0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
2
4
Modulo 2. Un modello algebrico per risolvere problemi: le equazioni.
Unità didattica 1: Le equazioni.
Unità didattica 2: Risoluzione di problemi.
Competenze.
Al 1101
termine
del0100
modulo
0011 0010 1010
0001
1011lo studente sarà in grado di:
•
classificare un’equazione;
•
risolvere equazioni di primo grado e ad esse riconducibili;
•
risolvere problemi mediante equazioni.
Descrittori.
Al. Sa classificare un’equazione.
A2. Sa riconoscere equazioni determinate, indeterminate, impossibili.
B1. Sa applicare i principi di equivalenza.
B2. Sa determinare il dominio di un’equazione.
B3. Sa risolvere un’equazione numerica intera di primo grado.
B4. Sa risolvere un’equazione numerica frazionaria.
B6. Sa risolvere un’equazione di grado superiore al primo applicando la legge
di annullamento del prodotto.
C1. Sa costruire il modello algebrico di un problema.
C2. Sa individuare le soluzioni del modello e del problema.
1
2
4
Un po’ di storia
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
“Riguardo alla risoluzione di un
problema relativo a numeri o
alle relazioni astratte tra
quantità, è necessario solo
tradurre il problema dal
proprio linguaggio al linguaggio
dell’algebra”. Newton
1
Isaac Newton
2
4
Le equazioni di primo grado erano note sia ai matematici greci, sia ai
matematici indiani che, probabilmente, le avevano apprese proprio dai greci e
che crearono un linguaggio sincopato abbastanza avanzato.
0011Prima
0010ancora
1010 1101
0001
0100
1011
dei greci
altre
civiltà
molto
più antiche avevano affrontato la
risoluzione dei problemi che portavano ad equazioni.
Nelle tavolette babilonesi e nei papiri egiziani si trovano infatti numerosi
esempi di queste equazioni con enunciati e soluzioni completamente privi di
Simbolismo algebrico. Ad esempio il papiro di Rhind (1700 a. C. circa che si
trova nel British Museum di Londra), noto anche come papiro di Ahmes (nome
del suo autore), contiene una tavola per esprimere le frazioni con numeratore
2 e denominatore da 5 a 101 come somma di frazioni con numeratore 1 o
frazioni unitarie.
1
Consideriamo il problema 25 in esso riportato:
“Una quantità sommata con la sua metà diventa 16”.
2
4
L’incognita appare esplicitamente per la prima volta in
Diofanto che la chiama “aritmos”, cioè numero incognito,
e lo indica con il simbolo x, probabilmente perché questa
“s” greca è la lettera finale del suo nome.
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Per risolvere equazioni di primo grado in una incognita,
Diofanto raggruppa in un membro tutti i termini
contenenti l’incognita e nell’altro i termini noti, così il
problema è ridotto ad eseguire una divisione o a cercare
un quarto proporzionale.
1
2
4
Anche i matematici greci anteriori a Diofanto sapevano
risolvere equazioni di primo e secondo grado ma
affrontavano questi problemi geometricamente.
Attraverso il commercio e i viaggi, intorno al
1100, gli europei vengono a contatto con gli
arabi e con i bizantini.
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Tra questi europei, Leonardo Pisano (1170 -1250),
detto Fibonacci, visitò l’Algeria per imparare i
procedimenti aritmetici utilizzati dagliArabi.
Tra le sue opere, il “Liber Quadratorum”
presenta una certa analogia con il lavoro di
Diofanto.
1
2
4
Dal problema al modello
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Trova il numero tale che il suo doppio
diminuito di cinque sia uguale a quindici.
Indicando con x il numero si ottiene
2x – 5 = 15
1
2
4
Un modello è una forma di
rappresentazione semplificata della
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
realtà.
2x – 5 = 15
1
È la formalizzazione in linguaggio algebrico del
problema dato.
2
4
Numerose questioni relative all’algebra, alla geometria, alla fisica,
alla chimica, … si traducono in equazioni.
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
“Pensa un numero, aggiungi 5 e moltiplica il risultato per 2.
Che numero hai ottenuto?”
“Ho ottenuto 30”
“Allora il numero che hai pensato è 10”.
1
2
4
Questo semplice giochino che ci è stato proposto tante volte si
risolve mediante un’equazione
2(x + 5) = 30
Si chiama equazione algebrica un’uguaglianza fra due
0011 espressioni
0010 1010 1101
0001 0100 in
1011
algebriche,
una o più variabili, che risulti
verificata solo per particolari valori attribuiti alle variabili
che in essa figurano.
Un’equazione algebrica, in una sola variabile, si dirà di primo
grado se la variabile che in essa figura è di primo grado.
1
2
La variabile x si chiama incognita dell’equazione.
I particolari valori che attribuiti all’incognita soddisfano
l’equazione, si chiamano soluzioni o radici dell’equazione
stessa.
4
In matematica una uguaglianza e‘ un uguale fra due enti.
Esempi possono essere
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 1 + 1 = 2
125 + 250 = 375
a + a + 3a + 2a = 2a + 5a
Regola importante:
se un'uguaglianza e' vera si comporta come una bilancia a piatti: quello
che c'e' su un piatto deve variare come quello che c'e' sull'altro piatto
altrimenti la bilancia non e' più in equilibrio e l'uguaglianza non e' più
valida
1
2
4
Una equazione generica di primo grado è del tipo:
ax = b con a, b, x  
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Chiameremo 1° membro l’espressione posta a sinistra
dell’uguale e 2° membro l’espressione a destra.
x – 1 + 2x
1° membro
=
3x - 1
1
2
4
2° membro
Se l’equazione (di 1° grado) possiede una sola soluzione si dirà determinata;
se, invece, possiede infinite soluzioni si dirà indeterminata; infine, si dirà
impossibile se non ammette soluzioni.
Equazione
ax = b con a,b,x
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
2
Equazioni
determinate
(una soluzione)
Equazioni
indeterminate
(infinite soluzioni)
Equazioni
impossibili
(nessuna soluzione)
ax = b
0x = 0
0x = b
4
Classificazione
Equazioni
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Razionali
Irrazionali
Le incognite non
compaiono sotto un segno
di radice
Le incognite compaiono
sotto un segno di radice
Numeriche
Letterali
Oltre alle incognite non
compaiono altre lettere
Oltre alle incognite
compaiono altre lettere
Intere
Fratte
le incognite non
compaiono in un
denominatore
Le incognite compaiono
anche nei denominatori
1
2
4
EQUAZIONI EQUIVALENTI
Diremo che due equazioni, di primo grado, sono equivalenti se
ammettono la stessa soluzione
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Per risolvere un’equazione è necessario applicare un
procedimento risolutivo, occorre cioè conoscere i metodi che
consentono di trasformare un’assegnata equazione in una nuova
equazione ad essa equivalente ma di forma più semplice.
A tale scopo è necessario applicare due importanti teoremi detti
principi di equivalenza.
1
2
4
Principio di addizione
Addizionando ad ambo i membri di una equazione uno stesso numero o una
medesima espressione algebrica in x si ottiene una equazione equivalente alla
data
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Esempio:
8x – 6 = 7x + 4
Applicando il 1° principio, aggiungiamo ad ambo i membri l’espressione 6-7x
8x – 6 + 6 – 7x = 7x + 4 + 6 – 7x
x = 10
Da tale principio ricaviamo:
1
2
4
Regola del trasporto: in una equazione è sempre possibile trasportare un
termine qualunque da un membro all’altro cambiandone il segno
Regola della cancellazione: se uno stesso termine figura nei due membri di
una equazione, può essere eliminato
Principio di moltiplicazione e divisione
– Moltiplicando o dividendo ambo i membri di una equazione per uno stesso
0011 0010
1010 1101
0001o0100
numero
diverso
da zero
per 1011
una stessa espressione algebrica contenente
l’incognita, si ottiene una equazione equivalente alla data
Esempio:
8x = -16
Applicando il 2° principio, dividendo ambo i membri per 80:
8x : 8 = – 16 : 8
x=–2
Da tale principio ricaviamo:
1
2
4
– Regola del cambiamento di segno: cambiando il segno a tutti i termini di
una equazione se ne ottiene un’altra equivalente alla data
– Regola della soppressione dei denominatori numerici: per trasformare
una equazione dotata di denominatori numerici in un’altra equivalente, priva di
denominatori, si moltiplicano ambo i membri dell’equazione data per il m.c.m.
dei suoi denominatori
Come si risolve una equazione di I grado
Equazione 1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
10 (x + 2) + 20 = 6 (x - 2) + 22 - x
Soluzione
Verifica
10x+20+20 = 6x - 12 + 22 – x
10 [(-6) + 2] + 20 = 6 [(-6) - 2] + 22 - (-6)
10x + x - 6x = -12 + 22 - 20
10 (-6 + 2) + 20 = 6 (-6 - 2) + 22 + 6
5x = -30
5x/5 = -30/5
1
-40 + 20 = - 48 + 22 + 6
-20 = -26 +6
x = (-30)/5 = - 6
-20 = - 20
2
4
10 (-4) + 20 = 6 (-8) + 22 + 6
verificata
Equazione 2
4 (-3 – x) – 14 (x + 2) + 15 = - 15 – 8x
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Soluzione
Verifica
-12 - 4x - 14x - 28 + 15 = - 15 - 8x
4 [-3 - (-1)] - 14 [(-1) + 2] + 15 = - 15 - 8(-1)
1
2
4x - 14x + 8x = - 15 + 12 + 28 - 15 4 (-3 +1) - 14 (-1 + 2) + 15 = - 15 + 8
-10x = + 10
4 (-2) - 14 (1) + 15 = - 7
-10x/(-10) = + 10/(-10)
-8 - 14 + 15 = - 7
x = (-10)/(10)
-7 = - 7 verificata
x = -1
4
Vediamo ora qualche esempio di risoluzione di un’equazione di I grado indeterminata:
Equazione 3
4 ∙ (x – 5)² = (2x – 10)²
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Soluzione
4 ∙ (x – 5)² = (2x – 10)²
4 ∙(x² - 10x + 25) = 4x² - 40x + 100
4x² - 40x + 100 = 4x² - 40x + 100
1
2
identità verificata per qualsiasi valore attribuito alla x oppure riprendendo da
4x² - 40x + 100 = 4x² - 40x + 100
e applicando la regola dell’elisione si ottiene
0=0
4
quindi, anche in questo caso, indipendentemente dal valore attribuito
all’incognita l’equazione è sempre verificata
Equazione 4
x – 1 + 5 ∙ (x – 3) + (-2)² = 6 ∙ (x – 2)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Soluzione
x – 1 + 5 ∙ (x – 3) + (-2)² = 6 ∙ (x – 2)
x – 1 + 5x – 15 + 4 = 6x – 12
x + 5x – 6x = -12 + 1 + 15 – 4
0=0
1
2
4
anche in questo caso l’equazione è soddisfatta indipendentemente dal valore
attribuito alla x, cioè è soddisfatta da qualsiasi valore di x, dunque l’equazione è
indeterminata
Esempio di risoluzione di un’equazione di I grado impossibile
Equazione 5
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
(5x – 2)² + (5x +2)² = 50 ∙ (x + 2) ∙ (x –2)
Soluzione
(5x – 2)² + (5x +2)² = 50 ∙ (x + 2) ∙ (x –2)
25x² – 20x + 4 + 25x² + 20x + 4 = 50 ∙ (x² - 4)
50x² + 8 = 50x² - 200
8 = - 200
1
2
4
risulta dunque che l’equazione non è mai soddisfatta indipendentemente dal valore
attribuito alla x, cioè nessun valore dato alla x è soluzione dell’equazione. L’equazione è
impossibile
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Si narra che sulla tomba del celebre matematico Diofanto fosse
scolpita la seguente iscrizione:
1
2
• “Qui Diofanto ha la sua tomba che a te rivela con l’aritmetica
quanti anni egli visse. Egli passò un sesto della sua vita
nell’infanzia, un dodicesimo nell’adolescenza, un settimo nella
giovinezza. Poi si ammogliò e dopo 5 anni ebbe un figlio che visse
la metà della vita del padre, il padre gli sopravvisse ancora 4 anni
mitigando il suo dolore con lo studio dell’ aritmetica”.
• A che età morì Diofanto?
4
Dunque, dalla lettura del testo ciò che si vuole determinare è l’età del
nostro matematico Diofanto. Questo numero per ora sconosciuto noi lo
chiameremo “incognita” che in latino significa proprio “cosa non
conosciuta” e lo indicheremo con la lettera “x”. Deduciamo che:
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
VITA DI DIOFANTO = PERIODO INFANZIA + PERIODO
ADOLESCENZA + PERIODO GIOVINEZZA + PERIODO SPOSATO
SENZA FIGLI + PERIODO PRIMA DELLA MORTE DEL FIGLIO +
PERIODO DOPO MORTE FIGLIO
Allora se: x = ETA’ DI DIOFANTO abbiamo:
PERIODO INFANZIA = 1/6 x
PERIODO ADOLESCENZA = 1/12 x
PERIODO GIOVINEZZA = 1/7 x
PERIODO SPOSATO SENZA FIGLI = 5 (anni)
PERIODO PRIMA MORTE FIGLIO = ½ x
PERIODO DOPO MORTE FIGLIO = 4 (anni)
1
2
4
La 1) può essere formulata matematicamente in questo modo:
2)
x = 1/6 x + 1/12 x + 1/7 x + 5 + ½ x + 4
Abbiamo quindi schematizzato e rappresentato un problema reale in modo sintetico
attraverso
il linguaggio
della matematica
0011
0010 1010
1101 0001
0100 1011utilizzando, come si vede, uno strumento
matematico come le equazioni algebriche di Iº grado.
Dunque l’incognita che questo celebre aneddoto richiedeva coincide con l’eventuale
soluzione della 2).
Risoluzione:
x = 1/6 x + 1/12 x + 1/7 x + 5 + ½ x + 4
-5 – 4 = 1/6 x + 1/12 x + 1/7 x + ½ x - x
m.c.m. (6,12,7,2,1) = 84
-9 = (14x + 7x + 12x + 42x – 84x)/ 84
-9 = -9x/84
-9/(-9/84) = (-9x/84)/(-9/84)
x = 84
1
2
4
Progetto DiGiScuola
ex “CIPE scuola”
(Delibera CIPE 9 maggio 2003, N°17 puntoB)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Introduzione di metodologie didattiche innovative
attraverso l'uso delle Tecnologie per l'Informazione e
la Comunicazione
Autori
1
2
4
Antonella Colantoni
Istituto Magistrale “I. Gonzaga” Chieti
Piero Carozza
Istituto Magistrale “I. Gonzaga” Chieti
Tutor: Antonella Pellegrini