Prof. Faccincani Giorgio
Unità Didattica: disegno e storia dell’arte – discipline
geometriche e architettoniche.
TITOLO: POLIEDRI E CUPOLE RETICOLARI
Scheda didattica.
Prerequisiti
-
-
-
Conoscenza e
uso delle
strutture di base
nel campo
tridimensionale
Aver acquisito i
concetti di
spazio-volumeforma
Aver disponibilità
di materiali e
attrezzi
necessari
Obiettivi
-
-
-
Metodologia operativa
Acquisire le
conoscenze
delle possibilità
compositive
modulari
Arricchire le
capacità
espressive
Saper
individuare un
iter progettuale
-
-
-
-
-
Attività docente
-
-
-
-
Introdurre il
lavoro
Percezioni e
strutture
ambientali
Spazio fisico e
spazio
progettuale
Metodologia
della
progettazione
Caratteristiche
dei materiali
Organizzazione
del lavoro
Verifica
Attività alunno
-
-
Scelta del tema
progettuale
Analisi e
sviluppo
Indagine
conoscitiva
Stesura
definitiva
progetto
Tavole grafiche
Tavole
fotografiche
Modello
tridimensionale
Relazione
Partire dai
contenuti e
definire
l’argomento
Verificare le
abilità e le
capacità
espressive dei
singoli
Verificare le
capacità
progettuali
Programmare i
materiali per le
realizzazioni
degli obiettivi
Verificare le
congruenze di
progetto con
l’ambiente
Attività della classe
-
Interventi
Discussione
Richiede
spiegazioni
Prende appunti
Verifica progetto
-
Verifica del lavoro svolto individualmente
Verifica della possibile realizzazione
Qualità della ricerca
Qualità
delle
tecniche
di
rappresentazione
Qualità del modello tridimensionale
Congruenza progettuale
1. Definizione di poliedro.
Il termine “poliedro” deriva dal greco πολυσ (molto) e εδρα (sedile,
base) e quindi significa “dalle molte basi”.
Ricordiamo che il nostro ambiente è lo spazio ordinario della
geometria euclidea e proponiamo la seguente definizione di superficie
poliedrica.
Una superficie poliedrica è un sistema costituito da un numero finito
di poligoni convessi (che ne costituiscono le facce) tali che:
due poligoni qualsiasi non hanno alcun punto interno in comune.
Per ognuno dei lati di ciascun poligono esistono due e due soli
poligoni aventi questo lato in comune (spigoli del poliedro).
Dati due poligoni qualsiasi della superficie si può passare dall’uno
all’altro attraverso una successione di poligoni, appartenenti alla superficie,
tali che ciascuno di essi abbia uno spigolo comune con il successivo.
Nella nostra trattazione useremo il termine poliedro per indicare la
regione di spazio limitata, chiusa, individuata da una superficie poliedrica.
Ci occuperemo, in particolare, di poliedri semplici, cioè di poliedri
omeomorfi alla sfera. Per questi è valida la formula di Descartes-Eulero;
indicando con V il numero dei vertici, S il numero degli spigoli, F il numero
delle facce, tale formula stabilisce tra tali elementi la seguente relazione:
V+F=S+2
Ovvero il numero dei vertici più il numero delle facce è uguale al
numero degli spigoli aumentato di 2 unità.
2. Poliedri regolari.
Un poliedro regolare convesso o più semplicemente regolare è un
poliedro semplice in cui tutte le facce sono uguali ad uno stesso poligono
regolare convesso i cui angoloidi sono uguali tra loro (ovvero ogni vertice
converge sempre lo stesso numero di facce).
Inoltre con il termine “angoloide convesso” o più semplicemente
“angoloide” intendiamo la figura dello spazio individuata nel modo che
descriveremo qui di seguito.
Date, in un certo ordine, n semirette (con n > 2, n intero) aventi
l’origine in comune a 3 a 3 non complanari e tali che il piano individuato da
due consecutive di esse lasci tutte le altre da una stessa parte, si dice
angoloide l’intersezione degli n semispazi che hanno per origini quei piani e
che contengono le n-2 semirette rimanenti (quindi, in un poliedro, le facce i
cui spigoli convergono in uno stesso vertice individuano un angoloide).
Un poliedro regolare convesso è inscrittibile in una sfera ed è
circoscrittibile ad un’altra sfera (le due sfere hanno lo stesso centro).
Si dimostra che i poliedri regolari convessi sono cinque e sono i
seguenti:
-
Tetraedro: 4 facce costituite da triangoli equilateri.
Esaedro (o Cubo): 6 facce costituite da quadrati.
Ottaedro: 8 facce costituite da triangoli equilateri.
Dodecaedro: 12 facce costituite da pentagoni regolari.
Icosaedro: 20 facce costituite da triangoli equilateri.
Essi sono detti anche CORPI PLATONICI perché di essi parla
esplicitamente il filosofo Platone (429-348 a.C.) nella sua opera “Timeo”.
Secondo la teoria pitagorica (VI secolo a.C.) a ciascun poliedro
regolare corrispondevano i vari elementi fondamentali della natura: al
Tetraedro il Fuoco, al Cubo la Terra, all’Ottaedro l’Aria, all’Icosaedro
l’Acqua, al Dodecaedro l’Armonia Universale (oppure un quinto elemento
della Natura, il cosiddetto Etere). 1
Ai cinque poliedri regolari, associati all’intero universo, fu pertanto
dato il nome di “corpi cosmici”.
Se accettiamo anche il caso di non convessità giungiamo alla
nozione di poliedro regolare stellato (o concavo). Si dimostra che ci sono
solo 4 poliedri regolari stellati e questi si possono derivare da dodecaedro e
dall’icosaedro regolare.
Essi sono stati scoperti da Keplero, Poinsot e Cauchy in tempi più
moderni e sono:
-
Grande Icosaedro: 20 triangoli equilateri.
Grande Dodecaedro: 12 pentagoni regolari convessi.
Piccolo Dodecaedro Stellato: 12 pentagoni stellati regolari.
Grande Dodecaedro Stellato: 12 pentagoni regolari stellati.
3. Poliedri semiregolari.
Sono poliedri aventi facce regolari, ma non tutte dello stesso numero
di lati, e aventi angoloidi uguali.
Tali poliedri sono detti anche semiregolari e sono inscrittibili in una
sfera, ma non circoscrittibili ad una sfera.
È stato Archimede a scoprire i primi 13 poliedri semiregolari, che
successivamente sono stati studiati anche da Keplero e da E. Catalan; ed è
proprio quest’ultimo che ne segnala altri 2 tipi (il prisma e l’antiprisma): è il
motivo per cui sono noti anche con il nome di “poliedri archimedei”.
In totale i poliedri semiregolari sono:
- i 13 archimedei;
- la famiglia infinita dei prismi;
- la famiglia infinita degli antiprismi.
Tali poliedri vengono detti anche a facce regolari; questo vuol dire
che ogni faccia è un poligono regolare, ma le facce non sono tutte dello
stesso tipo. Tuttavia le facce devono essere disposte nello stesso attorno a
ciascun vertice.
I poliedri semiregolari sono:
- Tetraedro Tronco: 4 esagoni e 4 triangoli.
- Cubo Tronco: 6 ottagoni e 8 triangoli.
- Cubottaedro: 6 quadrati e 8 triangoli.
- Cubo Simo: 6 quadrati e 32 triangoli.
- Cubottaedro Tronco (o Grande Rombicubottaedro): 12
quadrati, 8 esagoni e 6 ottagoni.
- Rombicubottaedro: 18 quadrati e 8 triangoli.
- Ottaedro Tronco: 6 quadrati e 8 esagoni
- Icosaedro Tronco: 12 pentagoni e 20 esagoni.
- Icosidodecaedro: 12 pentagoni e 20 triangoli.
- Docecaedro tronco: 12 decagoni e 20 triangoli.
- Dodecaedro Simo: 12 pentagoni e 80 triangoli.
- Icosidodecaedro Tronco (o Grande Rombicosidodecaedro):
30 quadrati, 20 esagoni e 12 decagoni.
- Rombicosidodecaedro: 30 quadrati, 12 pentagoni e 20 triangoli.
- Prisma: famiglia infinita a facce quadrangolari.
- Antiprisma (o Prisma Storto): famiglia infinita a facce
triangolari.
Solo 2 tra i solidi archimedei esistono in due forme, sono i 2 “simi” e
le due forme sono enantiomorfe (cioè stanno tra loro come un guanto
sinistro e uno destro).
4. Poliedri duali.
Applicando la legge di dualità nello spazio, che permette di sostituire
i punti con i piani, lasciando invariate le rette, possiamo, a partire da uno
qualsiasi dei poliedri regolari o semiregolari precedentemente visti costruire
un nuovo poliedro nel seguente modo: se per ogni vertice del poliedro si
traccia il piano tangente in esso alla sfera circoscritta, attraverso
l’intersezione di tali piani si individua un nuovo poliedro chiamato “duale”
del precedente; è un poliedro con lineamenti “regolari” analoghi.
Il duale di un poliedro regolare costruito in tale modo è regolare.
Mentre i solidi archimedei hanno una sfera circoscritta, i
corrispondenti duali hanno una sfera inscritta. Tutti hanno una sfera
tangente ai loro spigoli, detta intersfera.
I rapporti di dualità tra i poliedri platonici e quelli stellati sono i
seguenti:
-
Tetraedro ⇔ Tetraedro
Esaedro ⇔ Ottaedro
Dodecaedro ⇔ Icosaedro
Grande Dodecaedro Stellato ⇔ Grande Icosaedro
Piccolo Dodecaedro Stellato ⇔ Grande Dodecaedro
I poliedri duali degli archimedei si trovano elencati in E. Catalan con
la denominazione di poliedri semiregolari di secondo genere.
Afferma E. Catalan:
“Io chiamo poliedro semiregolare, sia quello le cui facce sono
poligoni regolari e i cui angoloidi sono uguali (o simmetrici), sia quello le cui
facce sono uguali e i cui angoloidi sono regolari (ma non tutti con lo stesso
numero di spigoli)”.
Ciascuno di tali poliedri è circoscrittibile ad una sfera, ma non
inscrittibile.
I loro rapporti di dualità sono i seguenti:
-
Triachistetraedro ⇔ Tetraedro tronco
Dodecaedro Rombico ⇔ Cubottaedro
Tetrachisesaedro ⇔ Ottaedro Tronco
Triachisottaedro ⇔ Cubo Tronco
Icositetraedro Trapezoidale ⇔ Rombicubottaedro
Esachisottaedro ⇔ Cubottaedro Tronco
Icositetraedro Pentagonale ⇔ Cubo Simo
Triacontaedro Rombico ⇔ Icosidodecaedro
Pentachisdodecaedro ⇔ Icosaedro Tronco
Triachisicosaedro ⇔ Dodecaedro Tronco
Esacontaedro Pentagonale ⇔ Dodecaedro Simo
Dipiramide ⇔ Prisma
Trapezoedro ⇔ Antiprisma
5. Definizione di cupola.
La forma più semplice di cupola è quella sferica. La sfera ha
proprietà particolari, tra le quali:
1. i punti della sfera sono equidistanti da un punto fisso, detto
centro;
2. i profili e le sezioni piane sono cerchi;
3. le linee geodetiche sono curve chiuse, esse sono linee di minima
curvatura, quindi, sulla sfera, sono i suoi cerchi massimi;
4. la sfera ha la minore area fra i solidi di uguale volume e il
massimo volume tra i solidi di uguale area;
5. la sfera possiede curvatura media costante.
I Romani furono i primi a costruire delle cupole vere e proprie, tra le
quali spicca quella del Pantheon di Adriano a Roma, realizzata nel 120 d.C.
ca., avente una luce di m. 43.
Le cupole sono state spesso pensate e costruite come strutture
reticolari (cupole a nervatura o cupole reticolari).
6. Le cupole reticolari (o geodetiche).
Le cupole reticolari sono strutture poliedriche le cui facce sono
generalmente dei triangoli o degli esagoni.
Le cupole reticolari più note si devono all’architetto americano R.
Buckminster Fuller, tra le quali è importante menzionare quella realizzata
per l’Expo di Montreal nel 1967, che è costituita da un reticolo di esagoni;
per ogni esagono da ciascun vertice parte un’asta, si hanno così 6 aste che
si collegano in un punto sull’asse azimutale dell’esagono.
In questi punti si forma un nodo; l’insieme di questi nodi forma un
secondo reticolo di triangoli.
Fuller perviene così alla cupola reticolare partendo da un metodo
basato sulla formazione di triangolazioni spaziali sferiche continue: la
cupola reticolare è dunque la conseguenza logica di una progettazione che
muove da un principio formale.
È importante comunque sottolineare che la ricerca geodetica non si
sviluppi e non sia identificabile esclusivamente con Fuller; la prima cupola
geodetica costruita è quella eretta nel 1922 a Jena, in Germania, da Walter
Bauerfeld, per conto della ditta Zeiss.
Nella tipologia delle cupole esiste anche la cosiddetta cupola
Schwedler, costituita, sulla base di una semisfera, da una struttura di
meridiani e paralleli, ai quali si aggiungono una serie di diagonali (rispetto ai
trapezi che vengono a crearsi attraverso l’intersezione di meridiani e
paralleli) univocamente orientate, con movimento a spirale, allo scopo di
ottenere delle controventature attraverso la definizione di triangolazioni
reticolari.2
7. Geometria delle cupole reticolari.
Le cupole possono definirsi reticolari se si considera che sono
formate da un reticolo di poligoni regolari, semiregolari, irregolari; possono
definirsi geodetiche se si considera che per i vertici dei poligoni passano i
cerchi massimi della sfera, che sono curve geodetiche.
I poliedri che si approssimano alla sfera, tali che ogni faccia sia
perpendicolare all’asse che unisce il centro della stessa con il centro della
sfera (asse azimutale) e che i loro vertici siano tangenti alla sfera, sono
detti geodi.
Nello studio della geometria delle cupole i reticoli più interessanti
sono quelli triangolari o esagonali.
I poliedri dunque più utilizzati per tali cupole sono l’icosaedro, il
triacontaedro rombico (duale dell’icosidodecaedro) e l’icosaedro tronco.
Nella costruzione delle cupole geodetiche si può comunque ricorrere
a qualunque solido platonico o archimedeo, in quanto si tratta di solidi
inscrivibili nella sfera.
Il poliedro regolare massimo che possiamo inscrivere in una sfera è,
per il teorema di Eulero, l’icosaedro, formato da 20 facce uguali (triangoli
equilateri).
In questo caso il lato del triangolo dell’icosaedro ha una lunghezza
non molto diversa dal raggio della sfera circoscritta. La proporzione tra il
lato dell’icosaedro e il lato della circumsfera è di 1 : 1,051.
Per ottenere una cupola avente maggiore luce è quindi necessario
procedere ad una suddivisione dell’icosaedro (o degli altri poliedri) in modo
da ottenere un numero maggiore di facce.
La frequenza della suddivisione di ogni faccia può essere di ordine
pari o di ordine dispari.
Uno dei metodi utilizzati per passare da un poliedro a una cupola
reticolare consiste nella suddivisione delle facce dei poliedri in triangoli (che
saranno equilateri per quei poliedri formati da triangoli o esagoni) e nella
proiezione, dal centro della sfera circoscritta, sulla superficie della stessa
dei punti ottenuti per suddivisione (nodi).
A proiezione eseguita, ad esempio di un icosaedro, i triangoli ottenuti
(triangoli sferici) non saranno più solo equilateri, ma avremo spigoli diversi,
come diversi saranno i nodi, poiché varieranno gli angoli interni dei
triangoli.
In una suddivisione di ordine pari, per esempio di ordine 2, la stessa
individua 3 nuovi vertici, (oltre ad A, B, C) che chiameremo D, E, F, che
uniti fra loro con i vertici A,B,C, determinano 4 triangoli, di cui quello
centrale D, E, F, è equilatero, mentre gli altri tre sono isosceli e uguali tra
loro.
La differenza delle lunghezze degli spigoli (aste) è determinata dalle
differenti distanze dei vertici (nodi) dal centro della sfera; il triangolo D, E, F,
ha infatti i vertici equidistanti dal centro della sfera, pertanto il triangolo
sferico resta equilatero. Gli altri triangoli A, D, E – D, B, F, - F, E, C, hanno
distanze differenti dal centro della sfera (due uguali e una diversa), pertanto
i triangoli sferici saranno isosceli.
Una successiva suddivisione delle facce, ad esempio di ordine 4, dà
una divisione simile alla precedente per il triangolo D, E, F, e cioè un
triangolo equilatero e tre isosceli. Per gli altri tre D, A, E, - D, B, F, - F, E, C,
avremo due triangoli isosceli e due scaleni ciascuno.
I metodi di suddivisione delle facce triangolari di un poliedro sono
due: ripartizione alternata, secondo la modularità e ripartizione triacon,
secondo gli assi di simmetria.
La ripartizione alternata determina:
- minima variazione della lunghezza degli spigoli (aste);
- individuazione della cupola come semisfera;
- frequenza sia pari che dispari;
- crescente differenza di triangoli tra loro diversi in funzione
dell’aumentare della suddivisione del triangolo base.
La ripartizione triacon determina:
- minima differenza tra i triangoli ottenuti per suddivisione del
triangolo base;
- simmetria delle facce adiacenti che possono essere combinate in
rombi;
-
differenza marcata di lunghezza degli spigoli (aste);
impossibilità di individuazione della cupola come semisfera, con
conseguente determinazione di porzioni diverse di sfera;
ripartizioni solo di ordine pari.
8. Icosaedro – Triacontaedro Rombico – Icosaedro Tronco.
Come abbiamo precedentemente detto, questi tre poliedri sono i più
utilizzati per la costruzione di cupole geodetiche, la ragione di questa scelta
sta nel fatto che il loro sviluppo in geoidi porta alla costituzione di cupole tra
loro assimilabili.
Se prendiamo un icosaedro e applichiamo ai suoi triangoli una
suddivisione di ordine 4, otterremo un poliedro i cui vertici di un triangolo
sferico concludono al centro di un pentagono.
Se si considera un triacontaedro rombico e applichiamo ad esso la
stessa suddivisione utilizzata per l’icosaedro, otterremo un poliedro nel
quale i vertici delle diagonali maggiori di ogni rombo conducono al centro di
un pentagono.
In entrambi i casi si ottiene un poliedro formato da nuclei pentagonali
circondati da esagoni (o triangoli), ottenendo una configurazione simile o
uguale all’icosaedro tronco.
Il pentagono diventa dunque l’elemento protagonista, il poligono che
permette il passaggio dalle strutture modulari piane (trame, pavimentazioni,
ecc.) a quelle spaziali sferiche (cupole reticolari o geodetiche).
9. Cupole a doppio reticolo.
Le cupole viste finora sono del tipo monostrato, ad un solo reticolo.
Tali tipi di reticoli si possono però utilizzare solo fino a un certo grado
di suddivisione, perché con l’aumentare di tali suddivisioni diminuiscono gli
angoli fra le aste, che tendono perciò alla complanarità.
Per aumentare la resistenza del reticolo non è opportuno dunque
suddividere il poliedro di base oltre un certo grado, ma formare un nuovo
reticolo, interno rispetto a quello primario (che appartiene alla sfera
circoscritta), ottenendo così le cupole a doppio reticolo.
Quando Fuller ha realizzato la cupola di Baton Rouge, nel 1959, ha
irrigidito un traliccio esagonale, collegandolo nei vertici con puntoni
distanziatori a un altro traliccio, realizzato con piramidi esagonali e
aggiungendo tiranti tra i vertici dell’esagono esterno e i vertici delle piramidi.
In una cupola geodetica realizzata a Wood River nell’Illinois, avente
m. 114 di diametro, composta da 804 pannelli esagonali di acciaio a forma
di piramide con la base di m. 4,50, i vertici delle piramidi sono stati collegati
da aste che formano un reticolo esterno a 3 direzioni, mentre le basi delle
piramidi formavano un reticolo interno esagonale.
Dato dunque che oltre a una certa dimensione si rende necessaria
l’adozione di una struttura a doppio reticolo, che può essere a 2, 3 o 4
direzioni, si possono avere vari tipi di questi reticoli doppi:
- con il reticolo superiore diverso da quello inferiore;
- con il reticolo superiore uguale a quello inferiore;
- con il reticolo superiore e quello inferiore sfalsati;
- con i reticoli aventi densità diversa (come nel caso del reticolo
romboedrico).
Le superfici delle facce possono essere piane, oppure al posto di
due facce può essere inserita una superficie a doppia curvatura, cioè una
rigata limitata da 4 spigoli sghembi (settore di paraboloide iperbolico).
10. Le ricerche geodetiche.
Abbiamo detto di Fuller, il quale ha costruito una serie estremamente
variabile di cupole, le più note, oltre a quella già citata per l’Expo di
Montreal, sono quelle realizzate in leghe di alluminio o in acciaio, ma ne
sono state realizzate anche con pannelli di poliestere, rinforzati con fibre di
lana di vetro, in resine poliesteri, con nervature in cartone, in cartone e
alluminio, in fogli di legno compensato, in fogli di alluminio corrugato e
totalmente in cartone, come le due cupole erette alla Triennale di Milano
nel 1954.
Negli Stati Uniti, tra gli anni sessanta e settanta, sono state le
comunità hippy ad appropriarsi in modo particolare di queste tecniche
costruttive, coniando il neologismo go zone (che ricalca il più noto motto go
home), formato dalla fusione delle parole Dome, Zone, Home.
Ciò avviene soprattutto nel Colorado, dove fioriscono le cosiddette
Drop City, costituite da villaggi geodesici.
Si tratta di comunità formate prevalentemente da studenti, i quali
usano, per costruire, soprattutto lamiere recuperate dai cimiteri delle auto.
In queste comunità non mancano i teorici di questo tipo di
costruzioni, come, per esempio, Steve Bear, il quale, attraverso un
opuscolo, il Dome Cook Book, descrive, avvalendosi di disegni esplicativi in
stile pop art, le varie tecniche geometriche e meccaniche necessarie alla
costruzione di tali cupole.
In questi villaggi si svolge un tipo di vita comunitaria, che riprende,
da un lato i metodi di vita delle tribù indiane e, dall’altro, le teorie utopiche di
Owen e Fourier.
Il critico d’arte Achille Bonito Oliva ebbe a scrivere, nel 1974, a
proposito di queste comunità, che il fenomeno andava inquadrato nel
fenomeno più generale della land art, un’arte che, come la body art, si
contrapponeva al mondo tecnologico.
L’insieme delle correnti artistiche dell’epoca: arte concettuale, arte
povera, land art, earth art, arte situazionale, arte del comportamento, body
art, ecc., rappresentavano l’espressione di un momento di crisi e di
ripensamento nei confronti degli oggetti industriali e del design, prodotti con
fini meramente speculativi e utilitaristici, nel quale era coinvolto anche
l’oggetto – casa. In questi movimenti, come ricorda A. B. Oliva, si
ricompone anche un aspetto dadaista, evidenziato dal concetto dell’anti –
oggettualità.
11. Tavola sinottica relativa ai personaggi che hanno
contribuito allo sviluppo del concetto di poliedro, cupola
geodetica e cellula spaziale.
Pitagora
(VI sec. a.. C.) Relazione tra i numeri e la realtà fisica.
Numeri triangolari e quadrati, Progressioni (p. aritmetiche
= armoniche)
Democrito
Platone
Euclide
Archimede
Fibonacci
Leonardo da
Vinci
Keplero
R. Hooke
G. W. von
Leibnitz
Eulero
L. Poinsot
A. F. Möbius
Catalan
Lord Kelvin
E. H. Haeckel
A. G. Bell
J. S. Flodorov
D’Arcy
Thompson
(tra il V e IV sec. a. C.) Universo modulare, composto di
“atomi” o “cellule”
(tra il V e IV sec. a. C.) Studia le cellule geometriche
regolari, dette poliedri o solidi platonici. Descrizioni
matematiche della forma
(tra il IV e III sec. a. C.) Introduzione alle 5 cellule
geometriche regolari.
(III sec. a. C.) Studi e descrizioni delle 13 cellule
geometriche semiregolari, dette poliedri o solidi di
Archimede
(tra il XII E XIII sec.) I numeri di Fibonacci, o serie che
descrivono i modelli di crescita proporzionale negli
organismi viventi
(1452- 1519) Riscoperta e studi delle cellule geometriche,
i poliedri. Studi di biotecnica
(1571 – 1630) Studi delle cellule poliedriche dei favi.
Scoperta del dodecaedro stellato
(1635 – 1703) Fu il primo a osservare la struttura
cellulare dei tessuti delle piante al microscopio
(1646 – 1716) Concetto modulare della materia. Teoria
delle “monadi”
(1707 – 1783) Classificazione e studio delle cellule
geometriche. Teorema sui poliedri
(1777 – 1859) I poliedri stellati di Poinsot. Teorema sul
movimento di solidi liberi
(1790 – 1868) Ipercelle a 4 dimensioni. Il nastro di
Möbius
Nel 1852 ipotizza i poliedri catalani
(1824 – 1907) Forma della cellula della pianta basata
sulla minima area di ripartizione per la suddivisione dello
spazio (ottaedro tronco)
(1834 – 1919) Studi sugli esoscheletri poliedrici dei
radiolari
(1847 – 1922) Strutture cellulari tetraedriche
(1853 – 1919) Dimostrazione che sono soltanto 5 le
configurazioni di cellule poliedriche con il medesimo
orientamento che si aggregano in modo da riempire lo
spazio, e che la disposizione degli atomi in ogni struttura
cristallina regolare possiede la simmetria di uno dei 230
gruppi spaziali della simmetria
(1860 – 1948) Studi di biotecnica, comprendenti la
struttura delle cellule e delle aggregazioni cellulari e il
confronto tra strutture naturali e artificiali
R. Francé
R. B. Fuller
Max Bill
Frei Otto
B. V. Doshi
(1874 – 1943) Studi di biotecnica, in particolare sulla
forma e la struttura in natura. Interesse nell’applicazione
di queste informazioni alla progettazione di strutture per
l’uomo
(n. 1895) studi di biotecnica e studi sulla geometria
naturale finalizzati alla progettazione di strutture cellulari:
ossature spaziali, strutture a tensione ottimale
(tensostrutture), sfere e cupole geodetiche
(n. 1908) Progetto di componenti cellulari costruttivi per
l’edilizia
(n. 1925) Studi di biotecnica. Progetti di strutture cellulari
spaziali
(n. 1927) Architettura cellulare
Note.
1
Nella simbologia dei colori, ai 5 elementi sono associati 5 colori: il
rosso rappresenta il fuoco, l’azzurro l’aria, il verde l’acqua, il nero la terra e
il bianco l’universo (o Dio).
La terra rappresentava il caos e le tenebre dei profani; l’acqua,
ovvero il battesimo, era l’emblema della rigenerazione esteriore mediante il
trionfo sulle tentazioni; l’aria designava la verità divina che illumina
l’intelletto del neofita, così come il fuoco, o grado supremo, apriva il cuore
all’amore divino.
Questi passaggi simboleggiavano le quattro sfere materiali che il
neofita doveva percorrere prima di innalzarsi a Dio.
La terra (rappresentata dal nero) è il luogo tenebroso dell’uomo non
purificato, non illuminato dalla conoscenza divina, è luogo delle acque
primordiali e del caos.
Ad essa segue l’acqua (rappresentata dal verde), che simboleggia il
primo grado dell’iniziazione, conferito mediante il battesimo, che consente
di varcare la porta della morte spirituale (il nero).
Il battesimo era il simbolo del mistero della creazione; il profano
rappresentava la materia inerte e tenebrosa; le acque versate sulla sua
testa simboleggiavano il principio fecondativo che doveva rigenerarlo, farlo
nascere a nuova vita.
Il secondo grado di iniziazione, simboleggiato dal blu dell’aria,
indicava la rigenerazione spirituale; il neofita riceveva il battesimo dello
Spirito Santo.
Il terzo grado era raggiunto attraverso il battesimo di fuoco (il rosso).
Nel Vangelo si ritrova questo triplice battesimo: “Io – dice San
Giovanni Battista – vi battezzo con l’acqua, per portarvi al pentimento, ma
Colui che viene dopo di me è più potente di me; è Lui che vi battezzerà
collo Spirito Santo e col fuoco”.
Il bianco rappresenta l’ultimo grado della purificazione, la riunione
del corpo immondo con il proprio creatore, la ricongiunzione con Dio.
Il bianco, luogo di tutti i colori, opposto al nero, simbolo dell’impuro,
rappresenta il grado finale dell’iniziazione, che riconduce l’uomo alla luce
divina.
2
Fu in questa direzione che operò Filippo Brunelleschi (1377 –
1446) per la realizzazione della cupola di Santa Maria del Fiore a Firenze,
impostata su una pianta a struttura ottagonale.
È una cupola a costoloni che possiede importanti caratteristiche:
innanzi tutto si tratta di una cupola a doppia sezione, caratteristica questa
fondamentale sia nelle strutture piane reticolari spaziali, sia nelle strutture
sferiche, come nelle cupole geodetiche di Fuller; in secondo luogo la
struttura a doppia sezione riproduce quasi perfettamente quella di una
cupola Schweder, in quanto la cupola interna è caratterizzata da maglie
reticolari di tamponamento del tipo “meridiani – paralleli”, mentre la cupola
esterna presenta tamponamenti in mattoni con andamento in diagonale,
quasi si trattasse di una serie di spirali, formanti delle vere e proprie
triangolazioni.
Bibliografia.
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Louis Joly: “Les polyèdres” ed. Blanchard, Parigi 1979
H. M. Cundy e A. P. Rollett: “I modelli matematici” ed. Feltrinelli,
Milano 1974
R. Corazzi: “La geometria delle forme” ed. Alinea, Firenze 1984
K. Critchlow “Order in space” ed. Thames & Hudson, Londra
1969
R. B. Fuller “Synergetics” ed. Macmillan Publishing Co. Inc.
Attilio Marcolli: “Teoria del campo” ed. Sansoni, Firenze 1971
Attilio Marcolli: “Teoria del campo 2” ed. Sansoni, Firenze 1978
Frédéric Portal: “Sui colori simbolici” Luni Editrice, Milano 1997