Limiti di funzione
DEFINIZIONI TOPOLOGICHE
1. Si chiama intorno sinistro di un numero reale xo un intervallo del tipo {x/xoh<x<xo} con h positivo. Un intorno sinistro di xo si indica con U-(xo)
xo
xo-h
2.
Si chiama intorno destro di un numero reale xo un intervallo del tipo
{x/xo<x<xo+h} con h positivo. Un intorno destro di xo si indica con U+(xo)
xo
xo+h
Possiamo ora dare le definizioni di limite destro, sinistro, dall’alto, dal
basso per le funzioni da R in R
lim x f ( x)  A
lim xxo f ( x)  A
lim x  x  f ( x)  A
lim x f ( x)  A
lim xxo f ( x)  A
lim x  x  f ( x)  A
lim x f ( x)  A
lim x x  f ( x)  A
lim x  x  f ( x)  A
lim x f ( x)  A
lim x x  f ( x)  A
lim x  x  f ( x)  A
o
o
o
o
o
o
lim x x  f ( x)  
lim x x  f ( x)  
lim x x  f ( x)  
lim x x  f ( x)  
o
o
o
o
Limiti per x che tende a + di f(x) uguale ad AOvvero limite per x che tende a + di f(x) uguale ad A dal basso
lim x f ( x)  A
V - (A)
A
A-
U ()
H
Definizione metrica (analoga a quelle delle successioni)
  0
H ( ) / x  H
A    f ( x)  A
Definizione topologica
U (  ) / x  U (  )
V - (A)
f ( x)  V - ( A)
Definizione mista
  0
U ( ) / x  U ( )
A    f ( x)  A
Limiti per x che tende a - di f(x) uguale a A+
Ovvero limite per x che tende a - di f(x) uguale ad A dall’alto
lim x f ( x)  A
V  ( A)
A+
A
U ()
H
Definizione metrica
  0
 H ( K ) / x  H
A  f ( x)  A  
Definizione topologica
V  ( A)
U (  ) / x  U ( )
f ( x) V  ( A)
Definizione mista
U (  ) / x  U (  )
  0
A  f ( x)  A  
Limiti per x che tende a xo- di f(x) uguale a +
Ovvero limite per x che tende a xo da sinistra di f(x) uguale a +
lim x x  f ( x)  
o
V ()
K
xo- xo
U- ( xo )
Definizione metrica (analoga a quelle delle successioni)
  ( K ) / x o    x  x o f ( x )  k
K  0
Definizione topologica
V ( )
 U- ( x o ) /  x  U- ( xo )
Definizione mista
K  0
U- ( xo ) / x  U- ( xo )
f ( x) V ()
f ( x)  k
Limiti per x che tende a xo+ di f(x) uguale a -
Ovvero limite per x che tende a xo da destra di f(x) uguale a +
lim x x  f ( x)  
o

U
( xo )
xo xo+
-K
V ()
Definizione metrica (analoga a quelle delle successioni)
K  0
 ( K ) / xo    x  xo
f ( x)  k
Definizione topologica
 U  ( xo ) / x  U  ( xo )
V ()
f ( x) V ()
Definizione mista
U  ( xo ) / x  U  ( xo )
K  0
f ( x)  k
Limiti per x che tende a xo- di f(x) uguale a AOvvero limite per x che tende a xo da sinistra di f(x) uguale ad A dall’alto
lim x  x  f ( x)  A
o
A
V - (A)
A-
U- ( xo )
xo-
xo
Definizione metrica (analoga a quelle delle successioni)
A    f ( x)  A
  0
 ( K ) / xo    x  xo
Definizione topologica
V - ( A)
U- ( xo ) / x  U- ( xo )
Definizione mista
U- ( xo ) / x  U- ( xo )
  0
f ( x)  V - ( A)
A    f ( x)  A
Limiti per x che tende a xo- di f(x) uguale a A
Ovvero limite per x che tende a xo da sinistra di f(x) uguale ad A
V (A)
lim x x  f ( x)  A
o
A
A-
-
U ( xo )
xo-
xo
Definizione metrica (analoga a quelle delle successioni)
  0
A    f ( x)  A  
 ( K ) / xo    x  xo
Definizione topologica
V (A)
U- ( xo ) / x  U- ( xo )
Definizione mista
U- ( xo ) / x  U- ( xo )
  0
f ( x)  V ( A)
A    f ( x)  A  