Percentili
Il P -esimo percentile di una
variabile ordinata e’ quel valore
sotto il quale c’é il P % (P
percento) delle osservazioni.
Ad esempio …il 20 -esimo
percentile di una variabile
ordinata e’ il valore sotto il quale
c’é il 20 % delle osservazioni.
Percentili
COME SI CALCOLA UN PERCENTILE?
1. Si ordina in senso crescente la
variabile
2. Il P-esimo percentile si calcola
determinando prima il valore del
prodotto del numero di
osservazioni (numero dei dati=n)
e del percentile che si desidera
calcolare (P).
Percentili
3. Se si indica con i il prodotto nP e
con xi il valore della variabile in
posizione i si ha che il P-esimo
percentile vale :
 xi  xi 1

P 2

 xi 1
se i  nP e' un valore intero
altrimenti
Esempio: PSA
Si esaminano i
dati
relativi alla
determinazione
del PSA
in n=44
campioni
di siero umano
(si osservi che
la variabile PSA
e’ ordinata)
Posizione
PSA
Posizione
PSA
1
0.1
23
1.3
2
0.1
24
1.3
3
0.2
25
1.7
4
0.2
26
1.8
5
0.3
27
2.1
6
0.5
28
2.2
7
0.6
29
2.3
8
0.6
30
2.6
9
0.6
31
2.9
10
0.6
32
3.2
11
0.6
33
3.7
12
0.7
34
3.9
13
0.7
35
4.4
14
0.8
36
4.6
15
0.9
37
4.7
16
1.1
38
5.0
17
1.2
39
5.7
18
1.2
40
6.0
19
1.2
41
7.6
20
1.2
42
8.9
21
1.2
43
9.1
22
1.2
44
10.5
Esempio (calcolo percentili)


Determinare il percentile di ordine 50.
Il percentile di ordine P = 50, é il dato in posizione
n *50
44 *50
i

 22
100
100
Dove n e’ il numero di osservazioni.
Il 50-esimo percentile é la media fra il il ventiduesimo
e ventitreesimo valore e quindi vale:
x22  x23 1.2+1.3

=1.25
2
2
Esempio: PSA
Posizione
PSA
Posizione
PSA
Posizione
PSA
1
0.1
16
1.1
30
2.6
2
0.1
17
1.2
31
2.9
3
0.2
18
1.2
32
3.2
4
0.2
19
1.2
33
3.7
5
0.3
20
1.2
34
3.9
6
0.5
21
1.2
35
4.4
7
0.6
22
1.2
36
4.6
8
0.6
23
1.3
37
4.7
9
0.6
24
1.3
38
5.0
10
0.6
25
1.7
39
5.7
11
0.6
26
1.8
40
6.0
12
0.7
27
2.1
41
7.6
13
0.7
28
2.2
42
8.9
14
0.8
29
2.3
43
9.1
15
0.9
30
2.6
44
10.5
Esempio
Per determinare il percentile 90, si determina prima la la
posizione i :
44 *90
i
 39.6
100


Quindi il percentile é alla posizione 40.
La quarantesima osservazione vale 6.0.
Il 90-esimo percentile vale quindi 6
Esempio: PSA
Posizione
PSA
Posizione
PSA
Posizione
PSA
1
0.1
16
1.1
30
2.6
2
0.1
17
1.2
31
2.9
3
0.2
18
1.2
32
3.2
4
0.2
19
1.2
33
3.7
5
0.3
20
1.2
34
3.9
6
0.5
21
1.2
35
4.4
7
0.6
22
1.2
36
4.6
8
0.6
23
23
37
4.7
9
0.6
24
24
38
5.0
10
0.6
25
25
39
5.7
11
0.6
26
26
40
6.0
12
0.7
27
27
41
7.6
13
0.7
28
28
42
8.9
14
0.8
29
29
43
9.1
15
0.9
30
2.6
44
10.5
Esempio:output di SAS
Percentili e Quartili
I Quartili sono i punti che dividono i dati
ordinati in quarti .
Il primo quartile (Q1) è il 25-esimo
percentile.Sotto tale punto c’é un quarto dei dati.
Il secondo quartile (Q2) è il 50-esimo percentile.
Sotto tale punto c’é la metà dei dati. E’ chiamato
mediana.
Il terzo quartile (Q3) è il 75-esimo percentile.
Sotto tale punto ci sono i 3/4 dei dati.

Quartili e Interquartile Range




Il primo quartile ( Q1) (percentile 25) é
chiamato lower quartile.
Il secondo quartile ( Q2) (percentile 50) é
chiamato mediana o middle quartile.
Il terzo quartile ( Q3) (percentile 75)
é chiamato upper quartile.
L’interquartile range (IQR) é la differenza fra
primo e terzo quartile :
IQR=(Q3-Q1)
Quartili e Interquartile Range
Variable
altezza
sesso
M
F
N
59
54
Variable
sesso
Minimum
Maximum
M
149.00
187.00
F
140.00
170.00
altezza
Mean
170.37
158.78
Median
170.00
160.00
StDev
7.15
7.37
Q1
166.00
154.00
Q3-Q1 = 177-166 = 11 , quindi
il 50% dei maschi ha altezza compresa
fra 177cm e 166 cm.
Q3-Q1 = 165-154 = 11 , quindi
il 50% delle femmine ha altezza compresa
fra 165cm e 154 cm.
Q3
177.00
165.00
Quartili e Interquartile Range
Q1=154
Q3=165
Q1=166
Q3=177
ESEMPIO : PERCENTILI
ESEMPIO : PERCENTILI
Vengono misurate le pulsazioni cardiache a due gruppi di
persone, una a riposo e l’altra dopo una corsa di 500 metri.
ESEMPIO : PERCENTILI
PERCENTILE CORSA
RIPOSO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
49,3763
52,0644
53,7698
55,0528
56,0964
56,9846
57,7634
58,4608
59,0950
59,6788
64,0168
67,1448
69,8176
72,3158
49,080
54,169
57,399
59,828
61,804
63,486
64,960
66,281
67,482
68,587
76,801
82,723
87,784
92,514
PERCENTILE CORSA
RIPOSO
60
70
80
97,244
102,305
108,228
74,8140
77,4868
80,6148
90
116,442
84,9528
91
92
93
94
95
96
97
98
99
117,547
118,748
120,068
121,543
123,225
125,201
127,630
130,859
135,949
85,5366
86,1708
86,8681
87,6470
88,5352
89,5788
90,8618
92,5672
95,2552
ESEMPIO : PERCENTILI
Percentile 90