A. Martini
LE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
IL
SENO DI UN ANGOLO
DISEGNAMO UN ANGOLO
DISEGNAMO UN ANGOLO
c

b
E TRACCIAMO UNA PERPENDICOLARE AL LATO b
c

b
E TRACCIAMO UNA PERPENDICOLARE AL LATO b
c

b
SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO ABC
c

b
SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO ABC
B
A

C
SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO ABC
B
A

C
ORA TRACCIAMO UN’ALTRA PERPENDICOLARE
CHE PASSA PER IL PUNTO C’
B
A

C
ORA TRACCIAMO UN’ALTRA PERPENDICOLARE
CHE PASSA PER IL PUNTO C’
B’
B
A

C
C’
SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO AB’C’
B’
B
A

C
C’
SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO AB’C’
B’
B
A

C
C’
SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO AB’C’
B’
B
A

C
C’
POICHÉ QUESTI DUE TRIANGOLI SONO SIMILI
POSSIAMO SCRIVERE LA RELAZIONE:
B’
B
A

C
C’
POICHÉ QUESTI DUE TRIANGOLI SONO SIMILI
POSSIAMO SCRIVERE LA RELAZIONE:
c’
B
c
A

a
C
B’
a’
C’
POICHÉ QUESTI DUE TRIANGOLI SONO SIMILI
POSSIAMO SCRIVERE LA RELAZIONE:
c’
B
c
A

a
C
a = a’
c
c’
B’
a’
C’
SE ORA MANDIAMO UN’ALTRA PERPENDICOLARE
DAL PUNTO C”
c’
B
c
A

a
C
a = a’
c
c’
B’
a’
C’
SE ORA MANDIAMO UN’ALTRA PERPENDICOLARE
DAL PUNTO C”
B”
c’
B
c
A

a
C
a = a’
c
c’
B’
a’
C’
C”
INDIVIDUIAMO UN TERZO TRIANGOLO AB”C”
B”
c’
B
c
A

a
C
a = a’
c
c’
B’
a’
C’
C”
INDIVIDUIAMO UN TERZO TRIANGOLO AB”C”
B”
c’
B
c
A

a
C
a = a
c
c’
B’
a’
C’
C”
ANCHE QUESTO TRIANGOLO È SIMILE AI PRECEDENTI
B”
c”
c’
B
c
A

a
C
a = a’
c
c’
B’
a’
C’
a”
C”
PER CUI POTREMO SCRIVERE ANCORA:
B”
c”
c’
B
c
A

a
C
a = a’
c
c’
B’
a’
C’
a”
C”
PER CUI POTREMO SCRIVERE ANCORA:
B”
c”
c’
B’
B
c
A

a
C
a = a’ = a”
c
c’ c”
a’
C’
a”
C”
DUNQUE:
QUESTI RAPPORTI SONO UGUALI AD UNA COSTANTE
CHE DIPENDE SOLO DALL’ANGOLO 
B”
c”
c’
B
c
A

a
C
B’
a’
C’
a”
C”
a = a’ = a” = COST
c
c’ c”
DECIDIAMO ALLORA DI DARE UN NOME A QUESTA
COSTANTE.
LA CHIAMIAMO: SENO DELL’ANGOLO
B”
c”
c’
B
c
A

a
C

B’
a’
C’
a”
C”
a = a’ = a” = COST
c
c’ c”
DECIDIAMO ALLORA DI DARE UN NOME A QUESTA
COSTANTE.
LA CHIAMIAMO: SENO DELL’ANGOLO
B”
c”
c’
B
c
A

a
C

B’
a’
C’
a”
C”
a = a’ = a” = COST
c
c’ c”
DECIDIAMO ALLORA DI DARE UN NOME A QUESTA
COSTANTE.
LA CHIAMIAMO: SENO DELL’ANGOLO
B”
c”
c’
B
c
A

a
C

B’
a’
C’
a”
C”
a = a’ = a” = sen 
c
c’ c”
POSSIAMO CALCOLARE IL SENO DI OGNI ANGOLO ,
CALCOLANDO IL RAPPORTO TRA
IL CATETO OPPOSTO ALL’ANGOLO (a) E L’IPOTENUSA
(c)
DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO
c
CHE HA UN ANGOLO UGUALE AD 
a
POSSIAMO CALCOLARE IL SENO DI OGNI ANGOLO ,
CALCOLANDO IL RAPPORTO TRA
IL CATETO OPPOSTO ALL’ANGOLO (a) E L’IPOTENUSA
(c)
DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO
c
CHE HA UN ANGOLO UGUALE AD 
E COSTRUIRE COSÌ UNA TABELLA
DEI SENI DI OGNI ANGOLO
a
POSSIAMO CALCOLARE IL SENO DI OGNI ANGOLO ,
CALCOLANDO IL RAPPORTO TRA
IL CATETO OPPOSTO ALL’ANGOLO (a) E L’IPOTENUSA
(c)
DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO
c
CHE HA UN ANGOLO UGUALE AD 
E COSTRUIRE COSÌ UNA TABELLA
DEI SENI DI OGNI ANGOLO
VEDIAMO ORA IL SENO DI ALCUNI
ANGOLI PARTICOLARI
a

PARTIAMO DALL’ANGOLO
c

a
=0
PARTIAMO DALL’ANGOLO
c
=0

PARTIAMO DALL’ANGOLO
=0
IN QUESTO CASO
ANCHE IL CATETO OPPOSTO AD  è UGUALE A ZERO
c

PARTIAMO DALL’ANGOLO
=0
IN QUESTO CASO
ANCHE IL CATETO OPPOSTO AD  è UGUALE A ZERO
c
a

PARTIAMO DALL’ANGOLO
=0
IN QUESTO CASO
ANCHE IL CATETO OPPOSTO AD  è UGUALE A ZERO
a
0
sen  = c = c = 0
PER CUI:
c
a

PARTIAMO DALL’ANGOLO
=0
IN QUESTO CASO
ANCHE IL CATETO OPPOSTO AD  è UGUALE A ZERO
sen  = 0
PER CUI:
c

ALL’AUMENTARE DELL’ANGOLO ,
AUMENTA ANCHE IL RAPPORTO a/c
E QUINDI ANCHE IL SENO DELL’ANGOLO
c

sen  = 0
ALL’AUMENTARE DELL’ANGOLO ,
AUMENTA ANCHE IL RAPPORTO a/c
E QUINDI ANCHE IL SENO DELL’ANGOLO
c

a
sen  = 0
ALL’AUMENTARE DELL’ANGOLO ,
AUMENTA ANCHE IL RAPPORTO a/c
E QUINDI ANCHE IL SENO DELL’ANGOLO
c

a
sen  = 0
ALL’AUMENTARE DELL’ANGOLO ,
AUMENTA ANCHE IL RAPPORTO a/c
E QUINDI ANCHE IL SENO DELL’ANGOLO
c
a

sen  = 0
ALL’AUMENTARE DELL’ANGOLO ,
AUMENTA ANCHE IL RAPPORTO a/c
E QUINDI ANCHE IL SENO DELL’ANGOLO
c

a
sen  = 0
QUANDO L’ANGOLO  È DI 90 GRADI
a È UGUALE A c
c

a
sen  = 0
QUANDO L’ANGOLO  È DI 90 GRADI
a È UGUALE A c
ca

sen  = 0
QUANDO L’ANGOLO  È DI 90 GRADI
a È UGUALE A c
E QUINDI:
a
c
sen  = c = c = 1
ca

sen  = 0
QUANDO L’ANGOLO  È DI 90 GRADI
a È UGUALE A c
E QUINDI:
ca

sen  = 0
sen  = 1
POSSIAMO RAPPRESENTARE IL SENO DI UN ANGOLO
COSTRUENDO UN GRAFICO
DI
sen  IN FUNZIONE DELL’ANGOLO a
Disegnamo un cerchio di raggio r=1
Disegnamo un cerchio di raggio r=1
r=1
Disegnamo un cerchio di raggio r=1
Se disegnamo questa perpendicolare
r=1
Disegnamo un cerchio di raggio r=1
Se disegnamo questa perpendicolare
r=1
Disegnamo un cerchio di raggio r=1
Se disegnamo questa perpendicolare, il seno di  coincide con a:
r=1

a
Disegnamo un cerchio di raggio r=1
Se disegnamo questa perpendicolare, il seno di  coincide con a:
r=1

a
sen  = = a
1
a
Tracciamo allora il grafico
Tracciamo allora il grafico

Tracciamo allora il grafico
sen 

Tracciamo allora il grafico
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
Procedendo in modo analogo si ottiene:
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
Procedendo in modo analogo si ottiene:
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
Procedendo in modo analogo si ottiene:
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
Procedendo in modo analogo si ottiene:
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
Procedendo in modo analogo si ottiene:
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
Procedendo in modo analogo si ottiene:
+1
0
-1
90
180
270
360

Tracciamo allora il grafico
sen 
Come si vede, il valore del seno di un
angolo non può mai essere maggiore di 1
né minore di -1
+1
0
-1
90
180
270
360

sen 
Vediamo alcuni casi
particolarmente interessanti
+1
0
-1
90
180
270
360

sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

sen 0 0
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

sen 0 0
sen 
sen 90 1
+1
0
-1
90
180
270
360

sen 0 0
sen 
sen 90 1
sen 180 0
+1
0
-1
90
180
270
360

sen 0 0
sen 
sen 90 1
sen 180 0
+1
sen 270 -1
0
-1
90
180
270
360

sen 0 0
sen 
sen 90 1
sen 180 0
+1
sen 270 -1
sen 360 0
0
-1
90
180
270
360

sen (180 -sen 
sen 
+1
0
90
180
-1

270
360

sen (180 -sen 
sen 
+1
0
90
180
-1

270
360

sen (180 -sen 
sen 
+1
sen 
0
90
180
-1

270
360

sen (180 -sen 
sen 
+1
sen 
0
90
180
270
-1


360

sen (180 -sen 
sen 
+1
sen 
0
90
180
270
-1


360

sen (180 + sen 
sen 
+1
0
-1
90
180
270
360

sen (180 + sen 
sen 
+1
0
90
-1

180
270
360

sen (180 + sen 
sen 
+1
0
90
-1

180
270
360

sen (180 + sen 
sen 
+1
sen 
0
90
-1

180
270
360

sen (180 + sen 
sen 
+1
sen 
0
90
-1

180
270
360

sen (180 + sen 
sen 
+1
sen 
0
90
-1

180
270
360

sen (180 + sen 
sen 
+1
sen 
0
90
-1

180
270
360

sen (180 + sen 
sen 
+1
sen 
0
90
180
270
360

-1


IL
COSENO DI UN ANGOLO
ANALOGAMENTE A QUANTO FATTO PER LA FUNZIONE
sen, DEFINIAMO UN’ALTRA FUNZIONE, CHE
CHIAMIAMO: COSENO DELL’ANGOLO 
B”
c”
c’
B’
B
c
A
b

C’
C
b’
C”
b”
b = b’ = b” = cos 
c
c’ c”
Consideriamo nuovamente il cerchio di raggio r=1
È chiaro che questa volta è il segmento b, che coincide con il
coseno dell’angolo
r=1

b
b
cos  = = b
1
Prova a costruire il grafico della funzione cos ,
analogamente a quanto abbiamo fatto per sen  e scopri le
differenze e le analogie fra queste due funzioni
trigonometriche
cos 
+1
r=1

b
0
-1
cos  = b
90
180
270
360

Prova a costruire il grafico della funzione cos ,
analogamente a quanto abbiamo fatto per sen  e scopri le
differenze e le analogie fra queste due funzioni
trigonometriche
cos 
+1
r=1

b
0
90
180
270
360

-1
cos  = b
Quando avrai finito, torna qui per verificare le tue conclusioni
Prova a costruire il grafico della funzione cos ,
analogamente a quanto abbiamo fatto per sen  e scopri le
sen  fra queste due funzioni
differenze e le analogie
trigonometriche
+1
r=1

b
VERIFICA
0
90
180
270
360

-1
cos  = b
Quando avrai finito, torna qui per verificare le tue conclusioni
cos 
+1

b=r=1
0
-1
cos  = b
90
180
270
360

cos 
+1

b
0
-1
cos  = b
90
180
270
360

cos 
+1

b
0
-1
cos  = b
90
180
270
360

cos 
+1

b
0
-1
cos  = b
90
180
270
360

cos 
+1

b=0
0
-1
cos  = b
90
180
270
360

cos 
+1

-b
0
-1
cos  = b
90
180
270
360

cos 
+1

-b
0
-1
cos  = b
90
180
270
360

cos 
+1

-b
0
-1
cos  = b
90
180
270
360

cos 
+1

0
b=-r= -1
-1
cos  = b
90
180
270
360

cos 
+1

b
0
-1
cos  = b
90
180
270
360

cos 
+1

b
0
-1
cos  = b
90
180
270
360

cos 0 1
cos 
+1

b
0
-1
cos  = b
90
180
270
360

cos 0 1
cos 
cos 90 0
+1

b
0
-1
cos  = b
90
180
270
360

cos 0 1
cos 
cos 90 0
cos 180 -1
+1

b
0
-1
cos  = b
90
180
270
360

cos 0 1
cos 
cos 90 0
cos 180 -1
+1

b
0
-1
cos  = b
cos 270 0
90
180
270
360

cos 0 1
cos 
cos 90 0
cos 180 -1
+1
cos 360 +1

b
0
-1
cos  = b
90
180
270
360

cos 0 1
cos 
cos 90 0
cos 180 -1
+1
cos 360 +1

b
0
-1
cos  = b
cos 270 0
90
180
270
360

cos (180 -- (cos 
cos 
+1

b
0
-1
cos  = b
90
180
270
360

cos (180 -- (cos 
cos 
+1

b
0
-1
cos  = b
90
180
270
360

cos (180 -- (cos 
cos 
+1

b
0
-1
cos  = b
90
180
270
360

cos (180 +- (cos 
cos 
+1

b
0
-1
cos  = b
90
180
270
360

RIEPILOGANDO
c

a
b
sen  a/c
cos  b/c
sen 0 0
cos 0 1
sen 90 1
cos 90 0
sen 180 0
cos 180 -1
sen 270 -1
cos 270 0
sen (180 -sen 
cos (180 -- (cos 
sen (180 + sen 
cos (180 +- (cos 
fine