L’opuscolo in latino classico Arithmetices Principia nova methodo exposita
0. i numeri formano una classe
pubblicato all’inizio del 1889 è senza dubbio la più famosa fra le opere di
1. lo zero è un numero
The booklet written in classical Latin, Arithmetices Principia nova methodo exposita, published at the beginning
of 1889, is without a doubt the most famous of Peano’s works, both because it contains his famous axioms
for natural numbers, and because this was the first time he used his logical symbolism to delineate the
Peano, sia perché contiene i suoi celebri assiomi per i numeri naturali, sia
2. il successore di un numero è un numero
foundations of arithmetic.
perché egli utilizza qui per la prima volta il suo simbolismo logico per
3. due numeri con successori uguali sono uguali
His contributions join with those of R. Dedekind, C. Méray and G. Cantor regarding the construction of real
delineare i fondamenti dell’aritmetica.
4. lo zero non è il successore di alcun numero
numbers, and regarding the axiomatisation of arithmetic, those of Grassmann, Dedekind and Frege, with
whom, as time when on, he would critically compare his own positions.
I suoi contributi si affiancano a quelli di Richard Dedekind, Charles Méray
5. ogni classe che contenga zero e il successore di ogni suo elemento,
Inspired by the works of G. Boole, E. Schröder, C. S. Peirce and W. S. Jevons on algebraic logic, Peano prepared
e Georg Cantor sulla costruzione dei numeri reali e, per l’assiomatizzazione
contiene tutti i numeri (noto universalmente come ‘principio di induzione
a special table in the Arithmetices Principia to indicate the three groups of signs that he will use: those of
dell’aritmetica, a quelli di Hermann Grassmann, Richard Dedekind e Gottlob
completa’).
Frege, con i quali, nel corso del tempo, egli confronterà criticamente le sue
Convinto dell’importanza di riversare le ricerche sui fondamenti nella pratica
posizioni.
di insegnamento universitario e secondario, Peano redige inoltre una
pertinence to logic, those specific to arithmetic, and those that are composite. After having addressed the
primitive concepts, he states the postulates of arithmetic, from which he proceeds to deduce the entire theory;
thanks to its elegance and simplicity, this theory was well-received at the time, and is still known today as
‘PA’, that is, Peano’s Arithmetic. In 1891 Peano begins to treat questions regarding the foundations of
Torino 1890, piazza Carignano
mathematics in his Rivista di Matematica, starting with the essay Sul concetto di numero, in which he genetically
Traendo ispirazione dai lavori di George Boole, Ernst Schröder, Charles S.
caleidoscopica serie di articoli sul tema delle definizioni, interventi su
Peirce e William S. Jevons sull’algebra della logica, Peano presenta, in una
problemi numerici, recensioni di testi e note storiche che rivelano la sua
while modifying them somewhat. Over the coming years, the axioms will be refined, thanks in part to the
apposita Tavola degli Arithmetices Principia, i tre gruppi di segni che userà:
passione per l’aritmetica e la teoria dei numeri.
collaboration of his follower Alessandro Padoa, and will be given their definitive formulation in 1901, in the
quelli di pertinenza della logica, quelli specifici dell’aritmetica e quelli
Il manuale per gli insegnanti Aritmetica generale e Algebra elementare del
composti. Dopo aver assunto i concetti primitivi, egli enuncia i postulati
1902, in cui fornisce un’esposizione elementare della teoria assiomatica di
dell’aritmetica, da cui deduce l’intera teoria che, per la sua eleganza e
queste discipline, desunta dal Formulario, avvalora la sua persuasione che
defines the various species of numbers – negative, integers, rational and real – and taking up again his axioms
third edition of the Formulario. The primitive concepts are those of ‘zero’, ‘number’ and ‘successor’, and the
postulates are stated in the form:
0. natural numbers form a class; 1. zero is a natural number; 2. the successor of a natural number is a number;
Gottlob Frege, 1848-1925
Giuseppe Peano, 1924
Georg Cantor, 1845-1918
3. two natural numbers with equal successors are equal; 4. zero is not a successor to any natural number; 5.
every class that contains zero and the successor of each of its elements, contains all the natural numbers
semplicità, riscuote successo ed è ancora odiernamente indicata con
sia nel campo didattico che la logica manifesta ‘la sua fulgida semplicità’.
l’acronimo ‘PA’, cioè ‘Aritmetica di Peano’.
Nella conferenza del 1924 Sui libri di testo di aritmetica, a ridosso della
Convinced of the vital importance of turning research on the foundations into practice in university and secondary
Il matematico piemontese torna ad occuparsi di questioni fondazionali nel
relazione ministeriale di G. Lombardo Radice e M. Cipolla, Peano stigmatizza
school teaching, Peano also drafted a kaleidoscopic series of articles, treating subjects such as definitions,
(universally known as the ‘principle of complete induction’)
discussions of numeric problems, reviews of textbooks, and notes on history, making evident his passion for
1891 sulla sua Rivista di Matematica, con il saggio Sul concetto di numero,
i difetti di molti manuali scolastici, in cui le definizioni sono date in modo
nel quale definisce geneticamente le varie specie di numeri: negativi, interi,
dogmatico e catechistico e contengono spesso ridondanze e circoli viziosi.
arithmetic and number theory. The 1902 manual for teachers, Aritmetica generale e Algebra elementare, in which
he gives an elementary statement of the axiomatic theory of these two disciplines, taken from the Formulario,
A. Padoa, 1868-1937
razionali e reali, oltre a riprendere con alcune modifiche i suoi assiomi.
Matematici a Gottinga
strengthened his belief that it is precisely in the area of education that logic displays ‘its brilliant simplicity’.
Proprio per ovviare a queste carenze nell’editoria italiana, esponenti della
In his 1924 talk entitled Sui libri di testo di aritmetica, close to the time when G. Lombardo Radice e M. Cipolla
Nel corso degli anni essi sono infatti perfezionati, anche grazie alla
sua Scuola, come Cesare Burali-Forti, Angelo Ramorino, Marco Nassò,
collaborazione con il suo allievo Alessandro Padoa, e giungono alla loro
Sebastiano Catania, Corrado Ciamberlini e Alpinolo Natucci, curano testi
textbooks, in which definitions were given in a dogmatic and doctrinaire fashion, and often fell into redundancy
formulazione definitiva nel 1901, nella terza edizione del Formulario.
di aritmetica ‘razionali’ e ‘pratici’, improntati all’utilizzo della logica simbolica,
and vicious circles. It was precisely to fill this gap in Italian literature that members of Peano’s School,
presented the official report of the Ministry for Public Instruction, Peano stigmatized the defects of many school
including C. Burali-Forti, A. Ramorino, M. Nassò, S. Catania, C. Ciamberlini and A. Natucci, would write books
I concetti primitivi sono qui quelli di ‘zero’, ‘numero’ e ‘successore’ e i
in cui si tiene anche conto delle più recenti conquiste della critica
postulati sono enunciati nella forma:
fondazionale.
of arithmetic that were ‘rational’ and ‘practical’, characterised by the use of symbolic logic, and which also
Torino 1890, ponte Umberto I
Stupinigi, 1890
Sui fondamenti dell’Aritmetica
looked to the most recent achievements in criticism of the foundations of mathematics.