ELEMENTI DI DINAMICA
DELLE STRUTTURE
analisi dinamica strutturale: determinazione degli
spostamenti, delle tensioni e delle deformazioni in una
struttura soggetta ad un carico dinamico
dinamico: variabile nel tempo
carico dinamico: carico la cui intensità, direzione o posizione
varia nel tempo.
risposta strutturale ad un carico dinamico (deformazioni e
tensioni risultanti): varia nel tempo - perciò è dinamica.
Caratteristiche essenziali di un problema dinamico
carico applicato staticamente: le sollecitazioni e la deformata
dipendono direttamente dal carico applicato e possono essere
valutate dalle condizioni di equilibrio di forze.
carico applicato dinamicamente:
spostamenti variabili nel tempo  accelerazioni  forze d'inerzia
P
P(t)
forze d'inerzia
Le sollecitazioni interne devono equilibrare il carico esterno e le
forze d'inerzia
forze d'inerzia: caratteristica più importante che distingue il
problema dinamico.
forze d'inerzia significative: occorre tener conto del carattere
dinamico del problema.
moto lento  forze d'inerzia trascurabili: analisi della risposta con
i metodi della statica.
Nel sistema dinamico, spostamenti strutturali  forze d'inerzia 
spostamenti: problema in termini di equazioni differenziali.
conoscere la risposta dinamica di una struttura significa conoscere
in ogni istante del moto la posizione nello spazio di ogni massa che
compone la struttura
GRADI DI LIBERTÀ DINAMICI della struttura "g.d.l."
(degrees of freedom "DOF"): numero di componenti di
spostamento indipendenti che devono essere considerate per
determinare la posizione nello spazio di tutte le masse del sistema
in qualsiasi istante del suo movimento
i sistemi reali sono caratterizzati da massa distribuita nel volume:
quindi hanno un numero infinito di gradi di libertà
di solito la struttura reale può essere schematizzata con una
struttura più semplice, modello, che ne descriva in modo
sufficientemente accurato la risposta dinamica a fronte di un
ragionevole onere di calcolo
M
h
M
m
m<<M
h
m
mi
sistema a masse concentrate: si considerano tutte le masse
concentrate in un numero finito di punti; il resto della struttura è
privo di massa e conserva le caratteristiche di deformabilità.
P(t)
m1
m2
m3
f
f
f
I1
I2
I3
Le forze d'inerzia si sviluppano solo in questi punti: è sufficiente
determinare spostamenti ed accelerazioni di questi punti per
descrivere compiutamente il moto di tutto il sistema.
ANALISI SISMICA DI STRUTTURE
CON COMPORTAMENTO
ELASTICO - LINEARE
SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTA' SDOF
posizione di
equilibrio
statico x(t)=0
k
m
x(t)
F(t)
c
massa m: rappresenta le caratteristiche inerziali e di massa
della struttura
molla k: rappresenta la forza elastica di richiamo e l'energia
potenziale della struttura.
smorzatore c: rappresenta le caratteristiche di attrito e le
perdite di energia della struttura
forza di eccitazione F(t): rappresenta le forze esterne che
agiscono sul sistema nel tempo.
molla k: se si considerano sistemi a comportamento indefinitamente lineareelastico, k è costante, non dipende da x
caratteristiche di smorzamento:
• smorzamento viscoso esterno: causato dall'aria o dall'acqua intorno alla
struttura. E' molto piccolo
• smorzamento viscoso interno: associato alla viscosità del materiale. E'
proporzionale alla velocità
• smorzamento per attrito: si verifica per l'attrito fra i vari elementi di una
struttura nei punti di connessione. E' costante, ma per spostamenti piccoli
viene trattato come smorzamento viscoso; per spostamenti grandi viene
inglobato nello smorzamento isteretico
• smorzamento per isteresi: ha luogo quando la struttura è sottoposta a
carico ciclico in campo non elastico
nei sistemi a comportamento indefinitamente lineare, si considera solo lo
smorzamento di tipo viscoso (proporzionale alla velocità)
m
x
k=EA/L
L
L
k=48 EJ/L
3
m
x
x
x
m
m
3
k=3EJ/h
h
h
k=2*12EJ/h
3
VIBRAZIONI LIBERE - SISTEMA NON SMORZATO
Schema di equilibrio:
posizione di
equilibrio
statico x(t)=0
k
m
kx
mg
..
mx
N
x(t)
sistema spostato dalla posizione
di equilibrio statico e lasciato libero
equilibrio dinamico direzione x:
mx  kx  0
Risposta del sistema: moto armonico
x02
C x  2

2
0
k

m
x  C cost  
x0 
tg 
x0
ampiezza
pulsazione naturale
del sistema
T
2

fase
periodo proprio
x(t)
x0
x0
t
T =2 /
VIBRAZIONI LIBERE - SISTEMA SMORZATO
posizione di
equilibrio
statico x(t)=0
k
m
c
equaz. del moto:
x(t)
kx
.
cx
mg
..
mx
N
mxt   cxt   kxt   0
c  ccr
1° caso: sistema con smorzamento critico
2k
ccr  2 km  2m 

x(t)
.
yt   C1  C 2 t e


ccr
t
2 m 
x0
moto non periodico
x0
t
Smorzamento Critico: per un dato sistema (m e k dati) è il
più piccolo valore dello smorzamento per il quale non si
hanno oscillazioni libere.
2° caso: sistema ipersmorzato
c  ccr
L'espressione sotto radice è > 0
Il moto è non periodico come nel 1° caso ma il tempo per
tornare alla posizione neutra è più lungo.
radici dell'equazione caratteristica complesse coniugate:
2
p1 
c
k  c 
i



p2 
2m
m  2m 
soluzione generale del sistema sottosmorzato:
xt   C1e
e
 2cm t
 c
  2 m i

  i
 C1e


 
k c 2
m
2m
 
k c 2
m
2m

t


t

 C2 e
 C2 e
 c
  2 m i


 i

 
k c 2
m
2m
 
k c 2
m
2m

t






t


3° caso: sistema sottosmorzato
equazione del moto:
xt   e
c  ccr
 c 

t
 2m 
A
cos Dt  B sin Dt 
 

parte reale
A = C1  C2
D 
k  c 


m  2m 
D   1 
2
parte immaginari a
B= i(C1 C2 )
2
frequenza smorzata del sistema
c
rapporto di smorzamento

 1 del sistema
ccr
Risposta di un sistema libero sottosmorzato
xt   Cet cosDt   
x0  x0
condizioni iniziali:
C
2



x

x

x2  0 0
0
x 0  x0
x0  x0 
tan  
D x0
2D
x(t)
Ce -  t
x0
t
T D =2 /D
moto oscillatorio ma non periodico: l'ampiezza non è costante,
ma le oscillazioni si verificano ad intervalli uguali di tempo:
TD 
2
D

2
 1  2
Per le strutture reali
perciò al max
periodo
smorzato
c
0. 02 
 0. 20
ccr
circa
 D  0. 98
In pratica la frequenza naturale può essere considerata uguale
alla frequenza naturale non smorzata.
0.02
x(t)
0.05
0.10
0.20
x0
t
TD
L'ampiezza del moto si riduce tanto più rapidamente
quanto maggiore è lo smorzamento
Determinazione sperimentale della frequenza propria
e dello smorzamento:
1 - METODO DELLE OSCILLAZIONI LIBERE
Si provoca una vibrazione libera e si registra il movimento
oscillatorio.
x(t)
Ce -  t
picco 1
x1
picco 2
x2
TD
t
Dal grafico che si ottiene, la distanza fra due picchi fornisce il
periodo proprio, TD , da cui si ricava  D .
La diminuzione dell'ampiezza del moto permette di valutare 
Misurati x1 e x2 (valori di due picchi successivi) si calcola:
x1
  ln
x2
da
decremento logaritmico
xt   Cet cosDt   
x1  Cet1
per t1 e t2=t1+TD
x2  Cet1 TD 
x1
Ce t1
2 2
  ln
 ln  t1 TD   TD  

 2
2
x2
Ce
D
1 
misurato sperimentalmente , si può valutare:


2