LE SUCCESSIONI
• Si consideri la seguente sequenza di numeri:
• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,…
• detti di Fibonacci. Essa rappresenta il numero di coppie di
conigli presenti nei primi 12 mesi in un allevamento!
• Si consideri la sequenza ottenuta dividendo ogni elemento
per il precedente:
3 5 8 13
1, 2, , , ,
,...
2 3 5 8
•
• ovvero: 1, 2, 1.5, 1., 1.6, 1.625,...
1 5
• I valori ottenuti si avvicinano alla sezione aurea:
 1.61803 ...
2
1
LE SUCCESSIONI
• Le successioni (introdotte prima delle funzioni) sono
particolari funzioni aventi come dominio l’insieme N dei
numeri naturali e come codominio un sottoinsieme B
proprio dell’insieme dei numeri reali.
• Le successioni vengono indicate : n  a n
• Ovvero come : a1 , a 2 , a3 ,..., a n ,...
• Il grafico di una successione si trova nel primo o nel quarto
quadrante.
2
LE SUCCESSIONI
•
Esempio 1.
1
• Si consideri la successione: n  a n 
n positivi, si
• al crescere di n la frazione, che assume valori
avvicina sempre di più al numero 0.
•
Esempio 2
n
n

a

10
• Si consideri la successione:
n
• Al crescere di n la potenza assume valori sempre più
grandi
•
Esempio 3
n
n

a

(
1
)
• Si consideri la successione :
n
• Al variare di n i valori sono alternativamente +1 e –1.
3
LE SUCCESSIONI
• I tre esempi precedenti esibiscono i tre diversi
comportamenti di una successione:
• Convergente, divergente ed oscillante.
• Studiare una successione equivale ad individuarne il
comportamento al crescere di n verso
• ovvero a calcolare il :

lim a n
n 
4
LE SUCCESSIONI
• Si consideri un investimento che alla fine di ogni unità di
tempo (scelta) garantisce un premio costante pari ad una
percentuale fissa (i= tasso di interesse) della somma
inizialmente investita (C0 ). Il capitale dopo n periodi è
espresso da:
C n  C 0 (1  n  i)
• Se invece il premio è calcolato sul capitale disponibile
all’inizio di ogni unità di tempo allora il capitale dopo n
periodi è dato dal termine n-esimo della successione:
n  a n  C n  C 0 (1  i) n
5
LE SUCCESSIONI
• Proprietà dei limiti:
lim a n  bn   lim a n  lim bn
• A)
n
n
n
• B)
• C)
• D)
lim a n  bn   lim a n  lim bn
n
n
 an
lim 
n bn
lim a n
n 
bn
n
lim a
 n n


lim bn

n
 lim a n 
lim bn
n 
n 
6
LE SUCCESSIONI
• Si consideri la successione il cui termine generico è
rappresentato da un polinomio di grado h in n:
n  a n   0 n h  1n h1  ...   h
• Esempio 4:
n  a n  2n 2  5n  1
• Raccogliendo la potenza di grado più elevato in n si ha:
lim a n 
n
lim n 2 (2 
n 
5 1

)
2
n n
   (2  0  0)  
• In generale si ha: lim a n  sign( 0 )
n
7
LE SUCCESSIONI
• Un successione nella quale il termine generico è dato dal
rapporto di due polinomi assume l’espressione:
n  an 
• A)
• B)
• C)
h>k
h=k
h<k
 0 n h  1n h1  ...   h
 0 n k  1n k 1  ...   k
n  an 
n4  2
 n 2  n 1
n  an 
n  an 
n2  2
 n 2  n 1
n2  2
 n 4  n 1
8
LE SUCCESSIONI
• In tutti e tre i casi si raccoglie sia a numeratore sia a
denominatore la potenza di grado più elevato:
• Nel caso A) si ha
2
2
n 4  (1 
an 
4
)
n 2  (1 
4
)
n
n

1 1
1 1
n 2  (1  
) 1 
n n2
n n2
• Il numeratore diverge a e quindi la successione diverge a
•  mentre il denominatore converge a –1 quindi la
successione diverge a 
9
LE SUCCESSIONI
• Nel secondo caso procedendo nello stesso modo si ottiene:
an 
n 2  (1 
2
1
)
2
n2
n

1
1
1 1
n 2  (1  
) 1 
n n2
n n2
1
• Per cui
2
lim
n 
2
n2
1 1
1 
n n2

1
 1
1
• e quindi la successione è convergente a - 1.
10
LE SUCCESSIONI
• Nel caso C) si ha:
n 2  (1 
an 
2
)
1
2
2
n2
n

1
1
1
1
n 4  (1 

) n 2  (1 

)
3
4
3
4
n
n
n
n
• Il numeratore tende ad un numero finito mentre il
denominatore tende all’infinito (per la precisione a ),
quindi si ottiene:
n2  2
lim
•
=0
n   n 4  n  1
•
La successione è convergente.
11
LE SUCCESSIONI
• Concludendo:
• A) se h>k la successione è divergente a
0
sign( )
0
• B)
se h=k la successione è convergente a
• C)
se h<k la successione è convergente a 0.
0
0
12
LE SUCCESSIONI
• Per quanto riguarda la successione il cui termine generico
ha la forma:
  0 n h  1n h1  ...   h
n  an  
  n k   n k 1  ...  
1
k
 0




 0n p  1n p 1 ... p
• si presenta una situazione difficile solo se la la base della
potenza tende ad 1 e l’esponente tende all’ 
, perché
si genera la forma indeterminata 1
13
LE SUCCESSIONI
• Si consideri la successione :
 1
n  a n  1  
 n
n

• Essa da luogo alla forma indeterminata 1
• ma si può dimostrare che tale successione è convergente al
numero di Eulero e=2,718… che è la base dei logaritmi
neperiani (non naturali!) lnx.
14
LE SUCCESSIONI
• Si consideri ora la successione:
bn

1 

n  c n  1 

 an 
• Dove le due successioni n  a n e n  bn
sono
divergenti. Il calcolo del limite della successione porta alla
forma indeterminata 1 . In questo caso si opera così:
bn
•
bn

1
1 
 a
n

a 
 n an 
1  1



 a

n


a
 n  an
 
 
 
15
LE SUCCESSIONI
• Calcolando il limite si ottiene:

bn  n 
an


bn
an  a lim 1 

n 


1 
1
1

lim 1    lim 1    
n  
a 
n 
a  

n


e
n





 n
a


 n  n
a

lim
bn
bn
lim
n  an
16
LE SUCCESSIONI
• Esempio 5.
• Si consideri la successione

1 

n  a n  1 
2
 2n  3 
n2  n
• Il calcolo del limite porta a:
lim a n
n 
e
n2  n
lim
n  2n 2 3
1
 e2
 e
17
LE SUCCESSIONI
• La successione geometrica:
n  a n  aq n1
• Se q  1 la successione è oscillante e lim a n non esiste.
n
• Se 1  q  1 la successione è convergente e lim a n  0
n
• Se q=1
la successione è costante e
lim a n  a
n
• Se q  1 la successione è divergente e lim a n  sign(a)
n
18
LE SUCCESSIONI
• Esempio 6.
1
n  a n   15   
9
n
n  an  5
n  a n  (2) n
n
lim a n  0
n
lim a n  
n
lim a n  ???
n
19
LE SERIE
• Si consideri una successione: n  a
n
• Si chiama serie numerica la successione
• I cui elementi sono così definiti:
•
n  sn
s1  a1
s 2  a1  a
2
…
s n  a1  a ...  a
2
n
…
•
• Una serie (essendo una successione) può essere
convergente, divergente o oscillante.
20
LE SERIE
• Esempio 7
1
n

a

• La successione:
n
n
• genera la serie “armonica”:
n  sn
1 1
1
 1    ... 
2 3
n
• Si noti che la successione generatrice è convergente a 0.
21
LE SERIE
• Esempio 8
• La successione
• genera la serie:
n  a n  (1) n
s1  1
s2  0
s3  1
......
22
LE SERIE
•
•
•
•
Esempio 9
1
n

a

La successione
n
n  (n  1)
genera la serie di “Mengoli”.
Si osservi che :
an 
1
1
1
 
n n 1
n  (n  1)
• Per cui
1 1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
1
sn  

 ... 
 1       ...  
 1
2 2 3 3 4
n  (n  1)
2 2 3 3 4
n n 1
n 1
• Si osservi che la successione generatrice converge a 0.
23
LE SERIE
• La prima serie (quella armonica) diverge (cfr esempio
5.22).
• La seconda serie è oscillante (il lim s n
non esiste)
n 
• La terza serie è convergente (il lim s n  1
n 
)

 an
n 1
• Il calcolo di lim s n genera a1  a 2 ...  a n  ... 
n 
che nulla dice circa il comportamento della serie. Il calcolo
del limite è invece efficace (vedi Esempio 9) se si riesce ad
esprimere s n come funzione di n.
24
LE SERIE
• La successione geometrica: n  a n  aq n1
• Genera la serie geometrica
2
n 1

a

aq

aq

...

aq
n  sn
• La ridotta n-esima (per valori della ragione diversi da 1)
può essere espressa da:
1 qn
sn  a 
1 q
• Per cui il comportamento della serie può essere
determinato attraverso il calcolo del limite.
25
LE SERIE
• Il comportamento della serie geometrica è sintetizzato
nella seguente tabella:
ragione
carattere
q  1
1  q  1
oscillante
convergente
Non esiste
q 1
divergente
sign(a)
lim s n
n 
1
a
1 q
26
LE SERIE
• Criterio del confronto:
Date due successioni:
n  an
n  bn
0  a n  bn
con
allora si può affermare che:
• Se la serie maggiorante converge allora anche la
minorante converge.
• Se la serie minorante diverge anche la maggiorante
diverge.
27
LE SERIE
• Criterio del rapporto
• Se lim
n 
a n1
 L 1
an
allora la serie converge.
• Se lim an 1  L  1 allora la serie diverge.
n 
an
an 1
• Se nlim
 L  1 allora il criterio è inefficace.
 
an
28
LE SERIE
• Esempio 10
3
n
n  an 
n!
• Applicando il criterio del rapporto si ottiene
a n 1
(n  1) 3
lim
 0  L 1
 lim
4
3
n  a n
n  n  n
• La serie converge.
29
LE SERIE
• Esempio 11
3n
n  an 
n
• Applicando il criterio del rapporto si ottiene
lim
n 
a n 1
 lim 3  n  3  L  1
an
n  n  1
• La serie diverge.
30
LE SERIE
• Esempio 12
1
n  an 
n
• Applicando il criterio del rapporto si ottiene
n 1
lim a n 1  lim
1 L
n


n  a
n
n
• Il criterio è inefficace.
31
LE SERIE
• Criterio della radice.
• Se lim
n
n 
a n  L  1 allora la serie è convergente.
n a  L  1 allora la serie è divergente.
• Se nlim
n
 
• Se nlim
 
n
an  L  1 allora il criterio è inefficace.
32
LE SERIE
•Esempio 13
•Il criterio della radice applicato alla serie
•Inefficace. Infatti si ha
n
lim
n 
 n 
n 
  lim
 n  1
n 

n
 n 
 n 1 è

n 1 
n
1 L
n 1
Nel caso della serie generata dalla successione: n  a n   1 
 ln 3n 
L’applicazione del criterio porta a concludere che la serie è
n
 1 
1



lim
convergente, infatti: lim n 

0

n 
 ln 3n 
n    ln 3n 
33
n
LE SERIE
• Si consideri la successione:
n  an  1
p
n
• essa genera la serie armonica generalizzata, detta anche pserie.
n  sn  1 
1
2
p

1
3
p
 ... 
1
np
• La serie armonica generalizzata è convergente se p  1 .
• La serie armonica generalizzata è divergente se p  1.
34
LE SERIE
• È opportuno sottolineare che ogni qual volta l’applicazione
di un criterio conduce alla conclusione che la serie
converge, NULLA SI PUO’ DIRE SUL VALORE AL
QUALE LA SERIE CONVERGE.
• Quello che si può fare è individuare una stima del valore
della somma della serie, eseguendo la somma algebrica di
un numero “grande” di addendi!
• Si ricordi ancora che la convergenza a 0 della successione
generatrice è SOLO UNA CONDIZIONE NECESSARIA
per la convergenza della serie!
35
LE SERIE
• Serie a termini di segno variabile
• Si consideri la serie numerica a termini di segno alterno:
n  sn
•
• generata dalla successione:
n  0
n  an  (1) n  n
• La serie è convergente (criterio di Leibniz) se:
 n   n1
n
lim  n  0
n 
36
LE SERIE
• Esempio 14
• Si consederi la serie:

 (1) n1 
n 1
1
n
• Soddisfa il criterio di Leibniz ed è quindi convergente.
37
LE SERIE
• Una serie numerica è assolutamente convergente se la
serie dei valori assoluti è convergente.
• L’assoluta convergente è una proprietà più forte della
convergenza. La serie dell’esempio 14 è convergente
(soddisfa il criterio di Leibniz) ma non è assolutamente
convergente perché la serie dei valori assoluti altro non è
che la serie armonica che è divergente.
38
LE SERIE
39