I NUMERI RELATIVI
Livio Giansiracusa
OBIETTIVI DEL PRESENTE LAVORO
Strutturare un’unità di apprendimento che miri ad evidenziare:
La collocazione temporale dell’argomento in esame;
I prerequisiti, gli obiettivi di apprendimento (conoscenze ed abilità) e i
contenuti da trattare;
Alcuni spunti di metodologie per agevolare il lavoro da parte dei
ragazzi. Si farà notare che numerosi esempi sono tratti da semplici
osservazioni della realtà che faranno scaturire un logico collegamento
interdisciplinare;
La scelta di differenti tipi di esercizi proposti per verificare e migliorare il
grado di acquisizione di conoscenze degli alunni;
Considerazioni personali.
COLLOCAZIONE TEMPORALE: fine secondo anno scolastico –
inizio terzo anno scolastico;
INQUADRAMENTO ARGOMENTO: algebra
PREREQUISITI:
 conoscere gli insiemi numerici N e Q+ ;
 conoscere ed utilizzare le operazioni con gli insiemi N e Q+ ;
 saper svolgere semplici espressioni con numeri appartenenti agli
insiemi N e Q+.
OBIETTIVI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO
Conoscenze
 conoscere il concetto di numero relativo e quindi conoscere gli insiemi
Z, Q e R;
 conoscere l’utilizzo del numero relativo nella vita quotidiana;
 conoscere ed utilizzare le operazioni con l’insieme R dei numeri reali
relativi;
 conoscere la simbologia e la terminologia dei numeri relativi.
Abilità
 saper rappresentare sulla retta orientata i numeri relativi;
 saper operare confronti tra numeri relativi;
 essere in grado di operare con i numeri relativi e saper calcolare il
valore di semplici espressioni;
 saper calcolare potenze di numeri relativi con esponenti positivi o
negativi;
CONTENUTI
Concetto di numero relativo, dall’insieme N all’insieme R;
Rappresentazione grafica di numeri relativi sulla retta;
Il segno di un numero relativo;
Il valore assoluto di un numero relativo;
Numeri relativi concordi, discordi, opposti;
Confronto di numeri relativi;
Operazioni e proprietà dei numeri relativi;
Calcolo di espressioni.
Per introdurre il concetto di numero relativo possono
(devono) essere fatti semplici esempi tratti dalla realtà:
• Per esempio, se diciamo che la temperatura di una certa
località è 6°C non ci esprimiamo con precisione. Occorrerà
specificare infatti se è al di sopra o al di sotto dello zero;
• Parlando del bilancio di un’azienda, se si dirà che esso
è pari a 63000 E, dovrà essere specificato se è in attivo o
in passivo;
• Se si afferma che Nerone è nato nell’anno 37 dovrà essere
necessariamente indicato se prima o dopo Cristo;
• In geografia, per identificare la posizione di
un punto, si utilizzano la latitudine e la
longitudine
ma
bisogna
specificare
rispettivamente se N e S o E e W da
Greenwich.
• E ancora, quando si assiste in
televisione al lancio di un razzo, o quando
pochi istanti prima di Capodanno si
sentirà dire: “Meno quattro, meno tre,
meno due, meno uno, zero” che
significa?
Come può esistere un numero negativo?
In tutti questi esempi, un certo punto, indicato come ZERO, viene
preso come riferimento. Alcune misure risultano inferiori allo zero, altre
superiori e per distinguere le varie misurazioni abbiamo utilizzato
termini come “in attivo” - “in passivo”, “al di sopra” – “al di sotto”,
“prima” – “ dopo” ecc.
In Matematica si ricorre invece all’uso di numeri preceduti dal
segno più o meno (+ o -).
E così adesso si dirà:
• La temperatura minima registrata a Varese il 12 Gennaio 2006 è stata
-8°C;
• L’azienda Giubbotti&Giubbotti ha chiuso il bilancio 2001 a + 91000 Euro.
• Cleopatra è nata ad Alessandria nell’anno -69.
Viene quindi introdotta la necessità di utilizzare nuovi numeri,
rispetto a quelli dell’insieme N, poiché appunto preceduti da un
segno e che vengono chiamati numeri relativi perché il loro
valore risulta definito relativamente ad uno zero di riferimento.
I numeri relativi si distinguono in:
 Numeri positivi, cioè superiori allo zero (segno +)
 Numeri negativi, cioè inferiori allo zero (segno -)
DEFINIZIONE:
i numeri interi preceduti dal segno + costituiscono l’insieme
dei numeri interi positivi; tale insieme si indica con Z+; i
numeri interi preceduti dal segno – costituiscono l’insieme dei
numeri interi negativi; tale insieme si indica con Z-.
L’unione dei numeri interi positivi, Z+, compreso lo zero a cui non si associa
alcun segno, e dei numeri interi negativi, Z-, forma l’insieme dei numeri interi
relativi, che si indica con Z;
Oltre ai numeri interi è possibile considerare positivi o negativi anche i numeri
razionali, attribuendo ad essi il segno più o meno. Determineremo così l’insieme
dei numeri razionali positivi Q+ e quello dei numeri razionali negativi Q-.
Dall’unione di Q+ e Q-, compreso lo zero, otteniamo l’insieme dei numeri razionali
(o razionali relativi), che si indica con Q.
Si ha quindi che Z è sottinsieme di Q
Anche i numeri irrazionali possono essere preceduti dal segno più o meno.
Determineremo pertanto l’insieme dei numeri irrazionali relativi, che si indica con
I.
QUI=R
R sarà l’insieme dei numeri reali relativi.
Per numeri relativi si intendono quindi tutti i numeri interi, razionali e
irrazionali, sia positivi che negativi.
R
Q
I
Z
N
I numeri interi relativi possono essere rappresentati su una retta
orientata.
Considerando una retta r ed un suo punto O che la divide in due semirette, la retta r
può essere percorsa in due versi: positivo da O verso destra che negativo da O
verso sinistra.
Sulla retta orientata, riportiamo successivamente, a partire da O, un segmento
unitario u che rappresenta un’unità di misura scelta ad arbitrio.
u
-9 -8 -7
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0
verso negativo
O
+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
verso positivo
Possiamo quindi associare ai punti individuati da u sulla retta, i numeri interi
relativi. Quelli che si susseguono da zero verso destra rappresentano numeri
interi relativi positivi, quelli che si susseguono da zero verso sinistra
rappresentano numeri interi relativi negativi.
Da chi sono occupati i vuoti tra un numero intero ed
un altro?
Dai numeri razionali e irrazionali.
E si potrà far osservare che:
 L’insieme dei numeri interi relativi (Z) è ordinato, cioè scelti due
elementi qualsiasi, è sempre possibile stabilire quale è maggiore e
quale è minore.
 Gli insiemi dei numeri razionali (Q) e irrazionali (I) oltre ad
essere ordinati sono densi, cioè scelti due elementi qualsiasi
(appartenenti allo stesso insieme), è sempre possibile trovare un
altro elemento sempre dello stesso insieme.
 L’insieme dei numeri reali R, dato dall’unione di Q e I, è invece
continuo. Ad ogni punto sulla retta orientata corrisponde un
numero reale, e viceversa, ad ogni numero reale corrisponde un
punto sulla retta (corrispondenza biunivoca).
Esercizi di pronta verifica possono essere i seguenti:
• Indica quali fra le seguenti grandezze possono essere espresse per
mezzo di numeri relativi e quali no. Motivare le risposte:
La temperatura media registrata in una località
La profondità del mare
La velocità di un corpo
La longitudine di un punto sulla Terra
Il peso di un corpo
E poi:
esegui le ricerche opportune e rispondi alle seguenti domande:
Qual è la temperatura di fusione del piombo? Quella di solidificazione del
mercurio? E quella di fusione del ghiaccio?
E ancora
Il campionato di calcio di serie A dell’anno 1999-2000 è stato vinto dalla Lazio con
due punti di vantaggio sulla Juventus. Con quale numero puoi esprimere il distacco
che quest’ultima ha avuto nei confronti della Lazio?
VALORE ASSOLUTO, NUMERI RELATIVI CONCORDI, DISCORDI,
OPPOSTI
 Il valore assoluto di un numero relativo è uguale al numero stesso se
esso è positivo, al numero cambiato di segno se esso è negativo.
Es. Valore assoluto di +4, e si indica |+4|, è uguale a 4.
Valore assoluto di -18, e si indica |-18|, è uguale a 18.
 Due numeri relativi si dicono concordi se hanno lo stesso segno, si
dicono discordi se hanno segno diverso.
Così +3 e +2/5 sono concordi, mentre -9 e +4/7 sono discordi
 Due numeri relativi si dicono opposti o simmetrici se hanno lo stesso
valore assoluto ma segno contrario.
Così +6 e -6, -9/2 e +9/2 sono opposti
Per effettuare il confronto tra due numeri relativi possiamo sfruttare
la rappresentazione grafica di R
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2 -1
0
+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
O
Presa una qualsiasi coppia di numeri, sarà sempre maggiore il numero
che si trova più a destra, ovvero, quello che segue l’altro, nella
successione, procedendo da sinistra verso destra;
Vengono introdotti i simboli < e >, che significano rispettivamente “minore di” e
“maggiore di”.
Es. 0 precede +2 e quindi 0 < +2;
0 segue -3/8 e quindi 0 > -3/8
-4 segue -6 e quindi -4 > -6
-1 precede + 13/7 quindi -1 < +13/7
+7/5 segue + 1 quindi + 7/5 > +1
PROPRIETA’
Lo zero è maggiore di ogni numero negativo;
Lo zero è minore di ogni numero positivo;
Ogni numero positivo è maggiore di ogni numero negativo;
Dati due numeri positivi, è maggiore quello che ha valore assoluto
maggiore;
Dati due numeri negativi, è maggiore quello che ha valore assoluto
minore;
Esercizi da proporre
Disponi in ordine crescente i seguenti numeri relativi: -9, - 65, + 4/9, 0, - 2/3,
+2, -4;
Disponi in ordine decrescente i seguenti numeri relativi: -1, +6/5, +23, - ½,
0.
Oppure
Inserisci il segno < (minore di), > (maggiore di), = (uguale)
+3…..+8;
-7…..-5;
-8/7……-7/8;
+1,25……+5/4;
+9……-7,2.
ADDIZIONE FRA DUE NUMERI RELATIVI
Sfruttare la retta orientata e partire da esempi.
A) I due numeri da sommare hanno entrambi segno positivo: es. (+3) + (+2)
Individuare sulla retta il primo addendo. Aggiungere tante unità quante sono quelle
del secondo addendo spostandoci verso destra perché il segno del secondo
addendo è +
O
+5
+3
(+3) + (+2) = +5
+2
B) I due numeri da sommare hanno entrambi segno negativo: es. (-3) + (-2)
Individuare sulla retta il primo addendo. Aggiungere tante unità quante sono quelle
del secondo addendo spostandoci verso sinistra perché il segno del secondo
addendo è O
-5
-3
(-3) + (-2) = -5
-2
C) I due numeri da sommare hanno uno segno positivo e l’altro segno
negativo:
es. (+3) + (-2)
Individuare sulla retta il primo addendo. Aggiungere tante unità quante sono quelle
del secondo addendo spostandoci verso sinistra perché il segno del secondo
addendo è - (se il secondo addendo fosse stato positivo ci spostavamo verso
destra).
O +1
+3
(+3) + (-2) = +1
-2
REGOLE GENERALI
 La somma di due numeri relativi concordi è un numero relativo che
ha lo stesso segno degli addendi dati e per valore assoluto la somma dei
valori assoluti;
 La somma di due numeri relativi discordi è un numero relativo che
ha lo stesso segno dell’addendo avente valore assoluto maggiore e per
valore assoluto la differenza dei valori assoluti
REGOLA PRATICA PER L’ESECUZIONE DELLA SOTTRAZIONE
FRA DUE NUMERI RELATIVI
L’utilizzo del metodo della retta orientata risulta piuttosto complicato per spiegare
l’operazione di sottrazione fra due numeri relativi e i testi suggeriscono pertanto
una “regola pratica” che consente di eseguire l’operazione con molta più facilità.
REGOLA: la
differenza tra due numeri relativi si ottiene
effettuando la somma del primo con l’opposto del secondo
Esempi
a. (+7) – (+6) = (+7) + (-6) = +1
b. (-3) – (-5) = (-3) + (+5) = +2
c. (-2) – (+8) = (-2) + (-8) = -10
d. (+4) – (-9) = (+4) + (+9) = +13
Si procederà quindi utilizzando la regola generale vista per l’operazione di
addizione. Poiché l’operazione di sottrazione è stata trasformata in addizione
si deduce che le due operazioni ne costituiscono una sola, chiamata somma
algebrica
SOMMA ALGEBRICA DI PIU’ NUMERI RELATIVI
La somma algebrica fra più numeri relativi può risultare di non immediata
comprensione
Ad es. calcolare (-9+3-2+7+4+12-21-1+11-14) può sembrare un’operazione
difficile.
Basterà far capire ai ragazzi che si dovranno dapprima sommare i moduli di tutti i
valori positivi, successivamente sommare i moduli di tutti i valori positivi e quindi
effettuare l’operazione di somma algebrica.
12
+
-
9
3
1
14
11
7
21
4
(+37) + (- 47) =
-10
2
MOLTIPLICAZIONE DI DUE NUMERI RELATIVI
Rispetto a quando si opera con i numeri naturali bisogna tenere conto del segno
dei due fattori
I due fattori sono entrambi positivi, ad es. (+2) • (+4) sarà uguale a
(+2) + (+2) + (+2) + (+2) = +8
I due fattori sono uno negativo e l’altro positivo, ad es. (-3) • (+5) sarà
uguale a
(-3) + (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -15
I due fattori sono entrambi negativi, ad es. (-3) • (-4) e in questo caso si
utilizza un percorso indiretto. Si prende in esame un’altra moltiplicazione e
precisamente [(+3) + (-3)] • (-4).
Il risultato della somma algebrica in parentesi quadra è zero, quindi anche l’intera
moltiplicazione sarà uguale a zero. Si applica la proprietà distributiva della
moltiplicazione rispetto all’addizione: (+3) • (-4) + (-3) • (-4) = 0
Il prodotto (+3) • (-4) è uguale a (-12), come sopra descritto; poiché il prodotto fra
(-3) • (-4) aggiunto a -12 deve dare come risultato zero, dovrà necessariamente
essere: (-3) • (-4) = +12
Ricapitolando i quattro casi descritti si può costruire la
seguente tabella dei segni
+·+=+
+·-=-·+=-·-=+
REGOLA: il prodotto fra due numeri relativi è un numero relativo che ha
-Come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti;
-Segno: positivo se i due numeri sono concordi, negativo se discordi.
Per la divisione fra due numeri relativi vale la stessa regola dei segni per la
moltiplicazione, mentre come valore assoluto avremo naturalmente il quoziente
dei valori assoluti.
ALTRI ESERCIZI DA PROPORRE
Qual è il segno del prodotto di due numeri relativi concordi?
E tra due discordi?
Qual è il segno del prodotto di una moltiplicazione in cui i fattori negativi sono in
numero pari?
E se dispari?
Metti al posto dei puntini due numeri relativi concordi tali che l’uguaglianza
sia verificata:
(…) + (…) = -8;
(…) + (…) = +6
(…) + (…) = -24
Metti al posto dei puntini due numeri relativi discordi tali che l’uguaglianza
sia verificata:
(…) + (…) = -10;
(…) + (…) = +7
(…) + (…) = -90
E ancora…
Alcune delle seguenti operazioni sono state eseguite in modo
sbagliato, individua l’errore e correggilo:
(-8) + (-4) = - 4
(+7) – (-2) = + 9
(-4) • (-9) = - 36
(+8) : (+2) = + 4
(+81) – (-1) = + 80
(+44) • (-1) = + 44
(-10) : (+5) = + 2
Ed infine, calcolare il valore di espressioni come:
[(2/7 + ½ -1/3) : (-19/7) + (1/8 + 10/3 – 5/2) + 1/3 – 1]
[-6/5 + 3/2 – 1/15 – (3/2 + 9/4 -1) + 2/3 • 9/8] : (1/10 + 4/5 -1) -1/3 + 10/3
[(3/4 + ½ - 9/10) : (1/4 + 6/5 -1) – (5/3 – 1/9 + 11/3) + (-8/3 + 1/9)] : (-7/3)
Bibliografia
G. Flaccavento Romano – MATEMATICA UNO SU MISURA – Fabbri Editori
(1999);
E. Nicoletti, M.T. Servida, G. Somaschi – ALGEBRA – CEDAM (2002);
D. Valenti, C. Gori Giorgi – IMMAGINI DELLA MATEMATICA (vol. C) – Zanichelli
(2004);
R. Vacca, B. Artuso, F. Barreca – PROGETTO MODULARE DI ALGEBRA –
ATLAS (2003).