Regoli di Genaille
per moltiplicare e dividere
(1895)
by corrado bonfanti - 2007
I REGOLI PER MOLTIPLICARE
1 COME SONO FATTI
2 COME FUNZIONANO
3 PERCHE’ FUNZIONANO
regoli di Genaille per moltiplicare
i dieci regoli
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regoli di Genaille per moltiplicare - come sono fatti
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5
un regolo
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x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
il telaio
regoli di Genaille per moltiplicare - come sono fatti
x9
I REGOLI PER MOLTIPLICARE
1 COME SONO FATTI
2 COME FUNZIONANO
3 PERCHE’ FUNZIONANO
regoli di Genaille per moltiplicare
Impariamo con un esempio:
2058  ...
Prima mossa:
mettiamo sul
telaio i regoli
necessari a
formare il
moltiplicando
(2058).
Seconda mossa:
aggiungiamo a
sinistra un
regolo dello zero;
vedremo poi a
cosa serve.
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regoli di Genaille per moltiplicare - come funzionano
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x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
Mossa finale:
guardiamo solo
quella striscia
orizzontale che,
sul telaio, è
marcata dal 7
(moltiplicatore).
Adesso basta
seguire le frecce
rosse e leggere il
risultato!
2058  7 = 14406
È chiaro anche a
cosa serve il
regolo dello zero
che abbiamo
aggiunto a
sinistra.
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1
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regoli di Genaille per moltiplicare - come funzionano
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4
5
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8
9
0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
Un altro esempio:
0
2058  4 = 8232
Facciamo le stesse
cose di prima,
guardando alla
striscia del 4.
Il regolo dello
zero, quello
aggiunto a sinistra,
questa volta non
ha prodotto una
cifra significativa.
2
0
0
1
0
1
2
0
1
2
3
0
1
2
3
4
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4
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2
3
4
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3
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0
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3
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8
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5
6
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6
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1
0
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5
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9
0
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3
regoli di Genaille per moltiplicare - come funzionano
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2
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0
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5
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7
8
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0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
Sempre più complicato:
moltiplicatore con più di una cifra.
0
2058  47 = 14406 +
8232
96726
Basta leggere i
prodotti parziali,
incolonnarli nel
modo giusto e
sommarli.
2
0
0
1
0
1
2
0
1
2
3
0
1
2
3
4
0
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3
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6
0
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5
6
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4
5
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0
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0
6
7
8
9
0
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3
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0
1
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3
4
5
6
5
0
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1
0
1
2
0
1
2
3
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
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0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
8
5
0
1
5
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0
1
2
3
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
5
6
7
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9
0
1
0
1
2
3
4
5
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5
6
7
8
9
0
1
2
3
regoli di Genaille per moltiplicare - come funzionano
8
6
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4
5
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2
3
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0
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2
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x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
I REGOLI PER MOLTIPLICARE
1 COME SONO FATTI
2 COME FUNZIONANO
3 PERCHE’ FUNZIONANO
regoli di Genaille per moltiplicare
Seguiamo lo stesso esempio di prima e quindi
cominciamo da destra: moltiplicare 8 per 6.
Il risultato è 86 = 48 ovvero “scrivo 8” e “porto 4”.
Notare che il “porto 4” è indicato dalla freccia che
ci rimanda alla quinta riga della prossima colonna.
0
2
0
5
8
porto 0
porto 1
porto 2
porto 3
porto 4
porto 5
8
9
0
1
2
3
x6
Dopo di che, passiamo a fare 56 che fa 30; ma
siccome ne riportavamo 4, il tutto fa 34. Però non
dobbiamo fare nessun calcolo: basta andare dove ci
ha indirizzato la freccia della colonna precedente.
Questo significa “scrivo 4” e “porto 3”.
0
porto 0
porto 1
porto 2
porto 3
porto 4
porto 5
2
0
5
8
0
1
2
3
4
5
8
9
0
1
2
3
x6
regoli di Genaille per moltiplicare - perché funzionano
Adesso è la volta di 06 = 0 e la freccia della
colonna precedente ci ricorda che c’era il “porto 3”.
Quindi “scrivo 3” e “porto 0”.
0
2
0
porto 0
porto 1
porto 2
porto 3
porto 4
porto 5
5
0
1
2
3
4
5
8
0
1
2
3
4
5
8
9
0
1
2
3
x6
Scoperto il trucco, è facile continuare da soli:
0
porto 0
porto 1
porto 2
porto 3
porto 4
porto 5
2
0
1
2
3
4
5
0
2
3
4
5
6
7
5
0
1
2
3
4
5
8
0
1
2
3
4
5
8
9
0
1
2
3
x6
regoli di Genaille per moltiplicare - perché funzionano
OSSERVAZIONE: quando moltiplichiamo per 6,
come nell’esempio, non possiamo mai avere un
riporto maggiore di 5 (infatti 96 = 54).
In generale, quando moltiplichiamo per n, si ha che
0  riporto  n-1
come si vede guardando attentamente a “come
sono fatti” i nostri regoli.
ATTENZIONE: se il moltiplicando e/o il
moltiplicatore hanno cifre decimali, allora la
posizione della virgola nel prodotto bisogna
trovarsela da soli.
regoli di Genaille per moltiplicare - perché funzionano
I REGOLI PER DIVIDERE
1 COME SONO FATTI
2 COME FUNZIONANO
3 PERCHE’ FUNZIONANO
4 APPROFONDIMENTI
regoli di Genaille per dividere
I DIECI REGOLI
9
4
9
3
6
9
2
4
7
9
1
3
5
7
9
1
3
4
6
8
9
1
2
4
5
7
8
9
1
2
3
4
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8
4
9
2
6
9
2
4
7
9
1
3
5
7
9
1
3
4
6
8
9
1
2
4
5
6
8
9
1
2
3
4
6
7
8
9
0
2
3
4
5
6
7
8
9
7
3
8
2
5
9
1
4
6
9
1
3
5
7
9
1
2
4
6
7
9
1
2
3
5
6
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0
2
3
4
5
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0
1
3
4
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6
7
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9
6
3
8
2
5
8
1
4
6
9
1
3
5
7
9
1
2
4
6
7
9
0
2
3
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regoli di Genaille per dividere - come sono fatti
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:2
:3
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il regolo
del resto
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regoli di Genaille per dividere - come sono fatti
I REGOLI PER DIVIDERE
1 COME SONO FATTI
2 COME FUNZIONANO
3 PERCHE’ FUNZIONANO
4 APPROFONDIMENTI
regoli di Genaille per dividere
Impariamo con un esempio:
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:2
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:9
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00
21
32
43
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97
00
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43
54
65
76
87
98
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5
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21098
:
…...
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Prima mossa:
mettiamo sul
telaio i regoli
necessari a
formare il
dividendo
(21098).
Seconda
mossa:
aggiungiamo a
destra il regolo
del resto.
regoli di Genaille per dividere - come funzionano
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Mossa finale: guardiamo solo
quella
striscia
resto
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orizzontale
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sul
telaio,
è
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marcata
dal
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4
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6
6
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(divisore).
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21098 : 6 = 3516
col resto di 2
Basta seguire le
frecce rosse e
leggere il
risultato!
regoli di Genaille per dividere - come funzionano
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9
I REGOLI PER DIVIDERE
1 COME SONO FATTI
2 COME FUNZIONANO
3 PERCHE’ FUNZIONANO
4 APPROFONDIMENTI
regoli di Genaille per dividere
La spiegazione del “perché funzionano” è del
tutto analoga a quella che abbiamo già vista per
la moltiplicazione, solo che nel caso della
divisione dobbiamo parlare di resto anziché di
riporto.
Infatti, quando dividiamo per n succede che
0  resto  n-1
e le frecce rosse puntano al regolo successivo
proprio all’altezza del valore del resto.
ATTENZIONE: se il dividendo e/o il divisore
hanno cifre decimali, allora la posizione della
virgola nel quoziente bisogna trovarsela da soli.
regoli di Genaille per dividere - perché funzionano
I REGOLI PER DIVIDERE
1 COME SONO FATTI
2 COME FUNZIONANO
3 PERCHE’ FUNZIONANO
4 APPROFONDIMENTI
regoli di Genaille per dividere
RESTI E PRECISIONE NELLA DIVISIONE.
Consideriamo la divisione 932: 3. I regoli ci dicono che il quoziente è 310 col resto di 2.
Per migliorare la precisione di questo risultato, possiamo mettere in atto il seguente
trucco: prolunghiamo il dividendo con degli zeri a destra (sperando di avere regoli “0” in
numero sufficiente).
Per esempio trasformiamo 932 in 932000. Questa volta i regoli ci dicono che
932000:3 = 310666 col resto di 2 il che, tenendo conto dei tre zeri che abbiamo
astutamente aggiunto, significa in realtà 932:3 = 310,666 col resto di 0,002.
Sorpresa! Il resto è diventato così piccolo da essere trascurabile!
In quest’altro caso siamo ancora più fortunati: 932:8 = 116 col resto di 4 ma, con uno
zero aggiuntivo, 9320:8 = 1165 col resto di zero.
Il resto è scomparso e il calcolo 932:8 = 116,5 è quindi del tutto esatto.
Tutto ciò dovrebbe farci ricordare - o stimolarci a scoprire - qualcosa d’interessante
riguardo alla rappresentazione decimale (finita o periodica) dei numeri razionali.
PROBLEMA: E SE IL DIVISORE HA PIÙ DI UNA CIFRA?
Nel caso della divisione, purtroppo non esiste un algoritmo analogo a quello
semplicissimo dei prodotti parziali che si usa nella moltiplicazione (grazie alla proprietà
distributiva del prodotto rispetto alla somma). Quindi bisogna inventare qualche modo di
aggirare l’ostacolo.
Qui appresso vi descrivo, per mezzo di esempi, un algoritmo che risolve il problema con
un certo numero (finito!) di approssimazioni successive; il tutto è un po’ macchinoso ma
funziona. Qualcuno potrà apprezzarne la stretta parentela con il metodo della ‘falsa
posizione’ che era già conosciuto dai sapienti delle antiche civiltà.
Siccome non ho potuto consultare le pubblicazioni di Genaille e Lucas (*), non sono in
grado di dire se anch’essi si siano posti il problema e, nel caso, come l’abbiano risolto.
(*)
Vedi il Laboratorio che conclude questa nota.
regoli di Genaille per dividere - approfondimenti
UN ALGORITMO CHE RISOLVE IL PROBLEMA.
Adottiamo intanto i seguenti simboli: DD per il dividendo
DS “ divisore
Q
“ quoziente
R
“ resto (0  R < DS)
e ricordiamoci che
DD : DS = Q col resto di R
(1)
equivale a
DD = Q x DS + R
(2)
Adesso mettiamo il caso di dover calcolare 29967:809.
PASSO 0 Prendiamo la cifra di sinistra del divisore (8) e assumiamo questo 8 come
divisore ‘di prova’ il quale, avendo una sola cifra, rientra nelle capacità dei regoli.
PASSO 1 Con i nostri regoli per dividere calcoliamo 29967:8 = 3745 resto 7.
Questo risultato lo interpretiamo però come 29967:800 = 37,45 (il resto è sempre 7, ma
non c’interessa per il seguito) e prendiamo 37,45 come una prima approssimazione,
calcolata ‘per eccesso’, del nostro quoziente ‘vero’. Anzi, per semplificarci la vita, lo
arrotondiamo, ancora per eccesso, all’intero superiore (38).
PASSO 2 Adesso prendiamo i regoli per moltiplicare e calcoliamo 809x38 = 30742
dopodiché facciamo, a mano, la sottrazione 30742-29967 = 775.
Giunti a questo punto, sappiamo quindi che
29967 = 809x38-775
(3)
PASSO 3 Il fatto che 775< 809 ci avverte che siamo arrivati al passo conclusivo.
Però, confrontando (3) con (2), ci accorgiamo che -775 è un numero negativo e quindi
non rappresenta un resto bensì un ‘ammanco’. Allora lo sforzo finale consiste nel
diminuire di 1 il quoziente calcolato per eccesso (38-1 = 37) e di sommare
algebricamente il divisore (809) all’ammanco (-775) ovvero 809-775 = 34. La (3)
diventa allora
29967 = 809x37+34
(4)
che traduciamo nella forma (1) per ottenere finalmente
29967:809 = 37 col resto di 34.
NOTA. Ecco, per pignoleria, il dettaglio dei passaggi che portano da (3) a (4):
29967 = 809x38-775 = 809x(37+1)-775 = 809x37+809-775 = 809x37+34
Abbiamo speso molte parole ma, a ben guardare, il tutto ha comportato solo quattro
operazioni aritmetiche (quelle evidenziate in rosso): una divisione e una moltiplicazione
(fatte con i regoli) e due sottrazioni (fatte a mano).
regoli di Genaille per dividere - approfondimenti
Per chi avesse ancora voglia di seguirmi, ecco un esempio un po’ più complicato:
22967:851 = ?
‘Idem’, qui appresso, significa: come nell’esempio precedente.
PASSO 0
Idem: 8 è il divisore ‘di prova’.
PASSO 1
Idem: il quoziente calcolato per eccesso è 38.
PASSO 2
851x38 = 32338
32338-29967 = 2371.
PASSO 3 29967 = 851x38-2371
(5)
Il valore assoluto dell’ammanco è 2371 > 851 e quindi il procedimento non è concluso:
dobbiamo perciò reiterare i Passi 1 e 2 prendendo questa volta come dividendo il valore
assoluto dell’ammanco (2371).
PASSO 4
ovvero
2371:8 = 296 con resto 3
2371:800 = 2,96 con resto 3
2,96 arrotondato per eccesso è 3.
PASSO 5
851x3 = 2553
2553-2371 = 182.
PASSO 6
2371 = 851x3-182
(6)
182 < 851: siamo al passo conclusivo dell’iterazione con il dividendo 2371.
Concateniamo (5) con (6) e otteniamo (vedi NOTA)
29967 = 851x35+182
ovvero
29967:851 = 35 con resto 182 che è il risultato finale.
NOTA. I passaggi del concatenamento di (5) con (6) si svolgono come segue
29967 = 851x38-2371= 851x38-(851x3-182) = 851x(38-3)+182 = 851x35+182 ma, in
concreto, l’unica operazione da fare è la sottrazione 38-3 = 35.
Anche in questo caso c’è da ragionare un po’ (un buon massaggio al cervello) ma le
effettive operazioni aritmetiche richieste dall’intero svolgimento sono quelle evidenziate
in rosso, con l’aggiunta di quella nascosta nel Passo 1: due divisioni e due
moltiplicazioni (con i regoli) e tre sottrazioni (a mano).
Di questo algoritmo esiste il ‘duale’ che consiste nel procedere ‘per difetto’ anziché
‘per eccesso’. Il lettore curioso potrà divertirsi a svilupparlo per sua soddisfazione e
chiedersi in quali circostanze sia più efficiente l’uno o l’altro.
regoli di Genaille per dividere - approfondimenti
LABORATORIO
regoli di Genaille per moltiplicare e dividere
Un set originale di regoli per moltiplicare,
fabbricati in legno dall’inventore Henry
Genaille: ingegnere delle ferrovie francesi e
ingegnoso matematico dilettante, vissuto tra
Ottocento e Novecento.
Alla fama dei regoli e del loro inventore
contribuì Édouard Lucas, suo amico e
matematico di discreta fama.
regoli di Genaille per moltiplicare e dividere - laboratorio
Un semplice kit,
per giocare alle moltiplicazioni
regoli di Genaille per moltiplicare e dividere - laboratorio
Un kit per giocare alle divisioni
regoli di Genaille per moltiplicare e dividere - laboratorio
E infine i bastoncini di Nepero
(li conoscete?)
anch’essi sotto forma di kit-giocattolo
regoli di Genaille per moltiplicare e dividere - laboratorio