DEFINIZIONI FONDAMENTALI
Argomenti
Concetti di interesse, montante, valore attuale e sconto.
1
Cenni introduttivi
MATEMATICA FINANZIARIA
 Matematica “ad hoc” per calcoli finanziari
Necessaria quando un operatore si trova in una situazione in cui deve tener conto di:
 Fattore Tempo
Il valore di una determinata somma disponibile immediatamente è diverso da quello di una somma
identica nell’importo, ma disponibile in un periodo successivo.
Fattore Incertezza
Il futuro è, in misura minore o maggiore a seconda dei casi, indeterminato. Una determinata somma
spettante ad un operatore in un momento futuro stabilito può essere corrisposta in parte o affatto,
ovvero essere liquidata in un momento diverso da quello pattuito.
Prendiamo in considerazione solo l’aspetto temporale, tralasciando l’aleatorietà dell’operazione
finanziaria. Ci si riferisce esclusivamente a somme CERTE, ma disponibili in istanti diversi.
2
Operazione di investimento
Un operatore rinuncia alla disponibilità immediata di un capitale C a patto di
ricevere una somma M in un istante successivo t.
M = Montante della somma C
Interesse
M-C=I
M CI 
M CI
M
I


 1
C
C
C
C
Definendo:
M
C
I
i (t ) 
C
r (t ) 
Fattore di capitalizzazione
Tasso di interesse
Si ottiene la prima relazione
fondamentale
r (t )  1  i (t )
3
Sconto e valore attuale
Un operatore rinuncia ad una parte del capitale (M) che gli è dovuto in futuro, ad un
istante t, pur di entrare immediatamente in possesso di una somma C<M.
Situazione speculare all’investimento
SCONTO o ANTICIPAZIONE
C = Valore attuale del capitale M
M-C=D
Sconto
C M D
C M D
D

 1
M
M
M
Definendo:
C Fattore di attualizzazione
M
D Tasso di sconto
d (t ) 
M
v(t ) 
Si ottiene la seconda relazione
fondamentale
v(t )  1  d (t )
4
Grandezze equivalenti
 Se un investimento permette di trasformare, in certo lasso temporale, un
capitale C in un montante M (con M>C), questo significa che avere la
disponibilità immediata del capitale C equivale ad avere M tra t anni.
 Si tratta di un’equivalenza convenzionale attinente al fatto che esiste un
mezzo per generare una qualsiasi delle due somme partendo dall’altra.
 Ogni operatore può, per esigenze personali, non essere affatto
indifferente nella scelta, preferendo indiscutibilmente una delle due
soluzioni.
Un’operazione finanziaria elementare determina una relazione di equivalenza
tra due somme relative ad istanti differenti
5
Grandezze equivalenti
 Nel caso particolare t = 1 si avrà:
r (1)  r
v(1)  v
i (1)  i
d (1)  d
 Dove r, i, v, d sono simboli standardizzati.
6
Grandezze equivalenti
Dalle relazioni precedenti ricordiamo:
r
M
C
v
;
C
M
r
1
v
;
v
1
r
Inoltre essendo:
r  1 i
;
v  1 d
7
Esercizi
ESERCIZIO 1
Un capitale di € 290 matura un interesse annuo del 2,5%. Calcolare
montante prodotto dopo un anno e l’interesse prodotto.
M  C  (1  i )  290  (1, 025)  297, 25
I  M  C  7, 25
ESERCIZIO 2
Un montante pari ad € 300 si è maturato in un anno ad un interesse
del 3,5% annuo. Calcolare il capitale che ha generato il montante.
M
300
C  M v 

 289,86
(1  i) (1, 035)
8
Esercizi
ESERCIZIO 3
Un capitale di € 290 genera in un anno un montante pari a € 305.
Calcolare il tasso d’interesse (i) e il fattore di capitalizzazione (r).
M
r
 1, 0517
C
i  r  1  0, 0517
9
Esercizi
ESERCIZIO 4
Su un credito esigibile fra un anno pari a € 415, viene praticato uno
sconto del 3,00% annuo. Calcolare il valore attuale del credito e
l’ammontare dello sconto.
C  M  (1  d )  415  (1  0, 03)  402,55
D  M  C  415  402,55  12, 45
ESERCIZIO 5
Il valore attuale di un credito esigibile fra un anno è pari a € 400,
essendo praticato un tasso di sconto dell’1,80% calcolare il valore del
credito.
C
400
M  C r 

 407,33
(1  d ) 0, 018
10
Esercizi
ESERCIZIO 6
Un credito esigibile tra un anno di € 415 ha un valore attuale pari a €
304. Calcolare il tasso di sconto (d) e il fattore di attualizzazione.
C
 0, 7325
M
d  1  v  0, 2675
v
11
Esercizi
ESERCIZIO 7
Dato un tasso di sconto annuo pari al 15,50%, calcolare:
 il tasso di interesse
 il fattore di capitalizzazione
 il fattore di attualizzazione
d
0,1550
i

 0,1834
(1  d ) (1  0,1550)
r  1  i  1  0,1834  1,1834
v  1  d  1  0,1550  0,8450
12
I PRINCIPALI REGIMI FINANZIARI
Argomenti
Regime finanziario dell’interesse semplice e dell’interesse
composto
13
Regime finanziario dell’interesse semplice
Interesse semplice.
Regime nel quale l’interesse prodotto da un’operazione di investimento è
direttamente proporzionale al capitale investito (C) e alla durata
dell’operazione (t)
1. Legge di formazione dell’interesse semplice
I (t )  C  i  t
Dove:
i: tasso d’interesse periodale (riferito all’unità di misura scelta per il tempo)
i (t )  i  t
Interesse unitario per operazione di durata t
14
Regime finanziario dell’interesse semplice
2. Legge di formazione del montante
M (t )  C  I (t )  C  Cit  C (1  it )
Ponendo C=1 si ottiene il montante unitario che rappresenta il
fattore di capitalizzazione.
r (t )  1  it
Legge di capitalizzazione
semplice
15
Regime finanziario dell’interesse semplice
Nel grafico è rappresentato l’andamento nel tempo del Montante e
dell’interesse nel regime dell’interesse semplice (linea continua: i=0,12 ;
linea tratteggiata: i=0,18)
M,I
M  M (t )
I  I (t )
C
t
16
Osservazioni sul grafico
 Montante ed interesse hanno andamento lineare rispetto al
tempo (t)
 Per t=0 l’interesse è nullo e il montante è pari al capitale
inizialmente investito
 Le semirette derivanti dall’andamento nel tempo di interesse e
montante sono parallele e in ogni istante t la loro differenza è
pari al capitale investito
 Il coefficiente angolare delle semirette (iC) cresce al crescere di i
e/o C
17
Relazioni di base
Riassumiamo le relazioni fondamentali del regime dell’interesse semplice
I (t )  C  i  t
M (t )  C (1  i  t )
r (t )  1  i  t
i (t )  i  t
18
Esercizi
ESERCIZIO 1
Dato un capitale di € 3.000 impiegato per 3 anni nel regime
dell’interesse semplice ad un tasso di interesse annuo del 13%.
Calcolare l’interesse generato e il montante.
I  C  i  t  0,13  3.000  3  1.170
M  C (1  i  t )  3.000  (1  0,13  3)  3.170
19
Esercizi
ESERCIZIO 2
Un capitale di € 1.250 produce dopo un anno un interesse di € 87,375.
Calcolare il tasso di interesse annuo.
I (t )  C  i  t
I (t ) 87,375
i

 0, 0675
C  t 1.250 1
ESERCIZIO 3
Un capitale di € 800 produce dopo tre anni un montante di € 900.
Calcolare il tasso di interesse annuo.
M  C (1  i  t ) 
M
1 M

 1  i  t  i    1
C
t C

1  900 
i 
 1  0, 0416
3  800 
20
Esercizi
ESERCIZIO 4
Dato un capitale iniziale di € 3.500 calcolare il tempo che è necessario
per maturare un interesse di € 350 ad un tasso annuo del 7,5%.
I (t )
I (t )  C  i  t  t 
C i
350
t
 1,3
3.500  0.075
0,3 12  4
1 Anno e 4 mesi
21
Esercizi
ESERCIZIO 5
Dato un capitale iniziale di € 2.500 calcolare il tempo che è necessario
per maturare un montante di € 3.000 ad un tasso annuo del 7,5%.
1 M

M  C 1  i  t   t )    1
i C

1  3.000 
t
 1  2, 6

0.075  2.500 
0, 6 12  8
2 Anni e 8 mesi
22
Tasso di sconto e fattore di attualizzazione nel regime
dell’interesse semplice
Ricordiamo che:
i(t )
i t

1  i(t ) 1  i  t
1
1
v(t ) 

r (t ) 1  i  t
d (t ) 
i t
1 i t
1
C  M  v(t )  M 
1 i t
D (t )  M  d (t )  M 
Sconto
Valore Attuale
23
Sconto e Valore Attuale nel regime dell’interesse semplice
Nel grafico è rappresentato l’andamento nel tempo del valore attuale e dello
sconto nel regime dell’interesse semplice (linea continua: i=0,12 ; linea
tratteggiata: i=0,18)
C, D
M
D  D (t )
C
t
24
Esercizi
ESERCIZIO 1
Calcolare il capitale da investire oggi ad un tasso annuo del 9,50% per
ottenere tra 14 mesi un montante di 1.000
M  C  r (t )  C (1  i  t )
M
1.000
C

 900, 225
(1  i  t ) 1  0, 095  14
12
25
Esercizi
ESERCIZIO 2
Un capitale disponibile tra sei mesi ammonta ad € 3.000. Calcolare il
suo valore attuale considerando un tasso di interesse annuo del 14%.
C  M  v(t ) 
M

1 i t
3.000
 2.803, 74
 6
1  0,14   
 12 
26
Esercizi
ESERCIZIO 3
Calcolare il valore attuale di un capitale disponibile tra nove mesi pari
a € 1.750 sapendo che il tasso di sconto annuo (d) è del 9%.
d
0, 09
i

 0, 0989
1  d 1  0, 09
M
1.750
C

 1.629,16
1 i t
9
1  0, 0989   
 12 
27
Esercizi
ESERCIZIO 4
Se ad un capitale disponibile tra 18 mesi, pari a € 7.000, è applicato un
tasso di sconto annuo del 7% annuo qual è l’entità dello sconto? A
quanto ammonta il valore attuale?
0, 07
d
 0, 0753

1  d 1  0, 07
0, 0753 1,5
i t
 0,1014

d (t ) 
1  i  t 1  0, 0753 1,5
D  M  d (t )  7.000  0,1014  710,14
i
C  M  D  7.000  710,14  6.289,86
7.000
M
 6.289,86

C  M  v(t ) 
1  i  t 1  0, 0753 1,5
28
Esercizi
ESERCIZIO 5
Viene stipulato un prestito per € 5.000 da restituire dopo 9 mesi con
l’interesse annuo del 12%. Calcolare il valore attuale dopo 6 mesi della
somma dovuta usando un tasso di interesse annuo del 10%.
i  12%
i  10%
29
Esercizi
M  C  r (t )  C  (1  i  t )  5.000  (1  0,12  9 12)  5.450
C6
mesi
M
5.450
 M  v(t ) 

 5.317, 07
1  i  t 1  0,10  3 12
i  12%
i  10%
5.000
5.317, 07
5.450
30
Regime dell’interesse composto
Ragionando in termini di capitale investito unitario l’interesse generato
nell’unità di tempo sarà pari ad i, mentre il montante unitario sarà pari ad (1+i).
MONTANTE UNITARIO = FATTORE DI CAPITALIZZAZIONE (r(t))
Il fattore di capitalizzazione dopo una unità di tempo sarà:
r (1)  1  i
Se l’investimento prosegue alle stesse condizioni per un altro periodo il fattore
di capitalizzazione al termine di questa seconda unità temporale sarà:
r (2)  r (1)  (1  i)  (1  i)  (1  i)  (1  i)2
Al termine del terzo:
r (3)  r (2)  (1  i)  (1  i)2  (1  i)  (1  i)3
31
Regime dell’interesse composto
Generalizzando, se l’investimento prosegue per un numero di periodi “t” il
fattore di capitalizzazione sarà pari a:
r (t )  r (t  1)  (1  i)  (1  i)t
Partendo dal fattore di capitalizzazione (montante unitario) possiamo
definire, tramite le relazioni tra le grandezze equivalenti (v. slide 7),
l’interesse unitario generato da un’operazione di investimento di durata t.
i(t )  r (t )  1  (1  i)t  1
Dove:
i: tasso d’interesse periodale (riferito all’unità di misura scelta per il tempo)
32
Montante e Interesse
Avendo ottenuto il montante unitario e l’interesse unitario è semplice definire le leggi di
formazione del montante e dell’interesse.
M (t )  C(1  i)t
;
I (t )  C((1  i)t 1)
M,I
M  M (t )
C
I  I (t )
t
Nel grafico è rappresentato l’andamento nel tempo del Montante e dell’interesse nel
regime dell’interesse composto (linea continua: i=0,12 ; linea tratteggiata: i=0,18)
33
Sconto e Valore Attuale
In base alle relazioni intercorrenti tra le grandezze equivalenti (v. slide 7) si
possono ricavare:
Fattore di attualizzazione
(o valore attuale unitario)
Sconto unitario
v(t ) 
1
1

 (1  i) t
t
r (t ) (1  i)
d (t )  1  v(t )  1  (1  i) t
Inoltre possiamo ottenere:
C  M  v(t )  M (1  i)t
D(t )  M  d (t )  M  (1  (1  i)t )
Valore attuale
Sconto
34
Sconto e Valore Attuale
Nel grafico è rappresentato l’andamento nel tempo del valore attuale e dello
sconto nel regime dell’interesse composto (linea continua: i=0,12 ; linea
tratteggiata: i=0,18)
C, D
M
D(t )
C
t
35
Il montante: confronto tra i due regimi
Ricordiamo le leggi di formazione del montante nei due regimi finanziari
esaminati
Interesse semplice
M (t )  C (1  it )
Interesse composto
M (t )  C (1  i)t
Focalizziamo l’attenzione sul
valore di un montante generato
dall’investimento di un capitale
iniziale di € 100 per valori di t
compresi tra 0 e 1
36
Il montante: confronto tra i due regimi
Per durate inferiori all’anno gli interessi
prodotti dall’investimento nel regime
dell’interesse semplice sono maggiori di
quelli prodotti nel regime dell’interesse
composto.
M
Per durate superiori all’anno gli interessi
prodotti nel regime dell’interesse
semplice sono minori di quelli prodotti
nel regime dell’interesse composto
1 i
Per durate pari ad 1 anno i due regimi
finanziari
producono
lo
stesso
ammontare di interesse unitario (1+i)
1
0,0
2,0
1,0
t
37
Confronto RFIS e RFIC
Regime dell’interesse
semplice
La redditività (ovvero la produzione di interessi)
dell’investimento
rimane
commisurata
al
versamento di capitale iniziale
Schematizziamo operazione di investimento nel regime dell’interesse semplice
Investimento di € 100 per 4 anni ad un tasso del 5% annuo.
Capitale fruttifero
Interessi
Tempo (in anni)
100
100
100
100
100
0
5
5
5
5
0
1
2
3
4
Il quarto anno l’operatore incasserà il capitale iniziale investito (€ 100) più gli
interessi maturati in 4 anni (€ 20).
38
Confronto RFIS e RFIC
Interesse composto.
Regime nel quale gli interessi prodotti vengono automaticamente resi
fruttiferi. L’interesse viene capitalizzato a mano a mano che si genera.
Schematizziamo operazione di investimento nel regime dell’interesse composto
Investimento di € 100 per 4 anni ad un tasso del 5% annuo.
Capitale fruttifero
Interessi
Tempo (in anni)
100
100
105
110,25
115,76
0
5
5,25
5,51
5,79
0
1
2
3
4
Il quarto anno l’operatore incasserà il capitale iniziale investito (€ 100) più gli
interessi maturati in 4 anni (€ 21,55).
39
Regime dell’interesse semplice
INVESTIMENTO
i (t )  i  t
r (t )  (1  i  t )
I (t )  C  i  t
M (t )  C  (1  i  t )
ATTUALIZZAZIONE
i t
d (t ) 
1 i t
1
v (t ) 
1 i t
i t
1 i t
1
CM
1 i t
D(t )  M 
40
Regime dell’interesse composto
INVESTIMENTO
r (t )  (1  i)
t
i(t )  (1  i)t  1
M (t )  C  (1  i)t
I (t )  C  ((1  i)t  1)
ATTUALIZZAZIONE
v(t )  (1  i) t
C  M  (1  i)t
d (t )  1  (1  i) t
D(t )  M  (1  (1  i) t )
41
Esercizi
ESERCIZIO 1
Dato un capitale iniziale di € 1.750 investito nel regime dell’interesse
composto per tre anni al tasso di interesse annuo del 3,25%,
determinare il montante finale dell’operazione e l’interesse generato.
M  C  (1  i )t  1.750  (1  0, 0325)3  1.926, 23
I  C  ((1  i )  1)  1.750  ((1  0, 0325)  1)  176, 23
t
3
I  M  C  1.926, 23  1.750  176, 23
42
Esercizi
ESERCIZIO 2
Dato un tasso di interesse annuo del 4,75% e sapendo che tra un anno e
quattro mesi sarà disponibile un capitale di € 3.550, calcolare nel
regime dell’interesse composto il valore attuale del capitale suddetto
e la corrispondente misura dello sconto.
C  M  (1  i)t  3.550  (1  0, 0475)1,33  3.337,52
D  M  ((1  (1  i) t )  3.550  (1  (1  0, 0475) 1,33 )  212, 48
D  M  C  3.550  3.337,52  212, 48
43