f [m, n] 
MN
M 1 N 1
~
j 2 [ mr
 nNs ]
M
 F[r , s]e
r 0 s 0
Relazione tra coefficienti della serie discreta e trasformata
~
~ r s
F [r , s]  F ( M , N )
Serie discreta
~
1
f [m, n] 
MN
M 1 N 1
~
j 2 [ mr
 ns
]
M
N
 F[r , s]e
r 0 s 0
M 1 N 1
1 ~ r s j 2 [ mrM  nsN ]
 
F ( M , N )e
r  0 s  0 MN
Ricostruzione dal solo spettro di ampiezza o dal solo spettro
di fase
~ r s
~ r s j~ ( Mr , Ns )
F(M , N )  F(M , N ) e
Spettro di ampiezza
Spettro di fase
~ r s
F(M , N )
~ r s
( M , N )
Convoluzione lineare
g[m, n]  f [m, n]  h[m, n]
g[m, n]   f [r , s ]h[m  r , n  s ]
r
s
Convoluzione circolare (per estensioni
periodiche di funzioni o sequenze)
~
~
~
g [m, n]  f [m, n]  h [m, n]
M 1 N 1
~
~
g~[m, n]   f [r , s ]h [m  r , n  s ]
r 0 s 0
Teorema della convoluzione
circolare
Segnali spazio-discreti aperiodici
~
~
~
g[m, n]  f [m, n]  h[m, n]  G ( X , Y )  F ( X , Y ) H ( X , Y )
Segnali spazio-discreti periodici
~
~
~
~
~
~
g [m, n]  f [m, n]  h [m, n]  G[r , s]  F [r , s] H [r , s]
M  M f  M h 1
N  N f  Nh 1
g[m, n]  g~[m, n]
m  0,1,  , M f  M h  2
n  0,1,, N f  N h  2
Prodotto di convoluzione lineare
g[m, n]   f [r , s ]h[m  r , n  s ]
r
s
~ r s
~ r s ~ r s
g[m, n]  f [m, n]  h[m, n]  G( M , N )  F ( M , N ) H ( M , N )
M  M f  M h 1
m  0,1,  , M f  M h  2
N  N f  Nh 1
n  0,1, , N f  N h  2
M 1 N 1
~ r s j 2 [ mrM  nNs ]
g[m, n]   G ( M , N )e
r 0 s 0
Segnale cosinusoidale diretto lungo x
m
f [m, n]  cos( 2 )
L
L=64 periodo dell’oscillazione
X0=1/L=1/64 frequenza spaziale dell’oscillazione
Ricostruzione dal solo spettro di ampiezza o dal solo spettro
di fase
M 1N 1
ns ]
1 ~ r s j 2 [ mr
~

M N
f A[m, n]   
F(M , N ) e
r 0 s 0 MN
M 1N 1
ns ]
1 j~ ( Mr , Ns ) j 2 [ mr
~

M N
f  [m, n]   
e
e
r 0 s 0 MN
Filtraggio nel dominio spaziale: filtro a finestra mobile
g[m, n]  f [m, n]  h[m, n]
f [m, n]
h[m, n]
1

1

1 
h[m, n] 
1

25

1

1
1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1
Convoluzione lineare: conv, conv2 in MATLAB
f(n), Mf = 5
0
1
h(n), Mh = 2
0
2
2
1
1
‘full’, Mf + Mh - 1
2
‘same’, Mf
‘valid’, Mf - Mh + 1
Filtraggio nel dominio delle frequenze spaziali:
filtro ideale
f [m, n]
g[m, n]
h[m, n]
Nel dominio trasformato il filtro mantiene solo una parte
dei coefficienti della trasformata e pone a zero i restanti
~ r s
~ r s ~ r s
G( M , N )  F ( M , N ) H ( M , N )
~ r s
F( M , N )
~ r s
H(M , N )
~ r s
G( M , N )
1 In banda
~ r s
H(M , N )  
0 Altrove
Filtraggio nel dominio delle frequenze spaziali:
filtro ideale bassa-basso
Filtro passa-basso
Y
+1
1
2
N campioni

0
Y
1
2
+1 X
M campioni


1
2
X
1
2
M campioni
fftshift in MATLAB
Dimensioni immagini prodotto di
convoluzione lineare
MfxNf
MhxNh
(Mf+Mh-1)x(Nf+Nh-1)
Prodotto di convoluzione circolare
con trasformate serie di dimensioni MfxNf
MfxNf
MhxNh
(Mf)x(Nf)
Filtraggio nel dominio delle frequenze spaziali:
filtro ideale passa-alto
Filtro passa-alto
Y
+1

0
+1 X
~ r s
~ r s
HHP( M , N )  1  HLP( M , N )
Y

1
2
1
2


1
2
X
1
2
~
~
h HP(m, n)   [m, n]  h LP[m, n]
Filtraggio nel dominio delle frequenze spaziali:
filtro ideale a simmetria circolare
Y


1
2
1
2
Segnali spazio-continui
a simmetria circolare
hanno trasformata a
simmetria circolare


1
2
1
2
X
Filtraggio nel dominio delle frequenze spaziali:
filtro a maschera zonale
Filtro passa-banda
Y
Y
+1

0
+1 X

1
2
1
2


1
2
1
2
X
Derivate parziali: approssimazione con rapporto
incrementale
f  x, y  f  x  , y 

x

f x, y  f x, y   

y

Differenze finite
 m m, n  f m  1, n  f m, n  f m, n  m  1, n   m, n
 n m, n  f m, n  1  f m, n  f m, n  m, n  1   m, n