Lobačevskij e la geometria
non euclidea
Renato Betti
Politecnico di Milano
Pristem & Polymath
scuola di Idro
Settembre 2008
Nikolaj Ivanovič Lobačevskij
(1792-1856)
L’angolo di parallelismo
P
r
I postulati euclidei
I. Si possa condurre una retta da un punto qualunque ad
un altro punto qualunque
A
B
II. Si possa estendere indefinitamente una retta finita
in una direzione
III. Si possa tracciare una circonferenza con centro
qualsiasi e raggio qualsiasi
IV. Tutti gli angoli retti siano uguali
fra di loro
V postulato euclideo: Se una retta, incontrandone altre
due nello stesso piano, forma angoli interni da una stessa
parte minori di due retti, le due rette, prolungate
all’infinito, si incontrano da quella parte in cui gli angoli
interni sono minori di due retti.
α
α+β < 2π
β
Equivalente (formulazione di Playfair): In un piano, dati
una retta ed un punto fuori di essa, esiste un’unica retta
passante per il punto e parallela alla ratta data.
La parallela euclidea
P
r
Proprietà equivalenti al postulato delle
parallele
B
d
A
C
A+B+C=180
…la definizione e le proprietà della retta e quella
delle parallele sono lo scoglio e per così dire lo
scandalo degli elementi della geometria.
d’Alembert, 1759
I modelli non euclidei
Eugenio Beltrami (1835-1900)
1868
I modelli non euclidei
La pseudosfera
I modelli non euclidei
Bernhard Riemann (1826-1866)
La geometria della sfera
P
Π(x)
r
Teorema: L’angolo di parallelismo П(x) è una
funzione monotona decrescente di x. Inoltre, per ogni
0 < α < π/2 esiste un valore di x tale che Π(x)=α.
Teorema: Due rette parallele si avvicinano indefinitamente dal lato del parallelismo e si allontanano indefinitamente dall’altro lato. Due rette convergenti si allontanano indefinitamente da entrambi i lati a partire dal
loro punto comune. Due rette divergenti hanno un’unica
perpendicolare comune, sulla quale si misura la loro
“minima distanza”.
Dipendenza fra angoli e segmenti: e il “principio di
omogeneità”?
Misura assoluta dei segmenti ?
I fasci di rette…
proprio
improprio
ideale
…e le traiettorie ortogonali
cicli
oricicli
ipercicli
Teorema: Per tre punti non allineati passa sempre un
ciclo, un oriciclo o un ramo di iperciclo.
Trigonometria del piano iperbolico
Teorema: la geometria intrinseca dell’orisfera
(ottenuta per rotazione di un oriciclo attorno ad un
suo raggio) è euclidea.
П(α)
П(β)
p = r · cos Π(β)
q = r · sen Π(β)
П(α)
П(β)
sen П(c) = sen П(a)· sen П(b)
sen П(β) = cos П(α)· sen П(a)
sen П(α) = cos П(β)· sen П(b)
cos П(b) = cos П(c)· cos П(α)
cos П(a) = cos П(c)· cos П(β)
sen a = sen c·sen A
sen b = sen c·sen B
cos A = cos a·sen B
cos B = cos b·sen A
cos c = cos a·cos b
… la trigonometria sferica non dipende dal fatto che in
un triangolo piano la somma degli angoli interni sia
uguale a due angoli retti oppure no.
A
c
b
C
a
B
sen A·tg Π(a) = sen B·tg Π(b)
sen Π(a) · ( cos A·cos Π(b)· cos Π(c)) + sen Π(b)· sen Π(c) = sen Π(a)
cos Π(a) · ( ctg A·sen C· sen Π(b) + cos C) = cos Π(b)
sen Π(a) · ( cos A + cos B · cos C) = sen B·sen C
L’equazione fondamentale della
geometria iperbolica
tg ½ Π(x) = e-x
2
x
x
x
x
x
x
 )x ( nes
e e
e  e  )x ( soc
e e
2
x
e
x
e
 )x ( g t
2
sen ( xi) 
xi
 xi
xi
 xi
xi
 xi
e e
e
e
cos  ( xi) 
e e
tg ( xi) 
2
e e
xi
 xi
1

cos x
 i  tgx
i

senx
e x  e x
senhx 
2
e e
cosh x 
2
x
x
e x  e x
tghx  x  x
e e
sen A·tg Π(a) = sen B·tg Π(b)
sen Π(a) · ( cos A·cos Π(b)· cos Π(c) + sen Π(b)· sen Π(c)) = sen Π(a)
cos Π(a) · ( ctg A·sen C· sen Π(b) + cos C) = cos Π(b)
sen Π(a) · ( cos A + cos B · cos C) = sen B·sen C
sen A·senh b = sen B·senh a
(teorema sferico dei seni)
cosh a = cosh b·cosh c + senh b·senh c·cos A
(teorema sferico dei coseni)
ctg A·sen C + cos C·cosh b = senh b·ctgh a
cos A = cosh a·sen B·sen C – cos B·cos C
(duale del teorema dei coseni)
Supponendo ora che una qualche contraddizione
ci obblighi a rifiutare i principi che abbiamo
assunto in questa nuova geometria, questa
contraddizione può nascondersi solo nelle
equazioni della trigonometria piana. Osserviamo
tuttavia che queste equazioni si mutano in quelle
della trigonometria sferica non appena ai lati a, b,
c sostituiamo ai, bi, ci.
Approssimazione euclidea
se i lati del triangolo a,b,c sono molto piccoli, è
possibile considerare i valori approssimati
1
tg ( x) 
x
2
sen ( x) 
2  x2
2x
cos  ( x) 
2  x2
b·sen A = a·sen B
a2 = b2+c2–2bc·cos A
a·sen (A+C) = b·sen A
cos A+cos (B+C) = 0
A+B+C=π
Le equazioni [della trigonometria piana] sono già da
sole sufficienti per considerare come possibili le
proprietà della geometria immaginaria. Tuttavia, non
disponiamo di nessun metodo diverso dalle osservazioni
astronomiche per giudicare della precisione fornita dai
calcoli della geometria ordinaria….
…Questa precisione si estende molto, ad esempio, per i
triangoli i cui lati sono accessibili alle nostre misure, la
somma degli angoli non differisce da due angoli retti
neppure per una frazione di secondo.