Trasformazioni
nel dominio delle frequenze
Andrea Torsello
Dipartimento di informatica
Università Ca’ Foscari
via Torino 155,
30172 Mestre (VE)
Teorema di Fourier
Teorema di Fourier: ogni
funzione periodica a quadrato
sommabile puo’ essere
approssimato con una serie di
funzioni trigonometriche
Sm ( f ) 
m
a cos(x)  b sin( x)


 m
lim f  S m ( f )  0
2
m 
La Trasformata di una immagine
Nota: Shift
• Normalmente lo 0 e` agli angoli, per motivi di
chiarezza lo trasliamo al centro
Fitro passa-basso
Filtro passa-basso ideale
Ringing
Trasformata di funzioni a gradino
Trasformata di un filtro medio
Filtro di Butterworth
1
H (u, v) 
2n
1  D(u, v) / D0 
Filtro di Butterworth
Filtro di Butterworth
Il fenomeno del “ringing” e’
molto ridotto
Filtro Gaussiano
H (u, v) 
1
2 D0
e
 D ( u ,v ) 

 12 
D
0


2
Filtro Gaussiano
Il fenomeno del “ringing”
e` inesistente
Filtro Gaussiano
Filtro Gaussiano
Passa Alto
Passa-alto ideale
Passa-alto Butterworth
Passa-alto Gaussiano
Laplaciano
f  f
2



1 1  u 2  v 2  f 
Laplaciano e unsharp mask
Correlazione
( f  g )( x, y ) 
M 1 N 1
1
MN
 f (m, n) h( x  m, y  n)
m 0 n 0
F[ f  g ]  F (u , v) H (u , v)
F[ f  f ]  F (u, v)
2
Notch filter
Notch filter
Analisi del rumore
Homomorphic filter
I ( x , y )  i ( x, y ) r ( x, y )
z ( x, y )  ln I ( x, y )  ln i ( x, y )  ln r ( x, y )
F[ z ( x, y )]  F[ln i ( x, y )]  F[ln r ( x, y )]
Z (u, v)  Fi (u, v)  Fr (u, v)
S (u, v)  Z (u, v) H (u, v)  Fi (u, v) H (u, v)  Fr (u, v) H (u, v)
i' ( x, y)  F[ Fi (u, v) H (u, v)]
-1
s( x, y)  F [S (u, v)]  i' ( x, y)  r ' ( x, y)
r ' ( x, y)  F[ Fr (u, v) H (u, v)]
g ( x, y )  e s ( x , y )  ei '( x , y ) e r '( x , y )  i0 ( x, y )r0 ( x, y )
Homomorphic filter
Inversione di un filtro
g ( x, y )  f ( x, y )  h ( x, y )  n ( x , y )
G (u, v)
N (u, v)
Fˆ (u, v) 
 F (u, v) 
H (u, v)
H (u, v)
Weiner filter

e 2  E ( f  fˆ ) 2

G (u, v)  F (u, v) H (u, v)  N (u, v)
Inverse filter




2
H (u , v)
 1

Fˆ (u , v)  
G (u , v)
2 
H (u , v)
N (u , v) 
2

H (u , v) 
2


F
(
u
,
v
)


Inversione di un filtro
Inversione di un filtro
Inversione di un filtro
Minimi Quadrati Vincolati




2
H (u , v)
 1

ˆ
F (u , v)  
G (u , v)
2 
H (u , v)
N (u , v) 
2

H (u , v) 
2


F
(
u
,
v
)


Weiner
N (u, v)
F (u, v)
2
2
K
Constrained Least Square
N (u, v)
F (u, v)
 0 1 0 
p( x, y )   1 4  1
 0  1 0 
2
2
  P(u, v)
g  H  fˆ
2
 n
2
2
n  MN ( 2   2 )
2
Minimi Quadrati Vincolati