4. DECISIONE
A. Federico
ENEA; Fondazione Ugo Bordoni
Scuola estiva di fonetica forense
Soriano al Cimino 17 – 21 settembre 2007
LA STRUTTURA BASE DEL CASO GIUDIZIARIO
Viene registrata una conversazione che configura una
ipotesi di reato, da essa viene ricavato un campione
parametrico che chiameremo “Anonimo” o “Test”. Il
numero delle misure formantiche di qualità estraibili
dal campione non può generalmente essere
programmato. Si cerca di ottenere il massimo di
misure e di dati che rispettano gli standard di qualità.
Ad una o più persone sospettate di essere possibili
autori della conversazione anonima, cioè colpevoli, si
chiede di rilasciare un “Saggio” di voce dal quale si
ricava un campione parametrico omonimo, o
“Reference”.
Questo paradigma è immediatamente estendibile a
dati di rilevanza giudiziaria di tipo diverso.
SAGGI E COMUNITA’ LINGUISTICHE
Si deve supporre che ogni saggio sia rilasciato in
ambiente controllato, con testi opportuni e che sia
capiente quanto basta per dare al campione dei
parametri vocali il numero programmato di gradi di
libertà.
Si suppone che le voci “Anonimo” e “Saggio”
facciano parte di una medesima comunità
linguistica nazionale, regionale o locale dei cui
modelli statistici vocali si dispone.
In caso contrario va progettato ed eseguito un
esperimento che consenta di acquisire un nuovo
modello di popolazione, statisticamente adeguato,
ricavato da parlatori indipendenti, appartenenti a
comunità socio-linguisticamente ben definite.
PROBABILITA’ DI COLPEVOLEZZA
L’evento statisticamente sotto osservazione è il
campione anonimo di “Test”. La colpevolezza
dell’autore del saggio è uno “stato di natura, C” che
può essere così espresso: “L’autore del saggio è
l’autore della telefonata anonima”
L’obiettivo dell’esperimento giudiziario è la misura
quantitativa della probabilità di tale stato di natura.
Sulla tale probabilità esistono sempre informazioni
fattuali o convinzioni precedenti all’esperimento,
eventualmente derivate da esperimenti diversi ed
indipendenti, esse pure rappresentabili mediante una
misura di probabilità “a priori” P(C) o come “Chance
a priori in favore della colpevolezza” (Prior Odds)
CH(C) = P(C)/P(C) dove P(C  C) = 1.
ESPERIMENTI MULTIPLI, PROBABILITÀ A POSTERIORI
In qualità di esperti siamo chiamati a dare un
contributo
conoscitivo
su
tale
possibile
colpevolezza per il tramite di uno o più esperimenti
di laboratorio (ESP1, ESP2, …), in particolare
attraverso uno o più test di identificazione. Al
termine degli esperimenti la P(C) a priori sarà stata
modificata con una misura nuova di probabilità che
denomineremo “a posteriori”. Questa sequenza
può essere significativamente espressa mediante
la formula di Bayes:
P(CESP1,ESP2, …) = P(C)P(ESP1,ESP2, …)C)/
[P(C)P(ESP1,ESP2, ...C) + P(C) P(ESP1,ESP2, … C)]
VEROSIMIGLIANZE E LIKELIHOOD RATIO LR
In questa formula i termini P(ESP1,ESP2, …)C) sono
le verosimiglianze della ipotesi di colpevolezza alla
luce degli esperimenti, cioè L(C; ESP1,ESP2, …) .
La formula di Bayes, dividendo termine a termine,
si esprime ancor più chiaramente in forma di odds o
chance in favore della colpevolezza:
CH(CESP1,ESP2, …) = CH(C) *
P(ESP1,ESP2, …)C) / P(ESP1,ESP2, … C) =
CH(C) * L(C; ESP1,ESP2, …) / L(C; ESP1,ESP2, …) =
CH(C) * LR(C; ESP1,ESP2, …)
LR COME MOLTIPLICATORE INFORMATIVO
LR è il “Rapporto di verosimiglianza”. La relazione
di Bayes consente di trattare i risultati di una
pluralità
di
esperimenti.
Se
essi
sono
statisticamente indipendenti il valore L o di LR della
sequenza è il prodotto delle singole L o dei LR.
Uno o più test di identificazione che diano risultato
positivo daranno luogo ad un aumento della
probabilità di colpevolezza a priori. In caso
negativo produrranno una diminuzione.
Alla luce di questa trattazione ogni test di
identificazione non va considerato altro che come
un passo del processo “informativo” sullo stato di
colpevolezza dell’imputato.
IL SIGNIFICATO DI LR
Eseguito l’esperimento ESP sui dati, LR è un rapporto
tra le due verosimiglianze dell’ipotesi di colpevolezza
e dell’ipotesi contraria (test aperto di tipo giudiziario),
ovvero dell’ipotesi di colpevolezza del parlatore A
rispetto ad altri parlatori B, B1, BK (test chiuso). È una
misura quantitativa che va espressa con un numero,
non con aggettivi. Può essere anche molto difficile da
valutare. Il responso di uno strumento di laboratorio
per
l’identificazione
dei
parlatori,
comunque
complesso, utilizzato in una certa configurazione
hardware e software, alimentato dai dati di un
campione
statistico
assegnato,
deve
essere
accompagnato dalle misura delle due verosimiglianze
relative alle ipotesi C piuttosto che C.
GLI ALGORITMI DI IDENTIFICAZIONE DEL PARLATORE
La pura e semplice misura dei parametri fonoacustici
del campione Anonimo è un esperimento. Sia tale
campione A = (a1, a2, … , aK), dove gli a sono vettori pdimensionali e k è il numero di “realizzazioni”
disponibili di tale voce. Sia xt il valore medio
campionario.
Sia pR(xt|R) la verosimiglianza del saggio
dell’imputato e pP(xt|P) quella della popolazione di
riferimento, supposta costituita da campioni di
parlatori appartenenti alla stessa comunità di A. Gli
algoritmi più semplici danno identificazione dei
parlatori se la prima verosimiglianza prevale sulla
seconda e quindi se LR>1.
ALTRI ALGORITMI
Assegnato il campione, le verosimiglianze mutano al
variare delle pdf ipotizzate dai modelli. Alcuni algoritmi
usano le verosimiglianze del campione:
i pR(ai|R) / pP(ai|P)
che coincidono con il LR delle medie all’ipotesi di
distribuzione multivariata normale. Naturalmente i
valori di LR ricavati da pdf continue in algoritmi diversi
possono essere molto diversi. Per calcolare tali
verosimiglianze non è necessario disporre delle
probabilità a priori dei dati, esse pure funzioni continue
note a priori eventualmente da altri esperimenti sui
medesimi dati. Può convenire quotare il logaritmo
naturale o decimale lr(C;A) per mitigare la scala di
escursione molto ampia dei valori numerici dei LR.
L’INFERENZA BAYESIANA
L’approccio bayesiano all’inferenza statistica
consente la massima valorizzazione del contenuto
informativo dei dati di un esperimento anche nello
spazio delle variabili continue e permette, come si è
visto, di concatenare razionalmente i risultati di
esperimenti diversi in un determinato contesto e
sugli stessi dati. E’ basato sul teorema di Bayes:
“Sia X un campione di n vettori p-dimensionali x,
regolati (modellati) da una p.d.f. p(x) per la cui
definizione sono richiesti m parametri  = (1,2, …
m). Si ha : p(|x) = cost p(x|) p() dove la
costante non è altro che il valore atteso di x su tutti
i valori possibili di ”.
L’INFERENZA BAYESIANA SULLA PDF
Il Teorema di Bayes continuo può essere così
espresso:
p.d.f. a posteriori  verosimiglianza x p.d.f. a priori
Quando si dispone di una molteplicità di
esperimenti indipendenti sui medesimi dati, in
questa
eguaglianza
si
sostituirà
alla
verosimiglianza il prodotto delle verosimiglianze di
ciascun esperimento.
In questo modo l’approccio bayesiano ha il grande
pregio di mettere bene in evidenza il ruolo dei flussi
di informazione che derivano da successive
acquisizioni.
LA STRUTTURA DEL METODO FUB SPREAD
Per eseguire la procedura FUB SPREAD è
indispensabile
conoscere
il
modello
della
popolazione pP(x|P), in prima approssimazione
N(P;SP), cui appartengono l’anonimo e l’imputato, i
cui modelli si suppone siano N(r;Sr) e N(t;St) per i
quali si fa l’ipotesi Sr = St = S. Nei casi in cui il
modello della popolazione non è stato studiato, come
per la popolazione femminile italiana, o di voci
ricavate da canali diversi dal telefonico, non si può
supporre di conoscere P quindi nè SP né il centroide
della popolazione P né S. In tal caso il vettore r,t  r
,t verrà incrementato di tutti i parametri che servono
a definire S che sono in numero p(p+1)/2.
IL CASO MONODIMENSIONALE
Seguiamo il caso monodimensionale per semplicità
di scrittura. Sono disponibili dall’esperimento i dati
xt, xr, wt, wr, nt, nr che costituiscono una statistica
sufficiente per mt mr e s. Per  = nt+nr -2 si pone:
w = [(nt -1) wt + (nr -1) wr ] / 
Le medie delle due popolazioni, anonimo e saggio,
sono indipendentemente distribuite con le p.d.f.
N(xt;w2/nt), e N(xr;w2/nr). La distribuzione della
varianza è una s2/ 2, indipendente. Assumendo
che le distribuzioni a priori di mt mr e s siano
indipendenti e localmente uniformi si ha una
distribuzione a posteriori:
p(mt-mr ,s2| X) = p(s2|w) p(mt-mr | s2, xt-xr )
MODELLO DI POPOLAZIONE DISPONIBILE; p=1
In questo caso la matrice di covarianza W viene
stimata con i dati di un un database, come SP99,
indipendentemente dai dati dell’anonimo e del
saggio e anche dalla fattispecie giuridica.
Si può pertanto assumere S  W. Nel caso p=1 si ha
S  s2; la probabilità a posteriori sarà:
p(mt-mr ,s2| X) = p(g | X, w) = N(xt-xr ,w(nt+nr )/ntnr).
La
formula
è
generalizzabile
multidimensionale p>1:
al
caso
p(mt-mr,S | X) = p(g | X, W) = N(xt-xr ,W(nt+nr )/ntnr)
MODELLO DI POPOLAZIONE DISPONIBILE; p>1
La pdf ha sezioni isoprobabili ellissoidiche
descritte da:
D2 = (g-(xt-*r)) [ntnr/(nt+nr )W-1] (g-(xt-xr))’ = cost
Si dimostra che D2 ha una distribuzione 2p con p
gradi di libertà. Questo risultato è geometricamente
identico al risultato del test campionario di
confronto tra due medie normali multivariate, nel
quale la relazione:
D2 < Inv 2p (1-a)
definiva la regione di accettazione del test chiquadratico con livello di confidenza (1-a). La
definizione della regione di accettazione del test
Bayesiano verrà trattata più avanti.
INDISPONIBILITÀ DI UN MODELLO DI POPOLAZIONE
La mancanza del modello di popolazione, come si
vedrà in seguito, impedisce lo svolgimento corretto
del processo decisionale. Non impedisce però
sempre l’effettuazione di un test di identificazione.
In questo caso la matrice di covarianza W viene
stimata dai dati dello specifico caso X=(xt;xr) con la
formula del “pooling”.
Una matrice di covarianza stimata con n<p dati è
singolare. La condizione n>p, benchè non
sufficiente, è comunque necessaria per la
invertibilità di W.
Nel caso monodimensionale si può ricavare la
distribuzione marginale a posteriori di g=mt-mr.
IL CASO MONODIMENSIONALE
Integrando via la variabile s2 si ottiene:
p(mt-mr|X) = p(g |X) = [B(½,½)w(nt+nr)/ntnr]-½ *
-½(+1)
[1+(g-(x
-x
))/(w(n
+n
)/n
n
)]
t
r
t
r
t
r
*
che è la ben nota t(0,1,) di Student con nt+nr-2 gradi
di libertà e t = (g-(xt-xr))/(w(nt+nr)/ntnr)½]
t di Student
0.8
dgf 1
0.6
dgf 10
0.4
dgf 100
normale
0.2
0
0
1
2
3
4
IL CASO MULTIDIMENSIONALE
Se p>1 si dimostra che la distribuzione è la tp
multivariata con =nt+nr-p-1 gradi di libertà. La
probabilità a posteriori rispetta la relazione:
p(g |X)[1+(g -(xt-xr))(W(nt+nr)/ntnr)-1 (g -(xt-*r))’]-½(+p)
La distribuzione è dunque una tp(0,W/,). Come nel
caso
univariato
la
pdf
è
una
funzione
monotonicamente
decrescente
della
Fq
di
Mahalanobis :
D2 = (g -(xt-xr))(W(nt+nr)/ntnr)-1 (g -(xt-xr))’
Nello spazio Sp la variabile g descrive contorni di
eguale probabilità a posteriori su ellissoidi D2 = cost.
Anche qui si tratta, dal punto di vista geometrico,
dello stesso risultato del Test campionario T2 di
Hotelling.
PARALLELO COL TEST CAMPIONARIO DI HOTELLING
In quel caso il test veniva condotto mettendo a frutto
la statistica T2 di Hotelling a due campioni secondo la
relazione, dove F è la distribuzione di Fisher:
ntnr/p(nt+nr)(nt+nr-2 ) D2 ~ Fp,
che regola il test di identità delle due medie e che,
assegnato il livello di confidenza (1-a), determina il
contorno ellissoidico della regione di identificazione.
Viceversa, nell’approccio Bayesiano, il livello
di
probabilità a posteriori, che viene scelto in base al
procedimento decisionale, determina il valore di D2 e
quindi il dominio ellissoidale. In questo caso, come si
vede, non è rilevante il tipo di distribuzione della D2,
ma la distribuzione a posteriori, tp, di g.
LE REGIONI BAYESIANE HPD
I test Bayesiani vengono condotti attraverso il
calcolo di una funzione di probabilità a posteriori.
Tali p.d.f. nello spazio Sp possono essere sezionate
da un piano p.d.=cost che determina uno o più
volumi, caratterizzati dal fatto che tutti i punti interni
hanno p.d. più alta di qualsiasi punto esterno. Tali
regioni sono chiamate HPD (Highest Posterior
Density). Il livello di probabilità che le individua
p=f(q) viene determinato in base a procedure
decisionali di minimo rischio.
Se g=0 cade entro il dominio HPD=HPD(q) il risultato
del test Bayesiano è positivo. Alle ipotesi qui
assunte per le distribuzioni di t,r, N(t,r;w2/nt,r), i
domini HPD sono sempre di forma ellissoidica.
LA DECISIONE BAYESIANA
I test statistici di identificazione sono parte
integrante deI processo decisionale giudiziario.
Mentre i test sono di competenza dei tecnici, la
decisione comporta la responsabilità e la
partecipazione di altri soggetti. In questo modo
l’approccio bayesiano valorizza per intero i livelli
informativi disponibili in tutte le fasi della
procedura. Le conoscenze a priori, prima della
effettuazione del o dei test di identificazione, sono
di due tipi:
 L’opinione della corte, prima di affidare
l’accertamento fonico, si esprime sotto forma di
probabilità di colpevolezza P(C) (es. 30%) o di
chance in favore della colpevolezza (C) (3:7)
LA CONOSCENZA A PRIORI DEI TECNICI
 Eventuali
informazioni
sull’appartenenza
sociolinguistica dell’anonimo e dell’imputato possono
dare ai tecnici informazioni sulla p.d.f. a priori del
campione. In caso contrario si adotta l’ipotesi “non
informativa” (p.d.f. a priori uniformi).
 Risultanze tecniche. Possono comprendere prove
d’ascolto, analisi dei sonogrammi, prove parametriche
anche multiple. Se per ogni prova si sanno esprimere
in termini chiari ed affidabili le verosimiglianze,
l’inferenza bayesiana sequenziale consente di
valorizzarne a pieno tutti i risultati.
 Allo stato delle cose non sono state però ancora
elaborate verosimiglianze per le prove soggettive.
IL COSTO DELLA DECISIONE
Fondamentalmente occorre premettere alla decisione
una valutazione del costo sociale delle decisioni che
si prendono. Si può senza dubbi particolari
considerare nullo il costo sociale di una decisione
giusta o lo si sostituisce con un vantaggio.
Le decisioni sbagliate hanno invece un costo che si
può quantificare in molti modi. Per evitare defatiganti
discussioni sulle più opportune unità di misura (si
tratterebbe di denaro o altro tipo di valore) è
sufficiente definire il rapporto q tra le due decisioni
sbagliate in materia di colpevolezza o di innocenza.
Nei nostri lavori, in mancanza di una determinazione
diversa di una corte, assumiamo q  1000.
STATO DI NATURA E DECISIONE
Nel gergo della teoria delle decisioni si definisce
“Stato di natura”, il fatto sul quale l’analisi statistica
deve eseguire un’inferenza.
Nel caso giudiziario tale stato riguarda l’imputato
che può essere colpevole (C) o innocente (C). E’
facile estendere la procedura al caso di più anonimi
e più imputati.
La decisione dovrà naturalmente essere D
(l’imputato è colpevole) o D (l’imputato è innocente).
Sono quindi possibili due combinazioni giuste D|C,
D|C, e due sbagliate D|C, D|C.
LA MATRICE DELLA DECISIONE
DECISIONE A MINIMO RISCHIO
Il rischio di una decisione è il prodotto della
probabilità degli stati di natura e del costo della
decisione stessa. Le componenti hanno la forma:
R(.) = P(.) Costo(.)
La misura della probabilità degli stati di natura è
pertanto indispensabile e deve tener conto di tutti gli
esperimenti eseguiti. Il costo è quello che deriva dalle
conseguenze della decisione presa. Nella procedura
giudiziaria le decisioni possibili sono riconducibili a
due: D e D i cui rischi sono le somme:
R(D) = P(C) Costo(D|C) + P(C) Costo(D|C)
R(D) = P(C) Costo(D|C) + P(C) Costo(D|C)
CALCOLO DEL RISCHIO DELLA DECISIONE
La decisione assunta sarà quella a rischio minore;
si deciderà per la colpevolezza solo se:
R(D) < R(D)
e quindi, poiché i costi delle decisioni giuste sono
nulli o comunque eguali nei due casi se:
P(C|D) Costo(D|C) < P(C|D) Costo(D|C)
ovvero se:
P(C|D)/P(C|D) = Pf.rj./Pf.id. > Costo(D|C)/ Costo(D|C) = q
Il valore di f(q) determina la dimensione della
regione di identificazione ID  Sp e la distanza di
soglia del test bayesiano FUB SPREAD.
INGEGNERIA INVERSA
Sfortunatamente, assegnato il fattore di qualità del
test bayesiano q (d’ordinario 1000 o superiore) NON
SAPPIAMO calcolare la regione di identificazione né
la relativa distanza di soglia del test che, lo
ricordiamo, è costante sul confine di tale regione.
Merita prendere nota che, a differenza dei test
campionari, il test bayesiano non determina una
soglia predefinita, ma la calcola volta per volta in
funzione del valore del rischio ammesso.
Quello che sappiamo fare, una volta calcolata la
distanza di Mahalanobis tra le medie dell’anonimo e
del saggio, è calcolare il rischio della identificazione
per il tramite delle probabilità di errore.
DENTRO O FUORI?
Sappiamo che all’avvicinarsi delle due medie,
anonimo e saggio, la probabilità di errore di falsa
identificazione deve diminuire. Assumiamo pertanto
come distanza di soglia del test bayesiano la
distanza tra le medie dei due parlatori. Avremo così
ritagliato una regione minima di identificazione ID.min,
un ellissoide di centro xr definito dall’equazione:
D2min = (xt-xr) ntnr/(nt+nr )W-1 (xt-xr)’
Calcoliamo il fattore di qualità che corrisponde a
tale scelta, q max. Attribuiamo l’identificazione se
questo numero supera il nostro soggettivo livello di
rischio relativo accettabile, 1000, 10000 o altro.
LE PROBABILITÀ DI ERRORE: FALSA REIEZIONE
Per eseguire il calcolo del fattore di rischio il
programma deve calcolare le due probabilità di
errore, del primo e del secondo tipo. Per gli errori
del I tipo che si verificano quando il test rifiuta
l’identità ove l’imputato è colpevole, applicando la
formula di Bayes si ha:
Pf.rj. = P(C|D) = P(D|C) P(C)/P(D) =
= L(C;D) P(C)/[(1-L(C;D))P(C)+L(C;D)P(C)]
LE PROBABILITÀ DI ERRORE: FALSA REIEZIONE
La verosimiglianza della colpevolezza C, quando
l’inferenza ha dato risultato di non identificazione D,
L(C;D), corrisponde al caso che un campione xr
rilasciato dall’imputato non sia stato riconosciuto come
tale. Per calcolarla si integra, per D2(g)>D2 (qmax), la
distribuzione N(xt-xr ;W(nt+nr)/ntnr).
La probabilità di falsa reiezione a posteriori si può dare
in forma equivalente:
Pf.rj. = L(C;D) P(C)/[1-P(C)+2L(C;D)P(C)- L(C;D)]
In figura si osservi l’andamento di Pf.rj per alcuni valori di
L(C;D) caratteristici dei test campionari rispetto ai quali
concettualmente a  L(C;D) svolgono lo stesso
ruolo.
LE PROBABILITÀ DI ERRORE: FALSA REIEZIONE
PROBABILITA' DI FALSA REIEZIONE A POSTERIORI
100%
90%
80%
L, ex alfa, = 1%
70%
L, ex alfa, = 5%
P.f.rj.
60%
L, ex alfa, = 10%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
0
0.2
0.4
0.6
0.8
PROBABILITA' DI COLPEVOLEZZA A PRIORI
1
LA PROBABILITA’ DI FALSA IDENTIFICAZIONE_1
Applicando la formula di Bayes si ha:
Pf.id. = P(C|D) = P(D|C) P(C)/P(D) =
= L(C;D) P(C)/[(1-L(C;D))P(C)+L(C;D)P(C)] =
= L(C;D) (1-P(C))/[P(C)+L(C;D)-2L(C;D)P(C)].
Il calcolo della verosimiglianza L(C;D) è davvero
molto complicato. Non risultano disponibili in forma
chiusa integrali ellittici del tipo necessario. Si tratta di
calcolare la probabilità che vengano identificati per
errore soggetti appartenenti alla comunità di
riferimento diversi dall’imputato. Ciò accade in FUB
SPREAD per tutti i parlatori il cui centroide cade nella
regione di identificazione del test. Questo errore non
può mai essere nullo.
LA PROBABILITA’ DI FALSA IDENTIFICAZIONE_2
Nella prima figura si osserva l’andamento della
probabilità di falsa identificazione a posteriori Pf.id in
funzione della probabilità di colpevolezza a priori
dell’imputato per alcuni valori tipo del rapporto di
verosimiglianza.
La scala delle ordinate è data per comodità in forma
logaritmica in base 10.
Per P(C) = 0,5 si ha Pf.id. = L(C;D), quindi Log(Pf.id.) =
Log(L(C;D)). Si ha anche Pf.rj. = L(C;D).
Nella seconda figura la Pf.id. è rappresentata in
andamenti relativi rispetto al valore assunto per
P(C)=0,5; valore per il quale gli odds (chance) a
posteriori eguagliano il rapporto di verosimiglianza.
FALSA IDENTIFICAZIONE vs LR
PROBABILITA' DI FALSA IDENTIFICAZIONE
0
-1
LOG(Pf.id.)
-2
-3
-4
-5
-6
-7
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Probabilità di colpevolezza a priori
LR = 10%
LR = 0.1%
LR = 1:100.000
1
FALSA IDENTIFICAZIONE vs LR per P=1/2 a priori
PROBABILITA' DI FALSA IDENTIFICAZIONE
20
Pf.id.(P(C))/Pf.id.(0.5)
18
16
LR = 10%
14
LR = 1%
12
LR = 0.1%
10
LR = 1:100.000
8
6
4
2
0
0
0.2
0.4
0.6
Probabilità di colpevolezza a priori
0.8
1
LA QUALITÀ q DEL TEST vs LA PROBABILITÀ A PRIORI
Il rapporto tra le probabilità d’errore a posteriori può
essere dato in funzione delle chance di
colpevolezza a priori (odds) dell’imputato, (C) :
Pf.rj./ Pf.id = q = L(C;D) / L(C;D)*
[L(C;D) + (C) (1- L(C;D)] / [L(C;D) + (C)-1 (1- L(C;D)]
RAPPORTO q in funzione degli odds a priori
10
8
Log(q)
6
4
-3
-2
-1
2
Lf.rj.=0.1; Lf.id.=10**-4
0
Lf.rj.=0.1; Lf.id.=0.01
-2
0
1
2
-4
Log(Odds a priori)
3
4
5
6
INTEGRAZIONE MONTECARLO DELLA LF.ID.
Per il difficile calcolo di L(C;D) si rende necessario fare
ricorso ai metodi di integrazione Montecarlo.
Se non esiste una primitiva, un integrale definito in una
regione ID  Sp può essere stimato con un approccio
probabilistico Montecarlo. Viene calcolato il valore
medio della funzione integranda in corrispondenza dei
punti di un campione distribuito all’interno al volume ID
in modo uniforme.
La media viene accumulata fino a che la sua deviazione
standard scende stabilmente al di sotto di un valore
percentuale prefissato dal programmatore.
L’integrazione Montecarlo può essere effettuata
qualunque sia la pdf. L’ipotesi di normalità del modello
della popolazione non è dunque necessaria.
ALGORITMO DI INTEGRAZIONE ELLITTICA_1
Nel nostro caso le regioni di integrazione sono
ellissoidi. L’algoritmo di integrazione, esegue i
seguenti passi:
 Si genera un campione z di n punti a
distribuzione sferica in Sp. Moltiplicando per le li
della matrice L delle componenti principali di W si
genera un campione a simmetria ellittica;
 Si ruota il campione mediante antitrasformazione
alle componenti principali y = G-1z;
 Il campione viene proiettato sulla superficie di ID,
indi ridistribuito uniformemente nel volume interno;
 Si calcola il valore medio campionario della p.d.f.
della popolazione di riferimento;
ALGORITMO DI INTEGRAZIONE ELLITTICA_2
 Il procedimento viene
iterato finché si scende, per
m iterazioni consecutive, al
di sotto dell’errore standard
stabilito.
 Cade l’ipotesi di normalità
della p.d.f. della popolazione
di riferimento (in figura sono
però rappresentate sezioni di
p.d.f. normali). La funzione
può essere data per punti
con un approccio
distribution - free.
FF0e
FF0a
MOLTIPLICATORI BAYESIANI
Il calcolo delle probabilità di errore associate alla
regione di identificazione del test consente come
già visto di calcolare il rapporto di verosimiglianza
LR del test. Le chance di colpevolezza (odds a
favore della colpevolezza) dell’imputato a test E
effettuato ed a decisione D presa sono :
(C|E,D)q = LR(C;E,D) (C)
Dove i due termini di LR sono:
L(C;E,D)  1-Pf.rj.
L(C;E,D)  Pf.id.
LR(C;E,D) = (1-Pf.rj.)/Pf.id.
ALTRI MOLTIPLICATORI
In molti trattamenti statistici dell’informazione vocale
a fini giudiziari si fa uso del concetto di
verosimiglianza e si calcolano rapporti LR di altro
tipo, che assumono valori vari, anche molto diversi
tra loro. Questi LR sono generalmente rapporti di pdf
continue del dato e non sono moltiplicatori bayesiani
delle probabilità di interesse giudiziario nè possono
essere usati per il calcolo della probabilità di
colpevolezza a posteriori.
Si consideri però che se un LR viene usato per
confrontare due ipotesi, generalmente due pdf in
alternativa, valori alti o molto alti dei LR sono
correttamente usati per accreditare l’ipotesi più
verosimile.
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