IL GIARDINO DI ARCHIMEDE unmuseo
perla[matematica]
PROGRAMMA LEONARDO TOI
PROGETTO PIT.AGORA’
Codice CUP : G12F10000140006.
Laboratori matematici
Numeri e conti presso gli antichi sumeri
guida all'uso delle presentazioni
(sceneggiature di laboratorio)
Questo opuscolo intende fornire indicazioni sulla conduzione dei laboratori. Proponendo una sorta di sceneggiatura si delinea il ruolo dei chi conduce il laboratorio e la sua interazione con il pubblico, le diapositive delle presentazioni e gli strumenti da utilizzare nelle attività
Osservazione generale: Le diapositive non rappresentano una trattazione a sé stante, ma devono essere costantemente integrate dall’intervento dell’animatore, che le commenta e stabilisce il ritmo della loro successione. Quasi tutte le transizioni sono determinate dall’animatore con un clic del mouse; tra l’una e l’altra ci sarà spazio per le spiegazioni ma soprattutto per gli interventi dei ragazzi nella soluzione dei problemi proposti. I ragazzi sono divisi in gruppi di quattro o cinque persone; l’apparente complessità di alcuni problemi è funzionale a questo lavoro di gruppo.
Numeri e conti presso gli antichi sumeri.
Livelli: 0,1,2,3,4
Livello 0 1. Copertina.
Anim. [2] I sumeri sono un popolo antichissimo che viveva nel Medio Oriente, grosso modo dove oggi c’è l’Iraq. Hanno inventato la scrittura, e potevano scrivere anche i numeri. Oggi impareremo a contare e a scrivere i numeri come facevano gli antichi sumeri più di seimila anni fa. Ci aiuterà un bambino che si chiama Uri.
2. Numeri e mani.
Anim. [3] Uri era un bambino molto intelligente e la mamma lo mandava spesso a fare delle commissioni. Per ricordarsi i numeri Uri li segnava con le dita. [4] E così Uri comprava ricotte e patate. Proviamo anche noi a contare con le dita. Li sapete i numeri?
Bamb. Sì.
Anim. [5] Bene, allora contiamo: *uno, Bamb. *due, *tre, *quattro, *cinque.
Anim. [6] Bravi. Ora contiamo queste mucche con le dita. Fatemi vedere. *Eccole qua. Avete fatto tutti bene? [7] Ora contiamo queste. *Controlliamo. Bravi. [8] [9] Ecco la nostra scheda per contare. Attenti ora: [10] quanti sacchi ci sono? Non ce la fate con una mano? e allora .... ce ne vogliono due. Proviamo [11] *uno ...
Bamb. *due, *tre, *quattro, *cinque, *sei, *sette, *otto, *nove, *dieci.
3. I sassolini.
Anim. Benissimo! [12] e allora quanti sacchi ci sono? *Eccoli. [13] [14] Ed ecco la nostra scheda per contare. Con due mani, Uri poteva segnare i numeri fino a dieci. [15] Ma qualche volta si distraeva, apriva le mani, *e addio numero! [16] Poi un giorno ebbe un’idea: *invece delle dita *potrei usare dei sassolini di argilla, *ogni dito un sassolino, *come questo. [17] E posso contare mettendoli in fila: *uno, Bamb. *due, *tre, *quattro, *cinque, *sei, *sette, *otto, *nove, *dieci.
Anim. Bravi. [18] Ma anche senza metterli in fila. Bamb. *uno, *due, *tre, *quattro, *cinque, *sei, *sette, *otto, *nove, *dieci.
Anim. Bene. E ora contiamo con i sassolini e con le mani. [19] Uno. [20] Andate avanti voi
Bamb. Due. *uno, *due. [21] Tre: *uno, *due, *tre. [22] Quattro: *uno, *due, *tre, *quattro. [23] Cinque: *uno, *due, *tre, *quattro, *cinque. [24] Sei: *uno, *due, *tre, *quattro, *cinque, *sei. [25] Sette: *uno, *due, *tre, *quattro, *cinque, *sei, *sette. [26] Otto: *uno, *due, *tre, *quattro, *cinque, *sei, *sette, *otto. [27] Nove: *uno, *due, *tre, *quattro, *cinque, *sei, *sette, *otto, *nove. [28] Dieci: *uno, *due, *tre, *quattro, *cinque, *sei, *sette, *otto, *nove, *dieci. 4. I sassolini nella bolla.
Anim. Bravissimi. Ma tutti questi sassolini erano difficili da portare e si perdevano. [29] Così Uri si era fatto una bolla, [30] e quando la mamma lo mandava a fare una commissione, metteva i sassolini nella bolla e via. [31] Proviamo anche noi a mettere nella bolla il numero delle dita. *uno,
Bamb. *due, *tre.
Anim. [32] Ancora. Bamb. *uno, *due, *tre, *quattro, *cinque.
Anim. [33] Proviamo quest’altro. Bamb. *uno, *due, *tre, *quattro, *cinque, *sei.
Anim. [34] Proviamo quest’altro ancora. Bamb. *uno, *due, *tre, *quattro, *cinque, *sei, *sette.
Anim. [35] E questo. Bamb. *uno, *due, *tre, *quattro, *cinque, *sei, *sette, *otto, *nove, *dieci. Anim. [36] E questo? Bamb. *uno, *due, *tre, *quattro, *cinque, *sei, *sette, *otto, *nove, *dieci ... 5. La sfera.
Anim. * certo * sono *veramente *troppi *[37] Anche Uri, quando le dita erano troppe *non ci si raccapezzava più e a volte sbagliava. [38] Poi un giorno fece un sogno. *Sognò dieci sassolini *e un genio con dieci dita e una testa tonda. *Poi la testa diventava una sfera * e prendeva il posto dei dieci sassolini. [39] Quando Uri si svegliò, pensò: *Al posto di dieci sassolini ci posso mettere una pallina, *invece di dieci dita, un genio. [40] Proviamo anche noi a mettere queste dita nella bolla. *Al posto di dieci dita ...
Bamb. Un genio. Anim. *Bene, e allora cosa ci metteremo nella bolla? Fatto? *e allora controlliamo. [41] Ora proviamo questo. Al posto di dieci dita ...
Bamb. Un genio. Anim. *Altre dieci dita ...
Bamb. Un altro genio. Anim. *E allora cosa ci mettiamo nella bolla? *Ecco. [42] Ora proviamo quest’altro. *Dieci dita
Bamb. Un genio. Anim. *Altre dieci dita ...
Bamb. Un altro genio. Anim. *E allora cosa ci mettiamo nella bolla? *Ecco. Vogliamo provare ancora? [43] Dieci dita, *un genio. Dieci dita, *un genio. Dieci dita, *un genio. E allora ... *Ecco qua, controllate se avete fatto bene.
Bamb. Sì. Anim. [44] Ora invece facciamo con le mani il numero che sta nella bolla. [44] Pronti? via! *avete tutti così? Bene. [45] Ora questo. Al posto della pallina ci sarà ... Bamb. Un genio. Anim. *Eccolo. E cioè?
Bamb. Dieci dita. Anim. *Le avete tutti? e ora i due coni? Come, non avete più dita? Mettetevi a coppie; uno tiene le dieci dita e l’altro ... *due dita. Bene. Ora proviamo con quest’altro [46]. Due palline, *due geni, e cioè *dieci dita e dieci dita. [47] E ora questo. Ahi, ahi, qui bisogna mettersi in quattro. *Tre palline, tre geni. *e uno, *due, *tre bambinicon tutte le dita. Cosa resta?
Bamb. Quattro sassolini. 6. Scrivere i numeri.
Anim. Chi li fa? *bene. Con palline e coni Uri poteva ricordare numeri anche grandi. [48] Ma ogni tanto i sassolini si perdevano. *Una volta addirittura se li mangiò un uccello che li aveva presi per dei semi. [49] E allora Uri pensò: *se invece di mettere i sassolini nella bolla li stampo su una tavoletta d’argilla, non si possono perdere. [50] Come si fa per scriverli su una tavoletta? * Si prepara la tavoletta. Uri la faceva di argilla, ma noi useremo il Pongo. *Adesso si prende un sassolino e lo si preme sulla tavoletta. Si toglie il sassolino, *ed ecco: la forma è rimasta sulla tavoletta. [51] Possiamo anche leggere quello che è scritto sulla tavoletta. *Che numero c’è? Fatelo con le mani. * bene. [52] Se *nella tavoletta *invece del cono usiamo la pallina *e poi la togliamo, che numero c’è?
Bamb. Dieci.
Anim. Bene [53] * E allora che numero è questo? * Fatelo con le mani. *Benissimo. [54] *E questo? *Sempre con le mani. *Bravi. Voi credete che Uri si sia fermato qui? Niente affatto. Invece di premere nell’argilla i sassolini, che poi erano anche difficili da togliere, pensò di usare un bastoncino. [55] *Per scrivere il cono, lo teneva inclinato, *così. Invece per fare la sfera lo teneva dritto, *ed ecco. Provate a scrivere anche voi. [56] Quanti sacchi ci sono? Scrivetelo sulla tavoletta. Fate vedere? Bene. E ora attenzione! [57] Quanti bambini? Scrivetelo. Avete messo la pallina? Bravissimi. [58] Qui vedete delle tavolette con i numeri. Nella prima tavoletta ad esempio vedete a sinistra le forme di quattro coni e un segno che significava “mucca”, dunque quattro mucche. A destra sopra un simbolo che significava “montone” una pallina, dieci, e un cono più grande di quelli che abbiamo usato noi e che significava 60. Allora 70 montoni. Livello 1 (scuola primaria E1­E2)
1. Copertina.
Anim. [2] I sumeri sono un popolo antichissimo che viveva nel Medio Oriente, grosso modo dove oggi c’è l’Iraq. Hanno inventato la scrittura, per la quale utilizzavano tavolette di argilla, nelle quali troviamo le più antiche rappresentazioni dei numeri e dei calcoli relativi. Oggi impareremo a scrivere i numeri e a calcolare come facevano gli antichi sumeri più di seimila anni fa.
2. Contare con i sassolini.
Anim. [3] Per contare, i sumeri utilizzavano dei sassolini di argilla di varie forme. *Un piccolo cono *valeva 1, *una pallina *valeva dieci. Poi c’erano anche altre forme, ma noi useremo solo queste due. Cominciamo allora a contare: [4] * uno.... Bamb. *due, *tre, *quattro, *cinque. Anim. [5] Bene. *Ora continuiamo, ma prima rimettiamoli un po’ a posto. Via!
Bamb. *sei, *sette, *otto, *nove.
Anim. Un momento. Così non si può continuare, perché quando arriviamo, che so, a cinquantacinque abbiamo tanti di quei sassolini che per sapere quanti sono li dobbiamo contare di nuovo, e non si finisce più. Per questo, a partire da 10, invece di dieci piccoli coni si mette...[6]
Bamb. Una pallina.
Anim. Proprio così. *Una pallina. E ora, se vogliamo continuare, si aggiunge ... [7]
Bamb. Un cono piccolo.
Anim. *Benissimo. E undici. Ora si può continuare: *dodici, eccetera. Capito?
Bamb. Sì.
Anim. Bene. Allora adesso facciamo un gioco. [8] Io vi scrivo alcuni numeri con i sassolini, e voi dovete dirmi che numeri sono. Pronti? Potete scrivere la risposta su un foglietto. *Che numero è questo? Fatemi vedere i foglietti.
Bamb. 11.
Anim. *Bravi. [9] E ora quest’altro.
Bamb. 31.
Anim. *Benissimo, [10] ora questo.
Bamb. 23.
Anim. *Ottimo; vedete? posso disporli come voglio: prima le unità o prima le decine, o tutti mescolati ... . [11] Ora proviamo quest’altro.
Bamb. 55.
Anim. *Bene. [12] E questo?
Bamb. 62.
Anim. *Bene, [13] questo è l’ultimo. Bamb. 66.
Anim. *Benissimo. [14] Ora facciamo il gioco inverso: Io vi propongo alcuni numeri e voi li scrivete con i sassolini. Per esempio, sapreste *scrivere 13?
Bamb. Sicuro.
Anim. Vediamo. *Ecco qui; l’avete scritto bene?
Bamb. Sì.
Anim. Bravi. E allora [15] scrivete 33. *Eccolo. [16] Ora 27. *Bene. [17] Ora 48. Vediamo. *Ottimo. [18] Per finire proviamo 80. Fatto?
Bamb. Sì.
Anim. *Bene. [19] Questi sassolini venivano utilizzati per registrare per esempio quante pecore c’erano in un gregge. Spesso venivano messi in una palla, sempre di argilla, vuota all’interno. Per leggere il numero ogni volta si doveva rompere la sfera, cosa piuttosto scomoda, finché a qualcuno non venne in mente di premere sulla sfera i sassolini da mettere dentro prima di chiuderla in modo da lasciare un’impronta, siccché da fuori si poteva sapere quanti sassolini c’erano dentro. Questi segni sono la prima scrittura dei numeri. Qui vedete una sfera con i suoi sassolini, *i tre di sopra *valgono 1, *quelli più tondi di sotto *valgono 10. Sulla sfera si vedono i segni.
Ma torniamo ai numeri. [20] Guardate questo: è fatto con molti coni, più di dieci sicuramente ... Abbiamo visto che dieci piccoli coni valgono come una pallina: *tutte le volte che troviamo dieci conetti, *dobbiamo metterci una pallina. * ecco qua: ora il numero si legge molto meglio vero?
Bamb. Sì: sedici.
Anim. Bene. Ora vediamo se riuscite a scrivere [21] questi numeri con meno sassolini, usando anche le palline. *Cominciamo da questo. Mettete il risultato, cioè il numero scritto bene, dentro la sfera di plastica trasparente, che noi usiamo al posto di quelle di argilla, così da poter vedere il numero senza doverla aprire. Fatto?
Bamb. Sì.Tredici, bene. [22] *Ora questo. Bamb. Fatto.
Anim. *Trentuno, giusto. [23] *Ora attenti a questo. *Sessanta, e i coni spariscono tutti. [24] E infine quest’altro*.
Bamb. Fatto
Anim. *Ventitre, benissimo.
3. Le addizioni.
Anim. *[25] Ora che siete diventati molto bravi a leggere e scrivere i numeri voglio farvi vedere come i sumeri facevano le addizioni aiutandosi con i loro sassolini. *Per prima cosa, si preparano i due numeri da sommare. *Eccoli qui*. Che numeri sono? Bamb. 11 e 5.
Anim. Giusto. *Ora si uniscono i sassolini: primo numero, *e secondo numero. A questo punto, *si legge il risultato. Quanto viene?
Bamb. 16.
Anim. *Benissimo; torna vero? [26] Ora facciamone una più difficile. *Prepariamo i due numeri *da sommare, *che sono ...
Bamb. 7 e 14.
Anim. Ora *uniamo i sassolini: *uno e *due. Ora però i conetti sono troppi, *e allora devo fare un cambio. Che cambio?
Bamb. Al posto di dieci conetti una pallina..
Anim. *Bene. *Dunque facciamo questo cambio, *ed ecco qua. *Ora leggiamo il risultato; quanto viene?
Bamb. Due palline e un conetto ... 21.
Anim. *Ed ecco fatto. [27] Ora provate voi qualche addizione. *Cominciamo da questa*.
Bamb. 7 + 12.
Anim. E quanto fa?
Bamb. Una pallina e 9 conetti: 19.
Anim. *Bene. [28] *Ora proviamo **quest’altra*.
Bamb. 25+11. Viene 3 palline e 6 conetti.
Anim. *Benissimo; noi possiamo leggerlo trentasei, ma non importa: 3 palline e 6 conetti è il risultato “alla sumera”. [29] Facciamone un’altra: ****attenzione .... Cosa viene?
Bamb. 5 palline e 1 conetto.
Anim. *Molto bene, cinquantuno, come diremmo noi. [30] E ora proviamo questa: ****possiamo anche non leggere i numeri ma semplicemente ricopiarli e aggiustarli, cioè fare il cambio se necessario, così risparmiamo un po' di fatica ... Allora qual è il risultato?
Bamb. 5 palline e 4 conetti.
Anim. *Ottimo. [31] Ora proviamo questa**** ... Che fa?
Bamb. 5 palline e basta.
Anim. *Benissimo, per noi è cinquanta. [32] Ancora questa ****...
Bamb. 7 palline e 4 conetti.
Anim. *Bravi. Con le addizioni siete imbattibili.
4. Le sottrazioni.
Anim. [33] Ora possiamo passare alle sottrazioni. Per *prima cosa si scrivono i numeri da sottrarre. *Che sono ...
Bamb. 15 e 4.
Anim. E naturalmente si deve fare 15 meno 4. *Per fare la sottrazione, bisogna copiare il secondo numero, 4, usando i sassolini del primo. *Una volta copiato il secondo numero, *si contano i sassolini rimasti del primo, *e questo *è il risultato. Ora provate voi. [34] Facciamo questa sottrazione, cioè ***... Bamb. 23 ­ 11. Anim. Bene. Avete copiato l'11? Quanto resta?
Bamb. 12.
Anim. *Giusto. [35] Ora facciamo quest’altra. ****
Bamb. 33­12... Viene 21.
Anim. *Benissimo. [36] E ora?****
Bamb. 54­32 ... che fa 22.
Anim. *Bravi. [37] Ora vediamo un altro esempio un po’ più difficile: 25­6. Per prima cosa si preparano i numeri da sottrarre. *** Fatto?
Bamb. Fatto.
Anim. Bene. Ora cerchiamo *di copiare il secondo numero con i sassolini del primo. Questa volta ho dei problemi, *perché per completare il secondo numero manca ancora un cono, ma nel primo numero non ce ne sono più. *Allora bisogna fare un cambio: sostituisco una delle palline con dieci coni. [38] Fatto. Va bene?
Bamb. Bene.
Anim. *A questo punto *posso prendere il cono che mancava, *e completare il secondo numero. *Siamo alla fine: prendo quello *che resta del primo numero, *così, e *questo è il risultato. Bamb. Diciannove
Anim. Giusto. Allora ricordate: se non ci sono più sassolini di un tipo, bisogna cambiare quelli più grandi. [39] Ora provate voi a fare qualche sottrazione.**** Bamb. 23­6. Per copiare il 6 prendo i tre coni che ci sono, poi cambio una pallina e ne prendo altri 3 ... Fa 17.
Anim. *Vediamo. Giusto. [40] Ora quest’altra. ****
Bamb. 35­27... Viene 8.
Anim. *Bravi. [41] Un’altra ancora. ****
Bamb. 53­35 ... Fa 18.
Anim. *Giusto. [42] Ora l’ultima. ****
Bamb. 72­46... Fa 26.
Anim. *Benissimo. Anche le sottrazioni sono fatte. 5. Scrivere sulla tavoletta.
Anim. Avevamo visto che premendo i sassolini su una sfera di argilla, si potevano leggere all’esterno i sassolini che quest’ultima conteneva all’interno. Dopo qualche tempo, verso il 3000 aventi Cristo, i sumeri si accorsero che era inutile continuare a mettere i sassolini all’interno, e che bastava registrare sull’argilla il numero corrispondente. Inoltre invece di una sfera, che era fragile e scomoda, si potevano utilizzare per scrivere delle tavolette di argilla. [43] Eccone alcune, con registrati vari numeri. Nella prima tavoletta ad esempio vedete a sinistra le forme di quattro coni e un segno che significava “mucca”, dunque quattro mucche. A destra sopra un simbolo che significava “montone” una pallina, dieci, e un cono più grande di quelli che abbiamo usato noi e che significava 60. [44] Anche noi possiamo scrivere sulle tavolette: prima bisogna prepararle e poi si imprimono i sassolini. *Ad esempio ecco il numero 2, [45] *ed ecco il 20. [46] Proviamo a leggere qualche numero: *cosa c’è scritto qui?
Bamb. 12.
Anim. Benissimo. Naturalmente, premere i sassolini sulla tavoletta era piuttosto scomodo. [47] Da un certo momento in poi nacque l'idea di scrivere servendosi di bastoncini, una specie di rudimentali “penne”. *Quando il bastoncino si metteva storto, faceva una specie di cono, che era l’uno. *Se invece si premeva diritto, segnava un cerchio, che indicava il numero 10. Anche voi ora potete provare a scrivere i numeri sulle tavolette, che invece che di argilla sono di plastilina. Provate ad esempio il numero 7, ..., ora il 12, ... Bravissimi!