Università degli Studi di Roma “La Sapienza”
Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Laurea in Fisica
Misura dell’asimmetria di CP nelle transizioni
b → s con l’esperimento BaBar
Tesi di Laurea
di Marco Vignati
matricola: 11115172
Relatori:
Prof. Fernando Ferroni
Dott. Gianluca Cavoto
Anno Accademico 2003-2004
II
M ARCO V IGNATI
Tesine
Algoritmi di compressione e linguistica
Relatore: Dott. V. Loreto
La fisica delle sbarre sonore
Relatore: Prof. P. Camiz
IV
M ARCO V IGNATI
Indice
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Violazione di CP
I
3
1.1
Simmetria discreta C e simmetria discreta P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Violazione di CP nel Modello Standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.1
Triangolo unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
Violazione di CP diretta nei decadimenti deboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.4
Violazione di CP nel mescolamento dei mesoni neutri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.4.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5
Violazione di CP nell’interferenza tra Decadimenti e Mescolamento . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.6
Il “canale d’oro” B 0 → J/ψKS0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.7
Il decadimento B 0 → φK 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.4.2
Violazione di CP indiretta nel sistema B 0 B
Formalismo per stati coerenti B 0 B
0
0
2 PEP II e l’ esperimento BaBar
2.1
25
La B F actory P EP − II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.1.1
I fondi di P EP − II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Il sistema di tracciamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.2.1
Il rivelatore di vertice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.2.2
La camera a deriva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.3
Il rivelatore Čerenkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.4
Il calorimetro elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.5
L’IFR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.2
3 Ricostruzione dei decadimenti B → φK 0
3.1
Campioni di dati utilizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
47
VI
3.2
I K carichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.3
I KS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.3.1
KS0 → π + π − . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
I KL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.4.1
Ricostruzione nell’EMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.4.1.1
Veto dei π 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.4.1.2
I momenti di Zernike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.4.1.3
Momento laterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.4.1.4
Momento secondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.4.1.5
s1s9 e s9s25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.4.2
Ricostruzione nell’IFR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.4.3
Ricostruzione combinata EMC + IFR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.4.4
Energia mancante dell’evento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3.4.5
Funzione di verosimiglianza per i KL0 dell’EMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3.4.6
Rete neurale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
Il Mesone φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3.5.1
Ricostruzione di φ → K + K − . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3.5.2
Ricostruzione di φ → KS0 KL0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Variabili cinematiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.6.1
mES e ∆E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.6.2
Massa del mesone φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Variabili topologiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
3.7.1
Sfericità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
3.7.2
Angolo di elicità del mesone φ, H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
Discriminante di Fisher, F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
3.8.1
76
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
Costruzione del miglior discriminante di Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Analisi dei decadimenti B → φK 0
4.1
77
Analisi di massima verosimiglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
4.1.1
79
M ARCO V IGNATI
Il toy Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII
4.1.2
4.2
4.3
4.4
Distribuzioni con taglio sulla funzione di verosimiglianza (Projection Plot) . . . . . . . .
79
Il decadimento B → φKS con φ → K + K − . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
4.2.1
Selezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
4.2.2
Misura del numero di eventi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
Il decadimento B → φKL con φ → K + K − . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
4.3.1
Selezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
4.3.2
Misura del numero di eventi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
Il decadimento B → φKS con φ → KS KL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4.4.1
Ottimizzazione dei tagli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4.4.2
Misura del numero di eventi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
4.4.3
Nota sul calcolo degli errori sistematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
5 Ricostruzione dei vertici di decadimento e ∆t
101
5.1
Il flavour tagging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2
I vertici di decadimento e ∆t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3
5.2.1
Ricostruzione di ∆z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2.2
Estrazione di ∆t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Il vertice di decadimento di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3.1
B → KS0 π 0 e il vertice beam constrained (BC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3.2
Uso del vertice BC in B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6 Misura di S e C
6.1
6.2
109
Analisi dei singoli decadimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.1.1
Parametrizzazione delle pdf di ∆t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.1.2
Toy Monte Carlo e Mock fit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.1.3
Risultati del fit sui dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Analisi combinata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.2.1
Descrizione del fit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.2.2
Misure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.2.3
Calcolo delle incertezze sistematiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
VIII
A Parametri delle singole pdf
A.1
A.2
A.3
121
B 0 → φ(K + K − )KS0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.1.1
Parametri delle pdf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.1.2
Correlazione tra le variabili della funzione di verosimiglianza . . . . . . . . . . . . . . . 122
B 0 → φ(K + K − )KL0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.2.1
Parametri delle pdf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.2.2
Correlazione tra le variabili della funzione di verosimiglianza . . . . . . . . . . . . . . . 123
B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
A.3.1
Parametri delle pdf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
A.3.2
Correlazione tra le variabili della funzione di verosimiglianza . . . . . . . . . . . . . . . 125
A.3.3
Sistematiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
B Fit dipendente dal tempo
129
B.1
Parametri per le pdf del fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
B.2
Toy Monte Carlo e Mock Fit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
B.3
Parametri del fit sui dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
B.4
Tabelle delle sistematiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Ringraziamento
145
Indice delle figure
152
Indice delle tabelle
154
Bibliografia
155
M ARCO V IGNATI
1
Introduzione
Oggetto di questo lavoro di tesi è lo studio dell’asimmetria di CP dipendente dal tempo nel decadimento B → φK 0 .
Tale decadimento, mediato dal solo diagramma a pinguino, ammette eventuali contributi non previsti dal Modello
Standard, ma descritti da estensioni del modello basati su “Super Simmetrie”. Osservabili come il rapporto di
frazionamento (BR) e l’asimmetria di CP potrebbero essere diverse da quelle previste dal solo Modello Standard,
evidenziando cosı̀ contributi di “nuova fisica”. L’analisi è stata svolta su un campione di 118 milioni di coppie BB
rivelate con l’esperimento BABAR presso l’acceleratore P EP II a SLAC. Al fine di avere una statistica più alta
possibile per la misura dell’asimmetria dipendente dal tempo, verranno utilizzati gli eventi corrispondenti ai canali di
decadimento B 0 → φ(K + K − )KS0 , B 0 → φ(K + K − )KL0 e B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 , che verranno inseriti in un’ unica
analisi combinata.
Nel primo capitolo viene introdotta la violazione di CP nel Modello Standard, focalizzando l’attenzione sul Triangolo
Unitario e la fisica del mesone B, accennando al MSSM (Minimal Super Symmetric Model) e alle deviazioni che
dovrebbe indurre. Verrà anche introdotto il formalismo degli stati coerenti per la coppia BB.
Nel secondo capitolo viene descritto l’esperimento BABAR, il rivelatore e le caratteristiche di ogni singolo elemento.
Nel terzo capitolo vengono descritti il processo di identificazione delle particelle e le principali osservabili che verranno
utilizzate nella ricostruzione dei decadimenti.
Nel quarto capitolo si descrivono le tecniche di analisi statistica dei dati e la misura del numero di eventi per i canali
B 0 → φ(K + K − )KS0 , B 0 → φ(K + K − )KL0 , B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 .
Nel quinto capitolo si illustra la tecnica per ricostruire l’intervallo temporale che intercorre tra i decadimenti dei due
B, introducendo una tecnica recente per la ricostruzione del vertice quando non ci sono tracce cariche provenienti dal
vertice primario di decadimento.
Infine nel sesto capitolo vengono presentati i risultati della misura dell’asimmetria dipendente dal tempo per i singoli
decadimenti e per l’analisi combinata di tutti e tre i decadimenti.
2
M ARCO V IGNATI
1
Violazione di CP
Il fenomeno della violazione di CP è stato scoperto nella fisica dei mesoni K 40 anni or sono ma è ancora motivo di
studio. Questo perchè non è ancora stata testato in tutti i settori del Modello Standard e in particolare nella fisica dei
mesoni B. Il Modello Standard non è abbastanza predittivo, ad esempio, nello spiegare il fenomeno della bariogenesi
e l’asimmetria che osserviamo nell’universo tra materia e antimateria. Sorgono cosı̀ diverse ipotesi di nuova fisica,
ma al giorno d’oggi nessuna di esse è stata provata. Le teorie più in voga sono i modelli “Super simmetrici” nei quali
ogni particella del Modello Standard ha un corrispondente super simmetrico che obbedisce alla statistica opposta.
Nella fisica del B un canale di decadimento particolarmente sensibile a questi contributi potrebbe essere B 0 → φK 0 ,
oggetto di questa tesi.
In questo capitolo sarà descritto il fenomeno della violazione di CP nel Modello Standard con degli accenni a eventuali
contributi di nuova fisica.
1.1 Simmetria discreta C e simmetria discreta P
La simmetria di parità è una trasformazione discreta unitaria, (P = P + ), la quale opera effettuando le trasformazioni
t → t, x → −x, cioè cambia segno ai vettori (p → −p) lasciando invariate le quantità assiali. Consideriamo ora due
mesoni pseudoscalari P e P , caratterizzati da una serie di numeri quantici α ed un impulso p. La trasformazione di
parità agisce su di essi nel modo seguente:
P|P (p, α)i = ηP |P (−p, α)i
P|P (p, −α)i = ηP |P (−p, −α)i
(1.1)
dove ηP rappresenta la parità intrinseca dello stato P . Dalla proprietà di unitarietà della trasformazione P si ha che
1 = hP |P i = hP |P † P|P i = ηP∗ ηP hPP |PP i = ηP∗ ηP
(1.2)
dove PP è il trasformato del mesone P sotto parità . Da qui si può vedere che la parità intrinseca dello stato non è
completamente definita e va quindi fissata per definizione. Per un mesone pseudoscalare neutro P 0 si è soliti definire
P|P (p, α)i = −|P (−p, α)i P|P (p, −α)i = −|P (−p, −α)i
(1.3)
La coniugazione di carica C è , come l’ operatore P, un operatore unitario, vale quindi C = C + , e si ha
C|P (p, α)i = ηC |P (p, α)i
C|P (p, α)i = ηC |P (p, α)i
(1.4)
Anche qui, come precedentemente, applicando la proprietà di unitarietà si ottiene che η C (P ) = ηC (P ) = ±1 e quindi
anche la coniugazione di carica cosi come la parità non è definita univocamente. Combinando ora C e P si costruisce
l’operatore CP. Tale operatore agirà sullo stato |P (p, α)i
CP|P (p, α)i = ηCP |P (−p)i,
CP|P (p, α)i = ηCP |P (−p)i
(1.5)
4
Violazione di CP
dove ηCP = ηC ηP . Quindi la trasformazione CP manda il campo di una particella |P i nel campo della rispettiva
antiparticella |P i. Per i mesoni pseudoscalari neutri P 0 e P 0 , si definiscono le fasi in modo che si abbia
0
CP|P 0 i = −|P i
0
CP|P i = −|P 0 i
Ora partendo dai mesoni neutri P 0 e P 0 si possono costruire gli autostati di CP in modo tale che
In tal caso, applicando CP si avrà
1 0
|P±0 i = √ |P 0 i ± |P i ,
2
CP|P±0 i = ±|P±0 i,
(1.6)
(1.7)
Un ulteriore operatore di simmetria è l’operatore di inversione temporale T , il quale inverte l’ asse temporale del
sistema di riferimento, cioè t → −t. Il teorema di T CP, basato su assunzioni generali di teoria dei campi e di
relatività , afferma che ogni Hamiltoniana che sia invariante per trasformazioni di Lorentz è anche invariante sotto l’
applicazione di T CP. Questo teorema ha come conseguenza il fatto che le masse e le vite medie delle particelle e
delle relative antiparticelle debbano essere esattamente le stesse.
1.2 Violazione di CP nel Modello Standard
Il Modello Standard è un modello basato sul gruppo di simmetria SU C (3) × SUL (2) × UY (1). Sotto tale gruppo le
interazioni elettromagnetica, debole e forte sono descritte in termini di teorie di gauge.
Si possono rappresentare le componenti sinistrorse delle famiglie dei quark e dei leptoni osservate in natura come
doppietti di SUL (2)
uL
dL
cL
sL
tL
bL
νe
eL
νµ
µL
ντ
τL
mentre le componenti destrorse come singoletti di SUL (2)
eR
µR
τR
uR
cR
tR
dR
sR
bR
Questo perchè secondo la teoria, tutti questi campi e quelli dei bosoni di gauge sono associati a particelle di massa
nulla. In natura invece tali particelle sono massive. Al di sotto della scala di energia ∼ 200 GeV il gruppo di simmetria
viene rotto spontaneamente in SUC (3) × Uem (1), e il doppietto scalare di Higgs acquista un valore aspettato nel vuoto
diverso da 0. Questo meccanismo dà massa sia ai bosoni W e Z, sia ai leptoni e ai quark. Le masse dei quark nascono
dagli accoppiamenti di Yukawa con il doppietto di Higgs. La struttura delle interazioni deboli nel Modello Standard è
M ARCO V IGNATI
1.2 Violazione di CP nel Modello Standard
5
µ
data dal termine di interazione di correnti deboli cariche JCC
e il campo di bosone W . Tale termine di Lagrangiana è
scritto come
g µ
Wµ† + h.c.,
(1.8)
LCC = − √ JCC
2
o, nella base degli autostati di massa


 
eL
dL

 
µ
µ
µ
JCC = (ν e , ν µ , ν τ ) γ  µL  + (uL , cL , tL ) γ VCKM  sL 
(1.9)
τL
bL
Essa contiene quindi i campi sinistrorsi dei leptoni e dei quark e la matrice di Cabibbo-Kobayashi-Maskawa V CKM ,
che regola il mescolamento tra i sapori nel settore dei quark. La matrice CKM può essere considerata come una
0
0
0
matrice di rotazione tra la base degli stati d , s e b , autostati dell’ interazione debole e aventi accoppiamenti diagonali
a u, c e t e la base degli autostati di massa dei quark d, s e b. Questa matrice è scritta come


Vud Vus Vub


(1.10)
VCKM =  Vcd Vcs Vcb 
Vtd Vts Vtb
Tale matrice è unitaria nello spazio del sapore, e la sua dimensione è data dal numero di famiglie nella teoria. Nel
caso generale di n generazioni, VCKM è una matrice unitaria d’oggin × n. Per tre generazioni, la matrice CKM
può essere parametrizzata da tre angoli di Eulero e sei fasi, cinque delle quali possono essere rimosse ridefinendo le
fasi relative dei campi sinistrorsi dei quark. Quindi rimangono 3 angoli θ ij ed una sola fase osservabile δ, che rende
la matrice CKM complessa. La parte immaginaria della matrice è necessaria a descrivere la violazione di CP nel
Modello Standard. Più in generale, la simmetria di CP è violata nei processi con cambiamento di carica se non c’è
degenerazione tra le masse dei quark, e se risulta diversa da zero la quantità J CP , definita come
∗
JCP = | Im (Vij Vkl Vil∗ Vkj
)|;
(1.11)
i 6= k , j 6= l .
Si può infatti dimostrare che tutti i processi che violano CP hanno ampiezze proporzionali a J CP e che questa quantità
non dipende dalla convenzione scelta per le fasi.
L’unitarietà della matrice CKM può essere evidenziata usando una parametrizzazione opportuna. Quella di Maiani,
adottata nel PDG, è data dalla definizione di quattro parametri θ12 , θ23 , θ13 e δ:1


c12 c13
s12 c13
s13 e−iδ


(1.12)
VCKM =  −s12 c23 − c12 s23 s13 eiδ c12 c23 − s12 s23 s13 eiδ s23 c13  .
s12 s23 − c12 c23 s13 eiδ −c12 s23 − s12 c23 s13 eiδ c23 c13
Si è usata la notazione cij = cos θij e sij = sin θij . La fase che permette la violazione di CP, δ, compare associata ad
un parametro piccolo, |Vub | = s13 , il che rende esplicito il fatto che questo effetto nel Modello Standard è piccolo. In
termini di questa parametrizzazione, la quantità definita sopra, (cfr. equazione 1.11), viene ad essere pari a
JCP = | s13 s23 s12 sδ c213 c23 c12 | .
(1.13)
Una parametrizzazione approssimata della matrice CKM si ottiene sfruttando le gerarchie tra gli angoli di mescolamento. Si può porre c13 = 1 (sperimentalmente si ha che c13 > 0.99998) e trascurare il termine s13 rispetto ai termini
dell’ordine dell’unità . In questo modo si ottiene


c12
s12
s13 e−iδ


VCKM ' 
(1.14)
−s12 c23
c12 c23
s23  .
s12 s23 − c12 c23 s13 eiδ −c12 s23
1θ
ij
c23
rappresenta l’angolo di mescolamento tra la famiglia i-esima e quella j-esima, δ è la fase residua.
V IOLAZIONE
DI
CP
6
Violazione di CP
Una parametrizzazione utile in pratica è quella di Wolfenstein[9], ottenuta sfruttando l’idea fisica di Maiani che,
per piccoli angoli, la matrice CKM tende alla matrice unitaria. Sulla base di questa considerazione viene eseguita una espansione in termini del parametro λ, pari al seno dell’angolo di Cabibbo (cioè il parametro s 12 della
parametrizzazione di Maiani).


2
λ
A λ3 (ρ − iη)
1 − λ2


2


A λ2
VCKM ' 
−λ
1 − λ2
(1.15)
 + O(λ6 ) .


A λ3 (1 − ρ − iη) −A λ2
1
Con la parametrizzazione di Wolfenstein la quantità JCP , fissando i = u, j = d, k = t, l = b nell’equazione (1.11), si
ottiene
(1.16)
JCP ' A2 η λ6 ' 1.1 × 10−4 A2 η ,
che mostra che JCP è dell’ordine di 10−4 per λ ' 0.22.
1.2.1 Triangolo unitario
Un modo semplice per visualizzare le conseguenze dell’unitarietà della matrice CKM è quello di interpretarla mediante i cosiddetti triangoli unitari. Infatti l’unitarietà implica 6 relazioni tra i suoi elementi:
X
Vij Vik∗ = 0
(j 6= k)
(1.17)
i=1,3
tre di queste sono particolarmente significative per la predizione di effetti di violazione di CP all’interno del Modello
Standard:
∗
∗
Vud Vus
+ Vcd Vcs
+ Vtd Vts∗ = 0,
(1.18)
∗
Vus Vub
+ Vcs Vcb∗ + Vts Vtb∗ = 0,
(1.19)
∗
Vud Vub
(1.20)
+
Vcd Vcb∗
+
Vtd Vtb∗
= 0.
Queste corrispondono alla richiesta sull’ortogonalità tra le colonne della matrice CKM nella forma (1.10) ed impongono che la somma di tre quantità complesse si annulli. Questo rende possibile raffigurarle come un triangolo in un
piano complesso (fig. 1-1).
Esistono 3 di questi triangoli, tutti con la stessa area [5]
|A∆ | =
1
JCP .
2
(1.21)
Sotto riparametrizzazioni dei campi dei quark, i triangoli cambiano la loro orientazione nel piano complesso, ma la
loro forma rimane immutata.
Il più utile tra questi triangoli è quello cui ci si riferisce di solito con il nome di triangolo di unitariet à :
∗
Vud Vub
+ Vcd Vcb∗ + Vtd Vtb∗ = 0 ,
(1.22)
Nella parametrizzazione 1.10 gli elementi Vcd , Vcb and Vtb sono reali e usando il fatto che Vcd < 1, la relazione del
triangolo di unitarietà si scrive nella forma:
M ARCO V IGNATI
1.2 Violazione di CP nel Modello Standard
7
(a)
(b)
(c)
Figura 1-1. Triangoli Unitari ottenuti dalle relazioni 1.18 (caso a), 1.19 (caso b), 1.20 (caso c).
∗
Vtd Vtb∗
Vub
Vud
+
= 1.
|Vcd Vcb | |Vcd Vcb |
Confrontando i triangoli di unitarietà su una stessa scala, dopo aver valutato la loro forma attraverso la conoscenza di
valori sperimentali per i vari |Vij |, si ottiene:
∗
∗
Vud Vus
+ Vcd Vcs
+ Vtd Vts∗ ' O(λ) + O(λ) + O(λ5 ) = 0,
∗
+ Vcs Vcb∗ + Vts Vtb∗ ' O(λ4 ) + O(λ2 ) + O(λ2 ) = 0,
Vus Vub
∗
Vud Vub
+ Vcd Vcb∗ + Vtd Vtb∗ ' O(λ3 ) + O(λ3 ) + O(λ3 ) = 0.
e questo spiega perché gli effetti di violazione di CP siano sensibilmente molto più piccoli nei decadimenti dominanti
dei mesoni K (primo triangolo) e in quello dei Bs (secondo triangolo). I primi due hanno infatti un lato molto più
corto degli altri due, e degenerano praticamente in due segmenti, mentre nel terzo tutti i lati sono dello stesso ordine
di grandezza λ3 (vedi fig. 1-1). Per determinare la forma del triangolo si possono eseguire delle misure mirate a
determinare i due lati Rb e Rt , e gli angoli α, β e γ.
Gli angoli del triangolo di unitarietà si possono ottenere dalle seguenti relazioni:
∗
∗
Vub
Vud /|Vub
||Vud |
= ei(π−α) = −e−iα ,
∗
∗
Vtb Vtd /|Vtb ||Vtd |
−Vcb∗ Vcd /|Vcb∗ ||Vcd |
= eiβ ,
Vtb∗ Vtd /|Vtb∗ ||Vtd |
∗
∗
Vub
Vud /|Vub
||Vud |
= eiγ ,
∗
∗
−Vcb Vcd /|Vcb ||Vcd |
(1.23)
(1.24)
(1.25)
questi possono essere scritti in forma esplicita come
V IOLAZIONE
DI
CP
8
Violazione di CP
∗
V ∗ Vtd
Vcb∗ Vcd
Vub
Vud
α ≡ arg − tb
,
β
≡
arg
−
,
γ
≡
arg
−
.
∗V
Vub
Vtb∗ Vtd
Vcb∗ Vcd
ud
(1.26)
È usuale esprimere tali relazioni attraverso le quantità Im(z1 z2∗ /z1∗ z2 ) = sin(2(θ1 − θ2 )); usando il fatto che i termini
Vud , Vcd , Vcb e Vtb sono scelti reali, e che Vcd < 0 si ricava che
Vtd iα
Vtd
−iβ
∗
iγ
=
−
∗
Vub e , Vtd = |Vtd |e , Vub = |Vub |e ,
Vub
e che
Vub Vtd
,
sin 2α = Im
∗V∗
Vub
td
∗
Vtd
,
sin 2β = Im
Vtd
∗
Vub
sin 2γ = Im
.
Vub
Questa misura diretta può essere poi confrontata con una determinazione indiretta, ottenuta tramite l’assunzione della
validità del Modello Standard e la rappresentazione, sul piano complesso (ρ, η), di grandezze che non coinvolgono
direttamente gli angoli del triangolo unitario, ma che sono funzioni di ρ e η. In particolare:
•
|Vub |
|Vcb |
è rappresentato da una circonferenza centrata in (0,0)
Vub λ
Vcb = 1 −
λ2
2
q
ρ2 + η 2 .
(1.27)
• ∆md è rappresentata da una circonferenza centrata in (1,0)
∆md =
G2F 2
m ηc S(xt ) A2 λ6 [(1 − ρ)2 + η 2 ] mBd fB2 d B̂Bd ,
6π 2 W
(1.28)
2
S
S
dove S(xt ) è la funzione di Inami-Lim e xt = m2t /MW
. mt è la massa del quark t in M S, mM
(mM
), ed
t
t
ηc è la correzione di corta distanza all’ordine next to leading (NLO) in QCD perturbativa. Il fattore che rimane,
fB2 d B̂Bd , include tutte le informazioni sul contributo non perturbativo.
• f rac∆md ∆ms rappresenta a sua volta una circonferenza:
mBd fB2 d B̂Bd
∆mBd
=
∆mBs
mBs fB2 s B̂Bs
λ
2
1 − λ2
!2
[(1 − ρ)2 + η 2 ] .
0
(1.29)
• K , parametro caratteristico della violazione di CP nel sistema K 0 K , è rappresentato approssimativamente da
una iperbole, essendo legato a ρ ed η dalla seguente relazione
K = Cε A2 λ6 η −η1 S(xc ) + η2 S(xt ) A2 λ4 (1 − ρ) + η3 S(xc , xt ) B̂K ,
(1.30)
M ARCO V IGNATI
_
η
1.2 Violazione di CP nel Modello Standard
9
1
∆ms
95% limit
∆md
0.8
sensitiv.
∆ms/∆md
εK
0.6
0.4
|Vub|
|Vcb|
0.2
0
-1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
_
ρ
Figura 1-2. Limiti imposti sul valore di (ρ, η ) dalle misure indirette. Le curve rappresentano il caso ideale di misure
infinitamente precise, ottenute prendendo i valori centrali delle varie quantità. L’area rappresentata è quella selezionata
con l’analisi di [6].
dove
Cε =
2
G2F fK
mK m2W
√
.
6 2π 2 ∆mK
(1.31)
S(xi ) e S(xi , xj ) sono le appropriate funzioni di Inami-Lim [15], essendo xq = m2q /m2W ed avendo incluso le
correzioni al NLO [14, 16, 17].
Se la determinazione di queste grandezze fosse infinitamente precisa, si avrebbero quattro curve passanti per uno
stesso punto del piano ρ − η, definendo cosı̀ il vertice triangolo come mostrato in figura 1-2. In realtà, alle varie
grandezze sono associate incertezze dovute agli errori sperimentali nella misura e alla determinazione dei parametri
teorici introdotti. Quindi ognuna delle relazioni considerate rappresenta una banda (si veda la figura 1-3) 2 e di
conseguenza ciò che l’analisi del Triangolo Unitario riesce a fare è fissare una regione entro cui, assegnato un certo
livello di confidenza, cade il punto (ρ, η), compatibilmente con l’ipotesi fatta di validità del Modello Standard. A
questo punto, la misura diretta degli angoli del triangolo permette di avere un test di consistenza del Modello Standard
ed, eventualmente, evidenza di nuova fisica. Le recenti misure di sin 2β a BABAR e B ELLE sono in accordo con i valori
delle misure indirette.
In tabella 1-1 sono riportati i risultati recenti riportati in [20].
Notevoli progressi sono stati compiuti negli ultimi anni. Un chiaro esempio di ciò viene dalla figura 1-4, dove viene
confrontata l’area selezionata allo stato attuale con quelle ottenute negli anni precedenti. Il notevole progresso, dovuto
al miglioramento delle misure sperimentali e delle tecniche di simulazione numerica su reticolo, rende concretamente
possibile oggi quel confronto con le misure dirette per cui questo tipo di studi è nato.
2 In particolare, il fatto che a ∆m sia sperimentalmente associato solamente un limite superiore implica che la terza delle condizioni scritte
s
selezioni una porzione di piano e non una banda vera e propria.
V IOLAZIONE
DI
CP
Violazione di CP
_
η
10
1
∆Md
∆Md/∆Ms
sin2β
εK
0.5
0
Vub
Vcb
-1
-0.5
0
0.5
1
Figura 1-3. Limiti imposti al valore di (ρ, η ) dalle misure indirette e da sin2β . Ogni banda rappresenta
l’indeterminazione sul limite imposto, dovuto alle incertezze con cui sono note le varie quantità.
Parametro
valore ottenuto
ρ
η
0.178 ± 0.046
0.341 ± 0.028
sin(2β)
sin(2α)
γ(o )
Tabella 1-1.
_
ρ
0.710 ± 0.037
−0.19 ± 0.25
61.5 ± 7.0
Risultati dell’analisi del Triangolo Unitario presentati in [20].
1.3 Violazione di CP diretta nei decadimenti deboli
Si considerino due processi legati tra loro da una trasformazione di CP. Siano P e P due stati CP-coniugati di mesone
pseudoscalare e siano f e f due stati finali CP-coniugati. Applicando la trasformazione di CP a questi stati si ottiene
(lasciando le fasi φP e φf ancora arbitrarie):
CP|P i = eiφP |P i
CP|f i = eiφf |fi
M ARCO V IGNATI
1.3 Violazione di CP diretta nei decadimenti deboli
11
Figura 1-4. Aree selezionate dall’analisi del Triangolo Unitario nel piano ρη , corrispondenti allo stato dell’analisi per
gli anni 1988, 1995 ed estate 2000. Nell’area 2003 è stata aggiunta la misura d sin 2β .
Detta H l’Hamiltoniana effettiva delle interazioni deboli, si possono scrivere le ampiezze di decadimento CP coniugate
come:
X
A = hf |H|P i =
Ai eiδi eiφi ,
(1.32)
i
A = hf |H|P i = e
i(φP −φf )
X
Ai eiδi e−iφi
(1.33)
i
in cui appaiono due tipi di fasi: le fasi deboli φi , dovute al termine dell’Hamiltoniana elettro-debole che viola CP, e le
fasi forti δi che, a differenza delle φi , non cambiano segno sotto CP essendo le interazioni forti invarianti sotto questo
tipo di trasformazione. Una quantità fisicamente significativa, in quanto non dipendente dalla convenzione adottata
per la fase debole e forte, è il rapporto
P
A i Ai eiδi eiφi = P
(1.34)
A Ai eiδi e−iφi i
Si dice che si ha violazione diretta di CP quando
A
6= 1
A
(1.35)
Ciò è dovuto, essenzialmente, all’interferenza tra ampiezze parziali che portano allo stesso stato finale. Dall’equazione
1.34, si può mostrare che questo tipo di violazione di CP avviene solo nel caso in cui esistano nell’ampiezza due termini
V IOLAZIONE
DI
CP
12
Violazione di CP
dell’ampiezza che abbiano diverse fasi deboli e forti, in quanto
X
2
|A2 | − |A | = −2
Ai Aj sin(φi − φj ) sin(δi − δj )
(1.36)
ij
Nel caso dei mesoni neutri, questa non è , tuttavia, l’unico tipo di violazione di CP.
1.4 Violazione di CP nel mescolamento dei mesoni neutri
0
Si considerino il mesone neutro |P 0 i e la sua antiparticella |P i, costituenti un set completo di autostati discreti
dell’Hamiltoniana H0 (che contiene le interazioni elettromagnetiche e forti) con autovalori, rispettivamente, m 0 e m0 :
H0 |P 0 i = m0 |P 0 i,
0
0
H0 |P i = m0 |P i,
(1.37)
in cui abbiamo supposto che H0 conservi T CP, e quindi m0 = m0 . Sia Hw l’Hamiltoniana delle interazioni deboli,
che può indurre transizioni dei mesoni attraverso un comune canale di decadimento f (fig. 1-5):
P 0 ←→ f ←→ P
0
(1.38)
Un generico stato può essere allora scritto come sovrapposizione dei due autostati
Figura 1-5. Violazione di CP nel mescolamento
0
|P i = a|P 0 i + b|P i
(1.39)
0
questo sarà ancora un autostato di H0 perché i due stati |P 0 i e |P i sono autostati degeneri dell’Hamiltoniana
imperturbata, corrispondenti allo stesso autovalore m0 . Quindi lo stato |P i deve obbedire all’equazione di Shröedinger
dipendente dal tempo
d
i
dt
a
b
!
=H
a
b
!
=
i
M− Γ
2
a
b
!
(1.40)
dove M e Γ sono matrici hermitiane 2 × 2 che sono chiamate, rispettivamente, matrici di massa e di decadimento; i
loro elementi di matrice possono essere espressi dalle relazioni[7]:
X
1
∆B=2
∆B=1
∆B=1
Mij = mB δij + hi|HW
|ji + P
hi|HW
|nihn|HW
|ji
m
−
En
B
n
M ARCO V IGNATI
1.4 Violazione di CP nel mescolamento dei mesoni neutri
Γij = 2π
X
n
13
∆B=1
∆B=1
δ(En − mB )hi|HW
|nihn|HW
|ii
(1.41)
Le equazioni 1.41 forniscono le indicazioni sulle origini dei termini di massa e di decadimento, mettendole in relazione
con particolari processi fisici[8]:
• Gli elementi diagonali della matrice di massa M sono dati dall’autovalore m 0 dell’Hamiltoniana imperturbata
H0 , che contiene informazioni sulle masse dei quark e sulle interazioni forti che tengono uniti i quark all’interno
dei mesoni
• Gli elementi al di fuori della diagonale della matrice di massa, M12 e M21 , sono dovuti, nel Modello Standard, a
0
0
transizioni con stati intermedi virtuali P 0 ←→ P e transizioni deboli al second’ordine P ←→ P 0 (diagrammi
a scatola con due bosoni W virtuali)
0
• Gli elementi diagonali Γ della matrice di decadimento sono dovuti a decadimenti P 0 → f e P → f
• Gli elementi al di fuori della diagonale della matrice di decadimento, Γ 12 e Γ21 , sono dovuti alle transizioni
0
P 0 ←→ f ←→ P .
Essendo l’operatore H non hermitiano, i suoi autovettori
0
|P1,2 i = p|P 0 i ± q|P i;
|p2 | + |q 2 | = 1
(1.42)
non sono ortogonali, e gli autovalori corrispondenti, espressi dalla relazione 1.43, sono in generale complessi,
i
µi = M i − Γ i ;
2
(1.43)
i = 1, 2
dove Mi sono le masse dei mesoni P1 e P2 , mentre le Γi sono le loro vite medie. L’evoluzione temporale degli stati
Pi è dunque del tipo:
1
|Pi (t)i = e−iMi t e− 2 Γi t |Pi (0)i
(1.44)
Si può mostrare che il rapporto
2 ∗
i ∗ q
M
−
Γ
12
12
2
=
p
M12 − 2i Γ12 (1.45)
è indipendente dalle convenzioni assunte per le fasi ed è quindi una quantità dal significato fisico preciso. Se si
0
considera il sistema B 0 B come una base dello spazio, allora l’operatore CP, in termini di matrici, si può scrivere
come:
!
0 e−2iξB
CP =
(1.46)
e2iξB
0
La conservazione di CP si esprime come [CP, H] = 0; usando il formalismo matriciale questa relazione può essere
riscritta in termini della quantità significativa espressa nella relazione 1.45:
2 ∗
i ∗ q M
−
Γ
4iξB 12
12
2
=
=1
(1.47)
= e
p
i
M12 − 2 Γ12 Si definisce Violazione di CP “indiretta” il caso in cui
q
6= 1
p
(1.48)
V IOLAZIONE
DI
CP
14
Violazione di CP
Questo tipo di violazione di CP è anche detta violazione nel mescolamento: essa ha origine dal fatto che gli autostati di
massa sono diversi da quelli di CP, e può essere sperimentalmente rivelata studiando quei decadimenti che selezionano
in modo univoco il sapore della particella all’istante del suo decadimento.
Per i mesoni B, indicando con ∆m = m2 − m1 la differenza di massa e con ∆Γ = Γ2 − Γ1 la differenza tra le
ampiezze, si ottengono le seguenti relazioni[10]:
1
(∆md )2 − (∆Γ)2 = 4|M12 |2 − |Γ12 |2
4
∆md · ∆Γ = 4Re(M12 Γ∗12 )
1 ∆m −
q
=−
p
2 M12 −
i
2 ∆Γ
i
2 Γ12
= −2
1.4.1 Violazione di CP indiretta nel sistema B 0 B
∗
M12
−
∆m −
(1.49)
(1.50)
i ∗
2 Γ12
.
i
2 ∆Γ
(1.51)
0
Per i modi di decadimento comuni ai mesoni B 0 e B 0 che sono responsabili della differenza nelle ampiezze ∆ΓB ,
sono stati misurati dei rapporti di decadimento (BF, dall’ inglese Branching Fraction, nel seguito) minori di 10 −3 , cosı̀
che, sebbene non siano state misurate direttamente le ∆ΓB , vale
∆ΓB
< 10−2
ΓB
(1.52)
0
La probabilità di mescolamento osservata per il sistema B 0 B , inoltre, risulta essere ∆mB /ΓB = 0.74 ± 0.40[12], e
quindi è possibile assumere
|∆ΓB | ∆mB .
(1.53)
0
Questo significa che, al contrario di quanto avviene per i mesoni K 0 − K , in cui gli autostati di CP possono essere
classificati in KL0 e KS0 in base alle differenti vite medie, per i mesoni B 0 e B 0 è più naturale indicare gli autostati
di CP in termini della differenza di massa: si definiscono quindi un B 0 “pesante” BH = B1 ed uno “leggero”
BL = B2 . Ogni stato di mesone B può essere scritto come sovrapposizione di questi due autostati di CP. I singoli
autostati evolveranno nel tempo obbedendo all’equazione di Schrödinger:
1
1
AH (t) = AH (0)e−iMH t e− 2 ΓH t , AL (t) = AL (0)e−iML t e− 2 ΓL t .
(1.54)
Nell’approssimazione 1.53 si può dire che |Γ12 | |M12 |, e, facendo uno sviluppo in serie al primo ordine in
Γ12 /M12 , si ottiene, dalla relazione 1.51:
∗
q
1
M12
Γ12
1 − Im
'−
.
(1.55)
p B
|M12 |
2
M12
ovvero
q
− 1 ' −2 Re B = O(10−2 ) .
p
B
1.4.2 Formalismo per stati coerenti B 0 B
(1.56)
0
La B Factory è un collider e+ e− che opera all’energia della risonanza Υ (4S) (cfr. cap. 2) che decade in una coppia di
mesoni B prodotti in stato “coerente” J P C = 1−− . I mesoni B invece sono scalari (J P = 0− ) e quindi, per rispettere
M ARCO V IGNATI
1.4 Violazione di CP nel mescolamento dei mesoni neutri
15
0
la conservazione del momento angolare totale, la coppia B 0 B deve essere prodotta in uno stato L = 1. Poiché la
0
Υ (4S) decade mediante interazioni forti, i due mesoni B prodotti sono autostati di sapore B 0 e B .
Essi, dopo la produzione, evolveranno nel tempo in fase, in modo tale che, quando ad un certo istante t viene rivelato
un B 0 o un B 0 , si sa con certezza che l’altro sarà un B 0 o un B 0 , rispettivamente (cfr. fig.1-6).
Figura 1-6. Schema per il decadimento dei mesoni B 0 e B 0 alla B Factory BABAR.
Definendo mH,L = mB ± 21 ∆mB e ΓH,L ' ΓB , uno stato inizialmente puro di B 0 evolverà nel seguente modo:
1 |BH i + |BL i ,
|B 0 (0)i =
2p
i
1 −imB t − 1 ΓB t − i ∆mB t
0
∆mB t
2
2
2
|B (t)i =
|BH i + e
|BL i
e
e
e
2p
0 iq
−imB t − 21 ΓB t
0
1
1
cos 2 ∆mB t |B i +
sin 2 ∆mB t |B i .
=e
e
p
(1.57)
e, contemporaneamente, il B 0 evolverà come:
0
ip
0
−imB t − 21 ΓB t
1
1
0
sin 2 ∆mB t |B i .
|B (t)i = e
e
cos 2 ∆mB t |B i +
q
(1.58)
Quando uno dei due mesoni decade, l’altro continua ad evolvere indipendentemente e quindi ci possono essere eventi
con decadimenti di due mesoni B 0 o di due B 0 , la cui probabilità è determinata dal tempo che intercorre tra i due
V IOLAZIONE
DI
CP
16
Violazione di CP
decadimenti. Identificando con ϑ l’angolo polare (rispetto all’asse dei fasci) formato dai due mesoni B prodotti dal
decadimento della Υ (4S) nel sistema di riferimento del centro di massa della Υ (4S) stessa (e quindi identificando uno
dei due come f (forward) e l’altro con b (backward)), lo stato si può scrivere come:
n
Γ
0
S(tf , tb ) = √12 e−( 2 +iM )(tf +tb ) B 0 (tf , θ, φ)B (tb , π − θ, φ + π)+
o
0
(1.59)
−B (tf , θ, φ)B 0 (tb , π − θ, φ + π) sin(θ)
in cui tf è il tempo proprio del Bf ad un angolo (θf , φf ) e tb è il tempo proprio del Bb ad un angolo (π − θf , φf − π).
Poiché l’evoluzione nel tempo dei due stati coerenti può essere trattata come l’evoluzione di una singola particella,
nelle equazioni che definiscono gli stati (1.57 e 1.58) si può sostituire
0
B 0 (tf,b ) → Bphys
(tf,b )
0
0
B (tf,b ) → B phys (tf,b ),
Con queste espressioni, nell’equazione (1.59) si può estrarre la dipendenza dal tempo:
S(tf , tb ) =
Γ
√1 e−( 2 +iM )(tf +tb )
2
−i sin
h
n
cos
∆mB (tf −tb )
2
h
i
∆mB (tf −tb )
2
p 0 0
q Bf Bb
i
0
0
0
Bf0 B b − B f Bb0 +
0
− pq B f B b
o
sin(θf ),
(1.60)
Poiché i B decadono in direzioni opposte nel sistema di riferimento del centro di massa, essi hanno impulso pari
in modulo. Finché uno dei due non decade, la combinazione lineare descritta dall’equazione (1.60) contiene sia un
B 0 che un B 0 . Nel momento, però , in cui uno dei due decade, la sua funzione d’onda collassa in uno stato B 0 o
B 0 . Dall’equazione (1.60) si può calcolare l’ampiezza per i decadimenti in cui uno dei due B decade in uno stato f 1
all’istante t1 e l’altro in uno stato f2 all’istante t2 :
A(t1 , t2 ) =
Γ
√1 e−( 2 +iM ) (t1 +t2 ) ζ(t1 , t2 )
2
−i sin
h
∆mB (t1 −t2 )
2
n
i
cos
h
∆mB (t1 −t2 )
2
p
q A1 A2
i
− pq A1 A2
A1 A2 − A 1 A2 +
o
sin(θ1 ),
(1.61)
dove Ai è l’ampiezza per il decadimento di un B 0 in uno stato fi , Ai è l’ampiezza di decadimento del B 0 nello stesso
stato fi .
La probabilità di decadimento in una sovrapposizione di stati finali f 1 , f2 dipendente dal tempo è la seguente:
q ∗
q ∗
R(t1 , t2 ) = Ce
|A1 | + |A1 |
|A2 | + |A2 | − 4 Re
A A1 Re
A A2 +
p 1
p 2
q ∗
q ∗
− cos (∆mB (t1 − t2 )) |A1 |2 − |A1 |2 |A2 |2 − |A2 |2 + 4 Im
A1 A1 Im
A2 A2 +
p
p
q ∗
q ∗
+2 sin (∆mB (t1 − t2 )) Im
A1 A1 |A2 |2 − |A2 |2 − |A1 |2 − |A1 |2 Im
A2 A2
p
p
−Γ(t1 +t2 )
M ARCO V IGNATI
2
2
2
2
1.5 Violazione di CP nell’interferenza tra Decadimenti e Mescolamento
17
in cui si è tenuto conto dell’approssimazione |q/p| ' 1 e si è integrato su tutte le possibili direzioni dei B, restituendo
un fattore di normalizzazione C.
Per misurare l’asimmetria CP si possono cercare eventi in cui un B decade in uno stato finale che sia autostato di
CP (fCP ) ad un istante tf , mentre il secondo decade in uno stato cosiddetto di tag, cioè in uno stato che identifichi il
contenuto di beauty, ad un istante ttag . Ad esempio, un decadimento di tag con A2 = 0, A2 = Atag identifica l’altra
B come un B 0 all’istante t2 = ttag in cui il decadimento di tag avviene. L’asimmetria di CP può essere scritta, in
questo caso, come
R(A2 = 0, A2 = Atag ) − R(A2 = Atag , A2 = 0)
R(A2 = 0, A2 = Atag ) + R(A2 = Atag , A2 = 0)
1 − |λfCP |2 cos(∆mB t) − 2 Im λfCP sin(∆mB t)
=
1 + |λfCP |2
afCP =
(1.62)
dove t = tfCP − ttag . L’espressione scritta ha perso la dipendenza dalla variabile (t1 + t2 ) o tCP + ttag : questo si
traduce nel fatto che si può eseguire un fit sulla dipendenza nella variabile (t 1 − t2 ) senza dover misurare l’istante di
decadimento della Υ (4S). In questo modo si ottiene un’espressione di R(t) che è solo funzione della differenza dei
tempi tCP − ttag :
(1.63)
R(tfCP − ttag ) ∝ e−Γ|ttag −tfCP | ·
· 1 + |λfCP |2 + 1 − |λfCP |
2
cos [∆mB (tfCP − ttag )] − 2 sin [∆mB (tfCP − ttag )] Im (λfCP ) .
Il fatto che la variabile t1 − t2 possa essere messa in relazione con la distanza tra i due punti di decadimento è
uno dei principali motivi per cui si costruisce un collisore asimmetrico per le B Factory. Se si dovesse integrare
anche in questa variabile nelle precedenti tutte le informazioni sul coefficiente sin(∆m B (t1 − t2 )) andrebbero perse
e l’esperimento potrebbe essere sensibile solo a quegli effetti di violazione di CP che rendono |λ| 6= 1. Questa è una
conseguenza della produzione di due stati B coerenti: se fossero prodotti incoerentemente, come avviene ai collisori
adronici, le probabilità integrate nel tempo sarebbero date da integrali da t = 0 (invece che da |t|) ad infinito e perciò
consereverebbe l’informazione sul termine sin(∆mB t).
Un modo per osservare questo tipo di asimmetria è attraverso i semileptonici del B: si definisce l’ampiezza semileptonica come:
0
Γ(B (t) → `+ νX) − Γ(B 0 (t) → `− νX)
B
aSL =
,
(1.64)
0
Γ(B (t) → `+ νX) + Γ(B 0 (t) → `− νX)
0
e, poiché B 0 →`
/ − ν e B →`
/ + ν, si ottiene, per questa ampiezza[10],
aB
SL =
1 − |q/p|4
' 4 Re B = O(10−2 ) .
1 + |q/p|4
(1.65)
1.5 Violazione di CP nell’interferenza tra Decadimenti e Mescolamento
Si considerino i decadimenti dei B neutri in stati finali fCP che siano autostati di CP. Questi stati possono essere
prodotti dal decadimento sia di un B 0 che di un B 0 (vedi fig.1-7). Le ampiezze relative a questi processi sono:
A = hfCP | H |P 0 i ,
0
(1.66)
A = hfCP | H |P i .
V IOLAZIONE
DI
CP
18
Violazione di CP
Figura 1-7.
Violazione di CP nell’interferenza tra decadimento e mescolamento
Il prodotto
λ = ηfCP
q AfCP
.
p AfCP
è una quantità indipendente dalla convenzione sulle fasi scelta, e quindi ha significato fisico. Quando CP è conservata
si trova che |q/p| = 1 e |Af /AfCP | = 1, e, inoltre, che la fase di λ deve annullarsi. Dunque, la condizione
CP
(1.67)
λ 6= 1
implica violazione di CP. Questa è chiamata violazione di CP nell’interferenza tra decadimenti e mescolamento
ed è stata già osservata nel sistema dei mesoni K neutri. È da notare che la violazione diretta di CP (|A/A| 6= 1) e la
violazione indiretta di CP (|q/p| 6= 1) implicano |λ| 6= 1, ma non sono condizioni necessarie affinché sia verificata la
condizione più debole λ 6= 1.
Molti dei decadimenti dei mesoni B neutri sono di questo tipo. Definita l’asimmetria di CP come (cfr. [11]-[13])
0
afCP =
Γ(B 0 (t) → fCP ) − Γ(B (t) → fCP )
0
Γ(B 0 (t) → fCP ) + Γ(B (t) → fCP )
(1.68)
e, considerando l’aprossimazione fatta per il sistema dei mesoni B (descritta dall’equazione 1.65) che |q/p| B ' 1, si
trova che
afCP
'
|λ|=1
(1 − |λ|2 ) cos(∆mB t) − 2 Im λ sin(∆mB t)
1 + |λ|2
→ −Im λ sin(∆mB t) .
(1.69)
I canali di decadimento con |λ| ' 1 sono quelli che hanno una sola fase debole φ, in modo che
A
' e−2iφ
A
1.6 Il “canale d’oro” B 0 → J/ψKS0
L’espressione per l’asimmetria è esprimibile come:
M ARCO V IGNATI
(1.70)
1.6 Il “canale d’oro” B 0 → J/ψKS0
af (t) =
19
Γ(B 0 (t) → f ) − Γ(B 0 (t) → f )
= Cf cos ∆mt + Sf sin ∆mt
Γ(B 0 (t) → f ) + Γ(B 0 (t) → f )
dove f è un autostato di CP , λf =
infine, si sono definiti
q Af
p Af
(1.71)
, Af e Af corrispondono alle ampiezze per i Bd0 → f , B 0d → f e dove,
Cf =
1 − |λf |2
1 + |λf |2
Sf = −
2Imλf
.
1 + |λf |2
Le ampiezze che compaiono nella definizione di λf possono essere scritte, nel caso in cui il decadimento diretto sia
dominato da una sola ampiezza, come
Af = |a|ei(δ+φD ) , Af = ηf e−2iθCP |a|ei(δ−φD ) ,
e, per il parametro λf , si trova quindi:
λf '
0
Vtb∗ Vtd
ηf e−2iφD ' ηf e2i(φM (B )−φD )
∗
Vtb Vtd
Supponendo che all’ampiezza del decadimento contribuiscano solo i diagrammi ad albero, si ha che
e−2iφD =
∗
Vcb Vcs
Vcb∗ Vcs
per b → ccs,
(1.72)
e−2iφD =
∗
Vcb Vcd
∗
Vcb Vcd
per b → ccd,
(1.73)
∗
Vub Vud
∗V
Vub
ud
per b → uud.
(1.74)
e−2iφD =
Ognuna di queste quantità rappresenta il modo in cui è orientato V ij Vik∗ nel piano complesso: questo dipende dalla
convenzione di fase per la CKM , ma non vi dipende più l’angolo tra le due. La λ f che contiene due di queste quantità
(una è il rapporto pq e l’altra è il rapporto tra le ampiezze Af Af ) diventa perciò indipendente dalle convenzioni per la
CKM ed ha come fase direttamente uno degli angoli del triangolo di unitarietà.
Poiché, in questa analisi, ci si vuole concentrare sulla misura di sin 2β, si vuole dimostrare che si possono ricondurre
i valori di λf e di af alle espressioni:
λf ' ηf e−iβ , af (t) ' ηf sin 2β sin ∆mt.
I diagrammi del tipo b → ccs, sono soppressi per il colore, in quanto la richiesta che i due mesoni nello stato finale
siano singoletti di colore vincola i quark cs ad avere lo stesso colore dei quark bd del mesone B iniziale:
0
Bd0 , B d → charmonio + KS0 (KL0 )
V IOLAZIONE
DI
CP
20
Violazione di CP
J/Ψ
c
−
c
b
s
−0
− 0 − ∗0
Bd
K ,K
−
−
d
d
Figura 1-8. Decadimenti B 0d → charmonio + K 0 (K ∗0 ) (Tipo I).
Considerando la fase debole del diagramma ad albero (in fig. 1-8) calcolata nell’equazione (1.72), si trova che:
λ(Bd → J/ψ KS0 ) = −
Vtb∗ Vtd
Vtb Vtd∗
∗
Vcs
Vcb
Vcs Vcb∗
∗
Vcd
Vcs
∗
Vcd Vcs
(1.75)
dove si è posto ηf = −1 che è l’autovalore di CP dello stato J/ψ KS0 . Infatti CP (KS0 ) = +1 e CP (J/ψ) = +1,
essendo la J/ψ uno stato 1−− : inoltre, dal momento che la J/ψ ha spin 1 ed il KS0 ha spin 0, ma provengono entrambi
dal decadimento di una particella a spin nullo, il loro stato finale deve avere momento angolare L = 1, in modo
che componendo spin della J/ψ e momento angolare orbitale si possa ottenere un momento angolare totale nullo.
L’autovalore di CP sarà perciò (−1)L (+1)(+1) = −1.
Dalla (1.75) si ottiene:
λ(Bd → J/ψKS0 ) = −e−2iβ
da cui infine
Im λJ/ψKS0 = sin 2β.
Da questo risultato si può ricavare il parametro dell’asimmetria di CP per questo canale (1.71):
aJ/ψKS0 (t) = − sin 2β sin ∆mt.
(1.76)
Il contributo dal diagramma a pinguino dominante ha la stessa fase debole del diagramma ad albero ed il solo termine
con una diversa fase debole deriva da un diagramma a pinguino che è Cabibbo soppresso come O(λ 2 ): quindi con
ottima approssimazione (∼ 1%) per questo canale si pone |λf | = 1 e le incertezze teoriche associate alla (1.76)
risultano trascurabili.
Per incrementare la statistica nella misura di S e C nella classe di decadimenti appartenenti al Charmonio, si
affiancano al decadimento del B in J/ψKS0 quelli in ψ(2S)KS0 , χc1 KS0 , ηC KS0 . Lo stesso vale per J/ψKL0 (autostato
di CP opposto) e J/ψK ∗ (KS0 π 0 ).
M ARCO V IGNATI
1.7 Il decadimento B 0 → φK 0
21
1.7 Il decadimento B 0 → φK 0
Nei decadimenti che verranno studiati in questa analisi, B 0 → φK 0 , sono possibili solo contributi da diagrammi a
pinguino, in quanto il processo ad albero b → sss sarebbe una transizione con corrente neutra che cambia il sapore 3 .
Raggruppando le relazioni di unitarietà dei tre termini a pinguino rimangono due termini che hanno fase debole: uno
∗
∗
con coefficiente Vcs
Vcb , l’altro con un coefficiente doppio Cabibbo soppresso Vus
Vub . Trascurando quest’ultima, λ è
dato da:
λ(Bd → φKS ) ∼
=−
Vtb∗ Vtd
Vtb Vtd∗
∗
Vcs
Vcb
Vcs Vcb∗
∗
Vcd
Vcs
∗
Vcd Vcs
e quindi, considerando che nell’approssimazione fatta, una sola ampiezza contribuisce al decadimento,
Im λ(Bd → ϕKS ) ∼
= sin 2β.
con un incertezza pari a 0.07 (vedi [19]).
Figura 1-9. Diagrammi a pinguino responsabili del decadimento B 0 → φK 0
Da ciò che è stato appena detto risulta evidente che i decadimenti B d → J/ψKS sono i migliori candidati per la misura
dell’asimmetria CP in termini di sin 2β, in quanto hanno la maggiore ampiezza di decadimento, essendo mediati dalle
transizioni ad albero b → ccs. Per lo stesso motivo, però , essi non sono adatti per rivelare eventuali contributi di
nuova fisica, perché questi, se presenti, devono comparire particelle virtuali quindi sarebbero correzioni a termini già
trascurabili per tale decadimento. Quindi l’interesse ricade sul canale B d → φK 0 , il quale misura di nuovo sin 2β, se,
come ci si aspetta, la sua ampiezza di decadimento è dominata dalle transizioni a pinguino a corta distanza b → sss
[21]. Essendo perciò Bd → φK 0 , nel Modello Standard, un processo mediato da un loop, è possibile che i contributi
di nuova fisica abbiano un effetto significativo su di esso, andando a competere con contributi che, in questo caso, sono
dominanti. Un modo promettente per l’individuazione di contributi non previsti dal Modello Standard è la ricerca di
una differenza tra le asimmetrie di CP aCP (ψKS ) e aCP (φKS ). L’asimmetria di CP misurata in questo momento alle
B Factory BABAR e B ELLE , per il decadimento Bd → φKS , è espressa come:
0
aφKS (t) =
Γ(B (t) → φKS ) − Γ(B 0 (t) → φKS )
(1.77)
0
Γ(B (t) → φKS ) + Γ(B 0 (t) → φKS )
= CφKS cos ∆MBd t + SφKS sin ∆MBd t
3 FCNC
(1.78)
= Flavour Changing Neutral Current
V IOLAZIONE
DI
CP
22
Violazione di CP
dove CφKS e SφKS rappresentano l’asimmetria di CP diretta e nel mescolamento. In letteratura si suole definire l’
asimmetria nel seguente modo:
f+ − f−
aφKS0 = +
(1.79)
f + f−
con
e−|∆t|/τ
f± (∆t) =
[1 ± SφK sin(∆mB ∆t) ∓ CφK cos(∆mB ∆t)]
(1.80)
4τB 0
Indicando l’intervallo di decadimento dei due B con ∆t al posto di t. Per avere una stima di questi parametri viene
utilizzato non solo il modo B 0 → φ(K + K − )KS0 ma anche B 0 → φ(K + K − )KL0 che differisce dal primo per avere
opposto autovalore di CP. Il vantaggio di usare entrambi i canali consiste nell’ aumento della statistica e quindi una
diminuzione dell’errore sulla misura. Le misure di BABAR e di B ELLE per questi parametri sono [32, 3] riportate nella
tabella 1-2.
SφKS
CφKS
SφK 0
CφK 0
BABAR
B ELLE
0.45 ± 0.43(stat)
+0.09
−0.96 ± 0.50(stat)−0.11
(syst)
−0.38 ± 0.37(stat)
0.47 ± 0.34(stat)+0.08
−0.06 (syst)
0.15 ± 0.29(stat) ± 0.08(syst)
n.d.
0.01 ± 0.33(stat) ± 0.10(syst)
n.d
Tabella 1-2. Valori misurati per sin 2β dalle collaborazioni BABAR e Belle, SφK 0 , CφK 0 sono i valori del fit combinato
su B 0 → φ(K + K − )KS0 e B 0 → φ(K + K − )KL0 .
Eventuali contributi di nuova fisica modificano la Hamiltoniana, e di conseguenza gli elementi di matrice. Nei modelli
Super simmetrici (SUSY), sono possibili contributi di correnti neutre in grado di cambiare il sapore delle particelle
(FCNC, flavour changing neutral current). Ruotando i campi dei quark dalla base degli autostati di interazione alla
base di massa, infatti, i campi degli squark (i partner supersimmetrici dei quark) vengono ruotati in modo solidale. La
matrice di massa degli squark cosı̀ ottenuta non è però in generale diagonale. In particolare riducendosi agli squark
˜ s̃, b̃) si può esprimere la matrice di massa come:
di tipo down (d,


d
d
0 δ12
δ13
 d
d 
Mij = MijD + mq̃2 ·  δ21
(1.81)
0 δ23

d
d
δ31
δ32
0
d
dove MijD è la parte diagonale della matrice, mq̃2 è la massa media degli squark, δij
= ∆ij /mq̃2 e ∆ij è il termine di
d
massa che connette stati di diverso sapore. Le δij sono solitamente indicate come inserzioni di massa. Nel limite in
cui i valori che assumono sono piccoli si può pensare di eseguire un’analisi degli effetti di nuova fisica, ad esempio
in MSSM(Minimal Super Simmetric Model), attraverso uno sviluppo in serie. La approssimazione al primo ordine,
tipicamente sufficiente, è detta approssimazione di inserzione di massa.
d
d
d
Va notato che questi contributi possono essere scomposti nella base di chiralità come (δ ij
)LL , (δij
)LR , (δij
)RR ,
d
(δij )RL , dove LR indica uno stato iniziale lef t e uno finale right, ed è proprio l’inserzione di massa che permette il
d
cambio di elicità . In questa tesi interessano solo gli elementi di tipo δ 23
. Lo spazio dei parametri disponibile viene ad
essere limitato dai vincoli provenienti dalle misure già disponibili per processi di tipo b → s, come BR(B → X s γ),
BR(B → Xs l+ l− ), ma anche con il limite superiore su ∆ms . In figura 1-10 viene mostrata la distribuzione dei
parametri (parte reale contro parte immaginaria) che deriva dall’imposizione di tali vincoli.
Questi contributi influenzano il decadimento B → φKS0 oltre che nel BR soprattutto nell’asimmetria dipendente dal
tempo. In figura 1-11 viene mostrata la correlazione tra S e C avendo usato un solo tipo di inserzione di massa e si
nota una possibile deviazione dal modello standard (S = 0.74, C = 0) per i casi in cui si usi LR o RL. Eventuali
M ARCO V IGNATI
1.7 Il decadimento B 0 → φK 0
23
d
d
Figura 1-10. Regioni permesse nel piano Re(δ23
)AB − Im(δ23
)AB .
scostamenti di C dal Modello Standard influenzerebbero anche l’asimmetria di CP di B + → φK + dato che:
CB→φKS0 = −ACP
B + →φK +
(1.82)
V IOLAZIONE
DI
CP
24
Violazione di CP
Figura 1-11.
M ARCO V IGNATI
Correlazione tra C ed S per diverse inserzioni di massa per il decadimento B → φKS0 .
2
PEP II e l’ esperimento BaBar
L’esperimento BABAR alla B F actory P EP − II è stato ottimizzato per studi di violazione di CP e per la ricerca di
decadimenti rari del mesone B.
La B F actory P EP − II è un collisore e+ e− costruito per operare ad una luminosità di 3 × 1033 cm−2 s−1 (che
è stata poi migliorata fino a raggiungere attualmente 8.3 × 1033 cm−2 s−1 ), ad una energia del centro di massa di
10.58 GeV , valore della massa della risonanza Υ (4S). In PEP II, un fascio di elettroni di energia pari a 9.0 GeV
collide con uno di positroni di energia 3.1 GeV da cui risulta un boost di Lorenz per la Υ (4S) di βγ = 0.56 (cfr.
figura 2-1).
Figura 2-1. Trasformazione di Lorentz a BABAR
Questo boost rende possibile ricostruire i vertici di decadimento dei due mesoni B, determinare la differenza dei
loro tempi di decadimento, e quindi misurare le asimmetrie in funzione del tempo. Per fare questo è necessario un
rivelatore che abbia un’ottima efficienza di ricostruzione per le particelle cariche e un’ottima risoluzione dell’impulso
per separare i deboli segnali dal fondo. Sono quindi necessari una buona ricostruzione del vertice, sia in direzione
parallela che normale ai fasci e un’alta efficienza di identificazione di muoni ed elettroni. Un’efficiente ed accurata
identificazione degli adroni in un ampia regione di impulso è cruciale per la ricostruzione di stati esclusivi.
La figura 2-2 mostra una sezione longitudinale attraverso il centro del rivelatore; per massimizzare l’accettanza
geometrica per i decadimenti della Υ (4S) l’intero rivelatore è traslato lungo la direzione dei fasci rispetto al punto
26
PEP II e l’ esperimento BaBar
Figura 2-2.
Sezione longitudinale del rivelatore BABAR
di interazione di 0.37 m relativamente al fascio di energia minore. La figura 2-3 mostra la sezione trasversale del
rivelatore (piano xy).
La parte interna del rivelatore è costituita da un tracciatore di vertice al silicio (SVT), una camera a deriva (DCH), un
rivelatore di luce Čerenkov (DIRC) e un calorimetro elettromagnetico a ioduro di cesio (EM C). Questo sistema di
rivelatori è circondato da un solenoide superconduttore che genera un campo magnetico di 1.5 T . Il ferro per il ritorno
di flusso è istrumentato per la rivelazione di muoni e di adroni neutri, quali K L0 e neutroni (IFR).
L’angolo polare viene coperto da 350 mrad in avanti a 400 mrad all’indietro, direzioni relative al fascio di alta energia.
Viene utilizzato un sistema di coordinate destrorso ancorato alla camera a deriva con l’asse z coincidente con l’asse
principale, l’asse y che punta verso l’alto e l’asse x diretto verso il centro dell’anello di PEP II.
Viene utilizzato un sistema di trigger per selezionare le collisioni che producono eventi interessanti dagli eventi di
fondo, prodotti ad esempio dall’interazione dei fasci con residui di gas. Il sistema di trigger è diviso in due livelli
in sequenza, il secondo condizionato dal primo. Il livello 1 è realizzato in hardware ed è progettato per avere una
frequenza massima in uscita di 2 kHz ed un tempo massimo di ritardo di 12 µs, l’altro livello, livello 3 è software e
la sua frequenza in uscita è limitata a 120Hz in modo da permettere l’archiviazione ed il processamento dei dati.
2.1 La B F actory P EP − II
Come già accennato PEP II è un sistema di due anelli di accumulazione (HER per e − ed LER per e+ ) asimmetrici
in energia progettato per operare ad una energia nel sistema del centro di massa (c.m.) di 10.58 GeV corrispondente
alla massa della Υ (4S). I parametri di questo sistema sono mostrati in tabella 2-2. PEP II ha superato i parametri di
progetto sia in termini di luminosità istantanea che di luminosità integrata giornaliera raggiungendo di recente il valore
di picco di 8.3 × 1033 cm−2 s−1 con una luminosità integrata giornaliera di 370 pb−1 .
M ARCO V IGNATI
2.1 La B F actory P EP − II
27
Figura 2-3. Sezione trasversale del rivelatore BABAR
La maggior parte dei dati vengono registrati all’energia di picco della Υ (4S). In tabella 2-3 sono mostrati i processi
attivi all’energia di picco con le rispettive sezioni d’urto; la produzione di coppie di quark leggeri (u, d, s) e coppie di
quark charm viene chiamata produzione del continuo. Per studiare questa produzione non risonante circa il 12% dei
dati vengono presi ad un’energia del centro di massa di 40 M eV al di sotto dalla Υ (4S).
I fasci collidono in un unico punto di interazione in maniera frontale grazie ad un campo magnetico che permette
alle particelle di compiere una traiettoria particolare (fig. 2-4), in questo modo si minimizzano le collisioni parassite
tenendo i due fasci separati al di fuori della zona di interazione. I fasci vengono tenuti separati nel piano orizzontale
da un sistema di dipoli magnetici, il focheggiamento forte viene effettuato con dei quadrupoli magnetici posti dentro
il campo magnetico del rivelatore, quindi non possono essere composti da ferro ma vengono realizzati in samariocobalto.
Per tenere in considerazione lo spostamento dei fasci di PEP II rispetto al rivelatore BABAR la posizione del punto di
collisione viene calcolata ad intervalli periodici, utilizzando un metodo basato sugli eventi a due tracce. Le dimensioni
della beam spot che si ricavano con questa tecnica sono circa 150 µm in x, 50 µm in y e 1 cm in z. La stima ottenuta
per la dimensione y è completamente dominata dalla risoluzione del tracciamento e può essere migliorata studiando
la variazione della luminosità al variare della posizione relativa dei due fasci. In particolare, note anche le correnti dei
fasci e la dimensione in x, si ottiene σy ∼ 5 µm, valore stabile al 10% sulla scala dei tempi di un’ora. Queste misure
PEP II E L’ ESPERIMENTO BaBar
28
PEP II e l’ esperimento BaBar
θ1
No.
ADC
TDC
No.
(θ2 )
Canali
(bits)
(ns)
Layer
Segmentazione
Prestazione
SVT
20.1◦
(-29.8◦)
150K
4
-
5
50-100 µm r − φ
100-200 µm z
σd0 = 55 µm
σz0 = 65 µm
DCH
17.2◦
7,104
8
2
40
6-8 mm
σφ = 1 mr
distanza di deriva
σtanλ = 0.001
σpt /pt = 0.47%
Sistema
(-27.4 )
◦
σ(dE/dx) = 7.5%
DIRC
25.5◦
10,752
-
0.5
1
35 × 17 mm2
σθC = 2.5 mr
(r∆φ × ∆r)
144 barre
per traccia
1
47 × 47 mm2
5760 cristalli
σE /E = 3.0%
σφ = 3.9 mr
1
820 cristalli
σθ = 3.9 mr
19+2
20-38 mm
90% µ± eff.
6-8% π ± mis-id
(selezione loose,
1.5–3.0 GeV/c)
(-38.6 )
◦
EMC(C)
27.1◦
(-39.2◦)
2 × 5760
17–18
EMC(F)
15.8◦
(27.1◦)
2 × 820
IFR(C)
47◦
(-57◦ )
22K+2K
IFR(F)
20◦
(47◦ )
14.5K
18
28-38 mm
IFR(B)
-57◦
(-26◦)
14.5K
18
28-38 mm
1
—
0.5
Tabella 2-1. Sommario della copertura, della segmentazione e delle prestazioni del rivelatore BABAR
vengono anche verificate of f line misurando i vertici primari di eventi a molti adroni 1 .
In figura 2-5 sono mostrate la luminosità integrata ottenuta da PEP II e registrata da BABAR dall’inizio della presa dati
fino Giugno 2003. In questa analisi verranno utilizzati i dati appartenenti al Run 1, al Run 2 e al Run 3. Nella figura
2-6 viene mostrata la luminosità integrata giornaliera per tutti i Run.
2.1.1 I fondi di P EP − II
Il raggiungimento di una configurazione caratterizzata da un accettabile livello di fondo viene a dipendere da vari
fattori, tra cui domina la resistenza alla radiazione del rivelatore al silicio (SVT) e del calorimetro elettromagnetico,
oltre che il massimo valore di corrente tollerabile dalla camera a deriva. Altre limitazioni vengono imposte dalla rate
del trigger di primo livello (L1) e dall’occupazione negli altri sottosistemi. Simulazioni, analisi dei dati ed accurate
misure dedicate delle sorgenti di fondo e del loro impatto sulla presa dati e sulle prestazioni del rivelatore hanno
1 Ricostruendo il vertice di tutte le traccie ricostruite in un evento è possibile avere una stima della posizione del vertice primario, coincidente
con il punto di decadimento della Υ (4S) nel piano trasverso. Poichè il boost lungo l’asse z produce uno spostamento relativo dei due mesoni B
questo metodo è abbastanza povero ed è peggiorato dalla presenza di particelle a lunga vita.
M ARCO V IGNATI
2.1 La B F actory P EP − II
29
Figura 2-4. Vista trasversale della zona di interazione.
Figura 2-5.
Luminosità integrata ottenuta da PEP II e registrata da BABARdal 1999 (sinistra) e del Run 3 (destra).
PEP II E L’ ESPERIMENTO BaBar
30
PEP II e l’ esperimento BaBar
Parametri
Disegno
Tipico
Energia HER/LER (GeV)
9.0/3.1
9.0/3.1
Corrente HER/LER (A)
0.75/2.15
0.7/1.3
# di bunch
1658
553-829
spaziatura tra i bunch (ns)
4.2
6.3-10.5
σLx (µm)
110
120
σLy (µm)
3.3
5.6
9000
σLz (µm)
9000
Luminosità (1033 cm−2 s−1 )
3
8
Luminosità integrata giornaliera (pb−1 /d)
135
550
Tabella 2-2. Parametri dei fasci di PEP II. I valori sono mostrati come previsti dal progetto e nel loro valore
tipico e sono riferiti al primo anno di funzionamento. I valori tipici attuali sono per la luminosità istantanea di
6.1 × 1033 cm−2 s−1 e per la luminosità integrata giornaliera di 341 pb−1 .
e+ e− →
Sezione d’urto (nb)
bb
1.05
cc
ss
1.30
0.35
uu
dd
1.39
0.35
τ +τ −
0.94
µ+ µ−
e+ e−
1.16
∼ 40
Tabella 2-3. Sezione d’urto di produzione con
effettiva, all’interno dell’accettanza sperimentale
√
s = M (Υ (4S)). La sezione d’urto Bhabha è una sezione d’urto
portato ad una comprensione dettagliata di vari fenomeni, ed ad una loro effettiva diminuzione. Le cause principali di
fondi a PEP II [24] sono quelle elencate qui di seguito, in ordine di importanza crescente:
• La radiazione di sincrotrone, generata nei magneti di curvatura e nei quadrupoli per la focalizazione finale
nelle beam-line del HER e del LER. Un attento disegno della regione di interazione e una schermatura per
mascherare la radiazione si sono dimostrati efficaci per abbattere questo tipo di fondo.
• T wo − beam background provocato da tre sorgenti: elevato numero di interazioni di beam-gas nel HER,
dovute a radiazione di sincrotrone di bassa energia che colpisce la beam-pipe del HER; fotoni ed e ± di
bassa energia da scattering Bhabha che colpiscono i dispositivi per la produzione del vuoto; code generate
dall’interazione fascio-fascio e/o dalla nube elettronica indotta dal fascio di bassa energia.
• L’interazione di particelle del fascio con residui nel vuoto degli anelli (beam − gas), che costituisce la sorgente
primaria di danneggiamento da radiazioni e che ha l’impatto maggiore sull’efficienza di BABAR.
M ARCO V IGNATI
2.2 Il sistema di tracciamento
31
Figura 2-6. Luminosità giornaliera integrata da PEP II e registrata da BABARtotale (sinistra) e del Run 3 (destra).
2.2 Il sistema di tracciamento
Il sistema di traccia di BABAR è composto da due componenti, il rivelatore di vertice al silicio (SVT) e la camera a
deriva (DCH).
2.2.1 Il rivelatore di vertice
Il rivelatore al silicio (Silicon V ertex T racker) viene utilizzato per la misura dei vertici di decadimento dei mesoni
B per il tracciamento delle particelle a basso momento. Essendo in grado di fornire una risoluzione di ∼ 110 µm
sulla coordinata z risulta essere un elemento fondamentale per lo studio delle asimmetrie di CP a PEP II; si tratta
inoltre dell’unico rivelatore in grado di tracciare le particelle cariche con basso momento trasverso (p T < 120 M eV ),
particelle che non raggiungono la camera a deriva. Il progetto del SVT è ottimizato in modo da considerare le
limitazioni imposte dalla geometria di PEP II alla regione di interazione, essendovi infatti in prossimità del punto di
interazione i magneti permanenti B1 (fig. 2-4) necessari a separare i fasci dopo la collisione.
Trattandosi del rivelatore più interno, la costruzione ha richiesto uno sforzo tecnologico tale da garantire un’alta
resistenza alla radiazione e, allo stesso tempo, il minimo spessore di materiale possibile, al fine di limitare gli effetti
di diffusione multipla.
La struttura si basa su 52 moduli di waf er di silicio a doppia faccia, letti da un circuito dedicato a basso rumore.
Tali moduli sono organizzati su 5 livelli radiali (layers), dei quali i tre più interni sono sostanzialmente predisposti
al tracciamento e alla ricostruzione dei vertici, mentre i due più esterni contribuiscono alla ricostruzione delle tracce
che muoiono prima di raggiungere la camera a deriva (fig. 2-8). I moduli sono alloggiati su di una struttura conica in
fibra di carbonio, posizionata intorno ai magneti permanenti B1 ed alla beampipe. Tutto il SVT e parte degli elementi
PEP II E L’ ESPERIMENTO BaBar
32
PEP II e l’ esperimento BaBar
(µm)
SVT Hit Resolution vs. Incident Track Angle
60
40
BABAR
Layer 1 - Z View
Data - Run 7925
Monte Carlo - SP2
20
(µm)
0
60
40
-50
0
50
(deg)
BABAR
Layer 1 - φ View
Data - Run 7925
Monte Carlo - SP2
20
0
Figura 2-7.
-50
0
50
(deg)
Risoluzione del SVT (layer più interno) sul singolo hit in funzione dell’angolo di incidenza della traccia.
focalizzanti dell’acceleratore risiedono all’interno di un tubo di supporto in berillio, il quale è direttamente collegato
alla struttura meccanica della beamline.
Il controllo sulla dose di radiazione assorbita dal silicio viene eseguito attraverso un sistema costituito da 12 fotodiodi,
posizionati vicino al primo layer del SVT.
L’accettanza del rivelatore nell’angolo polare θ, limitata proprio dagli elementi dalla beamline, è di −0.87 < cosθ lab <
0.96.
2.2.2 La camera a deriva
La camera a deriva (Drif t CHamber) è il secondo componente del sistema di tracciamento presente in BABAR. Questo
rivelatore viene impiegato per misurare l’impulso delle particelle cariche con impulso trasverso ≥ 120 MeV, a partire
dalla curvatura delle tracce ad esse associate, dovuta alla presenza del campo magnetico (di intensità pari a 1.5 T ).
La DCH contribuisce inoltre al sistema di identificazione delle particelle (P ID), per la separazione di kaoni e pioni
attraverso misure dell’energia persa per ionizzazione (dE/dx) nell’intervallo di impulso compreso tra 100 e 700 MeV.
Infine, le informazioni degli hit nelle singole celle vengono usate per il trigger di primo livello.
La camera a deriva è costituita da un cilindro lungo 280 cm, con un raggio interno di 23.6 cm e un raggio esterno di
80.9 cm, ed è posizionata all’esterno del tubo di supporto che contiene il rivelatore di vertice ed all’interno del DIRC.
Il centro della camera è posizionato sull’asse z (figura 2-10) a +36.7 cm rispetto al punto di interazione al fine di
aumentare il volume di tracciamento nella regione in avanti, dove, a causa del boost, si concentra il maggior numero
di tracce.
M ARCO V IGNATI
2.2 Il sistema di tracciamento
33
Beam Pipe 27.8mm radius
Layer 5a
Layer 5b
Layer 4b
Layer 4a
Layer 3
Layer 2
Layer 1
Figura 2-8. Visione schematica del SVT : sezione trasversa
Figura 2-9. Visione schematica del SVT : sezione longitudinale
PEP II E L’ ESPERIMENTO BaBar
34
PEP II e l’ esperimento BaBar
Figura 2-10.
Sezione longitudinale della DCH, le dimensioni sono espresse in mm.
La sottile parete interna in Berillio (0.0028 X0 ) e la parete esterna in fibra di Carbonio (0.015 X0 ) minimizzano la
quantità di materiale che le particelle devono attraversare prima di arrivare al calorimetro elettromagnetico 2.
La camera a deriva è suddivisa in 7104 celle esagonali, approssimativamente di 1.2 cm × 1.8 cm, raggruppate in 40
layers concentrici. Il volume attivo per il tracciamento copre un angolo polare di −0.92 < cosθ lab < 0.96. I 40
layers sono raggruppati in 10 super − layers composti di 4 layers ciascuno (fig. 2-11).
Una completa simmetria lungo l’asse z non permetterebbe di ricostruire la posizione della traccia lungo questa
direzione. Per questo motivo esistono due tipi di fili: fili assiali (A), paralleli all’asse z, e i fili stereo (U,V). I fili
stereo, grazie all’angolo che formano con l’asse z (positivo per il tipo U, negativo per il tipo V), permettono di
trovare per intersezione la coordinata Z della traccia. I super − layers, in ognuno sei quali i fili di senso e guardia
hanno lo stesso orientamento, si alternano secondo lo schema AUVAUVAUVA (in figura 2-11 sono indicati i quattro
super − layers più interni)
Tutti i super − layers contribuiscono alla ricostruzione di segmenti per il trigger di primo livello, mentre solo quelli
assiali partecipano alla determinazione di pT per il trigger.
Le singole celle sono costituite da un filo centrale di senso di tungsteno che lavora ad una tensione di 1900 ÷ 1960 V ,
circondato da 6 fili catodici di alluminio dei quali circa la metà in comune con le celle vicine (fig. 2-12). Il gas
utilizzato nella camera, scelto per minimizzare la quantità di materiale presente, è una miscela 80% − 20% di HeIsobutano, con una piccola quantità di vapor d’acqua (3000 ppm) per prolungare la vita del rivelatore in un ambiente
sottoposto ad intensa radiazione.
La risoluzione spaziale di progetto per singolo hit nella camera a deriva è di 140 µm. Il modello di relazione spaziotempo per un gas non saturato è realizzato tramite polinomi di Chebychev, rispettivamente per la parte “sinistra” e
“destra” della cella. Questo modello si è dimostrato stabile in funzione del tempo. Rimane una piccola dipendenza
residua dalla densità del gas, per la quale ancora non è stata introdotta nessuna correzione nella ricostruzione. La
risoluzione di singola cella ottenuta dall’insieme di tutte le tracce cariche in eventi adronici è riportata in figura 2-13a
per una tensione di lavoro di 1960 V . La risoluzione media ottenuta è di 125 µm.
2 La
camera a deriva incide per ∼ 0.021 X0 per una traccia ad incidenza normale.
M ARCO V IGNATI
2.2 Il sistema di tracciamento
35
16
0
15
0
14
0
13
0
12
-57
11
-55
10
-54
9
-52
8
50
7
48
6
47
5
45
4
0
3
0
2
0
1
Layer
0
Stereo
4 cm
Sense
Field
Guard
Clearing
1-2001
8583A14
Figura 2-11. Rappresentazione schematica dei primi quattro super − layers. I numeri sulla destra indicano il valore
dell’angolo stereo (in mrad.) per ogni layer.
PEP II E L’ ESPERIMENTO BaBar
36
PEP II e l’ esperimento BaBar
Sense
Guard
Field
1-2001
8583A16
Figura 2-12. Celle di drif t. Sono rappresentate le isocrone delle celle dei layers 3 e 4 di un super − layer assiale;
le curve sono quasi circolari in vicinanza dei fili di senso, ma diventano irregolari vicino ai fili di campo.
L’informazione temporale degli hit nella camera è ricostruita utilizzando dei TDC. Vengono inoltre utilizzati dei flashADC per campionare l’andamento del segnale impulsivo in funzione del tempo. Entrambe le informazioni concorrono
a ricostruire la quantità di energia depositata nelle celle.
Iniettando una quantità di carica nota si calcola la correzione sul guadagno che viene poi applicata in fase di acquisizione.
Durante la ricostruzione of f − line sono calcolate ed applicate le correzioni al dE/dx dovute alla saturazione, alla
lunghezza di cammino nella cella, ed al guadagno del singolo filo e del singolo layer. Si è verificato che queste
correzioni sono stabili in funzione del tempo. Tutto questo contribusce ad ottenere una risoluzione del 7.5 % sulla
media troncata della perdita di energia per ionizzazione osservata in eventi Bhabha (fig.2-13b).
2.3 Il rivelatore Čerenkov
BABAR ha un rivelatore dedicato all’identificazione delle particelle chiamato DIRC
(Detector of Internally Ref lected Cherenkov light) basato sulla misura della luce Čerenkov prodotta nel quarzo.
Il DIRC (fig. 2-14) è posto prima del calorimetro e quindi deve essere sottile ed uniforme in termini di lunghezza di
radiazione (per minimizzare il degrado della risoluzione di energia nel calorimetro), e ridotto nella direzione radiale
per ridurre il volume, quindi il costo del calorimetro. Infine per operare ad alta luminosità, è necessario che abbia una
risposta veloce al segnale e che sia in gradi di tollerare una grande quantità di fondo.
Una caratteristica non tradizionale del DIRC consiste nell’uso delle barre di quarzo sia come radiatore che come
guida di luce. Le particelle cariche che escono dalla regione del barrel della camera a deriva attraversano una
M ARCO V IGNATI
2.3 Il rivelatore Čerenkov
37
Drift Chamber Hit Resolution
dE/dx resolution for Bhabhas
250
B A B AR
BABAR
300
250
150
Tracks
Resolution (µm)
200
350
σ = 7.5 %
200
150
100
100
50
50
0
0
-1
-0.75
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
Signed distance from wire (cm)
-0.6
-0.4
-0.2
(a)
Figura 2-13.
0
0.2
0.4
0.6
(dE/dxmeas.- dE/dxexp.) / dE/dxexp.
(b)
(a) Risoluzione sul singolo hit nella DCH. (b) Risoluzione sul dE/dx per elettroni Bhabha.
PMT Module
Hinged Cover (12)
Quartz Bar Sector
Plane Mirror (12)
Standoff Cone
~5
m
~2 m
Figura 2-14. Vista tridimensionale del DIRC.
PEP II E L’ ESPERIMENTO BaBar
38
PEP II e l’ esperimento BaBar
PMT + Base
10,752 PMT's
Light Catcher
Purified Water
17.25 mm Thickness
(35.00 mm Width)
Standoff
Box
Bar Box
Track
Trajectory
PMT Surface
Wedge
Mirror
Bar
Window
4.9 m
{
4 x 1.225m Bars
glued end-to-end
{
1.17 m
8-2000
8524A6
Figura 2-15. Schema del DIRC: zona di radiazione e regione di immagine.
matrice di 144 barre di quarzo, posizionate su un poligono di 12 lati, ognuna di circa 17 mm di spessore, 35 mm
di larghezza e 4.9 m di lunghezza lungo l’asse z. Le particelle sopra la soglia Čerenkov emettono fotoni nel quarzo.
L’angolo Čerenkov (θC ) dei γ rispetto la direzione della particella carica viene misurato da una matrice di 10752
fotomoltiplicatori posizionati al di fuori del giogo di ritorno del magnete di BABAR, in una regione, quindi, di basso
campo magnetico.
In fig. 2-15 è mostrato uno schema della geometria DIRC ed i pricipi di funzionamento della produzione di luce, del
suo trasporto e della formazione dell’immagine, immagine di cui vengono mostrati alcuni esempi in fig. 2-16.
La copertura del rivelatore nell’angolo polare è di −0.84 < cos θ lab < 0.90 corrispondente all’87% nel sistema del
centro di massa. La copertura nell’angolo azimutale è del 93% a causa dello spazio tra i 12 lati del poligono.
Le 144 barre di quarzo sono posizionate in 12 moduli (barboxes) disposti parallelamente alla direzione dei fasci nella
regione del barrel, e terminano ad una estremità con uno specchio (nella regione f orward) e dall’altra in un serbatoio
semi-toroidale riempito di acqua, posto al di fuori del campo magnetico di BABAR.
I fotoni Čerenkov vengono intrappolati per riflessione totale nelle barre ed entrano nel serbatoio che accoppia otticamente le stesse con la matrice dei fotomoltiplicatori. I fototubi, posti su una superfice semi-toroidale con raggio
interno di 1.2 m e raggio esterno di 3 m, sono suddivisi in 12 settori corrispondenti ai 12 moduli.
Mettendo in relazione la direzione della particella ottenuta dal sistema di tracciamento e la posizione dei fototubi
che osservano i fotoni Čerenkov si ricava l’angolo θC . L’informazione portata da questo angolo risulta fondamentale
nell’identificazione delle particelle cariche, in particolare per la separazione tra π e K carichi.
A causa della riflessione totale all’interno delle barre sono possibili più soluzioni per l’associazione tra hit nei fototubi
e la traccia.
La risoluzione angolare per un singolo fotone è di circa 10.2 mrad (fig.2-17a) e, con una media di 30 fotoni per traccia,
la risoluzione è di circa 2.8 mrad. Questo corrisponde ad una separazione migliore di tre deviazioni standard tra K e
M ARCO V IGNATI
2.3 Il rivelatore Čerenkov
39
Figura 2-16. Ricostruzione di un anello Čerenkov nel DIRC.
PEP II E L’ ESPERIMENTO BaBar
40
PEP II e l’ esperimento BaBar
x 10 3
x 10 3
BABAR
1500
1000
500
0
-100
-50
0
50
BABAR
2000
entries per 0.2nsec
entries per mrad
2000
100
∆ θC,γ (mrad)
(a)
1500
1000
500
0
-5
0
5
∆ tγ (nsec)
(b)
Figura 2-17. (a) Risoluzione sull’angolo Čerenkov ricostruito per il singolo fotone. (b) Risoluzione sulla differenza tra
il tempo di arrivo misurato ed aspettato.
π carichi per un impulso pari a 3 GeV.
È inoltre possibile misurare il tempo al quale si ha un hit nei fotomoltiplicatori rispetto al tempo t 0 dell’evento con
una precisione di 1.7 ns (fig.2-17b). Confrontando il tempo misurato con la stima del tempo di propagazione previsto
per un certo angolo Čerenkov è possibile ridurre il fondo di fotoni scorrelati e risolvere le ambiguità.
2.4 Il calorimetro elettromagnetico
Il calorimetro elettromagnetico (EM C) è stato progettato per misurare con eccellente risoluzione l’energia e la
distribuzione angolare degli sciami elettromagnetici con un’energia compresa tra 20 MeV e 4 GeV. Questo intervallo
permette di poter individuare i π 0 di bassa energia e gli η provenienti del decadimento del B ed inoltre i fotoni e gli
elettroni provenienti da processi elettromagnetici o deboli.
L’ EM C (fig. 2-18) è composto da 6580 cristalli di Ioduro di Cesio attivati al Tallio. Ogni cristallo è un tronco di
piramide trapezoidale con uno spessore, che varia con l’angolo polare, tra 16 e 17.5 lunghezze di radiazione. La faccia
frontale è tipicamente di ∼ 5 cm × 5 cm, mentre la faccia posteriore è di ∼ 6 cm × 6 cm. (fig. 2-20) I cristalli sono
posizionati con una geometria semi-proiettiva in una struttura cilindrica (barrel) suddivisa in 48 corone in θ di 120
cristalli l’una (in φ). La regione in avanti del rivelatore è chiusa da una struttura separata dal barrel, costituita da 9
anelli di cristalli (endcap). Il calorimetro copre la regione −0.78 < cosθ lab < 0.96.
La luce di scintillazione viene rivelata da due fotodiodi di 2 cm2 posti sulla faccia esterna del cristallo. La calibrazione ed il controllo delle prestazioni sono realizzati con diversi sistemi: tramite impulsi immessi direttamente
nell’amplificatore collegato ai fotodiodi; usando un sistema che impulsa luce nella regione posteriore dei cristalli
(f iber optic/xenon pulser) e infine facendo circolare in un apposito sistema di tubature un liquido radioattivo
che emette fotoni da 6 M eV in ogni cristallo. Vengono inoltre usati campioni di controllo estratti dai dati (π 0 ,
eventi Bhabha radiativi e non, µ+ µ− e γγ). La calibrazione con eventi Bhabha e con la sorgente viene effettuata
settimanalmente per controllare eventuali variazioni della quantità di luce.
M ARCO V IGNATI
2.4 Il calorimetro elettromagnetico
41
σ (E) / E
Figura 2-18. Sezione longitudinale dell’EM C (è mostrata soltanto la perte superiore) che mostra il posizionamento
dei 56 anelli di cristalli. Il rivelatore è a simmetria assiale lungo l’asse z. Le dimensioni sono date in mm
π0 → γ γ
η → γγ
Bhabhas
χ c → J/ψ γ
radioakt. Source
MonteCarlo
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
σ (E)/E = σ 1/E
1/4
⊕ σ2
0.02
σ 1 = (2.32 ± 0.03 ± 0.3)%
0.01
σ 2 = (1.85 ± 0.07 ± 0.1)%
0
10
-2
10
-1
E γ / GeV
1
Figura 2-19. Risoluzione dell’ EM C in funzione dell’energia.
PEP II E L’ ESPERIMENTO BaBar
42
PEP II e l’ esperimento BaBar
Figura 2-20. Schema di un cristallo dell’EM C.
M ARCO V IGNATI
2.5 L’IFR
43
L’efficienza di rivelazione del calorimetro, per fotoni di energia con E γ > 20 M eV , è maggiore del 96%. La
risoluzione di progetto dell’EM C è data da:
σ(E)/E(GeV ) = σ1 E(GeV )−1/4 ⊕ σ2
(2.1)
dove σ1 ∼ 1% e σ2 ∼ 1.2%. La risoluzione σ(E)/E può essere stimata, in intervalli di energia diversi, utilizzando la
sorgente radioattiva da 6 M eV oppure con elettroni in eventi di scattering Bhabha ad energie più elevate.
Con la sorgente è stata misurata una risoluzione media σ(E)/E ≈ 5.0 ± 0.8%, mentre con elettroni Bhabha da
7.5 GeV si ottiene σ(E)/E ≈ 1.90 ± 0.07%.
Effettuando un fit (fig.2-19) delle misure sperimentali con la 2.1 si ottiene: σ 1 ≈ 2.32±0.30% e σ2 ≈ 1.85±0.12%. Il
termine costante più grande di quello atteso è causato da un effetto, non ancora corretto, di cross talk nell’elettronica
di f ront end.
La figura 2-19 mostra la risoluzione in energia nei dati confrontata con quella aspettata dal Monte Carlo. In questo
grafico sono incluse misure ottenute usando fotoni da 50 ÷ 600 M eV provenienti da decadimenti di π 0 , e fotoni
da eventi Bhabha radiativi (∼ 0.25 ÷ 3 GeV ). Nell’ultimo caso è stato tenuto in considerazione il contributo alla
risoluzione dovuto al sistema di tracciamento ottenuto studiando eventi e + e− → µ+ µ− .
Eventi Bhabha sono stati usati anche per determinare la risoluzione angolare del calorimetro, che risulta variare tra
12 mrad e 3 mrad passando dalle basse alle alte energie, secondo una dipendenza dall’energia descritta dalla relazione:
σθ,φ = σ1 (E/GeV )−1/2 + σ2 ,
(2.2)
con σ1 = (3.87 ± 0.07)mrad e σ2 = (0.00 ± 0.04)mrad.
2.5 L’IFR
L’identificazione dei muoni e la rivelazione degli adroni neutri (principalmente K L0 ) in un ampio intervallo di impulsi
ed angoli è demandata al sottosistema chiamato IFR (Instrumented F lux Return).
Come tutti i rivelatori di BABAR, anche l’IFR ha una struttura asimmetrica e la sua copertura dell’angolo polare è
17◦ ≤ θlab ≤ 150◦ .
L’IFR (fig. 2-21) consiste di 19 piani di ResistiveP lateChambers (RP C - [?]) nella regione del barrel e 18 piani
nelle regioni anteriore e posteriore. I piani di RP C sono alternati con le piastre di ferro che chiudono il ritorno
del campo magnetico solenoidale. La struttura del ferro è suddivisa in tre parti principali: il barrel che circonda il
solenoide, composto da 6 sestanti che si estendono radialmente da 1.820 m a 3.045 m per una lunghezza di 3.750 m;
il f orward endcap ed il backward endcap che coprono rispettivamente la regione anteriore (asse z positivo) o
posteriore del rivelatore. In più , due layer di RP C cilindrici sono installati tra il calorimetro e il criostato del magnete
per rivelare particelle uscenti dall’EMC. Questi devono supplire alle regioni, nella coordinata φ, non coperte dal
barrel: nella figura 3-10 viene mostrata l’accettanza nel barrel e nel f orward endcap per K L0 . I layer cilindrici
sono suddivisi in quattro sezioni, ognuna delle quali copre un quarto della circonferenza. Ognuna ha quattro gruppi di
RP C con strip di lettura ortogonali, all’interno strip elicoidali u − v disposte lungo le diagonali del modulo, mentre
all’esterno ci sono strip parallele a φ e z. Il sommario della segmentazione della lettura dell’IFR è mostrata nella
tabella 2-4.
Gli endcap sono di forma esagonale ed ognuno di essi è diviso verticalmente in due metà per permettere l’accesso ai
sottosistemi interni. Entrambi sono forati al centro per consentire il posizionamento del tubo a vuoto e degli elementi
focalizzanti di PEP II.
PEP II E L’ ESPERIMENTO BaBar
44
PEP II e l’ esperimento BaBar
Figura 2-21.
sezione
# di
settori
Vista dell’IFR
coordinata
# di lettura
layer
# strip
layer/settore
lungh. strip
(cm)
largh. strip
(mm)
totale #
canali
≈ 11, 000
≈ 11, 000
barrel
6
φ
z
19
19
96
96
350
190-318
19.7-32.8
38.5
endcap
4
y
x
18
18
6x32
3x64
124-262
10-180
28.3
38.0
cilindrico
4
φ
z
1
1
128
128
370
211
16.0
29.0
u
1
128
10-422
29.0
512
v
1
128
10-423
29.0
512
Tabella 2-4.
13,824
≈ 15, 000
512
512
La segmentazione della lettura dell’IFR. Il numero totale di canali è circa 53000.
Lo spessore delle piastre di ferro va da circa 2 cm per quelle più vicine alla regione di interazione a 10 cm per quelle
più esterne, per un totale di ≥ 65 cm (corrispondenti a ∼ 4 lunghezze di interazione ) nel barrel e ≥ 60 cm negli
endcap. La distanza nominale tra gli strati di ferro è di 3.5 cm per i layer più interni del barrel e 3.2 cm altrove. Una
maggiore granularità degli strati interni rispetto agli ultimi è giustificata dal fatto che la maggior parte delle particelle
rivelate nell’IFR interagiscono con le prime piastre di materiale.
La segmentazione scelta è anche il risultato di un compromesso tra il costo della struttura (proporzionale al volume)
e la necessità di individuare anche muoni di basso impulso (> 700 M eV ), minimizzando però la frazione di K L0 che
non interagiscono nell’IFR. Il risultato della ottimizzazione è una segmentazione non uniforme, con lastre di ferro di
spessore crescente verso l’esterno. La sezione di un RP C è mostrato nella figura 2-22
In ciascun sestante del barrel le lastre vengono tenute assieme da una struttura in acciaio che riduce la copertura
dell’angolo solido con rivelatori attivi di circa il 7%. La copertura attiva dell’IFR è di ≈ 2000 m 2 , per un totale di
circa 900 moduli di RP C.
M ARCO V IGNATI
2.5 L’IFR
45
Figura 2-22.
Sezione di un RP C planare con lo schema della connessione dell’HV.
I segnali prodotti dal passaggio delle particelle nello strato gassoso degli RP C sono raccolti su entrambi i lati
della camera per mezzo di sottili strip di spessore 40 µm e larghezza variabile di qualche centrimetro. Le strip
sono applicate in 2 direzioni ortogonali tra loro su fogli isolanti spessi 200 µm, in modo da ottenere una lettura
bidimensionale. In ciascun sestante del barrel ogni gap ospita una camera. Questa consiste di 3 moduli di RP C di
forma rettangolare. Ogni modulo è lungo ∼ 125 cm nella direzione parallela ai fasci, con larghezza variabile in modo
da chiudere completamente la gap.
Ogni camera è equipaggiata con 96 φ−strip disposte lungo l’asse z che misurano l’angolo φ nel barrel, e 96 z−strip
ortogonali alla direzione dei fasci che a loro volta misurano la coordinata z. Le z − strip sono divise in tre pannelli
di 32 strip ed ogni singola strip misura 3.65 cm di larghezza, con una separazione tra strip contigue di 0.2 cm. Anche
le φ − strip sono divise in tre pannelli di 32 strip, di larghezza variabile da 1.78 a 3.37 cm con la posizione radiale
della camera.
Questa geometria proiettiva permette di avere un numero costante di strip su tutti i piani, senza peggiorare le
prestazioni del rivelatore poichè ogni strip sottende lo stesso angolo azimutale.
La miscela di gas utilizzato è composta da 56.7% di Argon, 38.8% di Freon-134a e 4.5% di Isobutano. La tensione di
lavoro degli RP C è circa 7.5 kV .
Le piastre di ferro che separano i piani di RP C sono raffreddate con un sistema ad acqua che impedisce di superare
una temperatura di ∼ 20o C.
Le efficienze degli RPC sono misurate utilizzando cosmici presi settimanalmente. L’efficienza media durante il run
del 2000 è stata ∼ 78% nel barrel e ∼ 87% nel f orward endcap, minore dell’efficienza misurata nel Giugno 1999
(∼ 92%). Ora le efficienze del barrel sono diminuite, e sono di circa il 40%, mentre per il f orward endcap, che è
stato completamente ricostruito, sono superiore al 90%.
PEP II E L’ ESPERIMENTO BaBar
46
M ARCO V IGNATI
PEP II e l’ esperimento BaBar
3
Ricostruzione dei decadimenti B → φK 0
I decadimenti studiati in questo lavoro sono:
• B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0
• B 0 → φ(K + K − )KS0
• B 0 → φ(K + K − )KL0
Per la loro ricostruzione si procede selezionando i prodotti di decadimento in modo tale da ridurre al minimo il
contributo di tutte le possibili sorgenti di fondo. La procedura comune per discriminare il segnale dal fondo consiste
nel costruire variabili che abbiano distribuzioni differenti nei due casi. Nei paragrafi successivi segue una illustrazione
di questa tecnica sia per quanto riguarda l’identificazione delle particelle cariche (PID ), sia per quanto riguarda il
canale di decadimento vero e proprio.
3.1 Campioni di dati utilizzati
Per le analisi presentate sono stati usati i dati raccolti nei periodi:
• Run1: Ottobre 1999 - Ottobre 2000
• Run2: Febbraio 2001 - Giugno 2002
• Run3: Dicembre 2002 - Giugno 2003
Che corrispondono a un totale di:
• 112f b−1 di dati presi alla risonanza Υ (4S)(on-resonance)
• 12f b−1 di dati presi 40 MeV sotto la soglia della Υ (4S)(off-resonance)
Inoltre per definire la selezione e costruire l’analisi sono stati utilizzati diversi campioni di eventi simulati con tecnica
Monte Carlo:
• 100k eventi di segnale B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0
• 139k eventi di segnale B 0 → φ(K + K − )KL0
• 150k eventi di segnale B 0 → φ(K + K − )KS0
48
Ricostruzione dei decadimenti B → φK 0
• 70M eventi di continuo cc pari a circa 50 fb−1
• 109M eventi di continuo uu/dd/ss pari a circa 52 fb−1
• 53M eventi di decadimenti generici B 0 B 0 pari a 106 fb−1
• 52M eventi di decadimenti generici B + B − pari a 104 fb−1
3.2 I K carichi
Il primo passo della ricostruzione del mesone φ → K + K− è l’identificazione dei mesoni K carichi, il che significa
assegnare una probabilità al fatto che la traccia trovata nell’evento sia generata da un vero kaone, oppure sia un pione
carico erroneamente identificato come un K.
In linea di principio la differenza in massa tra un π e un K porta ad un contributo diverso nella distribuzione di ∆E
(cfr: 3.6.1), ma, in realtà , la separazione in base a questa variabile non è sufficiente. Questa può essere migliorata
facendo uso di informazioni aggiuntive sulla traccia fornite dal rivelatore di vertice (SVT), dalla camera a deriva
(DCH), e dall’angolo Čerenkov misurato dal rivelatore DIRC di BABAR.
Ciò che consente di distinguere un π carico da un K nel rivelatore di vertice e nella camera a deriva è la perdita di
energia per ionizzazione dE/dx, descritta dalla relazione di Bethe-Bloch
dE
1 2me c2 β 2 γ 2 Tmax
δ
2Z 1
2
−
(3.1)
= Kz
ln
−β −
dx
A β2 2
I2
2
in cui Tmax è l’energia cinetica massima che il K può cedere ad un elettrone e le altre quantità sono descritte in [22].
Questa viene opportunamente parametrizzata inserendo le calibrazioni relative a ciascun rivelatore:
−a2
· (βγ)a3 per l’SVT
• − dE
dx = a1 · β
con a1 = 3.74, a2 = 2.07, a3 = −0.11
0
a4
0
0
a5
• − dE
per la DCH
dx = a1 · (a2 − β − ln(a3 + (βγ) ))/β con β = (p/E)
con a1 = 55.3, a2 = 6.72, a3 = 0.0018, a4 = −1.54, a5 = 2.46
dove i coefficienti ai sono, appunto, le costanti di calibrazione dei due rivelatori.
Nella figura 3-2 vengono mostrate le diverse distribuzioni della perdita di energia dE/dx nel rivelatore di vertice e
nella camera a deriva, in funzione dell’impulso, per tracce cariche di diversa natura. L’intervallo di impulso per i K
carichi nel decadimento che si sta analizzando va da 0.5 GeV/c a 3 GeV/c (cfr. fig. 3-1): è evidente che la distinzione
tra π e K nell’ SVT e DCH non è buona per impulsi superiori a circa 1 GeV/c. Quindi per p > 1 GeV/c diventa di
fondamentale importanza l’utilizzo dell’angolo Čerenkov, misurato nel DIRC , come mostrato in figura 3-3.
La PID nel rivelatore DIRC, quando utilizzato in configurazione di veto, si basa sul fatto che una particella carica di
massa m ed impulso p, quando attraversa le barre di quarzo, aventi indice di rifrazione n, emette luce Čerenkov se il
suo impulso è superiore ad una certa soglia, definita dalla relazione:
p> √
m
n2 − 1
(3.2)
Quando due o più tipi di particelle soddisfano la relazione (3.2), l’elemento discriminante diventa l’angolo Čerenkov
, che caratterizza l’apertura del cono di luce emessa attorno alla direzione di volo. Nel nostro caso si assume che
M ARCO V IGNATI
3.2 I K carichi
49
Figura 3-1. Spettro di impulso dei K carichi nel sistema del laboratorio, campione di segnale Monte Carlo di B 0 →
φ(K + K − )KL0 .
l’indice di rifrazione n del quarzo sia costante (n = 1.473). L’angolo di radiazione Čerenkov è allora pari a
1
θc = arccos
nβ
(3.3)
dE/dx (a.u)
dove β = p/E è la velocità della particella.
10 4
Unita' Arbitrarie
p
10
d
70
60
50
K
p
40
K
30
π
3
e
10
-1
d
µ
1
Momento
GeV/c 10
20
π
10
µ
e
0
10
-1
1
p (GeV)
Figura 3-2. Perdita di energia dE/dx al variare dell’impulso della traccia carica nel rivelatore di vertice (sinistra) e
nella camera a deriva (destra) per diversi tipi di particella. Le curve continue rappresentano gli andamenti tipici.
Sulla base di queste informazioni si costruisce un selettore, detto KaonSMSSelector (SMS nel seguito), che si basa sulla
costruzione di una funzione di verosimiglianza (L(h)) per ciascuna ipotesi di massa (h = K, π, ma anche protone):
L(h) = LSV T (h) ∗ LDCH (h) ∗ LDIRC (h)
R ICOSTRUZIONE
DEI DECADIMENTI
B → φK 0
50
Ricostruzione dei decadimenti B → φK 0
Figura 3-3. Angolo Cerenkov misurato nel DIRC in funzione dell’impulso per un campione di riferimento di kaoni
(sinistra) e di pioni a(destra). Le curve continue sono gli andamenti tipici per diversi tipi di particelle. Si nota come solo
una piccola frazione di K e di π non segua l’andamento aspettato.
La funzione di verosimiglianza per il DIRC è costruita assumendo come variabile la differenza tra l’angolo Čerenkov
0
0
aspettato θC , calcolato con la relazione 3.3, e l’angolo osservato θC
. La distribuzione di questa differenza θC − θC
viene parametrizzata con una singola gaussiana. Dal momento che l’angolo dei fotoni emessi dipende dall’impulso
delle tracce, si divide l’intervallo di variabilità dell’impulso in bin di 250 MeV/c, e per ognuno di essi si usa una
0
parametrizzazione diversa. Le distribuzioni per questa variabile θ C − θC
, per un campione di kaoni carichi provenienti
∗+
da decadimenti di mesoni D , sono rappresentate nella figura 3-4. Dopodiché i selettori (più o meno stringenti) sono
definiti dal confronto delle funzioni di verosimiglianza per le varie h come descritto nella tabella 3-1. In essa r è un
Selettore
Taglio
Valore di r
Not a Pion
rπ L(π) > L(K) e rπ L(π) > L(p)
rπ = 0.1
Very Loose
L(π) > L(K)
Loose
L(K) > rπ L(π) e L(K) ≥ L(p)
Tight
VeryTight
L(K) > rπ L(π) e L(K) > L(p)
L(K) > rπ L(π) e L(K) > L(p)
Tabella 3-1.
p ≤ 0.5 GeV/c
rπ = 1.0
p > 0.5 GeV/c
rπ = 1
rπ = 80
p < 2.7 GeV/c
p > 2.7 GeV/c
rπ = 15
rπ = 1
0.5 < p < 0.7 GeV/c
p < 2.5 GeV/c
rπ = 80
rπ = 15
p > 2.5 GeV/c
0.4 < p < 0.7 GeV
rπ = 3
rπ = 200
p < 2.5 GeV/c
p > 2.5 GeV/c
rπ = 20
0.4 < p < 0.7 GeV
Livelli di purezza del selettore KaonSMSSelector
coefficiente che è funzione dell’impulso della traccia e assume valori differenti per l’ipotesi p e l’ipotesi π. I selettori
sono anche in grado di tener conto dell’eventuale decadimento del K carico prima che esso raggiunga il DIRC(la
vita media è di circa cτ = 3.713m). I prodotti di decadimento contengono, nella maggior parte dei casi, di una
M ARCO V IGNATI
3.2 I K carichi
51
0
Figura 3-4. Distribuzione della differenza tra angolo Cerenkov aspettato e osservato θC − θC
per fotoni emessi da
∗+
0 +
0
− +
kaoni carichi nei decadimenti di un campione di controllo D → D π (D → K π ).
R ICOSTRUZIONE
DEI DECADIMENTI
B → φK 0
52
Ricostruzione dei decadimenti B → φK 0
singola traccia carica (i principali modi di decadimento di un K + sono K + → µ+ νµ (63.51±0.18%) e K + → π + π 0
(21.16±0.14 %)).
3.3 I KS
I KS0 decadono nel rivelatore lasciando tracce nell’SVT e nella camera a deriva quando decadono in due pioni carichi
(KS0 → π + π − ).
3.3.1 KS0 → π + π −
Per la ricostruzione del KS0 → π + π − si combinano tutte le tracce cariche nell’evento e si applica un algoritmo di
vertexing. Dopodichè si calcola la massa invariante assumendo che le tracce siano dei pioni carichi e si impone il
taglio:
• 0.4865 < mKS0 →π+ π− < 0.5089 GeV/c2
La condizione sul vertice di decadimento viene imposta definendo la significanza statistica della vita media (LS,
dall’Inglese lifetime significance):
LS = τ /στ
dove τ è il tempo di decadimento e στ l’errore associato. Per eventi in cui le due tracce non provengono direttamente
dal vertice dal decadimento di un KS0 , avendo imposto che esse formino un vertice, la distanza tra il vertice ricostruito
ed il vertice primario sarà nulla oppure sarà grande l’errore ad essa associato. In entrambi i casi LS sarà piccola mentre
per il segnale avrà una distribuzione uniforme. Il taglio imposto su LS è :
• LS > 5.0
La selezione dei KS0 → π + π − è efficiente al 70%. La distribuzione delle masse è mostrata in figura 3-5.
3.4 I KL
I KL0 non decadono all’interno del rivelatore. Lo spettro di impulso infatti è compreso nell’ intervallo 0.8-4.0 GeV, da
cui consegue che, essendo βγ maggiore di 1.6, il libero cammino medio è maggiore di 24 m. Essi possono tuttavia dar
luogo a interazione forte nel EMC e nell IFR ma, visto che i due rivelatori non sono calibrati per misurare l’energia di
particelle adroniche, si può ottenere soltanto una misura di posizione. Imponendo che il candidato K L0 provenga dal
punto di interazione dei fasci si ricava la direzione di volo ma manca ancora una misura di impulso. Nei decadimenti
che contengono un solo KL0 si può chiudere la cinematica imponendo che la massa invariante delle particelle del
decadimento sia uguale alla massa della B.
Queste assunzioni richiedono un attenta analisi degli oggetti che interagiscono nell IFR e nell’EMC, per questo
si costruiscono delle variabili per discriminare i KL0 veri e quelli falsi (principalmente fotoni) che possono essere
combinate in una funzione di verosimiglianza o in una rete neurale.
Poiché il calorimetro elettromagnetico è contenuto all’interno dell’IFR una misura nell’EMC non è influenzata da
interazioni con l’IFR mentre non è vero il contrario. La risoluzione angolare misurata dall’IFR di un K L0 che ha
interagito prima con l’EMC e poi con l’IFR risulta cosı̀ peggiorata, motivo per cui in caso di doppia interazione si
prendono in considerazione solo le informazioni del calorimetro.
M ARCO V IGNATI
3.4 I KL
53
Mean = 0.498
RMS = 0.002905
Integ = 7320
600
500
Mean = 0.498
RMS = 0.003071
Integ = 7450
500
400
400
300
300
200
200
100
100
0
0.4880.490.4920.4940.4960.498 0.5 0.5020.5040.5060.508
Mass(Ks) (GeV
0
0.4880.490.4920.4940.4960.498 0.5 0.5020.5040.5060.508
Mass(Ks) (GeV
Figura 3-5. Distribuzione della massa del KS0 → π + π − per KS0 provenienti dal mesone φ (sinistra) e per KS0
provenienti dal B, campione di Montecarlo B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0
3.4.1 Ricostruzione nell’EMC
Circa il 68% dei KL0 prodotti lasciano un segnale visibile nel calorimetro elettromagnetico a causa di interazioni
adroniche inelastiche con il materiale. Un cluster dell’EMC viene formato associando più cristalli adiacenti in cui si
è verificata l’interazione con il KL0 . Il cristallo iniziale deve contenere un deposito di energia di almeno 10 MeV,
dopodichè vengono aggiunti quelli adiacenti se la loro energia è maggiore di 1 MeV. Se poi questa è maggiore
di 3 MeV, vengono aggiunti ulteriori cristalli loro adiacenti (nella definizione di adiacenza si comprende anche il
solo vertice in comune), e cosı̀ via. L’identificazione del KL0 avviene escludendo prima quei candidati che possono
essere associati a delle tracce cariche nella camera a deriva e nell’SVT. Per questo, si richiede che la probabilità
di associazione ad una traccia carica sia minore dell’1%. La distribuzione del deposito di energia nel calorimetro
(ECAL (KL0 )) è mostrata in figura 3-6. Il taglio su questa variabile per B 0 → φ(K + K − )KL0 è quello comunemente
utilizzato nelle analisi di BABAR(0.2 GeV), mentre per B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 è stato spostato a 0.04 GeV. Il valore è stato
scelto in modo da massimizzare l’efficienza e la significanza statistica, tenendo conto dell’inattendibilità del Monte
Carlo al di sotto di 40 MeV. Il punto fondamentale risiede nella reiezione dei fotoni e degli altri adroni neutri, la cui
componente principale è costituita da π 0 .
3.4.1.1 Veto dei π 0
La differenza fondamentale tra un deposito di un fotone e di un adrone è nella diversa forma e lunghezza della cascata
prodotta (più lunga e più irregolare quella adronica). Poiché è possibile che i depositi di due fotoni siano talmente
vicini da essere accorpati in un unico cluster, si va ad indagare la sua composizione. Si possono costruire dei massimi
locali (detti bump) all’interno di un cluster secondo i seguenti criteri:
• il cristallo candidato a massimo locale deve avere un’energia di almeno 20 MeV
• esso deve avere un’energia maggiore di quella di tutti i cristalli adiacenti
R ICOSTRUZIONE
DEI DECADIMENTI
B → φK 0
54
Ricostruzione dei decadimenti B → φK 0
800
180
htemp
160
700
Nent = 2387
140
Mean = 0.6477
120
offres
RMS = 0.5265
Mean = 0.4832
600
RMS = 0.4371
500
100
400
80
300
60
200
40
Nent = 11732
∆ E sideband
continuum MC
100
20
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0
Delivered energy in EMC (GeV)
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2 1.4 1.6 1.8
2
Delivered energy in EMC (GeV)
Figura 3-6. Distribuzione dell’energia rilasciata nel calorimetro elettromagnetico dai KL0 generati per eventi di
segnale Monte Carlo (sinistra) e per il fondo (destra). L’istogramma rappresenta il Monte Carlo di continuo, i punti
i dati sulla risonanza fuori della regione di segnale
• deve rispettare la condizione
0.5(N − 2.5) >
ENmax
EX
dove ENmax è l’energia del cristallo con energia maggiore tra i vicini del candidato X, ed N è il numero di
cristalli adiacenti con energia maggiore di 2 MeV
Il veto sui π 0 è definito dalla seguente selezione 1 :
• il KL0 non può formare un π 0 con qualsiasi altro cluster di energia E >30 MeV tale che 100 MeV < m(γγ) <150
MeV
• Se un cluster con E > 1 GeV è formato da 2 bump, si richiede che m(doppio − bump) <110 MeV
L’inefficienza del veto sui π 0 nel Monte Carlo è di circa il 16%, ed è dovuta essenzialmente al modo in cui la
simulazione Monte Carlo riproduce la molteplicità dei cluster nel calorimetro.
3.4.1.2 I momenti di Zernike
Variabili sensibili alla distribuzione spaziale dell’energia depositata sono i polinomi (o momenti) di Zernike [25].
L’espressione analitica per i polinomi è la seguente:
Znm =
n
X
Ei
ri
· fnm ( ) · e−imφi
E
R0
ri ≤R0
1 Tagli
applicati nella definizione della lista standard di BABARKlongEmcTight.
M ARCO V IGNATI
(3.4)
3.4 I KL
55
dove R0 = 15 cm e
fnm (ρi ≡
ri
)=
R0
(n−m)/2
X
s=0
(−1)s (n − s)!ρn−2s
i
,
s!((n + m)/2 − s)!((n − m)/2 − s)!
con n, m ≥ 0 ed interi, n − m pari ed m ≤ n. I momenti di Zernike forniscono un’espansione indipendente
dall’orientazione del sistema di coordinate laterali nel quale φi è misurata. Quello utilizzato in questo caso è Z20 , che
rappresenta il defocheggiamento del cluster:
Z20 = 2r2 − 1
La figura 3-7 rappresenta la distribuzione del momento Z20 per i KL0 provenienti da eventi Monte Carlo B 0 →
φ(K + K − )KL0 e per il fondo. Se Z20 > 0.8 viene richiesto un veto esplicito ai π 0 : si escludono tutte le combinazioni
di due cluster che riproducono la massa invariante del π 0 .
900
800
700
900
htemp
Nent = 23420
Mean = 0.7812
RMS = 0.167
600
Nent = 11732
700
Mean = 0.8409
600
RMS = 0.1667
500
500
400
400
∆ E sideband
continuum MC
300
300
200
200
100
100
0
0
offres
800
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.2
0.4
0.6
0.8
Zernike moment Z 20
1
Zernike moment Z 20
Figura 3-7. Distribuzione del momento di Zernike Z20 dei KL0 per eventi Monte Carlo B 0 → φ(K + K − )KL0 (sinistra)
e per il fondo (destra). L’istogramma rappresenta il Monte Carlo di continuo, i punti i dati sulla risonanza fuori della
regione di segnale
3.4.1.3 Momento laterale
Un’altra variabile usata per distinguere depositi di energia rilasciati da fotoni o elettroni, da quelli dei K L0 , è il momento
laterale (LAT ), che sfrutta la diversa struttura dei depositi dovuti ad un’interazione elettromagnetica da una forte, e
il diverso sviluppo longitudinale dello sciame. Il momento laterale è definito come il rapporto tra la somma di tutti i
depositi di energia, esclusi i 2 più energetici, pesati con il quadrato della distanza dal centro del cluster e la somma di
tutte le energie, comprese quelle dei 2 cristalli più energetici, questi ultimi pesati con r 02 , dove r0 = 5 cm è la distanza
media tra due cristalli. Una rappresentazione bidimensionale del significato del momento laterale è riportata nella
figura 3-8. L’espressione analitica del LAT è la seguente:
PN
2
i=3 Ei ri
2
2
i=3 Ei ri + E1 r0
in cui
LAT = PN
(3.5)
+ E2 r02
R ICOSTRUZIONE
DEI DECADIMENTI
B → φK 0
56
Ricostruzione dei decadimenti B → φK 0
crystal front-faces
θ =const.- axis
R0
cluster
ϕ
centre of gravity
i
ri
(r i ,ϕ i )
i-th crystal
Figura 3-8. Rappresentazione φ − θ di una regione del calorimetro su cui avviene il deposito di energia. Nella figura
sono indicate alcune delle variabili che definiscono la variabile LAT.
• N = numero di cristalli associati alla cascata
• Ei = energia depositata nello i-esimo cristallo, con una numerazione tale che E 1 > E2 > E3 > · · · > EN
• ri = distanza tra il centro della cascata e lo i-esimo cristallo
• r0 = 5 cm, distanza media tra due cristalli
Il raggio di Molière Rm di CsI(Tl) è di 3.8 cm. Quindi, la maggior parte di una cascata elettromagnetica sarà compresa
in 2-3 cristalli, e, poichè le energie maggiori sono escluse dal numeratore di LAT , questa diventa piccola (vedi, per
esempio, la distribuzione del LAT per elettroni in fig. 3-9). Al contrario, la distribuzione del momento laterale per le
cascate adroniche è meno concentrata, con depositi di energia a più grandi distanze.
3.4.1.4 Momento secondo
Il momento secondo associato ad un cluster del calorimetro è definito come:
M omentoSecondo =
X Ei ((θi − θcluster )2 + (φi − φcluster )2 )
P
i Ei
i
(3.6)
dove θcluster , φcluster è la posizione del cosiddetto centroide del cluster, definito attraverso una particolare media
pesata sulle energie dei cristalli che lo compongono.
M ARCO V IGNATI
3.4 I KL
57
Figura 3-9.
Distribuzione di LAT per cascate provocate da elettroni
3.4.1.5 s1s9 e s9s25
Il rapporto s1s9 è definito come il rapporto tra l’energia del cristallo centrale del cluster e la somma delle energie dei
9 cristalli che lo circondano. Analogamente, s9s25 è definito come il rapporto tra la somma delle energie di questi 9
e tra i primi 25 piú vicini.
3.4.2 Ricostruzione nell’IFR
L’identificazione nell’IFR degli adroni neutri, come il KL0 , avviene dopo la ricostruzione delle tracce cariche che, oltre
che nei rivelatori più interni, lasciano un segnale evidente anche in questo rivelatore. Poiché è possibile associare le
tracce lasciate dalle particelle cariche in uno dei rivelatori interni, per esempio la camera a deriva, a quelle lasciate
nell’IFR, si ricostruiscono prima queste, e poi, per esclusione, quelle dei neutri. L’unità fondamentale dell’identificazione del passaggio di una particella nell’IFR è l’hit, cioè il segnale su una strip associata ad un layer acceso. Più
strip accese contigue definiscono un cluster 1-dimensionale (1D nel seguito); ogni interazione rivelata ne definisce
due, uno per ciascuna vista (X ed Y) (cluster 2D). Mettendo insieme due viste, infine, si costruiscono i cluster 3D
L’associazione con la traccia lasciata dalla particella carica in un rivelatore interno avviene attraverso un algoritmo in
grado di estrapolare la direzione della particella all’interno dei vari strati del rivelatore fino all’ultimo layer dell’IFR.
L’identificazione degli adroni neutri KL0 avviene allo stesso modo, tranne, ovviamente, l’associazione ad una traccia
carica: i cluster 2D e i cluster 3D vengono formati solo in base alla contiguità spaziale di quelli 1D. Lo stesso K L0 ,
però, può interagire con due zone diverse dell’IFR, e quindi formare più di un cluster 3D, in special modo vicino ai
limiti dei vari settori del rivelatore, dove è molto probabile che il mesone lasci un segnale in più di uno di essi. Infatti,
nella figura 3-11, in cui viene mostrata la molteplicità per i cluster 3D generati dai K L0 nell’IFR, è evidente che questa
aumenta nella zona 0.65 ≤ cos(ϑ) ≤ 0.85, corrispondente al punto di confine del barrel con il forward end-cap.
Al fine di evitare questa molteplicità, e quindi ridurre l’incertezza sulla direzione del K L0 , si combinano i cluster 3D
in cluster composti imponendo che l’apertura angolare tra questi sia inferiore ad un certo valore.
Dalla distribuzione a destra nella figura 3-12 si vede che la maggior parte dei K L0 sono ricostruiti nei primi layer
dell’IFR, appunto per questo motivo lo spessore dei settori di ferro è minore nei primi strati, e cresce verso l’esterno
(dai 2 cm dei primi nove ai 10 cm dei più esterni): è importante avere una buona granularità all’inizio del rivelatore,
R ICOSTRUZIONE
DEI DECADIMENTI
B → φK 0
58
Ricostruzione dei decadimenti B → φK 0
Figura 3-10. Distribuzione spaziale degli hit dei KL0 nelle zone barrel e forward del rivelatore IFR
Figura 3-11. Molteplicità dei cluster 3D al variare dell’angolo θ, per eventi con più di un KL0 ricostruito
M ARCO V IGNATI
3.4 I KL
59
zona in cui è più probabile che cominci l’interazione. La selezione, dunque, è costituita dalle seguenti richieste 2 :
Primo layer acceso nell’IFR
Numero di Layer accesi dell’IFR
600
nLayers
500
Mean = 4.947
400
Over =
Nent = 3091
Mean = 5.086
600
RMS = 2.446
Under =
FirstLay
700
Nent = 3422
0
RMS = 4.027
Under =
500
0
Integ = 3422
Over =
Integ = 3091
400
300
0
0
300
200
200
100
0
0
100
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Figura 3-12. Distribuzione del numero di layer colpiti (sinistra) e del primo layer colpito (destra) da un KL0 per eventi
di segnale Monte Carlo B 0 → φ(K + K − )KL0
• Almeno 2 layer planari accesi;
• centro di gravità del cluster nell’intervallo −0.75 ≤ cos(θ) ≤ 0.95;
• veto sull’associazione ai cluster dell’EMC appartenenti a tracce cariche:
– La posizione relativa di una traccia di energia E >0.75 GeV e di un candidato K L0 dell’IFR deve soddisfare
la condizione |θKL − θtraccia | >350 mRad;
– al di fuori di -750 mRad < φKL − φtraccia < 300 mRad per le tracce cariche positivamente;
– al di fuori di -300 mRad < φKL − φtraccia < 750 mRad per le tracce cariche negativamente.
• primo layer nel forward end-cap < 14.
L’efficienza della selezione sulla cosiddetta regione di isolamento, cioè il cono che ha come asse la direzione del
candidato KL0 all’interno del quale non devono venire a trovarsi tracce cariche, potrebbe dipendere, in generale, dalla
molteplicità delle tracce presenti nell’evento. Uno studio di eventi J/ψK ± mostra che l’efficienza di questo taglio
varia al massimo del 3%. I cluster nel forward end-cap che iniziano layer 14 sono scartati in quanto possono essere
in gran parte generati dal fondo prodotto dai fasci.
3.4.3 Ricostruzione combinata EMC + IFR
Poiché un KL0 può lasciare segnali visibili sia nell’EMC che nell’IFR, bisogna definire un criterio che stabilisca
quando due candidati nei differenti rivelatori siano prodotti dalla stessa particella. Per associare un deposito nel
2 Questi
tagli definiscono la lista standard di BABAR KlongIfrTight
R ICOSTRUZIONE
DEI DECADIMENTI
B → φK 0
60
Ricostruzione dei decadimenti B → φK 0
calorimetro elettromagnetico con un segnale nell’IFR, si può definire la massima apertura accettabile tra le direzioni
di volo nei due rivelatori: se θ e φ sono gli angoli polare ed azimutale, rispettivamente, del K L0 , si può costruire un
semplice χ2 :
χ2 = (∆θ/σθ )2 + (∆φ/σφ )2
dove σθ =151 mrad e σφ =177 mrad sono stati ottenuti da un Monte Carlo di KL0 singoli, cioè da eventi, non fisici,
in cui vengono generati eventi in cui l’unica particella prodotta è un K L0 . Dopodiché si assume che i due cluster,
rispettivamente del calorimetro e dell’IFR, appartengano allo stesso K L0 se
P rob(χ2 ) ≥ 0.01
La distribuzione della probabilità del χ2 è mostrata nella distribuzione in figura 3-13. Considerando la ricostruzione
Figura 3-13. Probabilità del χ2 per l’associazione dei candidati IFR e EMC.
combinata dei KL0 nel calorimetro elettromagnetico e nell’IFR l’efficienza che si ottiene, nell’ intervallo di impulso
che ci riguarda (≈ 2.5 GeV/c) è di circa il 50% (vedi tab. 3-2). L’andamento dell’efficienza in funzione dell’impulso,
nonché dell’angolo polare di volo, è mostrata nella figura 3-14, per eventi di tipo B 0 → J/ψKL0 .
εIF R
εEM C
Dati (%)
Monte Carlo (%)
35.3 ± 2.2
32.5 ± 1.2
13.8 ± 1.6
14.7 ± 0.9
Tabella 3-2. Efficienze di ricostruzione per i candidati KL0 prodotti in eventi φγ .
M ARCO V IGNATI
3.4 I KL
61
Figura 3-14. Efficienza di ricostruzione dei KL0 combinati IFR e EMC in funzione dell’impulso (sinistra) e della
direzione di volo (destra).
3.4.4 Energia mancante dell’evento
Come detto parte del fondo del KL0 è costituito da fotoni non identificati come tali. A differenza dei KL0 essi hanno
un’energia misurata, pertanto si costruisce una variabile nel seguente modo:
X
X
∆Evis =
Ei −
Ej
(3.7)
i=tracce,neutri
0
j6=KL
dove i corre su tutte le particelle nell’evento e j sulle particelle del canale ricostruito. Accanto ad essa hanno un buon
potere separante:
• |pV IS | =
P
i=tracce,neutri
pi
• |pM IS | = |pΥ (4S) − pV IS |
• cos(pM IS ) =
pM IS ·pK 0
L
|pM IS ||pK 0 |
L
Dove pΥ (4S) è l’impulso della Υ (4S) calcolato a partire dalle informazioni sui fasci e p KL0 è l’impulso attribuito al
KL0 .
In particolare esse verranno introdotte nel discriminante di Fisher (cfr: 3.8).
R ICOSTRUZIONE
DEI DECADIMENTI
B → φK 0
62
Ricostruzione dei decadimenti B → φK 0
3.4.5 Funzione di verosimiglianza per i KL0 dell’EMC
Attraverso studi su campioni Monte Carlo si può indagare la composizione del fondo di tipo K L0 . Come già detto nel
paragrafo precedente circa il 50% del fondo continuo di tipo qq risulta essere costituito da K L0 falsi, in gran parte fotoni
erroneamente identificati. Le variabili che caratterizzano gli adroni neutri K L0 dai fotoni, già usate nella definizione
delle liste “tight”, possono venire usate in modo piú efficiente nella definizione di un selettore basato su una funzione
di verosimiglianza. In questa analisi si è costruito un selettore che usa solo variabili per i K L0 misurati dal calorimetro
elettromagnetico.3
Le variabili usate per costruire la funzione di verosimiglianza sono:
• deposito di energia
• momento laterale
• numero di cristalli colpiti
• momento secondo
• momento di Zernike Z20
• momento di Zernike Z42
• rapporto s1s9
• rapporto s9s25
La distribuzione (in fig. 3-15) per la funzione di verosimiglianza cosı̀ costruita, mostra una buona differenza nella
forma tra il segnale ed il fondo continuo Monte Carlo (essenzialmente per la presenza di un picco a valori negativi).
Possibili miglioramenti nelle prestazioni potranno venire dall’inclusione degli effetti di correlazione tra le variabili che
costituiscono il selettore.
huds
Kl Likelihood
Entries
Mean
RMS
0.09
0.08
3602
1.303
5.097
Background
0.07
Signal
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
-10
-5
0
5
10
15
20
25
Figura 3-15. Distribuzione del selettore per i KL0 rivelati nel calorimetro elettromagnetico. In rosso il segnale Monte
Carlo per eventi di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 , in azzurro il continuo.
3 Questa funzione L
EM C non é normalizzata correttamente a 1, ma questo non è cosı̀ importante, dato che verrà usata unicamente per la sua
capacità selettiva
M ARCO V IGNATI
3.4 I KL
63
3.4.6 Rete neurale
Una rete neurale è un algoritmo che funziona creando connessioni tra nodi di elaborazione dati, che sono gli equivalenti
dei neuroni. L’organizzazione ed i pesi delle connessioni determinano l’ output. Le reti neurali sono tipicamente
organizzate in “piani”; ogni piano è composto da “nodi interconnessi”, nascosti, ognuno dei quali contiene una
“funzione di attivazione”, cosi come è mostrato in figura 3-16. Il processo della rete avviene in tre passi successivi:
Figura 3-16. Schema dell’ organizzazione dei piani di una rete neurale.
1. si fornisce alla rete il campione attraverso i piani di input, costituiti da nodi di input;
2. i nodi di input comunicano con uno o più piani di nodi “nascosti”; attraverso delle connessioni “pesate” tra nodi
avviene effettivamente il processo richiesto;
3. i piani nascosti creano un link ai piani di output che mostrano la risposta.
Il comportamento di ogni singolo nodo è tale da convertire il segnale ricevuto come input da tutti gli altri nodi in
un singolo output. La conversione consiste nel moltiplicare ogni singola attività di input (I i ) per il peso delle varie
connessioni (Wi ) e costruire la cosiddetta transfer function f (x) che determina l’output (Y ) definita come
f (x) =
1
1 + e−x
dove x è
x=
X
i
Wi · Ii
In figura 3-17 è mostrato un singolo nodo. Questo nodo possiede due input, ma in generale un nodo ne può possedere
molti di più .
R ICOSTRUZIONE
DEI DECADIMENTI
B → φK 0
64
Ricostruzione dei decadimenti B → φK 0
Figura 3-17. Singola unità della rete.
La rete neurale è sottoposta poi al “training”, cioè ad un processo che permette di ottimizzare il peso delle interconnessioni tra i nodi in modo tale da ottenere il migliore output desiderato. Una delle relazioni che può essere utilizzata
per effettuare il “training” è la cosidetta “Perceptron Learning Rule” definita come
Wi = η · (D − Y ) · Ii
(3.8)
dove η è il tasso di apprendimento, D è l’ output desiderato ed Y è l’ output attuale. Il “training” non fa altro che
cambiare il peso Wi di una quantità proporzionale alla differenza fra l’ output desiderato e quello attuale, secondo la
relazione 3.8. I passi effettuati dal “training” sono i seguenti:
1. si fornisce un campione di controllo;
2. la rete analizza il campione e restituisce un file, in cui sono scritte informazioni sul peso delle interconnessioni
tra i nodi e su quali nodi di ogni piano hanno partecipato al “training”, tale file è chiamato kernel;
3. viene poi fornito alla rete un diverso campione insieme di eventi dello stesso campione di controllo;
4. la rete analizza i nuovi eventi e, confrontando il risultato del secondo processo con il kernel, procede alla
convalidazione, cioè la rete neurale restituisce l’output in termini di efficienza di selezione dei candidati e di
probabilità di contaminazione da altre particelle che non sono i candidati.
La rete neurale utilizzata in questa analisi serve a separare KL di segnale dai “KL ” del fondo continuo, costituito
principalmente da fotoni di alta energia, che interagiscono con il calorimetro elettromagnetico. La configurazione che
dà il maggior potere discriminante tra KL di segnale e KL di fondo continuo è quello costituito da un solo piano
nascosto con un numero di nodi nascosti uguali al numero di input. Le variabili utilizzate per i valori di input della
rete neurale sono date le seguenti:
• raw energy: energia misurata dall’ EMC senza correzioni dovute a depositi di fotoni
• distribuzione spaziale dell’ energia dei cluster (ecalX,ecalY,ecalZ)
M ARCO V IGNATI
3.5 Il Mesone φ
65
• numero di cristalli
• momento di Zernike Z20 e Z42
• numero di bump
• rapporto s1s9 e s9s25
• momento laterale (LAT) e momento secondo
In figura 3-18, 3-19 e 3-20 sono mostrate le distribuzioni delle variabili di input della rete neurale per il segnale Monte
Carlo(linea) e per il fondo (punti) Monte Carlo.
3.5 Il Mesone φ
Il mesone φ decade principalmente in coppie di K, nel 49% dei casi in K + K − e nel 34% in KS0 KL0 . In questo lavoro
di tesi sono stati presi in considerazione entrambi questi stati finali.
3.5.1 Ricostruzione di φ → K + K −
In questo caso la φ viene ricostruita combinando due tracce di carica opposta, richiedendo che si tratti di mesoni K
(cfr: 3.2). La scelta della PID per i due kaoni carichi è stata ottimizzata massimizzando la quantità N (σ):
N (σ) = p
Nsegnale
Nsegnale + Nf ondo
In particolare la migliore combinazione di K si è rivelata quella con PID diverse:
• Tight x Not a Pion
con un efficienza di selezione dell’87%. In figura 3-21 viene mostrata la distribuzione della massa della φ → K + K −
per il segnale Monte Carlo di B 0 → φ(K + K − )KL0 e per i dati nella sideband di ∆E (cfr. 3.6.1.
3.5.2 Ricostruzione di φ → KS0 KL0
In questo caso la φ viene ricostruita combinando un KS0 (cfr: 3.3) e un KL0 (cfr: 3.4). Come si può vedere dalle
distribuzioni della massa invariante (vedi fig 3-22) per segnale e fondo non è facile stabilire dove applicare i tagli a
causa della lunga coda ad alti valori. In seguito all’ottimizzazione che sarà descritta in 4.4.1, si è deciso di applicare
la richiesta:
• 1.00 < m(φ → KS0 KL0 ) < 1.07 GeV/c2
R ICOSTRUZIONE
DEI DECADIMENTI
B → φK 0
66
Ricostruzione dei decadimenti B → φK 0
variables for NN test
ecalXGamSig
ecalYGamSig
0.1
0.1
0.08
0.08
0.06
0.06
0.04
0.04
0.02
0.02
0
-100
-50
0
50
100
ecalZGamBkg
0
-100
-50
0
50
100
erawGamBkg
0.12
0.5
0.1
0.4
0.08
0.3
0.06
0.2
0.04
0.1
0.02
0
-100
-50
0
50
100
150
200
0
0
1
2
3
4
5
6
7
energyGamSig
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Figura 3-18. Distribuzioni di alcune variablili di input della rete neurale per il segnale Monte Carlo (linea) e per il
fondo Monte Carlo (punti).
M ARCO V IGNATI
8
9
3.5 Il Mesone φ
67
variables for NN test
s1s9GamBkg
s9s25GamBkg
0.07
0.5
0.06
0.4
0.05
0.3
0.04
0.03
0.2
0.02
0.1
0.01
0
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
lMomGamBkg
0
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
secMomGamBkg
0.4
0.1
0.35
0.08
0.3
0.25
0.06
0.2
0.04
0.15
0.1
0.02
0.05
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
nCryGamBkg
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
10
20
30
40
50
60
Figura 3-19. Distribuzioni di alcune variablili di input della rete neurale per il segnale Monte Carlo (linea) e per il
fondo Monte Carlo (punti).
R ICOSTRUZIONE
DEI DECADIMENTI
B → φK 0
0.02
68
Ricostruzione dei decadimenti B → φK 0
variables for NN test
nBumpGamBkg
ZMom20GamBkg
1
0.24
0.22
0.2
0.8
0.18
0.16
0.6
0.14
0.12
0.1
0.4
0.08
0.06
0.2
0.04
0.02
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
ZMom42GamBkg
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
thetaClusterGamBkg
0.25
0.12
0.1
0.2
0.08
0.15
0.06
0.1
0.04
0.05
0
0.02
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
phiClusterGamBkg
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
Figura 3-20. Distribuzioni di alcune variablili di input della rete neurale per il segnale Monte Carlo (linea) e per il
fondo Monte Carlo (punti).
M ARCO V IGNATI
0.5
3.6 Variabili cinematiche
69
Events / ( 0.003 GeV )
Events / ( 0.003 GeV )
2200
12000
2000
1800
10000
1600
1400
8000
1200
6000
1000
800
4000
600
400
2000
0
200
1
1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07
+
-
K K mass (GeV)
0
1
1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07
+
-
K K mass (GeV)
Figura 3-21.
Massa invariante del sistema KK con PID NotAPion × SMS Tight per segnale MC (sinistra) ∆E
sideband (destra).
3.6 Variabili cinematiche
3.6.1 mES e ∆E
La selezione dei candidati B si fa attraverso l’uso di due variabili cinematiche comunemente usate in questo tipo di
analisi. Una di esse è mES definita come:
s
(s/2 + p0 · pB )2
mES =
− p2B
(3.9)
E02
dove: p0 è l’impulso della coppia e+ e− e pB è l’impulso del candidato B entrambi misurati nel sistema del
laboratorio;
√
s e E0 sono le energie totali per la coppia e+ e− e per il B misurate nel sistema del centro di massa.
Per capire il significato di questa variabile conviene considerare l’espressione nel sistema del centro di massa:
q√
mES = ( s/2)2 − p∗B 2
Essa rappresenta la massa del B in cui si è sostituita la sua energia con metà dell’energia dei fasci, in modo che la
risoluzione dipenda solo dall’incertezza sulle energie dei fasci che sono conosciute con la precisione di 2-3 MeV.
La variabile ∆E rappresenta la differenza di energia tra il candidato B ricostruito e il sistema dei fasci e + e− :
√
∗
(3.10)
∆E = EB
− s/2
∗
dove EB
è l’energia del B ricostruito. Normalmente queste variabili sono quasi completamente scorrelate ma quando
si vogliono studiare i decadimenti che contengono un KL0 nello stato finale la cinematica viene chiusa imponendo la
massa del B introducendo una dipendenza tra le due variabili (cfr. 3.4), si usa pertanto solo ∆E.
In questo lavoro si farà spesso riferimento alla cosiddetta sideband di ∆Eo di m ES intendendo quella parte dei dati
R ICOSTRUZIONE
DEI DECADIMENTI
B → φK 0
70
Ricostruzione dei decadimenti B → φK 0
500
Signal MC
Continuum MC
400
300
200
100
0
0.99
1
1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07
φ Mass (GeV)
Figura 3-22. Distribuzione della massa invariante del sistema KS0 KL0 per eventi B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 e continuo
MonteCarlo
che cade fuori dal picco di segnale. Questa tecnica permette di studiare il fondo direttamente sui dati senza bisogno di
ricorrere al Monte Carlo. Si definiscono sideband le parti di queste distribuzioni che escludono il segnale e sono utili
per studiare il fondo. La sideband di mES è definita come:
• mES < 5.27
quella di ∆E:
• |∆E| > 0.1
mentre nel caso vi siano KL0 nello stato finale:
• ∆E > 0.01.
3.6.2 Massa del mesone φ
Al fine di distinguere eventi con φ → KK vere dal fondo combinatorio si è rivelata utile la massa invariante del
sistema costituito dalla coppia K + K − oppure KS0 KL0 . Nel caso di φ → K + K − si nota come esistano φ vere nel
fondo continuo. Pertanto in questo caso ci si è limitati a tagliare sul valore delle variabili, sopprimendo cosı̀ le code
delle distribuzioni (più pronunciate per il fondo continuo che per il segnale). Nel caso di φ → K S0 KL0 il picco nel
fondo continuo è molto meno pronunciato e poichè le distribuzioni hanno forma completamente diversa per segnale
e fondo, si è inserita questa variabile nella funzione di massima verosimiglianza , usata per gli estrarre gli eventi di
segnale.
M ARCO V IGNATI
3.7 Variabili topologiche
71
1800
Signal MC
1600
Continuum MC
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
∆ E (GeV)
Figura 3-23. Distribuzione di ∆E nel caso di un KL0 nello stato finale, eventi di segnale MonteCarlo presi di B 0 →
φ(KS0 KL0 )KS0 e eventi di continuo Monte Carlo.
3.7 Variabili topologiche
Si intendono variabili topologiche quelle che quantità sono sensibili alla distribuzione spaziale dell’evento. In questo
paragrafo vengono definite la sfericità , che distingue un generico decadimento del B dal fondo combinatorio, e
l’elicità che può essere definita quando tra i prodotti di decadimento del B c’è un mesone vettoriale. La prima è
dunque una variabile universale, la seconda invece può essere utilizzata solo in particolari decadimenti del B.
3.7.1 Sfericità
0
Ciò che permette di discriminare il continuo da eventi di tipo B 0 B è la caratteristica topologia a 2 jet: il grande
spazio delle fasi disponibile alla coppia qq, nel sistema di riferimento della Υ (4S), fa in modo che i mesoni prodotti
nell’adronizzazione siano schiacciati intorno alla direzione di volo della coppia primaria qq. Al contrario, il fatto che
0
nel decadimento Υ → B 0 B i mesoni B siano prodotti quasi fermi, provoca una distribuzione isotropa degli eventi.
Per sfruttare questa differenza si costruisce il tensore a due indici (detto tensore di sfericit à):
X
Tαβ =
(δαβ p2j − pjα pjβ )
j
Questo tensore è simmetrico, ed ammette dunque tre autovalori reali {λ 1 , λ2 , λ3 }; si definisce sfericità dell’evento
S = min{λ1 , λ2 , λ3 }, il cui significato è chiaro se lo si scrive come la quantità S [28]:
3
p∗2
i⊥
i=1
S = min S(n) = min
n
N
X
n
2
N
X
(3.11)
p∗2
i
i=1
R ICOSTRUZIONE
DEI DECADIMENTI
B → φK 0
72
Ricostruzione dei decadimenti B → φK 0
Figura 3-24. Sinistra: la distribuzione spaziale per eventi BB è approssimativamente isotropa. Destra: gli eventi di
continuo sono concentrati intorno ad un asse, detto asse di sfericità .
dove la somma è estesa a tutte le particelle cariche dell’evento, il versore n è una direzione generica dello spazio e p ∗⊥
è la componente ortogonale dell’impulso della particella rispetto a n, calcolato nel sistema di riferimento del centro di
massa della Υ (4S). Si definisce asse di sfericità la direzione n che soddisfa la 3.11, cioè l’autovettore di Tαβ associato
ad S. L’informazione portata dalla sfericità è correlata a quella portata da un’altra variabile, il thrust T , il quale indica
quanto gli impulsi finali delle particelle siano stretti intorno ad un asse (detto asse di thrust). La definizione analitica
di questa variabile è la seguente:
X
|p∗ik |
T = max T (n) = max 2
n
n
i ∈ C+ (n)
N
X
i=1
(3.12)
|p∗i |
dove p∗k è la componente dell’impulso parallela al versore n e C+ (n) è l’insieme delle tracce che hanno componente
dell’impulso p∗ maggiore di zero. Per la reiezione degli eventi di fondo continuo è stata scelta la sfericità , mentre
l’asse di thrust viene usato in seguito nella definizione delle categorie di tagging (cfr: 5.1). Si possono costruire un
asse di sfericità per le particelle figlie del mesone B e uno per il resto dell’evento. Il coseno dell’angolo compreso
tra queste due direzioni (cos(θSP H )), è la variabile discriminante che viene usata nell’analisi. Nella figura 3-25 sono
messe a confronto le distribuzioni di cos(θSP H ) per Monte Carlo di continuo (confrontati con i dati raccolti 40 MeV
al di sotto della risonanza della Υ (4S)) e di segnale. Il taglio comunemente applicato su questa variabile è :
• | cos(θSP H )| < 0.8
In realtà dalla QCD segue che circa il 30% delle interazioni e+ e− in coppie qq ad alta energia producono più di due
jet: questi eventi, quindi, non sono ben descritti da un solo asse preferenziale (asse di sfericità ). Per tenerne conto si
costruiscono i cosiddetti momenti di Fox-Wolfram[29]:
Hl =
X |pi ||pj |
ij
2
Etot
Ll (cos φij )
(3.13)
dove gli indici i e j corrono su tutti gli adroni prodotti nell’evento; φ ij rappresentano gli angoli tra le particelle i e j e
Ll (cos φij ) sono i polinomi di Legendre di ordine l. La conservazione del quadrimpulso impone che:
• H0 ' 1
M ARCO V IGNATI
3.7 Variabili topologiche
73
ChCosTsph
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
|Cos θ SPH|
Figura 3-25. Distribuzione di | cos(θSP H | per eventi di segnale Monte Carlo (istogramma continuo), e dati fuori
risonanza (tratteggiato), il taglio applicato corrisponde alla linea verticale.
• H1 = 0
La variabile discriminante che si è usata è R2 , definito come il rapporto tra il momento di Fox-Wolfram del secondo
ordine e quello di ordine zero:
R2 =
H2
H0
(3.14)
La selezione viene applicata all’interno di un filtro a livello di ricostruzione degli eventi, chiamato BGFMultiHadron, il
cui scopo è , appunto, operare la reiezione degli eventi di fondo continuo caratterizzati dalla produzione di più adroni.
Il taglio comunemente applicato su questa variabile è :
• R2 < 0.98
e serve fondamentalmente ad eliminare il fondo costituito da eventi Bhabha radiativi, La distribuzione dopo il taglio
è mostrata in figura 3-26.
3.7.2 Angolo di elicità del mesone φ, H
Il decadimento B 0 → φK 0 è un decadimento di uno pseudoscalare in un mesone vettore (φ) e uno pseudoscalare
(K 0 ). Pertanto visto che lo stato iniziale è
|ii = |0, 0i
dalle regole di composizione dei momenti angolari segue che nel sistema di riferimento della B lo stato finale sarà
definito come:
1
|f i = √ Y1−1 (θ, φ)|1, 1i + Y11 (θ, φ)|1, −1i
2
dove: |1, ±1i è il momento angolare del mesone φ;
Y1±1 (θ, φ) è l’armonica sferica che descrive la distribuzione angolare del sistema φ-K. Visto che Y 1±1 ≈ sin(θ),
R ICOSTRUZIONE
DEI DECADIMENTI
B → φK 0
74
Ricostruzione dei decadimenti B → φK 0
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
R2
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figura 3-26. Distribuzione di R2 per eventi Monte Carlo generici di tipo Υ (4S) e fondo qq.
Figura 3-27. Raffigurazione del sistema φK (sinistra) nel sistema di riferimento della B e del sistema KK nel sistema
di riferimento della φ (destra).
la φ tenderà ad avere lo spin orientato lungo la direzione perpendicolare al moto. Facendo una trasformazione di
Lorentz nel sistema di riferimento in cui la φ è ferma lungo la sua direzione di volo z lo spin rimarrà perpendicolare
alla direzione z 0 del nuovo sistema. Nel momento in cui la φ decade il sistema K-K sarà anch’esso in onda p, ma
l’armonica sferica va calcolata rispetto all’asse z 0 :
Y1±1 (θ0 , φ0 ) → Y1±1 (
π
− θ0 , φ0 ) ≈ cos(θ0 )
2
Quindi se si calcola l’angolo tra la direzione della φ nel sistema di riferimento della B e la direzione di un K nel
sistema di riferimento della φ si ottiene una distribuzione proporzionale a cos 2 θ0 . Nel fondo esistono combinazioni
di coppie di K che provengono da φ vere e combinazioni casuali che finiscono nella finestra di massa, in entrambi i
casi l’elicità ha un andamento piatto in funzione di cosθ 0 . In questa tesi si farà sempre riferimento al modulo di cosθ 0 ,
indicato con H. Il confronto degli andamenti per segnale e fondo è mostrato in figura 3-28
M ARCO V IGNATI
3.8 Discriminante di Fisher, F
75
0.08
Segnale MC
0.07
∆ E sideband
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
cos(θHELICITY)
Figura 3-28. Distribuzioni normalizzate di helicità nel caso di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 , eventi di segnale MonteCarlo e
∆E sideband.
3.8 Discriminante di Fisher, F
Oltre alla collezione di variabili topologiche fin qui descritte, l’estrazione del segnale passa attraverso l’utilizzo del
discriminante di Fisher, una combinazione lineare di N variabili ad alto potere separante x i [26]:
F=
N
X
(3.15)
α i xi
i=1
i cui coefficienti αi sono calcolati in modo da massimizzare la separazione segnale fondo, cioè la quantità (S −
B)2 /(S + B). Questo si fa essenzialmente invertendo una matrice che è la somma delle matrici di covarianza per
segnale e fondo:
N
X
b
s
αi =
(U b + U s )−1
(3.16)
ij (µj − µj )
j=1
Uijb,s
µb,s
j
dove
e
sono rispettivamente gli elementi della matrice di covarianza e le medie per segnale (s) e fondo (b).
Si divide il campione di segnale e di continuo Monte Carlo in due parti: con la prima si calcolano i coefficienti, con la
seconda le efficienze, su segnale e fondo, per la combinazione lineare cosı̀ costruito. Uno dei possibili discrimininanti
di Fisher che possono essere costruiti è quello le cui variabili sono somme di polinomi di Legendre di ordine j (detto
MVA Fisher4 ). Si dividono le tracce cariche e i neutri in due categorie, quelle provenienti dai decadimenti di un B e
quelle dal resto dell’evento (roe5 ). Con queste si definiscono i polinomi di Legendre {L0 , L2 } come somme scalari
degli impulsi pesati con la direzione:
L0 =
L2 =
roe
X
i
roe
X
i
pi
1
pi × (3 cos2 (θi ) − 1)
2
4 M.V.A.
5 r.o.e.
= Multi Variate Analysis
= Rest Of Event
R ICOSTRUZIONE
DEI DECADIMENTI
B → φK 0
76
Ricostruzione dei decadimenti B → φK 0
A questo punto il discriminante di Fisher FL è definito, a partire dalla formula 3.15 come:
X
F{Lj } = c +
lj × L j
(3.17)
j
La costante c è semplicemente una traslazione convenzionalmente applicata in modo che la distribuzione del Fisher sia
interamente compresa nell’intervallo [-3;+3]. In linea di principio si può aggiungere un numero arbitrario di polinomi
di Legendre, ma uno studio più approfondito sul discriminante di Fisher (cfr.[27]) ha mostrato che l’aggiunta di polinomi di ordine superiore al secondo non porta significativi miglioramenti. Le variabili discriminanti che costituiscono
il FL sono particolarmente correlate con il valore di | cos(θSP H )|, poichè anche essi recano un’informazione sulla
distribuzione spaziale delle particelle dell’evento, quindi il potere separante di F L sarà fortemente influenzato dal
taglio applicato su questa variabile. Più la richiesta su questa variabile diventa selettiva, e più diminuisce il potere
separante del Fisher. In questa tesi si farà riferimento al dicriminante di Fisher con il simbolo F.
3.8.1 Costruzione del miglior discriminante di Fisher
Il vantaggio di usare un discriminante di Fisher rispetto alle singole variabili che lo costituiscono, è che esso è in grado,
attraverso la matrice di covarianza, di tener conto nel migliore dei modi delle correlazioni lineari esistenti, e può quindi
fornire la migliore separazione tra i campioni di segnale e fondo. Nel nostro caso, in particolare nei decadimenti
che includono KL0 nello stato finale, abbiamo incluso variabili come l’energia mancante nell’evento (cfr.3.4.4) ed
altre che verranno illustrate canale per canale. Una variabile che si è dimostrata particolarmente separante è la
categoria di tagging (cfr: 5.1), ma questa informazione viene già inclusa nella definizione della funzione di massima
verosimiglianza dipendente dal tempo e quindi non è stata inclusa nel Fisher. In figura 3-29 vengono mostrate le
efficienze del segnale rispetto a quelle del fondo per diversi discriminanti di Fisher, includendo le categorie di tagging
e variabili per i KL0 .
Signal
Efficiences and Fisher Cut
1
0.8
0.6
Legendre0+Legendre1
0.4
Legendre0+Legendre1+TagCategory+Cos(PMis^PKl)+DeltaEVis
Legendre0+Legendre1+TagCategory+Cos(PMis^PKl)+DeltaEVis+PVis
0.2
Legendre0+Legendre1+Cos(PMis^PKl)+DeltaEVis+PVis
0
0.8
1
Background
Figura 3-29. Distribuzione delle efficienze di segnale e fondo in funzione del taglio sul Fisher per diversi insiemi di
variabili, eventi di segnale MonteCarlo per B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 e fondo continuo uu/dd/ss/cc
M ARCO V IGNATI
0
0.2
0.4
0.6
4
Analisi dei decadimenti B → φK 0
La procedura di ricostruzione e di analisi si articola in diverse fasi. La prima fase consiste nel selezionare gli eventi
di interesse con tagli larghi per lavorare in seguito su un campione ridotto e minimizzare il tempo di esecuzione dei
programmi di analisi. La selezione generale applica i seguenti tagli, comuni alle altre analisi di BABAR:
• R2 < 0.98
• |cosθSP H | < 0.9
che sostanzialmente servono a diminuire gli eventi di tipo qq (cfr 3.7.1) ed eliminare gli stati finali puramente leptonici,
e:
• −50 < ∆E < 150 MeV
• 5.2 < mES < 5.3 GeV/c2
• ECAL (KL0 ) > 0.04 GeV
per ridursi alla finestra di segnale (cfr 3.6.1). Tra le particelle ricostruite vengono applicati i tagli sui K S0 che sono
ereditati da analisi precedenti, sui K carichi si applica la richiesta Not a Pion per la PID mentre sui K L0 non viene
applicato nessun taglio. In particolare, non vengono applicati tagli sulla massa invariante di coppie di K. Canale per
canale questi verrano ottimizzati in modo da massimizzare la significanza statistica. Da notare che non esiste solo il
fondo di tipo qq ma anche il fondo generato dagli altri decadimenti del B.
Per estrarre gli eventi di segnale si studiano le loro caratteristiche con degli eventi simulati con tecnica Monte Carlo.
Per il fondo qq si può ancora ricorrere al Monte Carlo, si possono utilizzare eventi veri fuori dalla regione di segnale
(sideband) oppure dati fuori risonanza che, essendo sotto la soglia della Υ (4S), sicuramente non contengono mesoni
B. Una volta individuate le variabili discriminanti e i tagli da applicare, si scelgono le variabili che apparterranno al
fit di verosimiglianza , un metodo statistico per estrarre le quantità di interesse dai dati. In questo capitolo verranno
analizzati i singoli canali di decadimento illustrando caso per caso le tecniche utilizzate per estrarre gli eventi di segnale
dei decadimenti B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 , B 0 → φ(K + K − )KS0 e B 0 → φ(K + K − )KL0 .
Da tenere presente il rapporto di decadimento (d’ora in poi BR dall’inglese Branching Ratio) misurato per il decadimento B 0 → φK 0 [30]:
• BR(B 0 → φK 0 ) = 8.3+1.2
−1.0 .
78
Analisi dei decadimenti B → φK 0
4.1 Analisi di massima verosimiglianza
Una strategia per separare gli eventi di segnale dal fondo consiste nel costruire una funzione di verosimiglianza a
partire dalle funzioni di distribuzione di probabilità (pdf nel seguito 1 ) di un certo numero di variabili discriminanti.
Applicando il principio di massima verosimiglianza si possono estrarre un certo numero di parametri incogniti a partire
dalla conoscenza delle pdf delle singole variabili che la definiscono, per tutte le sue componenti. Nei casi illustrati
in questa sezione tali variabili sono il numero di eventi di segnale e di fondo continuo, ma si può aggiungere in
principio anche la componente di fondo B 0 B 0 e B + B − . Si definisce Pk (xj , αk ) la probabilità che un singolo evento
j appartenga alla categoria k (nel nostro caso il numero delle categorie è M = 2, segnale e fondo), funzione delle
variabili discriminanti x = {x1 , x2 , ..., xn } e dei parametri αk che definiscono le pdf. Nel caso in cui le variabili x
possano essere considerate indipendenti (cioè scorrelate), questa può essere fattorizzata nelle singole pdf :
Y
Pk (xij , αk )
Pk (xj , αk ) =
i
A partire dalle Pk (xj , αk ) si costruisce la probabilità che il singolo evento appartenga alla categoria k pesando i due
contributi con il numero di eventi di segnale e fondo, rispettivamente η 1 , η2 , i parametri incogniti che si vogliono
estrarre dall’utilizzo della funzione di verosimiglianza:
Pj =
M
=2
X
k=1
ηk Pk (xj , αk )
(4.1)
cioè , nel nostro caso,
Pj = ηsig · Psig (xj , αk ) + ηcont · Pcont (xj , αk )
Infine, la funzione di verosimiglianza estesa è definita come la produttoria di queste pdf, con un fattore poissoniano
che rappresenta la probabilità di osservare N eventi in totale (cioè il numero di eventi considerati nel fit), quando ne
M
X
sono aspettati N 0 =
ηi :
i=1
"M
#
0
N
e−N (N 0 )N Y X
L=
ηk Pk (xj , αk )
N!
j=1
(4.2)
k=1
I migliori estimatori dei parametri da determinare, η̂k , sono quelli che massimizzano L(ηk ), o, il che è lo stesso,
minimizzano la quantità:
L = −2 log L
La strategia è quella di selezionare un campione di eventi che siano i più puri possibili, in modo da facilitare alla
funzione L il compito di separare le due componenti. Si può avere una stima della significanza statistica (σ) dalla
relazione:
p
σ = (L0 − L)
dove L è il valore minimo della funzione di verosimiglianza e L0 quello ottenuto fissando a zero il numero di eventi
di segnale. Essa da una misura della capacità di discriminare segnale e fondo: più è alta più è bassa la probabilità di
scambiare fondo per segnale.
1 Dall’usuale
notazione inglese: p.d.f. = probability density function
M ARCO V IGNATI
4.2 Il decadimento B → φKS con φ → K + K −
79
4.1.1 Il toy Monte Carlo
Ci si aspetta che gli estimatori definiti col il metodo di massima verosimiglianza restituiscano il valore aspettato,
per controllare ciò si può ricorrere alla tecnica del toy Monte Carlo. Esso consiste nel generare eventi di segnale
e fondo nelle giuste proporzioni secondo le proprie pdf . Di seguito si esegue la massimizzazione della funzione di
verosimiglianza con le stesse distribuzioni con cui si è generato estraendo cosı̀ il numero di eventi di segnale e fondo.
Questa procedura viene ripetuta ogni volta (esperimento) cambiando i parametri in generazione, ad esempio variando
secondo la statistica di Poisson il numero di eventi generato attorno al valore aspettato, tante volte quanto basta per
avere una statistica sufficiente per le distribuzioni di significanza statistica. Una grandezza significativa è il pull, ossia
la differenza tra il numero di eventi ottenuti dal fit e il numero di eventi attesi (valor medio della poissoniana), divisa
per l’errore su questi ultimi. Il pull dà una misura di eventuali tendenze della funzione di verosimiglianza a misurare
un valore costantemente diverso da quello aspettato, in particolare la sua distribuzione deve essere una gaussiana con
valor medio uguale a zero e larghezza uguale a uno quando il numero di eventi generati è grande (sı̀ che la poissoniana
in generazione tenda ad una gaussiana).
4.1.2 Distribuzioni con taglio sulla funzione di verosimiglianza (Projection Plot)
Una volta estratte le grandezze di interesse dai dati con il metodo di massimizzazione della funzione di verosimiglianza
ci sono fondamentalmente due modi per far risaltare la componente di segnale nelle distribuzioni delle variabili che
entrano nel fit. Si può tagliare su tutte le variabili esclusa quella di cui si vuole mettere in luce la componente di segnale
di modo da avere un campione più puro e guardare la distribuzione della variabile esclusa oppure si può ricorrere alla
tecnica del Projection plot. Essa consiste nel fare un fit di verosimiglianza con tutte le variabili tranne quella di cui
si vuole guardare la distribuzione, si costruiscono le distribuzioni della verosimiglianza di segnale (L S ) e fondo (LF )
con un toy Monte Carlo con cui si stima la significanza statistica al variare del taglio sulla quantità :
LR =
LS
LS + L F
Trovato il taglio che massimizza la significanza statistica si applica ai dati e si sovrimpone la pdf con le percentuali
delle componenti di segnale e fondo stimate dal taglio effettuato sui campioni toy Monte Carlo.
4.2 Il decadimento B → φKS con φ → K + K −
Per la ricostruzione di B 0 → φ(K + K − )KS0 si combinano due K di carica opposta e un KS0 prendendo in considerazione solo il caso in cui il KS0 decade in pioni carichi per avere un campione con meno fondo. Particolare
attenzione verrà data allo studio del fondo di tipo BB. Da notare che in questa analisi è cruciale la reiezione di questa
componente, rappresentata per lo più da eventi di tipo B 0 → a00 (K + K − )KS0 e B 0 → f 0 (K + K − )KS0 che hanno, in
principio, autovalore di CP opposto.
4.2.1 Selezione
A differenza di quanto descritto in 3.5.1 l’ottimizzazione della PID per i due kaoni carichi è risultata:
• Loose x Not a Pion
A NALISI
DEI DECADIMENTI
B → φK 0
80
Analisi dei decadimenti B → φK 0
cosı̀ come il taglio sulla massa della φ:
• 0.970 < mφ < 1.050 GeV/c2
Il taglio su |cos(θSP H )| è stato spostato a 0.8 mentre non vengono applicati tagli sull’elicità . Per quanto riguarda
mES e ∆E:
• 5.2 < mES < 5.2895 GeV/c2
• −0.1 < ∆E < 0.2 GeV
Il taglio su mES è quello consueto per le analisi di BABAR (tale da includere la sideband per analizzare il fondo) mentre
per quanto riguarda ∆E si suole selezionare in una finestra simmetrica intorno a zero ma, come spiegato in seguito,
il taglio più stretto a valori negativi serve a rimuovere il fondo proveniente dai decadimenti di tipo B → φK ∗ . Per
motivi che appariranno chiari nell’illustrazione dell’analisi dipendente dal tempo si eliminano gli eventi con:
• |∆t| > 20 ps
• σ∆t > 2.5 ps
In tabella 4-1 sono riportate le efficienze in cascata per i tagli applicati, da cui ci si aspettano 64.5 ± 0.3 eventi di
segnale in 112 fb−1 . Vengono introdotte nella funzione di verosimiglianza le variabili ∆E, m ES , H e F, come detto
Selezione
Efficienza(%)
ricostruzione
0.519 ± 0.002
PID Not a Pion x Loose
0.970 < mφ < 1.050 GeV/c2
| cos θsph | < 0.8
|∆t| < 20 ps
σ∆t < 2.5 ps
0.9790 ± 0.0006
0.9613 ± 0.0009
0.878 ± 0.001
0.9781 ± 0.0007
0.9702 ± 0.0008
−0.1 < ∆E < 0.2 GeV
5.2 < mES < 5.2895 GeV/c2
0.9842 ± 0.0006
1
Efficienza totale
0.3824 ± 0.0015
Tabella 4-1. Efficienze per i tagli applicati, segnale Monte Carlo di B 0 → φ(K + K − )KS0
in precedenza la massa del mesone φ non è una variabile molto discriminante a causa della presenza di φ vere nel
fondo.
Come in tutte le analisi è stato eseguito un controllo su eventi Monte Carlo di tipo BB generici. Con il taglio in ∆E
simmetrico (−0.2 < ∆E < 0.2 GeV) i decadimenti selezionati erano quelli riportati in tabella 4-2. Guardando la
distribuzione di ∆E per i decadimenti di tipo B → φK ∗ (cfr: 4-1) si nota uno spostamento marcato verso i valori
negativi, dovuto alla mancanza dell’impulso del pione che non viene ricostruito. Per questo motivo si è optato per un
taglio più stretto nella parte negativa di ∆E. Rimane il fondo costituito dagli eventi di tipo B 0 → f 0 (K + K − )KS0
e B 0 → a00 (K + K − )KS0 , il cui numero degli eventi aspettati è stato calcolato a partire dai BR recentemente misurati
da BABAR. La stima per gli eventi di B 0 → a00 (K + K − )KS0 è pessimistica, essendo disponibile al momento soltanto
M ARCO V IGNATI
4.2 Il decadimento B → φKS con φ → K + K −
81
Decadimento
0
+
−
Eventi aspettati in 112 fb-1
∗0
B → φ(K K )K (KS0 π 0 )
B + → φ(K + K − )K ∗+ (KS0 π + )
B 0 → f 0 (K + K − )KS0
B 0 → a00 (K + K − )KS0
1.3 ± 0.1
1.1 ± 0.1
2.06 ± 0.05
2.4 ± 0.1
Tabella 4-2. Eventi di fondo B 0 B 0 aspettati, stima da eventi Monte Carlo
Figura 4-1. Distribuzione di ∆E per eventi di tipo B → φK ∗ selezionati come B 0 → φ(K + K − )KS0
un limite superiore per questo BR . Essi costituiscono contaminazioni di onda S (ricordiamo che la coppia di K
provenienti dalla φ è in onda P ) difficilmente eliminabili: hanno la stessa distribuzione in ∆E, m ES , F, e differiscono
solo per H dove la distribuzione è piatta anzichè proporzionale al cos 2 (vedi le figure 4-4). Per questo motivo viene
introdotta nella funzione di verosimiglianza una componente di fondo BB.
In un evento ci possono essere più combinazioni di K + , K − e KS0 candidate ad essere B 0 → φ(K + K − )KS0 , per
questo occorre scegliere la migliore visto che ci si aspetta presumibilmente un solo decadimento in un evento (la
molteplicità , ovvero il numero di candidati per evento, per eventi di segnale Monte Carlo è pari a 1.004). La scelta del
miglior candidato consiste nel prendere quel candidato B composto dal K S0 con la massa più vicina al valor medio.
4.2.2 Misura del numero di eventi
Per sopprimere il fondo di tipo qq è stato usato un discriminante di Fisher composto dai soli polinomi di Legendre.
Le distribuzioni delle variabili usate nella funzione di verosimiglianza per eventi di segnale Monte Carlo sono rappresentate in figura 4-2 e sono state parametrizzate con le funzioni:
• mES , Crystal Ball:
PS (mES ) = C(mES , x0 , σ, α, n) =

−x0 )2
 e− (mES
2σ2
1
·
N 
, se mES < x0 + ασ
2
(n/α)n e−α /2
((mES −x0 )/σ+n/α−α)n
, se mES ≥ x0 + ασ
A NALISI
DEI DECADIMENTI
B → φK 0
82
Analisi dei decadimenti B → φK 0
• ∆E, doppia Gaussiana:
PS (∆E) = √
−
f
e
2πσ1
• F, Gaussiana biforcata
PS (F) =


√ 1
e
2πσ1
√ 1
e
2πσ2
F−
−
1−f −
+√
e
2πσ2
(−m)2
2σ2
1
(F−m)2
2σ2
2
(∆E−m2 )2
2σ2
2
, se F < m
, se F > m
Events / ( 0.005 GeV )
PS (H) = a + bH + cH2
Events / ( 0.00149167 GeV )
• H, Polinomio 2o grado



(∆E−m1 )2
2σ2
1
3000
1500
2000
1000
1000
500
9000
4000
8000
3500
7000
3000
6000
2500
5000
2000
4000
Events / ( 0.1 )
0
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05
Events / ( 0.0166667 )
0
5.2 5.21 5.22 5.23 5.24 5.25 5.26 5.27 5.28
MES (GeV)
1000
1500
-0
0.05
0
1
0.1
0.15 0.2
∆ E (GeV)
3000
2000
1800
2500
1600
1400
2000
1200
800
1000
600
400
500
200
0
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Cos(θHelicity )
0
-3
-2
-1
2
3
fisher
Figura 4-2. Ditribuzioni e fit delle variabili della funzione di verosimiglianza parametrizzate sul segnale Monte Carlo
di B 0 → φ(K + K − )KS0 . I parametri sono riportati in tabella A-1.
Per il fondo sono stati usati i dati appartenenti alla sideband di ∆E per la parametrizzazione di m ES , quelli appartenenti alla sideband di mES per ∆E e per F e H le sideband congiunte di ∆E e mES . Le funzioni usate sono (figura
4-3):
• mES , Argus function:
M ARCO V IGNATI
PF (mES ) = N · mES ·
p
1 − x2 · e−ξ·(1−x
2
)
4.2 Il decadimento B → φKS con φ → K + K −
83
con x = (mES − mES0 )/(mESmax − mES0 )
• ∆E, polinomio di 1o grado:
• F, doppia Gaussiana:
• H, polinomio di 1o grado:
PF (∆E) = a + b∆E
−
f
PF (F) = √
e
2πσ1
(F−m1 )2
2σ2
1
1−f −
+√
e
2πσ2
(F−m2 )2
2σ2
2
PF (H) = a + bH
Events / ( 0.00298333 GeV )
Events / ( 0.01 GeV )
45
40
50
35
40
30
25
30
20
20
15
10
10
5
0
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05
-0
0.05
0.1
0
1
0.15 0.2
∆ E (GeV)
Events / ( 0.025 )
Events / ( 0.15 )
0
5.2 5.21 5.22 5.23 5.24 5.25 5.26 5.27 5.28
MES (GeV)
30
100
25
80
20
60
15
40
10
20
5
0
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Cos( θ Helicity )
0
-3
-2
-1
2
3
fisher
Figura 4-3. Ditribuzioni e fit delle variabili della funzione di verosimiglianza per il fondo di B 0 → φ(K + K − )KS0 . I
parametri sono riportati in tabella A-1.
Per il fondo di tipo B 0 B 0 si usano le stesse funzioni di distribuzione del segnale tranne che per H per la quale viene
usato un polinomio di 1o grado (figura 4-4).
Costruito il fit di verosimiglianza sono stati fatti dei test su dei campioni di controllo (tabella 4-3) per verificare che
esso fosse in grado di riconoscere gli eventi di segnale (NS ) e di fondo (NF ) come tali.
Come ulteriore controllo è stato eseguito un toy Monte Carlo . Sono stati generati gli eventi di B 0 B 0 ma il loro numero
viene fissato nel fit al valor medio (le distribuzioni dei pull sono in figura 4-5 e sono gaussiane come atteso). Visto il
A NALISI
DEI DECADIMENTI
B → φK 0
84
Analisi dei decadimenti B → φK 0
Events / ( 0.00179 GeV )
Events / ( 0.005 GeV )
800
350
700
300
600
250
500
200
400
150
300
100
200
50
100
0
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
-2
-1
0
1
0.15
0.2
∆ E (GeV)
Events / ( 0.12 )
Events / ( 0.02 )
0
5.2 5.21 5.22 5.23 5.24 5.25 5.26 5.27 5.28
MES (GeV)
300
80
250
70
60
200
50
150
40
30
100
20
50
10
0
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Cos(θHelicity )
0
-3
2
3
fisher
Figura 4-4. Ditribuzioni e fit delle variabili della funzione di verosimiglianza per il fondo continuo B 0 B 0 di B 0 →
φ(K + K − )KS0 . I parametri sono riportati in tabella A-1.
Campione
Eventi totali
NS
NF
NB 0 B 0
Segnale Monte Carlo
B 0 B 0 Monte Carlo
38215
2752
Dati fuori risonanza
69
38074 ± 200
28 ± 56
140 ± 15
16 ± 5.0
0 ± 12
2707 ± 76
0.00 ± 0.58
69.0 ± 8.3
Tabella 4-3. Eventi estratti dalla funzione di verosimiglianza di B → φ(K K
0
M ARCO V IGNATI
+
−
)KS0
0.00 ± 0.54
su campioni di controllo.
4.3 Il decadimento B → φKL con φ → K + K −
85
Nent = 1000
80
70
60
50
40
80
Mean = -0.07771
RMS = 1.034
Under =
Over =
70
0
60
Integ = 1000
Chi2 / ndf = 21.63 / 30
50
Prob = 0.8672
Constant = 78.4 ± 3.156
Mean
= -0.04997 ± 0.03231
Sigma
= 0.9977 ± 0.02486
40
30
20
20
10
10
-4
Mean = 0.00497
RMS = 1.012
Under =
Over =
0
30
0
-5
Nent = 1000
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
pull
0
-5
0
0
Integ = 1000
Chi2 / ndf = 33.98 / 27
Prob = 0.1665
Constant = 77.28 ± 3.19
Mean
= 0.04146 ± 0.03346
Sigma
= 1.006 ± 0.02756
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
pullbkg
Figura 4-5. Distribuzioni per i pull di segnale (sinistra) e fondo (destra) generate da un toy Monte Carlo da 1000
esperimenti per B 0 → φ(K + K − )KS0 .
buon comportamento della funzione di verosimiglianza si è proceduto con il fit sui dati fissando il numero di eventi
per la componente B 0 B 0 a 5 (distribuzioni in figura 4-6 e projection plot in figura 4-7), il risultato ottenuto è :
1. NF = 1127 ± 34
2. NS = 61.6 ± 9.3
La distribuzione della funzione di verosimiglianza è riportata in figura 4-8 e la significanza statistica ottenuta è :
σ = 11.8
4.3 Il decadimento B → φKL con φ → K + K −
Per il decadimento B 0 → φ(K + K − )KL0 si combinano due K di carica opposta e un KL0 . Particolare attenzione è
stata data alla ricostruzione dei KL0 e allo studio del fondo BB.
4.3.1 Selezione
Come descritto in 3.5.1 l’ottimizzazione per le PID per i due kaoni carichi è risultata essere:
• Loose x Not a Pion
il taglio sulla massa della φ è :
• 1.0076 < mφ < 1.0264 GeV/c2
A NALISI
DEI DECADIMENTI
B → φK 0
A RooPlot of "deltaeNoKl"
A RooPlot of "fisher"
Events / ( 0.3 )
Analisi dei decadimenti B → φK 0
Events / ( 0.015 GeV )
86
350
80
70
300
60
250
50
200
40
150
30
100
20
50
10
0
0.05
0
-3
0.1
0.15
0.2
deltaeNoKl (GeV)
-2
A RooPlot of "costhel"
A RooPlot of "mes"
Events / ( 0.00596667 GeV )
-0.05
Events / ( 0.0666667 )
0
-0.1
100
0
1
2
3
fisher
100
80
80
60
60
40
40
20
20
0
0
-1
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
costhel
0
5.2 5.21 5.22 5.23 5.24 5.25 5.26 5.27 5.28
mes (GeV)
Figura 4-6. Fit di verosimiglianza sui dati per B 0 → φ(K + K − )KS0 . Linea continua per la pdf totale, linea
tratteggiata per il fondo continuo e barrette verticali per il fondo B 0 B 0 .
mentre (cfr: 3.4.1) il taglio sull’energia del calorimetro:
• EEM C (KL0 ) > 0.2
Non vengono applicati tagli sull’ elicità , il taglio su | cos θsph | è stato fissato a 0.8 mentre la finestra di ∆E è stata,
ridotta a:
• −0.01 < ∆E < 0.08 GeV
Come nello studio di B 0 → φ(K + K − )KS0 si taglia su ∆t e σ∆t . Accanto a questi tagli si taglia anche su ∆Evis (cfr:
3.4.4) al valore 6.5. Per avere un campione di KL0 più pulito si è utilizzata anche la rete neurale per il calorimetro. In
figura 4-9 vengono mostrate le distribuzioni per segnale e fondo dopo il training. Il maggiore potere discriminante è
stato ottenuto con un solo livello nascosto e un numero di unità nascoste pari a 15, l’apprendimento è stato svolto in
10k cicli con un parametro di intelligenza 0.02. In precedenza si usava la funzione di verosimiglianza per discriminare
M ARCO V IGNATI
Events /0.3
25
20
25
20
15
15
10
10
5
5
0
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0
-3
0.2
∆ E (GeV)
16
2
Events /0.005
87
Events /0.003 GeV/c
Events /0.015 GeV
4.3 Il decadimento B → φKL con φ → K + K −
14
12
10
8
6
-2
-1
0
1
2
3
Fisher
30
25
20
15
10
4
5
2
0
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
|cos( θ HEL )|
0
5.2 5.21 5.22 5.23 5.24 5.25 5.26 5.27 5.28 5.29
2
m ES (GeV/c )
Figura 4-7. Projection plot per B 0 → φ(K + K − )KS0 . Linea continua per la pdf totale, linea tratteggiata per il fondo
continuo e B 0 B 0 .
Projection of -log(L)
70
60
50
40
30
20
10
0
0
20
40
60
80 100 120 140 160 180 200
NSig
Figura 4-8. Distribuzione della funzione di verosimiglianza per il fit sui dati di B 0 → φ(K + K − )KS0 .
A NALISI
DEI DECADIMENTI
B → φK 0
88
Analisi dei decadimenti B → φK 0
i KL0 e il taglio sulla rete neurale è stato stabilito in modo da avere la stessa efficienza sul segnale. Il fondo si è ridotto
della metà con questa tecnica.
• N NEM C > 0.75
Con la presente selezione ci si aspettano 51.1 ± 0.5 in 112 fb−1 . Per quanto riguarda la scelta del miglior candidato,
Figura 4-9.
Distribuzioni normalizzate per segnale e fondo della rete neurale di B 0 → φ(K + K − )KL0
Selezione
Efficienza(%)
reco
47.6 ± 0.2
ECAL (KL0 )
> 0.2 GeV
N NEM C
∆Evis
PID: SMS Not a Pion × SMS Tight
| cos(θSP H )| < 0.8
1007.8 MeV < m(KK) < 1037.0 MeV
|∆t| < 20 ps
σ(∆t) 2.5 ps
∆E < 0.08 GeV
Efficienza totale
Tabella 4-4.
88.7 ± 0.1
79.4 ± 0.2
95.3 ± 0.1
92.9 ± 0.1
88.1 ± 0.2
82.5 ± 0.2
98.1 ± 0.1
96.2 ± 0.1
98.6 ± 0.1
19.52 ± 0.2
Efficienze per i tagli applicati, segnale Monte Carlo di B 0 → φ(K + K − )KL0 .
avendo anche qui una bassa molteplicità (1.019), ci si limita a scegliere il candidato B con il miglior K L0 , con la stessa
strategia descritta in 4.4.1.
Per questo canale è stata trovata una consistente presenza di fondo di tipo BB, pertanto verrà introdotta una componente corrispondente nella funzione di verosimiglianza . In tabella 4-5 vengono riportati i maggiori contributi dovuti
principalmente ai decadimenti di tipo B → φK ∗ che, a differenza di B 0 → φ(K + K − )KS0 , non possono eliminati
con il taglio su ∆E.
M ARCO V IGNATI
4.3 Il decadimento B → φKL con φ → K + K −
89
Decadimento
0
+
−
Eventi aspettati in 112 fb-1
∗0
B → φ(K K )K (KL0 π 0 )
B + → φ(K + K − )K ∗+ (KL0 π + )
B 0 → f 0 (K + K − )KS0
5.0 ± 0.2
10.0 ± 0.2
3.0 ± 0.1
Tabella 4-5. Eventi di fondo B B aspettati, stima da eventi Monte Carlo
0
0
4.3.2 Misura del numero di eventi
Anche in questo caso viene usato il discriminante di F isher per incrementare la separazione tra segnale e fondo. La
migliore combinazione di variabili è risultata quella composta da polinomi di Legendre, ∆E vis , cos(pM IS ), cos(θB )
(l’angolo di produzione del B rispetto alla direzione dei fasci). Vengono usate nella funzione di verosimiglianza le
variabili ∆E F, H. Per il segnale le parametrizzazioni sono (cfr: 4-10):
• ∆E, Crystal Ball:
PS (∆E) = C(∆E, x0 , σ, α, n) =
• F, Gaussiana biforcata:
PS (F) =





• H, Polinomio 2o grado:
 (∆E−x )2
 e− 2σ2 0
1
·
N 
√ 1
e
2πσ1
√ 1
e
2πσ2
, se ∆E < x0 + ασ
2
(n/α)n e−α /2
((∆E−x0 )/σ+n/α−α)n
F−
(−m)2
2σ2
1
(F−m)2
−
2σ2
2
, se F < m
, se F > m
PS (H) = a + bH + cH2
A RooPlot of "Delta E"
Events / ( 0.02 )
Events / ( 0.08 )
2200
1400
Events / ( 0.0018 GeV )
5000
2000
1800
1200
4000
1600
1000
1400
1200
800
3000
1000
600
2000
800
600
400
400
200
1000
0
-0.01
0
0
0
, se ∆E ≥ x0 + ασ
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
Delta E (GeV)
200
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
|Cos(Theta_Helicity)|
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Fisher
Figura 4-10. Ditribuzioni e fit delle variabili della funzione di verosimiglianza parametrizzate sul segnale Monte Carlo
di B 0 → φ(K + K − )KL0 . I parametri sono riportati in tabella A-4.
Per il fondo continuo invece (cfr: 4-12):
• ∆E, Argus function:
PF (∆E) = N · ∆E ·
p
1 − x2 · e−ξ·(1−x
2
)
A NALISI
DEI DECADIMENTI
B → φK 0
90
Analisi dei decadimenti B → φK 0
con x = (∆E − ∆E0 )/(∆Emax − ∆E0 )
• F, doppia Gaussiana:
PF (F) = √
−
f
e
2πσ1
(F−m1 )2
2σ2
1
1−f −
e
+√
2πσ2
(F−m2 )2
2σ2
2
• H, polinomio 1o grado + esponenziale:
PF (H) = a + bH + cedH
350
Events / ( 0.08 )
Events / ( 0.05 )
Events / ( 0.0045 GeV )
300
140
300
250
120
250
200
100
200
150
80
60
100
40
50
20
0
-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
0
0
150
100
50
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
|Cos(Theta_Helicity)|
∆ E (GeV)
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Fisher
Figura 4-11. Ditribuzioni e fit delle variabili della funzione di verosimiglianza parametrizzate sulla sideband di B 0 →
φ(K + K − )KL0 . I parametri sono riportati in tabella A-4.
Per quanto riguarda il B 0 B 0 (la parametrizzazione di H tiene conto dell’andamento piatto per la f 0 e delle polarizzazioni longitudinale e trasversa della φ di B → φK ∗ ):
• ∆E, Crystal Ball:
PS (∆E) = C(∆E, x0 , σ, α, n) =
• F, Gaussiana biforcata:
PS (F) =
• H, Polinomio di 4o grado:






2
0)
 e− (∆E−x
2σ2
1
·
N 
√ 1
e
2πσ1
√ 1
e
2πσ2
, se ∆E < x0 + ασ
2
(n/α)n e−α /2
((∆E−x0 )/σ+n/α−α)n
F−
(−m)2
2σ2
1
(F−m)2
−
2σ2
2
, se ∆E ≥ x0 + ασ
, se F < m
, se F > m
PS (H) = a + bH + cH2 + dH3 + eH4
Definite le componenti della funzione di verosimiglianza si è proceduto con il toy Monte Carlo ma a differenza di
B 0 → φ(K + K − )KS0 è stato fatto direttamente per il caso del fit dipendente dal tempo, includendo quindi anche la
pdf di ∆t(vedi B-2). In questa sezione riportiamo il risultato del fit agli eventi di segnale (projection plot in figura
4-13):
• NF = 5302 ± 75
• NS = 53 ± 18
M ARCO V IGNATI
4.4 Il decadimento B → φKS con φ → KS KL
91
400
300
200
100
0
-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
Delta E (GeV)
Events / ( 0.08 )
240
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Events / ( 0.05 )
Events / ( 0.0018 GeV )
500
300
250
200
150
100
50
0
-2
|Cos(Theta_Helicity)|
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Fisher
30
25
Events /0.005
Events /0.3
Events /0.015 GeV
Figura 4-12. Ditribuzioni e fit delle variabili della funzione di verosimiglianza parametrizzate sul fondo BB di B 0 →
φ(K + K − )KL0 . I parametri sono riportati in tabella A-4.
50
40
30
20
16
14
12
10
8
15
20
6
10
4
10
5
0
-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
∆ E (GeV)
0
-3
2
-2
-1
0
1
2
3
Fisher
0
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
|cos( θ HEL )|
Figura 4-13. Projection plot per B 0 → φ(K + K − )KL0 . Linea continua per la pdf totale, linea tratteggiata per il
fondo.
4.4 Il decadimento B → φKS con φ → KS KL
Per la ricostruzione di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 si combinano un KL0 e due KS0 di cui almeno uno decada in due pioni
carichi. Come in B 0 → φ(K + K − )KS0 vengono selezionati solo gli eventi in cui entrambi i KS0 decadano in due pioni
carichi, in modo tale da avere un campione di eventi più pulito. Va inoltre notato che per il caso in cui entrambi i K S0
decadono in due pioni neutri sarebbe impossibile misurare il vertice di decadimento (cfr:5.3).
4.4.1 Ottimizzazione dei tagli
Per incrementare la purezza dei KL0 ricostruiti è stata adottata una rete neurale (cfr 3.4.6). Il maggiore potere
discriminante è stato ottenuto con un solo livello nascosto e un numero di unità nascoste pari al numero di unità
in ingresso. L’apprendimento è stato svolto in 10k cicli con un parametro di intelligenza pari a 0.02, immettendo in
ingresso eventi provenienti dalle sideband e eventi di segnale Monte Carlo. L’ottimizzazione dei tagli è stata fatta in
modo da massimizzare la significanza statistica. In figura 4-14 sono mostrate le distribuzioni per la rete neurale nel
caso di segnale e fondo e l’andamento della significanza statistica al variare del taglio. Tenendo conto che a partire dal
A NALISI
DEI DECADIMENTI
B → φK 0
92
Analisi dei decadimenti B → φK 0
valore 0.6 si ha grossomodo un andamento piatto, il taglio migliore è :
• N NEM C > 0.6
Statistical significance
perchè corrisponde al valore più alto di efficienza.
180
Signal MC
160
140
∆ E sideband
120
100
0.3
0.28
0.26
0.24
80
60
0.22
40
0.2
20
0
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
NN cut
Figura 4-14. Sinistra: distribuzione della rete neuraleper eventi di segnale Monte Carloe sideband di ∆E; Destra:
significanza statistica al variare del taglio sulla rete neurale
Variabili discriminanti sono anche la massa del mesone φ (cfr: 3.5.2) e l’elicità (cfr: 3.7.2). Per ottimizzare il taglio
superiore della massa della φ è stata usata la tecnica del toy Monte Carlo. Sono stati fatti cinque toy Monte Carlo,
ognuno con un taglio diverso sulla massa della φ, che è stato scelto massimizzando la significanza statistica. Il taglio
inferiore invece è stato fissato a 1.00 GeV/c2 al di sotto del quale la frazione di eventi di segnale è trascurabile. In
definitiva i tagli applicati sono:
• 1.00 < m(φ → KS0 KL0 ) < 1.07
Per rafforzare la selezione il taglio su cosθSP H è stato portato a 0.8 e la finestra di ∆E ridotta a −10 < ∆E <
90 MeV. E’ stato applicato un taglio sull’elicità a 0.98 per facilitarne la parametrizzazione, taglio che non riduce
significativamente il numero di eventi di segnale. In tabella 4-6 sono riportate le efficienze in cascata in seguito ai
tagli applicati per eventi di segnale Monte Carlo di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 : Dai campioni di dati fuori risonanza e dagli
Selezione
Efficienza(%)
reco
17.4 ± 0.1
N NEM C > 0.6
| cos(θSP H )| < 0.8
1.00 < m(KS KL ) < 1.07 GeV/c2
55.9 ± 0.4
86.5 ± 0.3
67.6 ± 0.5
| cos(θH )| <0.98
-0.01< ∆E <0.09 GeV
95.5 ± 0.3
100
Efficienza totale
5.42 ± 0.07
Tabella 4-6. Efficienze per i tagli applicati, segnale Monte Carlo di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0
M ARCO V IGNATI
4.4 Il decadimento B → φKS con φ → KS KL
93
eventi di continuo Monte Carlo sono stati stimati gli eventi di fondo aspettati. Sono stati anche analizzati eventi di
fondo BB che per questo canale non rappresentano un fondo significativo (vedi tabella 4-7). Va notato che per questo
canale non sono previste componenti di fondo di onda S come per B 0 → φ(K + K − )KS0 e B 0 → φ(K + K − )KL0 . La
Categoria
Eventi aspettati
Segnale Monte Carlo
uu/dd/ss/cc Monte Carlo
9.4 ± 0.2
998 ± 50
dati fuori risonanza
B 0 B 0 Monte Carlo
B + B − Monte Carlo
Tabella 4-7. Eventi aspettati in 112 fb
−1
667 ± 80
13 ± 4
0
per il segnale e le diverse categorie di fondo
scelta del miglior candidato (la molteplicità per eventi di segnale Monte Carlo è pari a 1.052) viene fatta scegliendo
per prima cosa il miglior candidato KL0 , che è la particella ricostruita peggio:
• Se sono presenti più KL0 nell’ EMC, si sceglie quello con il maggior deposito di energia;
• se sono presenti più KL0 nell’ IFR, si sceglie quello con più layer accesi;
• in caso di ambiguità tra i due casi sopra descritti si sceglie il candidato K L0 che ha interagito con l’EMC.
Quest’ultima scelta è dovuta al fatto che la risoluzione angolare dell’EMC per i K L0 è migliore dell’IFR, in particolare
nel caso in cui il KL0 interagisce con entrambi (cfr: 3.4.3). In ultimo si scelgono i KS0 che hanno il valore minimo
della distanza tra la massa media e la massa misurata divisa per l’errore su quest’ultima. Da notare che la scelta del
miglior candidato va fatta dopo aver applicato i tagli di modo da non ridurre l’efficienza e massimizzare la frazione di
successi nella scelta; scegliendo prima, infatti, si rischierebbe di scegliere un candidato che poi verrà tagliato.
4.4.2 Misura del numero di eventi
Per ridurre la contaminazione del segnale da parte di eventi qq è stato usato il discriminante di Fisher descritto in 3.8.
Esso è basato sui polinomi di Legendre di ordine 0 e 2, ma visto che la maggior parte del fondo proviene da falsi
KL0 sono state aggiunte le quantità descritte in 3.4.4: ∆EV IS , |pM IS |, cos(pM IS ). In figura 4-15 il miglioramento
apportato da queste aggiunte al discriminante di Fisher.
Sono a questo punto definite tutte le variabili che entrano nel fit di verosimiglianza : ∆E, Fisher(F), massa della
φ e Elicità (H). In figura 4-16 sono rappresentate le distribuzioni per il segnale Monte Carlo parametrizzate con le
seguenti funzioni:
• ∆E, Crystal Ball:

(∆E−x0 )2
1  e− 2σ2
PS (∆E) = C(∆E, x0 , σ, α, n) =
·
2
(n/α)n e−α /2
N 
((∆E−x0 )/σ+n/α−α)n
, se ∆E < x0 + ασ
, se ∆E ≥ x0 + ασ
A NALISI
DEI DECADIMENTI
B → φK 0
Analisi dei decadimenti B → φK 0
Signal
94
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Legendre 0 + Legendre 1
Legendre 0 + Legendre 1 + DeVisKl + CosPMis + PVis
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Background
Figura 4-15. Efficienza del segnale rispetto all’efficienza del fondo al variare dei tagli per fisher composto di soli
polinomi di Legendre e con l’aggiunta delle variabili per i KL0
• mφ , Crystal Ball rovesciata:
PS (m∗φ ) = C(m∗φ , x0 , σ, α, n) =
con m∗φ = mφ − 2x0 .
• F, Gaussiana biforcata:
PS (F) =





• H, Polinomio 2o grado:

(m∗ −x )2

 e− φ2σ2 0
1
·
N 

√ 1
e
2πσ1
√ 1
e
2πσ2
, se m∗φ < x0 + ασ
n −α2 /2
(n/α) e
((m∗
−x0 )/σ+n/α−α)n
φ
F−
(−m)2
2σ2
1
− (F−m)
2
2σ
2
2
, se m∗φ ≥ x0 + ασ
, se F < m
, se F > m
PS (H) = a + bH + cH2
Per il fondo invece sono stati usati i dati appartenenti alla sideband di ∆E per tutte le variabili diverse da ∆E che a
sua volta è stata parametrizzata sui dati fuori risonanza (figura:4-17). A causa della scarsa statistica di dati disponibile
nella sideband e di dati fuori risonanza, per parametrizzare la massa della φ e ∆E è stato aggiunto al campione presente
l’insieme di dati selezionati con il canale B + → φ(KS0 KL0 )K + , che per quanto riguarda queste variabili ha le stesse
caratteristiche dato che la risoluzione di impulso di un K carico è comparabile a quella di un K S0 . Le funzioni usate
sono:
• ∆E, Argus function:
PF (∆E) = N · ∆E ·
con x = (∆E − ∆E0 )/(∆Emax − ∆E0 )
p
2
1 − x2 · e−ξ·(1−x )
• mφ , polinomio 2o grado + gaussiana:
1−f −
e
PF (mφ ) = f (a + bmφ + cmφ ) + √
2πσ1
2
M ARCO V IGNATI
(mφ −m1 )2
2σ2
1
95
Events / ( 0.004 GeV )
Events / ( 0.16 )
4.4 Il decadimento B → φKS con φ → KS KL
450
1200
400
350
1000
300
800
250
600
200
150
400
100
200
50
0
-2
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
∆ E (GeV)
-1.5
-1
1.01
1.02
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
fisher
Events / ( 0.0028 Gev )
Events / ( 0.0392 )
0
-0.01 0
300
250
250
200
200
150
150
100
100
50
0
0
50
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Cos(θHelicity )
0
1
1.03
1.04
1.05 1.06 1.07
φ Mass (Gev)
Figura 4-16. Distribuzioni e fit delle variabili della funzione di verosimiglianza parametrizzate sul segnale Monte Carlo
di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 . I parametri sono riportati in tabella A-7.
• F, doppia Gaussiana:
• H, polinomio 1o grado:
−
f
PF (F) = √
e
2πσ1
(F−m1 )2
2σ2
1
1−f −
+√
e
2πσ2
(F−m2 )2
2σ2
2
PF (H) = a + bH
I valori ottenuti dal fit per le otto pdf sono riportati in appendice A.3.1. Costruito il fit di verosimiglianza sono stati
fatti dei test su dei campioni di controllo per verificare che esso fosse in grado di riconoscere gli eventi di segnale (N S )
e fondo (NF ) come tali:
Come ulteriore controllo è stato eseguito un toy Monte Carlo. In figura 4-18 sono mostrati i pull per gli eventi di
segnale e di fondo. Si nota nel segnale una coda verso sinistra dovuta agli effetti di fluttuazioni poissoniane causate
dal piccolo valore del numero di eventi. Per il fondo invece la distribuzione è gaussiana essendo il numero di eventi
grande.
Visto il buon comportamento della funzione di verosimiglianza si è proceduto con il fit sui dati (figure: 4-19, 4-20), il
risultato ottenuto è :
A NALISI
DEI DECADIMENTI
B → φK 0
96
Analisi dei decadimenti B → φK 0
Events / ( 0.004 GeV )
Events / ( 0.16 Gev )
30
120
25
100
20
80
15
60
10
40
5
20
0
-0.01 0
0
-2
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
∆ E (GeV)
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
fisher (Gev)
Events / ( 0.0028 Gev )
Events / ( 0.0392 )
A RooPlot of " φ Mass"
40
120
35
100
30
80
25
20
60
15
40
10
20
5
0
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Cos( θ Helicity )
0
1
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05 1.06 1.07
φ Mass (Gev)
Figura 4-17. Distribuzioni e fit delle variabili della funzione di verosimiglianza per il fondo diB 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 ,
tutte le variabili sono parametrizzate sui dati appartenenti alla sideband di ∆E tranne ∆E stessa che è stata
parametrizzata sui dati fuori risonanza. I parametri sono riportati in tabella A-8.
Campione
Eventi totali
NS
NF
Segnale Monte Carlo
2718
B B Monte Carlo
Fondo uu/dd/ss/cc Monte Carlo
13
414
2688 ± 52
30.0 ± 8.1
Dati fuori risonanza
69
0.0 ± 6.08
70.9 ± 8.4
0
0
2.5 ± 1.8
0.0 ± 1.3
Tabella 4-8. Risultati del fit su campioni di controllo per B →
0
M ARCO V IGNATI
10.5 ± 3.4
414 ± 20
φ(KS0 KL0 )KS0 .
4.4 Il decadimento B → φKS con φ → KS KL
900
800
700
Entries
10000
Mean
-0.189
RMS
1.135
Underflow
Overflow
600
Integral
500
97
1000
Entries
Mean
800
RMS
12
10000
-0.02844
1.001
Underflow
0
0
Overflow
600
9988
400
Integral
0
1e+04
400
300
200
200
100
0
-6
-4
-2
0
2
4
0
-6
6
pull
-4
-2
0
2
4
6
pull
Figura 4-18. Distribuzioni per i pull di segnale (sinistra) e fondo (destra) generate da un toy Monte Carlo da 10000
esperimenti per B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 .
NB = 832 ± 29
NS = 6.1 ± 4.6
In figura 4-21 è mostrato l’andamento della funzione di verosimiglianza al variare del numero di eventi di segnale. La
significanza statistica è :
σ = 1.8
Come ultima prova è stato eseguito il fit sui dati rimuovendo una delle quattro pdf (tabella 4-9).
Variabile rimossa
NS
NF
mφ
13.8 ± 7.0
824 ± 29
10.3 ± 5.9
3.1 ± 11
827 ± 29
835 ± 31
F
H
∆E
Tabella 4-9.
5.0 ± 6.8
833 ± 30
Risultati del fit sui dati di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 rimuovendo una delle quattro pdf.
4.4.3 Nota sul calcolo degli errori sistematici
Per calcolare l’errore sistematico sul numero di eventi di segnale sono stati variati tutti i parametri delle pdf di una σ
rispetto al valore medio usato nel fit finale. Per ognuno di essi è stata calcolata la differenza tra il numero di eventi
trovato dopo la variazione con il numero di eventi trovato prima della variazione. Dopodichè è stata fatta la somma
in quadratura di tutti gli scarti positivi e separatamente di tutti quelli negativi in modo da avere una stima dell’errore
sistematico superiore (S + ) e inferiore (S − ).
Guardando i contributi apportati all’errore sistematico dai singoli parametri (cfr: appendice A.3.3), si nota che il
A NALISI
DEI DECADIMENTI
B → φK 0
A RooPlot of "deltae"
A RooPlot of "fisher"
Events / ( 0.2 )
Analisi dei decadimenti B → φK 0
Events / ( 0.005 GeV )
98
160
60
140
50
120
40
100
30
80
60
20
40
10
20
0
-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
deltae (GeV)
A RooPlot of "costhel"
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
fisher
A RooPlot of "phimass"
Events / ( 0.0653333 )
Events / ( 0.00466667 GeV )
90
80
70
70
60
60
50
50
40
40
30
30
20
20
10
0
0
10
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
costhel
0
1
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05 1.06 1.07
phimass (GeV)
Figura 4-19. Fit di verosimiglianza sui dati per B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 . Linea continua per la pdf totale, linea
tratteggiata per il fondo.
maggior contributo proviene dalla pdf di F per il fondo, i cui coefficienti hanno oltretutto un alto grado di correlazione.
Come soluzione è stata parametrizzata la distribuzione con una pdf alternativa, al posto di una doppia gaussiana ne
è stata usata una sola, è stato eseguito un fit sui dati con questa pdf sostitutiva e assunto come contributo all’errore
sistematico la differenza tra NS prima e dopo la sostituzione delle pdf . Per le altre pdf è stato usato il metodo
precedente. Gli errori sistematici cosı̀ calcolati sono:
• S + = 1.9
• S − = 1.6
In figura 4-22 è mostrata la parametrizzazione alternativa di F sugli eventi nella sideband di ∆E.
M ARCO V IGNATI
99
Events /0.1
Events /0.05 GeV
4.4 Il decadimento B → φKS con φ → KS KL
8
7
6
5
5
3
3
2
2
1
1
0
-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0
-2
Events /0.005
∆ E (GeV)
Events /0.098
6
4
4
10
8
6
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Fisher
6
5
4
3
4
2
2
0
0
7
1
0
1
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
|cos( θ HEL )|
1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07
m φ(GeV)
Figura 4-20. Projection plot per B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 . Linea continua per la pdf totale, linea tratteggiata per il fondo.
Projection of -log(L)
A RooPlot of "NSig"
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
Figura 4-21.
2
4
6
8
10
12
14
NSig
Andamento della funzione di verosimiglianza per il fit sui dati di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 .
A NALISI
DEI DECADIMENTI
B → φK 0
Analisi dei decadimenti B → φK 0
Events / ( 0.16 )
100
120
100
80
60
40
20
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
fisher
Figura 4-22. Parametrizzazione del discriminante di Fisher sugli eventi nella sideband di ∆E con una gaussiana
singola (linea continua) e doppia (linea tratteggiata).
M ARCO V IGNATI
5
Ricostruzione dei vertici di decadimento e
∆t
Per determinare l’asimmetria dipendente dal tempo della B che si ricostruisce (B CP ), occorre conoscere l’intervallo
temporale (∆t) che intercorre tra il suo decadimento e il decadimento dell’altro B(B tag ) oltre che il sapore di
quest’ultimo (flavour tagging).
5.1 Il flavour tagging
L’ algoritmo di flavour tagging si basa sulla correlazione tra il sapore del quark b e la carica delle tracce rimanenti
nell’ evento dopo aver escluso quelle associate al BCP . Sono state costruite differenti reti neurali per identificare i
leptoni provenienti direttamente dai decadimenti semileptonici del B, K e π provenienti dai decadimenti del D ∗ a sua
volta figlio del B, e particelle cariche di alto momento in genere. Le risposte delle reti neurali vengono combinate
per produrre quattro categorie di flavour tagging mutuamente esclusive, ed ad ogni categoria viene associata una
probabilità di aver sbagliato il sapore del B (probabilità di mistag). Eventi con un leptone e , se presente, anche un
K vengono assegnati alla categoria Lepton. Eventi con uno o più K carichi e nessun leptone o pione soffice vengono
assegnati alle categorie KaonI e KaonII a seconda della probabilità di mistag. Eventi con un solo pione soffice
vengono anch’essi associati alla categoria KaonII mentre gli eventi rimanenti appartengono alla categoria Inclusive
oppure non vengono assegnati (U ntagged) a seconda della probabilità di mistag.
La qualità del tagging p
viene espressa in termini del cosiddetto fattore di merito (Q) e l’ errore sulle misure di sin 2β
risulta proporzionale a 1/Q :
X
Q=
εc (1 − 2wc )2
c
dove εc e wc sono rispettivamente l’efficienza e la probabilità di mistag per gli eventi appartenenti alla categoria
di tagging c. La tabella 5-1 riporta le misure delle efficienze di tagging per di campione di dati di B neutre che
∗0
dacadono in D (∗)− h+ (h+ = π + , ρ+ , a+
(K ∗0 → K + π − ) (campione detto Bf lav ). In questa tesi
1 ) o in J/ψ K
vengono seguiti gli stessi passi dell’analisi sul campione Bf lav , assumendo le stesse le efficienze di tagging e le
stesse w . Quando la B ricostruita decade in un autostato di sapore, come nel caso del campione B f lav , è possibile
ricavarne il sapore dai suoi prodotti di decadimento e quindi misurare le probabilità di mistag, confrontando con
quanto assegnato dall’algoritmo di tagging. Quando la B decade in un autostato di CP non è possibile questa
misura, pertanto bisogna assumere le w misurate sul campione B f lav . Questo è possibile perchè le w dipendono
dal lato di tagging e sono indipendenti dal tipo di decadimento della B ricostruita. Per lo stesso motivo si possono
assumere le stesse efficienze di tagging del campione Bf lav , con il vantaggio di avere su di esse un basso errore data
l’alta statistica disponibile.
102
Ricostruzione dei vertici di decadimento e ∆t
Categoria
Lepton (1)
Kaon I (2)
Kaon II (3)
Inclusive (4)
Untagged
Q totale
(%)
w (%)
∆w (%)
Q (%)
9.1 ± 0.2
3.3 ± 0.6
−1.5 ± 1.1
7.9 ± 0.3
16.7 ± 0.2
19.8 ± 0.3
20.0 ± 0.3
34.4 ± 0.5
10.0 ± 0.7
20.9 ± 0.8
31.5 ± 0.9
50
−1.3 ± 1.1
−4.4 ± 1.2
−2.4 ± 1.3
10.7 ± 0.4
6.7 ± 0.4
2.7 ± 0.3
28.1 ± 0.7
Tabella 5-1. Efficienza di tagging , probabilità media di mistag w, differenza di mistag ∆w = w(B 0 ) − w(B 0 ), e
effettiva efficienza di tag Q per eventi di segnale in ciascuna categoria di tagging. Valori misurati nel campione Bf lav .
5.2 I vertici di decadimento e ∆t
All’esperimento BABAR viene misurata la distanza spaziale tra i vertici di decadimento delle due B (∆z) e da essa viene
calcolato ∆t. Seguono dei paragrafi dedicati alla descrizione della misura, la cui tecnica per B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 è
differente da B 0 → φ(K + K − )KS0 e B 0 → φ(K + K − )KL0 .
5.2.1 Ricostruzione di ∆z
Nella ricostruzione del vertice della BCP vengono usate tutte le tracce che provengono direttamente da essa. Il vertice
della Btag viene ricostruito a partire da tutte le tracce dell’ evento che non sono state associate alla B CP . Quando
la BCP viene ricostruita completamente, ed è questo il caso, conoscendo il suo impulso e quello della Υ (4S) si può
estrapolare la direzione della Btag dalla relazione cinematica:
ptag = pΥ(4S) − pCP
aggiungendo cosı̀ un altra informazione al fit (vedi figura 5-1). Visto che dal lato di tag non vengono ricostruiti
Figura 5-1. Rappresentazioni della cinematica di decadimento del sistema B 0 B 0
i prodotti di decadimento, le tracce figlie dei vari tipi di D presenti vengono utilizzate per fare il vertice della B
alterandone la misura perchè il D vola prima di decadere. Questo fenomeno è noto come charm bias e per ridurlo
viene esclusa dal fit la traccia il cui contributo al χ2 è maggiore di 6 e il fit viene rifatto finchè tutte le tracce soddisfino
le condizioni sul χ2 .
M ARCO V IGNATI
103
Mean of ∆ t residual (ps)
∆ t residual RMS (ps)
5.2 I vertici di decadimento e ∆t
a)
2.5
2
1.5
1
0.5
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4
σ∆t (ps)
-0.1
b)
-0.15
-0.2
-0.25
-0.3
-0.35
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4
σ∆t (ps)
Figura 5-2. Correlazione tra σ∆t e la larghezza di δt (sinistra) e con il valor medio di δt (destra) da simulazioni Monte
Carloper eventi di tipo Bf lav .
5.2.2 Estrazione di ∆t
La risoluzione di ∆t dipende principalmente dalla risoluzione sperimentale su ∆z. L’ impatto sulla misura dovuto alla
risoluzione dell’ energia dei fasci, infatti, è trascurabile essendo questa pari a 2 − 3 MeV, cosı̀ come il momento della
B nel sistema di riferimento della Υ (4S) ( 350 MeV/c). Trascurando queste quantità si può stimare ∆t semplicemente
a partire da:
∆z = βγ∆t
dove βγ è il fattore di boost di Lorentz, il cui valor medio è pari a 0.55. Esso viene calcolato direttamente dalle energie
dei fasci, misurate ogni 5 secondi, ed ha un incertezza dello 0.1%. Il taglio ottimizzato su ∆t è 20 ps, mentre sull’
errore associato (σ∆t ) è 2.5 ps. La funzione di risoluzione trovata è costituita dalla somma di tre gaussiane (core,
tail, out):
2
X
fk
(δ − bk σ∆t )2
f3
δt2
√ exp − t
√
.
(5.1)
R(δt ; â) =
exp
−
+
2(Sk σ∆t )2
2σ3 2
Sk σ∆t 2π
σ3 2π
k=1
dove δt è definito come ∆t−∆tvero e i valori medi delle prime due gaussiane vengono scalati con σ ∆t per il maggiore
bias che si misura all’ aumentare di σ∆t stessa. In particolare questo fenomeno è assente nella categoria leptonica
rispetto alle altre e per questo motivo il valor medio della gaussiana core viene scisso e parametrizzato diversamente a
seconda della categoria di tagging (i fattori di scala Sk servono a tenere in conto una sottostima generale (Sk > 1) o
una sovrastima (Sk < 1) degli errori in tutti gli eventi). Da simulazioni Monte Carlo viene confermata la correlazione
tra δt e σ∆t , in figura 5-2 vengono mostrate la larghezza e il valor medio del residuo δ t in funzione di σ∆t . Le
espressioni 5.4 vengono modificate dalla probabilità di mistag che entrano nella forma di coefficienti di “diluizione”
(D = 1 − 2w):
e−|∆t|/τ
f± (∆t) =
[1 ± DSφK sin(∆mB ∆t) ∓ DCφK cos(∆mB ∆t)]
(5.2)
4τB 0
che modificata dalla funzione di risoluzione diventa:
(5.3)
F± (∆t) = f± (∆t) ⊗ R(δt , â)
con l’asimmetria:
a=
F+ − F −
= D (SφK sin(∆mB ∆t) − CφK cos(∆mB ∆t)) ⊗ R(δt , â)
F+ + F −
R ICOSTRUZIONE
(5.4)
DEI VERTICI DI DECADIMENTO E
∆t
Ricostruzione dei vertici di decadimento e ∆t
arbitrary scale
104
a)
B0 tags
−
B0 tags
b)
0
B tags
−0
B tags
-5
0
5
∆t (ps)
Figura 5-3. Distribuzione aspettata di ∆t eventi etichettati com B 0 e come B 0 nel caso di a) tagging e risoluzione
perfetti b) tipiche frazioni di mistag e risoluzione su ∆t
Per prendere in considerazione possibili differenze di mistag vengono introdotte probabilità di mistag diverse per i
B 0 (w) e i B 0 (w)
1
hwi = (w + w);
∆w = (w − w)
2
(5.5)
D =
1 − 2w;
D = 1 − 2w
1
hDi = (D + D);
∆D = (D − D)
2
e anche possibili differenze nelle efficienze di tagging tra i B 0 e i B 0 :
µ=
tag − tag
tag + tag
, htag i =
tag + tag
2
(5.6)
Come per il valor medio della gaussiana core anche le quantità µ, hDi, ∆D vengono separate a seconda della categoria
di tagging. In tabella 5-2 vengono riportati i parametri trovati sul campione B f lav assieme ai valori di ∆m e τ riportati
in [22].
Per il fondo la distribuzione di ∆t non ha il significato fisico che ha per il segnale, quindi non c’è il vincolo di usare la
funzione di risoluzione trovata sul campione Bf lav . La parametrizzazione trovata per il fondo di tutti e tre i modi di
decadimento descritti in questa tesi è stata la somma di tre gaussiane (core, sigma, tail), di cui una convoluta con un
decadimento esponenziale:
X
3
∆t
fk
f1
∆t2
(∆t − bk )2
√ exp −
√
⊗
exp
−
.
(5.7)
+
PF (∆t; â) =
exp
−
2σ1 2
τ
2σk 2
σ1 2π
σk 2π
k=2
Vista la debole correlazione che c’è tra la cinematica dell’ evento e l’ algoritmo di tagging vengono parametrizzati i
termini delle pdf di ∆E e mES (quando presente) diversamente a seconda della categoria a cui appartiene l’evento.
Accanto ad esse vengono anche separate le µ come per il segnale.
5.3 Il vertice di decadimento di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0
A differenza di B 0 → φ(K + K − )KS0 e B 0 → φ(K + K − )KL0 per questo canale non esistono particelle cariche che
provengono dal vertice primario di decadimento (si può assumere con ottima approssimazione che la φ decada appena
M ARCO V IGNATI
5.3 Il vertice di decadimento di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0
105
Fit sui dati Bflav
b1
b2
b3
b4
bNoTag
Score
btail
Stail
σout
fout
ftail
1
2
3
4
−0.001 ± 0.051
−0.165 ± 0.041
−0.205 ± 0.036
−0.168 ± 0.036
D1
D2
D3
D4
−0.163 ± 0.027
1.113 ± 0.034
∆D1
∆D2
−1.690 ± 0.41
∆D3
3
8
∆D4
µ1
0.004 ± 0.001
0.074 ± 0.017
µ2
µ3
0.094 ± 0.0015
0.163 ± 0.0020
0.195 ± 0.0021
0.202 ± 0.0021
µ4
∆m
τ
0.924 ± 0.0118
0.813 ± 0.012
0.608 ± 0.0136
0.372 ± 0.0146
0.023 ± 0.0217
0.0372 ± 0.0214
0.0721 ± 0.0224
0.0784 ± 0.00214
0.00385 ± 0.019
−0.0256 ± 0.0163
0.0116 ± 0.0161
0.0172 ± 0.0162
0.502 ± 0.007
1.537 ± 0.015
Tabella 5-2. Parametri per la pdf di ∆t di segnale determinati sul campione Bf lav e valori utilizzati per ∆m e ∆t.
prodotta). Fino a poco tempo fa non esistevano alle B factory tecniche per poter fare un’analisi dipendente dal tempo
in questi casi. L’analisi B → KS0 π 0 [31] ha introdotto una nuova strategia per poter ricostruire il vertice in canali che
abbiano tra i prodotti di decadimento almeno un KS0 .
5.3.1 B → KS0 π 0 e il vertice beam constrained (BC)
Per identificare la coordinata zeta di decadimento del B si impone il vincolo che il K S0 provenga dall’asse dei fasci,
rinunciando alla conoscenza delle coordinate x e y. Questo è possibile perchè il momento trasverso del B è trascurabile
rispetto a quello longitudinale, proprio perchè il centro di massa della Υ (4S) ha un boost. In figura 5-4 viene mostrata
una rappresentazione schematica di questa tecnica, chiamata beam constrained (BC) vertexing. Ciò è possibile grazie
a una piccola incertezza sul punto di interazione dei fasci in x ( 200µm) e in y ( 4µm) e al fatto che la risoluzione
su ∆z è dominata dall’incertezza del vertice sul lato di tag. Visto che questa procedura vincola il moto del B nelle
coordinate x e y l’errore sul punto di interazione in y viene aumentato a 30µm per tener conto del moto del B lungo
questa direzione. Infatti considerando che l’impulso della B nel sistema di riferimento della Υ (4S) è 300 MeV, la
sua vita media è pari a 1.542 × 10−12 s e la sua massa è 5.279 GeV, si ottiene che il B viaggia nel piano trasverso
mediamente per 26µm.
Non tutti i KS0 sono adatti a questo tipo di misura. La risoluzione σz dipende dal numero di strati dell’ SVT che
attraversano i pioni carichi figli dei KS0 . Per questo i KS0 vengono suddivisi in classi sulla base degli hit che i pioni
lasciano nel rivelatore al silicio:
• Classe I - decadimenti in cui i entrambi i pioni hanno almeno un hit nella coordinata φ e nella coordinata z in
uno qualsiasi dei primi tre strati dell’ SVT
R ICOSTRUZIONE
DEI VERTICI DI DECADIMENTO E
∆t
106
Ricostruzione dei vertici di decadimento e ∆t
Figura 5-4. Rappresentazione della tecnica di vertice a partire da un KS0
• Classe II - decadimenti dove entrambi i pioni hanno almeno un hit nella coordinata φ e nella coordinata z ma
non appartenenti alla classe I. Questi eventi corrispondono perlopiù al decadimento del K S0 oltre il terzo strato
dell’SVT.
• Classe III - decadimenti in cui uno dei due pioni ha almeno un hit ma non appartenenti alla classe I o II
• Classe IV - decadimenti in cui nessuno dei due pioni ha interagito con l’SVT
In tabella 5-3 vengono riportate le frazioni di eventi che appartengono a ciascuna classe e in figura 5-5 la distribuzione
dell’errore su ∆t per ciascuna classe e l’errore su z in funzione della lunghezza di decadimento del K S0 nel piano xy.
classe
I
II
III
IV
B 0 → KS0 π 0
B 0 → J/ψKS0
B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0
0.045 ± 0.002
0.308 ± 0.003
0.061 ± 0.002
0.198 ± 0.002
0.015 ± 0.003
0.028 ± 0.004
0.373 ± 0.003
0.273 ± 0.003
0.479 ± 0.003
0.261 ± 0.002
0.77 ± 0.01
0.19 ± 0.01
Tabella 5-3. frazione di eventi in ciascuna classe.
Nel fit dipendente dal tempo vengono inclusi solo gli eventi appartenenti alle classi I e II (eventi Good) mentre
quelli restanti (eventi Bad) sono comunque utili per misurare l’asimmetria diretta di CP e quindi il parametro C.
Inoltre gli eventi che non rientrano nei tagli su ∆t (20 ps) e σ∆t (2.5 ps) vengono comunque etichettati come Bad. La
risoluzione inoltre dipende anche dalla coordinata polare del K S0 ed è una diretta conseguenza della geometria che si
crea intersecando una retta (la direzione del KS0 ) con un cilindro (l’asse dei fasci). In figura 5-6 vengono mostrate le
dipendenze dall’angolo polare (θ) e azimutale (φ) del KS0 . Per il controllo di questa tecnica sono stati comparati i valori
di sin 2β per il canale B 0 → J/ψKS0 usando il vertice tradizionale e il vertice BC ottenendo ∆S = −0.027 ± 0.064
e ∆C = −0.034 ± 0.026. Ciò permette di usare anche in questo caso la parametrizzazione di B f lav per il segnale,
con i vantaggi già menzionati. In figura 5-7 viene mostrato il confronto tra B 0 → J/ψKS0 e B 0 → KS0 π 0 per i grafici
M ARCO V IGNATI
10
10
107
class I
class II
class III
class IV
3
< σz > [cm]
events
5.3 Il vertice di decadimento di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0
0.1
2
0.05
10
0
2
4
6
8
0
0
10
σ(∆ t) [ps]
5
10
15
decay length in xy plane [cm]
0.05
<σz > [cm]
<σz > [cm]
Figura 5-5. Distribuzione dell’errore su ∆t in per ciascuna classe (sinistra) e (destra) errore medio stimato in funzione
della lunghezza di decadimento del KS0 nel piano xy, le frecce indicano i cinque strati dell SVT.
0.04
0.05
0.04
0.03
0.03
0.02
0.02
0.01
0.01
0
-1
-0.5
0
0.5
0
1
Ks cos(θ)
-3
-2
-1
0
1
2
3
Ks φ
Figura 5-6. Errore medio stimato su z (punti) in funzione dell’angolo polare (sinistra) e azimutale (destra) del KS0 ,
gli istogrammi mostrano la distribuzione dei KS0 in scala arbitraria mentre la curva tratteggiata indica il contributo
all’errore causato sull’incertezza del punto di interazione dei fasci pari a 200 µm in x e 30 µm in y.
già illustrati in figura 5-2, l’andamento è lo stesso a dimostrazione del fatto che la risoluzione su ∆t dipende dal lato
di tagging e che il vertice BC ha le stesse proprietà del vertice tradizionale.
5.3.2 Uso del vertice BC in B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0
La tecnica del vertice BC è stata applicata al canale B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 . Le frazioni di eventi nelle classi I e II
sono maggiori visto che si può scegliere tra due KS0 per fare il vertice. In tabella 5-3 vengono mostrate le efficienze
in ciascuna classe e in figura 5-8 alcuni dei grafici mostrati nel paragrafo precedente a dimostrazione delle stesse
caratteristiche di B 0 → KS0 π 0 .
R ICOSTRUZIONE
DEI VERTICI DI DECADIMENTO E
∆t
Ricostruzione dei vertici di decadimento e ∆t
K s π0
0.4
width of ∆ t residual [ps]
mean of ∆ t residual [ps]
108
K sψ
0.2
0
4
3.5
3
2.5
2
1.5
-0.2
1
0.5
-0.4
0.5
1
1.5
2
2.5
0
3
0.5
1
1.5
2
2.5
σ(∆ t) [ps]
3
σ(∆ t) [ps]
Figura 5-7. Confronto dell’andamento del valor medio e la larghezza di δt in funzione di σ∆t tra i vertici BC di
B 0 → J/ψKS0 e B 0 → KS0 π 0
< σz > [cm]
0.05
< σz > [cm]
0.05
0.04
0.04
0.03
0.03
0.02
0.02
0.01
0.01
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
K s cos θ
width of dt residual [ps]
mean of dt residual [ps]
0
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 -0
1.5
-3
-2
-1
0
1
2
3
Ks φ
2.5
3
σdt [ps]
4
3.5
1
3
2.5
0.5
2
1.5
0
1
0.5
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
σdt [ps]
0
0.5
1
1.5
2
Figura 5-8. Alcune della quantità mostrate per B 0 → KS0 π 0 ricalcolate per B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 , la statistica
inferiore disponibile per quest’ultimo rende i grafici differenti nelle regioni più povere di segnale.
M ARCO V IGNATI
6
Misura di S e C
Nel capitolo precedente sono state descritte le tecniche con cui si misura l’asimmetria di CP dipendente dal tempo
a BABAR, in questo vengono descritti i passi seguiti nell’analisi di ciascun canale di decadimento, per arrivare infine
all’analisi combinata di tutti i modi insieme. I canali di decadimento B 0 → φKS0 e B 0 → φKL0 sono due autostati di
CP opposti, pertanto (cfr: 1.6 e 1.7) i parametri S e C soddisfano le seguenti relazioni:
(6.1)
(6.2)
SφKL0 = −SφKS0
CφKL0 = CφKS0
Per il controllo del funzionamento del fit, oltre al toy Monte Carlo si ricorrerà anche al M ock fit. Esso è pressocchè
uguale al toy Monte Carlo con la differenza che al posto di generare eventi di segnale a partire dalle pdf , vengono presi
eventi a caso tra quelli del campione di Monte Carlo di segnale. Il vantaggio consiste nel mettere in luce eventuali
correlazioni tra le componenti del segnale che il toy Monte Carlo non è in grado di simulare.
6.1 Analisi dei singoli decadimenti
In questa sezione viene presentata principalmente l’analisi di B 0 → φ(K + K − )KS0 e B 0 → φ(K + K − )KL0 , ovvero i
canali che, dato il numero di eventi, contribuiscono maggiormente al fit. Il canale B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 verrà incluso
nel fit combinato per aggiungere statistica ai primi due.
6.1.1 Parametrizzazione delle pdf di ∆t
Il primo passo consiste nell’effettuare un fit su un campione di Monte Carlo di solo segnale in cui è stato generato
S = 0.7 e C = 0 (circa i valori del modello standard) e vedere se esso è in grado di restituire questi valori usando la
parametrizzazione trovata sul campione Bf lav . I risultati ottenuti per i tre modi di decadimento sono tutti compatibili
con i valori generati (vedi tabella 6-1).
Variabile
S
C
B 0 → φ(K + K − )KS0
0.709 ± 0.021
−0.011 ± 0.012
B 0 → φ(K + K − )KL0
−0.710 ± 0.032
−0.025 ± 0.021
B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0
0.690 ± 0.021
0.019 ± 0.013
Tabella 6-1. Risultati del fit sul segnale Monte Carlo per i tre modi di decadimento, i parametri generati sono C = 0 e
S = 0.7
In figura 6-1 vengono mostrate le asimmetrie dipendenti dal tempo per i tre canali sul segnale Monte Carlo, dove
si osserva il diverso segno dell’asimmetria a seconda dell’autovalore di CP del canale. Si osserva inoltre come la
sensibilità a S sia più alta per |∆t| ∼ 3 ps. Per quanto riguarda la pdf di ∆t del fondo BB, viene utilizzata sempre
la parametrizzazione del campione Bf lav , trattandosi sempre di decadimenti di B, fissando S e C a zero. Nel fit
Misura di S e C
Asymmetry /1 ps
110
0.4
0.3
0.2
0.1
-0
-0.1
-0.2
-0.3
-6
-4
-2
0
2
4
6
∆ t (ps)
Figura 6-1. Asimmetria dipendente dal tempo ricostruita sul Monte Carlo si segnale di B 0 → φ(K + K − )KS0 (sinistra)
B 0 → φ(K + K − )KL0 (centro) B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 (destra). Gli andamenti riproducono l’asimmetria con la diluizione
(vedi equazione 5.4) (Raw Asymmetry).
combinato questi valori verranno variati nell’intervallo [-1,+1] per avere una stima dell’errore sistematico. Questa
sorgente di fondo è costituita da decadimenti diversi e non ha un valore definito di S e C, senza contare il fatto che per
alcuni canali (per esempio B 0 → a00 (K + K − )KS0 ) S e C non sono stati ancora misurati.
Events / ( 0.8 ps )
Per riprodurre l’andamento del fondo continuo di ∆t è stata parametrizzata la funzione 5.7 sulle sideband di ogni
canale. Le distribuzioni con le curve sovraimposte sono mostrate nelle figure 6-2, 6-3, 6-4, e i parametri sono riportati
in appendice in tabella B-1. Vengono mostrate sia la distribuzione in scala lineare che logaritmica per evidenziare
l’andamento della pdf ad alti valori di ∆t, la zona dove la risoluzione è maggiore (l’errore su ∆t è indipendente da
∆t stesso).
350
300
250
200
150
100
Events / ( 0.8 ps )
50
10
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
∆ T (ps)
2
10
1
10
Figura 6-2.
-1
∆ T (ps)
Distribuzioni e fit di ∆t sui dati appartenenti alla sideband di mES di B 0 → φ(K + K − )KS0 .
6.1.2 Toy Monte Carlo e Mock fit
Per controllare che la funzione di verosimiglianza fosse in grado di estrarre correttamente S e C sono stati fatti prima
dei toy Monte Carlo e successivamente dei M ockf it. I toy Monte Carlo sono stati eseguiti generando per S e C
M ARCO V IGNATI
6.1 Analisi dei singoli decadimenti
111
B and B Events /2 ps
0
B Events /2 ps
2400
2200
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
-20
10
-10
-5
0
5
10
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
15
20
∆ t (ps)
3
2
0
10
-15
0
10
1
10
-20
∆ t (ps)
Distribuzioni e fit di ∆t sui dati appartenenti alla sideband di ∆E di B 0 → φ(K + K − )KL0 .
Events / ( 0.8 ps )
Figura 6-3.
-1
120
100
80
60
40
Events / ( 0.8 ps )
20
10
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
∆ T (ps)
2
10
1
10
Figura 6-4.
-1
∆ T (ps)
Distribuzioni e fit di ∆t sui dati appartenenti alla sideband di ∆E di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 .
sempre i valori 0.7 e 0 controllando questa volta non solo i pull del numero di eventi di segnale ma anche quelli di S
e C. In tabella 6-2 sono riportati i valori ottenuti da fit gaussiani sulle distribuzioni (vedi in appendice le figure B-1 e
B-2), e nessuno di essi mostra scostamenti da zero significativi.
Parametro
Valor medio
0
NS
S
C
Sigma
+
B → φ(K K
−0.029 ± 0.050
−0.026 ± 0.051
−0.043 ± 0.049
−
)KS0
0.956 ± 0.046
0.988 ± 0.047
1.009 ± 0.045
Valor medio
0
Sigma
B → φ(K K )KL0
0.021 ± 0.033
0.103 ± 0.033
−0.077 ± 0.034
+
−
0.982 ± 0.027
0.993 ± 0.024
1.021 ± 0.025
Tabella 6-2. Fit gaussiani dei pull del toy Monte Carlo per B 0 → φ(K + K − )KS0 e B 0 → φ(K + K − )KL0 .
Per quanto riguarda i Mock fit la componente di fondo è stata generata con la stessa tecnica del toy Monte Carlo mentre
per il segnale e la componente di fondo BB sono stati presi eventi dai campioni Monte Carlo. Anche in questo caso
non sono state trovate particolari deviazioni e dalle distribuzioni dell’errore su C ed S si può ottenere una stima dei
valori attesi (vedi tabella 6-3 e figure B-3, B-4 in appendice).
M ISURA
DI
S
E
C
112
Misura di S e C
Parametro
Valor medio
0
NS
S
C
σS
σC
Tabella 6-3.
M ARCO V IGNATI
Sigma
+
B → φ(K K
−
)KS0
Valor medio
0
Sigma
+
−
B → φ(K K )KL0
−0.145 ± 0.062
0.943 ± 0.050
0.055 ± 0.11
0.976 ± 0.096
0.069 ± 0.057
0.465 ± 0.085
0.952 ± 0.047
−0.03 ± 0.12
1.13 ± 0.50
1.05 ± 0.11
0.18 ± 0.07
0.321 ± 0.044
1.081 ± 0.058
0.08 ± 0.10
0.83 ± 0.41
0.931 ± 0.092
Fit gaussiani dei pull del Mock fit e errori aspettati per B 0 → φ(K + K − )KS0 e B 0 → φ(K + K − )KL0 .
6.1 Analisi dei singoli decadimenti
113
6.1.3 Risultati del fit sui dati
Visto il buon comportamento della funzione di verosimiglianza si è proceduto con il fit sui dati. I risultati ottenuti sul
fit di B 0 → φ(K + K − )KS0 sono:
1. S = 0.47 ± 0.43
2. C = −0.22 ± 0.38
3. NS = 61.9 ± 9.3
Da notare come gli errori su S e C concordino con la previsione del Mock fit. I projection plot per le distribuzioni
di ∆t per i B 0 e i B 0 e l’asimmetria dipendente dal tempo sono mostrati in figura 6-5. In figura 6-8 viene mostrato
l’andamento della funzione di verosimiglianza in funzione del numero di eventi di segnale, di S e di C.
B 0 Events /0 ps
15
sig+bkg
bkg
10
5
B Events /0 ps
15
0
-6
-4
-2
0
2
4
0
1 -6
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
10
6
∆t (ps)
Asymmetry /1 ps
0
5
0.5
6
∆t (ps)
0
-0.5
-1
-6
6
∆t (ps)
Figura 6-5. Projection plot per le distribuzioni di ∆t per i B 0 , i B 0 e per l’asimmetria dipendente dal tempo di
B 0 → φ(K + K − )KS0 . La significanza statistica è pari a 3.8 avendo applicato il taglio LR > 0.52.
Per quanto riguarda B 0 → φ(K + K − )KL0 i risultati sono:
M ISURA
DI
S
E
C
80
0.9
70
0.8
0.7
60
0.6
50
0.5
40
0.3
20
7
6
5
4
3
0.4
30
2
0.2
10
0
0
Projection of -log(L)
Misura di S e C
Projection of -log(L)
Projection of -log(L)
114
1
0.1
20
40
Figura 6-6.
S e di C.
60
80
100
120
140
Number of PhiK0 (Signal)
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Andamento della verosimiglianza di B → φ(K K
0
+
−
0.8
0.9
)KS0
1
S
0
-1
-0.5
0
0.5
1
C
in funzione del numero di eventi di segnale, di
1. S = 1.3 ± 1.0
2. C = −0.24 ± 0.74
3. NS = 59 ± 18
Anche qui gli errori su S e C sono in accordo con il Mock fit. I projection plot e l’andamento della verosimiglianza
sono mostrati nelle figure 6-5 e 6-8.
M ARCO V IGNATI
6.1 Analisi dei singoli decadimenti
115
B 0 Events /0 ps
20
sig+bkg
bkg
15
10
5
B Events /0 ps
0
20 -6
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
15
6
∆t (ps)
Asymmetry /1 ps
0
10
5
0
1 -6
0.5
6
∆t (ps)
0
-0.5
-1
-6
6
∆t (ps)
Projection of -log(L)
Projection of -log(L)
Projection of -log(L)
Figura 6-7. Projection plot per le distribuzioni di ∆t per i B 0 , i B 0 e per l’asimmetria dipendente dal tempo di
B 0 → φ(K + K − )KL0 . La significanza statistica è pari a 1.5 avendo applicato il taglio LR > 0.52.
1.6
0.8
10
1.4
0.7
8
1.2
0.6
0.5
6
0.4
4
2
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Number of PhiK0 (Signal)
1
0.8
0.3
0.6
0.2
0.4
0.1
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Figura 6-8. Andamento della verosimiglianza di B → φ(K K
S e di C.
0
+
−
1.6
1.8
)KL0
2
S
0
-1
-0.5
0
0.5
1
C
in funzione del numero di eventi di segnale, di
M ISURA
DI
S
E
C
116
Misura di S e C
6.2 Analisi combinata
Il vantaggio di fare un’analisi combinata consiste nell’avere una miglior determinazione dei parametri comuni ai
diversi canali. I risultati non saranno gli stessi che si otterrebbero facendo la media dei valori trovati per i singoli canali,
con il fit combinato, infatti, si prendono in considerazione le correlazioni che ci sono tra i parametri fisici comuni. Il
numero di eventi di B 0 → φKL0 sarà legato a quello di B 0 → φKS0 , ma, soprattutto, anche S e C. Per questo
motivo viene definito un unico numero di eventi, corrispondente al numero di B 0 → φK 0 prodotte nel rivelatore, e
il numero di eventi per ciascun canale viene estrapolato a partire dalle efficienze stimate dal segnale Monte Carlo.
Gli eventi di fondo per i singoli decadimenti, non avendo un significato fisico e di natura diversa, verranno lasciati
separati. Per esempio, B 0 → φ(K + K − )KS0 non ha il fondo costituito da fotoni che invece ha B 0 → φ(K + K − )KL0 .
Verranno infine presentati i risultati ottenuti dal fit combinato di B 0 → φ(K + K − )KS0 , B 0 → φ(K + K − )KL0 e
B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 .
6.2.1 Descrizione del fit
In questo paragrafo vengono indicate tutte le quantità intervengono che nel fit combinato, quali di queste vengono
lasciate libere di variare e quali vengono tenute costanti. Quando possibile si preferisce lasciare liberi più parametri
possibile, per ridurre il contributo dei parametri delle singole pdf al momento del calcolo degli errori sistematici.
• Viene estratto un unico numero di eventi di segnale, scalando i contributi dei singoli canali con le efficienze
stimate sul Monte Carlo.
• Viene estratto un unico valore per S e C, inserendo l’autovalore di CP appropriato per ogni canale.
• Tutti i parametri della pdf di segnale di ∆t, tranne S e C vengono fissati ai valori di B f lav , come già spiegato nel
capitolo precedente. Nel caso di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 , le frazioni di eventi Good vengono fissate per il segnale
al valore del Monte Carlo e per il fondo alla stima ottenuta sulle sideband. Per quanto riguarda la componente
di fondo BB, vengono anche qui fissati tutti i parametri, imponendo S = 0 e C = 0
• I parametri delle pdf di fondo continuo di ∆t vengono anch’essi fissati, lasciando libere le frazioni di eventi
appartenenti a ciascuna categoria di tagging (c ) e le probabilità di mistag (µc ). Per il solo B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 ,
questi parametri vengono fissati, data la bassa statistica disponibile, ai valori misurati sulle sideband di B 0 →
φ(K + K − )KL0 .
• Tutti i parametri delle pdf di segnale (∆E, mES , F, H, mφ ) vengono fissati.
• Per B 0 → φ(K + K − )KS0 e B 0 → φ(K + K − )KL0 i parametri delle pdf di fondo (∆E, mES , F, H) vengono
lasciati liberi, mentre per B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 vengono fissati ai valori ottenuti sulle sideband e sul campione
di dati fuori risonanza.
6.2.2 Misure
Anche in questo caso è stato fatto un Mock fit per verificare il buon comportamento della funzione di verosimiglianza
e l’esito è stato positivo (vedi tabella 6-4 e, in appendice, la figura B-5).
Infine si riportano i risultati del fit combinato B 0 → φ(K + K − )KS0 , B 0 → φ(K + K − )KS0 e B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 sui
dati (tutti i parametri sono riportati in appendice in tabella B-2).
M ARCO V IGNATI
6.2 Analisi combinata
117
Parametro
Valor medio
Sigma
NS
S
0.02 ± 0.13
0.05 ± 0.24
1.10 ± 0.13
1.45 ± 0.35
C
∆S
∆C
−0.01 ± 0.12
0.40 ± 0.06
0.989 ± 0.13
0.29 ± 0.04
Tabella 6-4. Fit gaussiani dei pull del Mock fit e errori aspettati per il fit combinato di B 0 → φ(K + K − )KS0 e
B 0 → φ(K + K − )KL0 e B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 .
• S = 0.66 ± 0.36
• C = −0.08 ± 0.32
• N = 1033 ± 130
6.2.3 Calcolo delle incertezze sistematiche
Per il calcolo delle incertezze sistematiche vengono variati uno alla volta i parametri fissati nel fit di una sigma rispetto
al valor medio usato nel fit finale. La variazione di S e C rispetto al risultato del fit finale viene assunta come
incertezza sistematica dovuta al parametro. In appendice B.4 vengono riportati i contributi di ciascun parametro
mentre in tabella 6-5 vengono sommati in quadratura secondo la pdf di appartenenza. Gli errori sistematici totali
dovuti alle parametrizzazioni delle pdf sono:
+
• ∆Spdf
= 0.056
−
• ∆Spdf
= 0.055
+
• ∆Cpdf
= 0.065
−
• ∆Cpdf
= 0.067
Bisogna anche considerare i contributi dovuti all’incertezza sul vertice di decadimento dovuta all’errore con cui è
conosciuta la posizione degli strati dell’SVT. Per il vertice tradizionale, quindi per il vertice di B 0 → φ(K + K − )KS0
e B 0 → φ(K + K − )KL0 , si assume l’errore sistematico dell’analisi B 0 → π + π − [33]. Per il vertice di B 0 →
φ(KS0 KL0 )KS0 , invece, oltre all’errore sistematico dovuto all’allineamento dell’SVT, viene anche considerata la sistematica associata alla tecnica del vertice BC. In questo caso vengono assunte le differenze ∆S e ∆C, ovvero le
differenze misurate sul campione B 0 → J/ψKS0 tra i valori di S e C ottenuti con il vertice tradizionale e quelli
ottenuti con il vertice BC [31]. I valori sono riportati in tabella 6-6. I contributi dovuti a B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 e
B 0 → φK 0 vengono sommati in quadratura, pesando con la frazione di eventi appartenenti a ciascuna specie. Gli
errori sistematici totali associati al vertice di decadimento sono:
• ∆SV±T X = 0.016
• ∆CV±T X = 0.021
che sommati in quadratura alle sistematiche associate alle pdf portano agli errori sistematici definitivi:
M ISURA
DI
S
E
C
118
Misura di S e C
• ∆S + = 0.058
• ∆S − = 0.057
• ∆C + = 0.068
• ∆C − = 0.070
Canale
0
+
B → φ(K K
−
)KS0
pdf
∆S+
∆S−
∆C+
∆C−
mES
0.00162
-0.00167
0.00140
-0.00135
∆E
F
0.00243
0.00162
-0.00306
-0.00165
0.00155
0.00127
-0.00155
-0.00124
0.000515
0.0441
-0.000498
-0.0435
0.000160
0.0464
-0.000111
-0.0477
H
∆t BB
∆t continuo
0.0078
-0.00806
0.00349
-0.00343
∆E
F
0.000795
0.000907
-0.000774
-0.000899
0.000405
0.00302
-0.000411
-0.00305
H
∆t BB
0.00706
0.0249
-0.00897
-0.0229
0.00357
0.0328
-0.00320
-0.0369
∆t continuo
0.00757
-0.00727
0.00991
-0.0104
∆E
F
0.00259
0.0100
-0.00221
-0.00949
0.00378
0.00699
-0.00376
-0.00630
H
mφ
0.00204
0.00268
-0.00198
-0.00189
0.000718
0.00288
-0.00360
-0.00514
∆t continuo
0.00674
-0.00647
0.0148
-0.0107
Funzione di risoluzione di ∆t per il segnale
0.0160
0.0153
0.0242
0.0233
totale
0.0560
-0.0549
0.0652
-0.0672
B 0 → φ(K + K − )KL0
0
B →
φ(KS0 KL0 )KS0
Tabella 6-5. Contributi all’errore sistematico di ciascuna pdf della funzione di verosimiglianza
B 0 → φK 0
SV T
σS
σC
±0.01
B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0
SV T
Vertice BC
±0.028
±0.02
±0.0086
±0.01
±0.044
±0.034
±0.027
totale (somma in quadratura)
σS
σC
Tabella 6-6.
M ARCO V IGNATI
±0.02
±0.028
Errori sistematici associati alla ricostruzione del vertice di decadimento.
6.2 Analisi combinata
119
Conclusioni
Lo studio presentato in questa tesi è stato condotto su un campione di dati pari a 112 fb−1 raccolto con l’esperimento
BABAR e corrispondente a 118 milioni di coppie BB. Sono stati estratti il numero di eventi per i decadimenti B 0 →
φ(K + K − )KS0 , B 0 → φ(K + K − )KL0 e B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 ed è stata misurata l’asimmetria di CP dipendente dal
tempo utilizzando tutti e tre i canali. Nella tabella seguente vengono riportati i risultati ottenuti in questa analisi e
quelli ottenuti dalla collaborazione B ELLE , ricordando che questa è basata sul solo B 0 → φ(K + K − )KS0 :
BABAR
S
C
B 0 → φK 0
0.66 ± 0.36 ± 0.06
−0.08 ± 0.32 ± 0.07
Charmonio
B ELLE
−0.96 ±
0.50+0.09
−0.11
0.15 ± 0.29 ± 0.08
Media mondiale
0.736 ± 0.049
0.052+0.048
−0.046
Tabella 6-7. Sommario dei risultati sui parametri dell’asimmetria di CP nei decadimenti B 0 → φK 0 e la media
mondiale sul Charmonio
Il Modello Standard prevede che S e C siano gli stessi misurati nella classe di decadimenti del Charmonio . Dal
confronto, entrambe le misure concordano nella mancanza di violazione di CP diretta (C = 0), ma sono in forte
disaccordo sul valore di S. La misura descritta in questa tesi è consistente con quanto misurato sul campione di
Charmonio ma con un errore ancora troppo grande per trarre conclusioni. E’ pertanto necessario ripetere l’analisi su
un campione di dati più ampio.
M ISURA
DI
S
E
C
120
M ARCO V IGNATI
Misura di S e C
A
Parametri delle singole pdf
A.1
B 0 → φ(K +K −)KS0
A.1.1 Parametri delle pdf
Variabile
mES
Segnale
Fondo continuo
Crystal Ball
ARGUS function
Crystal Ball
α=1.786+0.026
−0.027
m0 =5.27960±0.00001
end − point= 5.2895 (fixed)
ξ=-22.9±4.0
α= 1.152+0.061
−0.068
m0 =5.27960±0.00001
N =3.94+0.19
−0.18
σ0 =0.00255±0.00001
∆E
N =3.94+0.72
−0.55
σ0 =0.00255±0.00005
Doppia Gaussiana
Polinomio di 1o grado
Double gaussian
m1 =0.00230±0.00011
σ1 =0.0156±0.00015
P1 =-1.25±0.23
m1 =0.00234+0.00040
−0.00041
+0.00052
σ1 =0.014410−0.00054
m2 =-0.000179+0.0043
−0.0095
σ2 =0.044+0.015
−0.007
m2 =0 (fixed)
σ2 =0.044356±0.0010
H
F isher
Fondo BB
f1 =0.7649+0.0086
−0.0081
+0.039
f1 =0.814−0.046
Polinomio di 2o grado
p1 =-9.8+3.2
−3.3
Polinomio di 1o grado
0.35+0.19
−0.17
Polinomio di 1o grado
+0.066
-0.027−0.062
Gaussiana biforcata
m0 =0.0022 ±0.0067
Doppia Gaussiana
m1 =0.306 +0.031
−0.044
Gaussiana biforcata
m0 =0.0022 ±0.0067
p2 =495+219
−129
σL =0.6767±0.0046
σR =0.3821±0.0041
σ1 =0.480 +0.045
−0.031
m2 =0.432 +0.058
−0.045
σL =0.6767±0.0046
σR =0.3821±0.0041
σ2 =0.257+0.061
−0.072
Tabella A-1. Parametri delle pdf di B 0 → φ(K + K − )KS0
122
Parametri delle singole pdf
A.1.2 Correlazione tra le variabili della funzione di verosimiglianza
segnale
mES
mES
∆E
1
-0.1750
1
∆E
| cos θH |
F
∆t
0.0099
-0.0005
-0.0058
-0.0062
0.0067
0.0183
1
-0.0008
1
-0.0026
-0.0036
| cos θH |
F
1
∆t
Tabella A-2. Coefficienti di correlazione lineare per le variabili di B 0 → φ(K + K − )KS0 simati sul campione di
segnale Monte Carlo.
fondo
mES
∆E
| cos θH |
F
∆t
mES
∆E
1
-0.0539
1
| cos θH |
F
∆t
0.0597
0.0528
0.0032
-0.0278
0.0034
0.0208
1
-0.0205
1
0.0316
0.0210
1
Tabella A-3. Coefficienti di correlazione lineare per le variabili di B 0 → φ(K + K − )KS0 stmati sulle sideband di
B 0 → φ(K + K − )KS0 .
M ARCO V IGNATI
A.2 B 0 → φ(K + K − )KL0
A.2
123
B 0 → φ(K +K −)KL0
A.2.1 Parametri delle pdf
Variable
∆E
F
Signal
Background
Crystal Ball
ARGUS function
x0 = (−16.7 ± 5.8) × 10−2 MeV
σ = (3.30 ± 0.04) MeV
ξ = −45.1 ± 8.6
∆E0 = −0.0094 GeV (fixed)
Gaussiana biforcata
Doppia Gaussiana
m = −0.191 ± 0.006
σL = 0.459 ± 0.004
m1 = −0.33 ± 0.01
σ1 = 0.24 (fixed)
α = 1.10 ± 0.04
n = 2.9 ± 0.2
σR = 0.382 ± 0.004
| cos θH |
∆Emax = 16 GeV (fixed)
m2 = 0.247 ± 0.008
σ2 = 0.473 ± 0.007
f raction = 0.26 ± 0.02
Polinomio di 3 grado
cubic = −1.1 ± 1.5
Polinomio di 1o grado + esponenziale
linear = 0.12 ± 0.1
o
quadratic = 18.2 ± 1.5
linear = −0.08 ± 0.76
exp = 7.4 ± 4.0
f raction = 0.95 ± 0.03
Tabella A-4. Parametri delle pdf di B 0 → φ(K + K − )KL0 .
A.2.2 Correlazione tra le variabili della funzione di verosimiglianza
segnale
∆E
∆E
| cos θH |
F
∆t
1
| cos θH |
F isher
∆t
-0.0207
0.0362
-0.0039
1
0.0102
1
-0.0200
-0.0116
1
Tabella A-5. Coefficienti di correlazione lineare per le variabili del segnale di B 0 → φ(K + K − )KL0 stimati sul
campione di segnale Monte Carlo. .
PARAMETRI
DELLE SINGOLE
pdf
124
Parametri delle singole pdf
fondo
∆E
∆E
| cos θH |
F
∆t
1
| cos θH |
-0.0004
1
F isher
∆t
0.0125
-0.0203
-0.0202
-0.0043
1
0.0148
1
Tabella A-6. Coefficienti di correlazione lineare delle variabili del fondo di B 0 → φ(K + K − )KL0 . Le correlazioni
con ∆E sono state stimate sul campione fuori risonanza e quelle restanti sulla sideband di ∆E. .
M ARCO V IGNATI
A.3 B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0
A.3
125
B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0
A.3.1 Parametri delle pdf
Sono riportati i valori dei parametri di tutte le pdf con i rispettivi errori e coefficienti di correlazione.
Parametro
Valore
Errore+
Errore-
Correlazione
0.051
−0.18 · 10−4
0.80
0.37
∆E
α
x0
1.198
3.67 · 10−4
0.185
0.71 · 10−4
3.35
3.017 · 10−3
0.32
0.148 · 10−3
−0.63
−0.058 · 10−3
0.78
0.47
c/a
34
29
37
23
−13
0.87
b/a
−11
0.87
N
σ
H
F
m
0.262
0.021
0.021
0.92
σ1
σ2
0.204
0.432
0.013
0.013
−0.013
−0.013
0.83
0.83
−0.069
−0.0002
0.84
0.26
mφ
α
m
1.506
1.0223
0.062
0.0002
N
σ
0.67
9.67 · 10−3
0.16
0.21 · 10−3
−0.12
−0.20 · 10−3
0.84
0.36
Tabella A-7. Parametri per le pdf del segnale di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0
A.3.2 Correlazione tra le variabili della funzione di verosimiglianza
A.3.3 Sistematiche
Sono riportati gli scarti degli eventi di segnale dovuti alla somma dell’ errore positivo(colonna sinistra) o negativo
(colonna destra) per ogni singolo parametro. Il fit gaussiano per il fondo di F ha riportato i seguenti valori:
PARAMETRI
DELLE SINGOLE
pdf
126
Parametri delle singole pdf
Parametro
Valore
Errore+
Errore-
Correlazione
∆Emax
5.29
costante
∆E0
ξ
−0.01
−20.3
+6.0
costante
−6.0
−
a/b
0.19
0.18
−0.15
−
−0.030
−0.203
0.84
0.82
∆E
m1
m2
σ1
σ2
f
H
F
−0.176
−0.417
0.040
0.094
0.360
0.65
0.028
0.23
0.79
0.12
−0.035
−0.10
0.89
0.93
−0.19
0.97
−0.0024
0.60
mφ
m
1.0235
0.0025
c/a
b/a
−15.67
15.49
0.52
0.55
f
0.894
0.024
Tabella A-8.
−0.52
−0.55
−0.024
0.96
0.96
0.63
Parametri per le pdf del fondo di B → φ(KS0 KL0 )KS0
0
segnale
mφ
∆E
| cos θH |
F
∆t
mφ
∆E
1
0.18
1
| cos θH |
F
∆t
-0.168
-0.081
-0.027
-0.035
-0.038
-0.021
1
0.025
1
0.0036
-0.0044
1
Tabella A-9. Coefficienti di correlazione lineare per le variabili del segnale di B 0 → φ(K + K − )KL0 stimati sul
campione di segnale Monte Carlo. .
M ARCO V IGNATI
A.3 B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0
127
fondo
mφ
mφ
∆E
1
-0.22
| cos θH |
∆t
-0.022
-0.047
-0.073
0.14
0.14
-0.19
1
0.012
1
-0.0037
-0.051
1
∆E
F
| cos θH |
F
1
∆t
Tabella A-10. Coefficienti di correlazione lineare delle variabili del fondo di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 . Le correlazioni
tra ∆E e le altre variabili sono state calcolate sul campione di dati fuori risonanza, le altre sui dati appartenenti alla
sideband di ∆E..
parametro
scarto+
scarto-
parametro
Segnale
scarto+
scarto-
fondo
∆E
α
-0.062
-0.031
x0
N
-0.0066
-0.022
-0.049
0.0093
σ
0.14
-0.11
a
0.037
-0.087
b
-0.12
0.024
m
σ1
-0.0017
0.053
-0.068
-0.097
σ2
0.13
-0.22
H
F
ξ
1.3
-1.2
a
-0.21
0.21
m1
m2
-0.72
-0.94
0.57
1.73
σ1
σ2
-0.44
-2.8
0.53
1.84
f
1.1
-0.88
mφ
α
-0.18
0.16
m
0.062
-0.049
m
N
0.017
-0.19
-0.072
0.14
a
b
-0.18
-0.18
0.59
0.65
σ
-0.0051
-0.049
f
0.14
-0.23
Tabella A-11. Scarto del numero di eventi di segnale aumentando (scarto+) o diminuendo (scarto-) di una σ i parametri
delle singole pdf di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 .
PARAMETRI
DELLE SINGOLE
pdf
128
M ARCO V IGNATI
Parametri delle singole pdf
B
Fit dipendente dal tempo
B.1 Parametri per le pdf del fondo
Parametro
B 0 → φ(K + K − )KS0
B 0 → φ(K + K − )KL0
B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0
CoreSigma
µ (fisso)
0.46 ± 0.11
0
0.292 ± 0.015
0
0.29 ± 0.22
0
OutM ean (fisso)
OutSigma (fisso)
0
8
0
0
0
8
F Out
T ailM ean
0.107+0.014
−0.013
−0.01 ± 0.25
0.033 ± 0.091
−0.56 ± 0.15
+0.042
0.204−0.041
−0.02+0.59
−0.65
0.093+0.045
−0.046
0.971+0.060
−0.063
0.0905 ± 0.0069
0.746 ± 0.039
+0.094
0.211−0.097
+0.25
0.71−0.29
CoreBias (fisso)
T ailSigma
F T ail
τ
0
−0.66+0.16
−0.23
0
3.059 ± 8.15
Tabella B-1. Parametri delle pdf di fondo di ∆t.
B.2 Toy Monte Carlo e Mock Fit.
0
+0.91
3.46−0.73
130
Fit dipendente dal tempo
htemp
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
htemp
30
Nent = 500
Nent = 500
Mean = -0.1017
Mean = 0.08176
RMS = 0.9804
Under =
Over =
0
Integ =
500
RMS = 1.167
25
0
Chi2 / ndf = 76.44 / 68
Under =
20
Prob = 0.228
= -0.0288 ± 0.04986
Sigma
= 0.9558 ± 0.04579
0
Integ =
500
Chi2 / ndf = 58.16 / 63
Prob = 0.6491
Constant = 12.34 ± 0.7895
Mean
0
Over =
Constant = 17.76 ± 1.146
15
Mean
= -0.02592 ± 0.05145
Sigma
= 0.9887 ± 0.04664
10
5
-3
-2
-1
0
1
2
0
-4
3
pull on N sig
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
pull on S
htemp
Nent = 500
Mean = 0.01773
RMS = 1.137
Under =
0
Over =
0
Integ =
500
Chi2 / ndf = 49.2 / 56
Prob = 0.728
Constant = 18.38 ± 1.155
-4
-2
0
2
Mean
= -0.04266 ± 0.04908
Sigma
= 1.009 ± 0.04479
4
pull on C
Figura B-1. Toy Monte Carlo da 500 esperimenti per il fit dipendente dal tempo di B 0 → φ(K + K − )KS0 : pull per gli
eventi di segnale, per S e C.
htemp
Entries
45
0.09579
RMS
1.045
Underflow
40
0
Integral
1000
35
χ / ndf
30
Constant
2
Entries
35
0.7648
37.58 ± 1.51
Mean
0.1034 ± 0.0331
Sigma
0.9931 ± 0.0244
20
-0.07096
RMS
1.088
Underflow
30
0
Overflow
0
Integral
51.82 / 60
Prob
1000
Mean
0
Overflow
25
htemp
1000
Mean
χ2 / ndf
25
1000
92.02 / 74
Prob
Constant
Mean
20
Sigma
0.07643
28.88 ± 1.18
-0.07686 ± 0.03475
1.021
1.021±±0.0250
0.025
15
15
10
10
5
5
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
pull on S
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
pull on C
Figura B-2. Toy Monte Carlo da 500 esperimenti per il fit dipendente dal tempo di B 0 → φ(K + K − )KL0 : pull per S
e C.
M ARCO V IGNATI
B.2 Toy Monte Carlo e Mock Fit.
131
Nent = 300
Nent = 300
Mean = -0.1561
35
Mean = 0.2053
RMS = 1.029
Under =
30
RMS = 1.132
0
Over =
0
Integ =
300
Chi2 / ndf = 33.6 / 21
25
Prob = 0.03994
Under =
Over =
1
30
Integ =
299
Mean
= -0.1445 ± 0.06248
Sigma
= 0.9431 ± 0.04952
15
Prob = 0.5023
Constant = 25.49 ± 2.035
20
Mean
= 0.1806 ± 0.07272
Sigma
= 1.081 ± 0.05766
15
10
10
5
5
0
-4
0
Chi2 / ndf = 23.3 / 24
25
Constant = 28.23 ± 2.259
20
35
-3
-2
-1
0
0
-4
1
2
4
+3
pull on N ( φ (K K-)KS )
-3
-2
-1
0
1
2
Nent = 300
Nent = 300
Mean = -0.05494
RMS = 1.003
30
Under =
25
0
Integ =
300
RMS = 0.08538
Under =
30
Chi2 / ndf = 17.08 / 21
Prob = 0.7061
25
Constant = 29.68 ± 2.279
20
Mean = 0.4654
35
0
Over =
3
4
pull on S
Mean
= -0.06889 ± 0.05721
Sigma
= 0.9526 ± 0.0472
0
Over =
1
Integ =
299
20
15
15
10
10
5
0
-4
5
-3
-2
-1
0
1
2
0
0.1
3
4
pull on C
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
error on S
Nent = 300
Mean = 0.3215
40
RMS = 0.0448
35
Under =
30
0
Over =
2
Integ =
298
25
20
15
10
5
0
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45 0.5
error on C
Figura B-3. Mock Fit da 100 esperimenti per il fit dipendente dal tempo di B 0 → φ(K + K − )KS0 : le prime 4
distribuzioni rappresentano i pull per gli eventi di segnale, per S e per C, le ultime due le distribuzioni dell’errore su
S eC.
F IT
DIPENDENTE DAL TEMPO
132
Fit dipendente dal tempo
Entries
100
Mean
1.008
Underflow
14
0
Overflow
χ2 / ndf
10
Constant
0.8026
Constant
8
0.976 ± 0.096
9.294 ± 1.331
Mean
0.0811 ± 0.1024
Sigma
0.9308 ± 0.0917
6
6
4
4
2
2
0
-4
0
13.67 / 19
Prob
8.839 ± 1.247
0.0546 ± 0.1106
Sigma
0
100
χ2 / ndf
10
0.6388
Mean
1.028
Integral
14.4 / 17
Prob
0.1575
RMS
Overflow
100
12
100
Mean
Underflow
12
0
Integral
8
Entries
-0.03852
RMS
-3
-2
-1
0
0
-4
1
2
3
4
+ pull on N φ (K K )KL
Entries
0
1
2
0
Overflow
16
0
Integral
100
2
χ / ndf
0.9691
Constant
Mean
Sigma
-0.02741
± 0.11905
1.133
RMS
0.5039
Overflow
Integral
12
9.035 ± 1.237
100
Mean
Underflow
14
7.206 / 16
Prob
3
4
pull on S
Entries
0.9839
Underflow
8
-1
-0.05037
RMS
10
-2
100
Mean
12
-3
0
1
99
10
1.054 ± 0.111
6
8
6
4
4
2
0
-4
2
-3
-2
-1
0
1
2
0
0
3
4
pull on C
0.5
1
1.5
Entries
25
2.5
3
3.5
4
error on S
100
Mean
0.834
RMS
0.411
Underflow
Overflow
20
2
Integral
0
1
99
15
10
5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
error on C
Figura B-4. Mock Fit da 100 esperimenti per il fit dipendente dal tempo di B 0 → φ(K + K − )KL0 : le prime 4
distribuzioni rappresentano i pull per gli eventi di segnale, per S e per C, le ultime due le distribuzioni dell’errore su
S eC.
M ARCO V IGNATI
B.2 Toy Monte Carlo e Mock Fit.
133
Entries
100
Mean
RMS
10
Entries
-0.009767
1.098
Underflow
0
Overflow
0
Integral
100
8
χ2 / ndf
10.83 / 17
6
Mean
Prob
12
Sigma
0.2223
RMS
1.132
Underflow
0
1
Overflow
10
Integral
99
χ2 / ndf
20.27 / 16
Prob
0.865
Constant
100
Mean
8.335 ± 1.207
0.2082
6.231 ± 1.097
Constant
8
0.02047 ± 0.12650
0.05468 ± 0.24996
Mean
1.097 ± 0.128
1.455 ± 0.351
Sigma
6
4
4
2
0
-4
2
-3
-2
-1
0
1
0
-4
2
3
4
0
pull on N φ K
Entries
Mean
1.092
Underflow
0
Overflow
0
Integral
100
χ2 / ndf
17.26 / 20
Prob
8
Constant
Sigma
6
-1
0
1
2
3
4
pull on S
Mean
0.4046
20
RMS
0.06278
Underflow
Overflow
16
6.962 ± 1.075
100
22
18
0.6361
Mean
-2
Entries
0.05543
RMS
10
-3
100
Integral
0
0
100
14
-0.01003 ± 0.12163
12
0.989 ± 0.133
10
8
4
6
4
2
2
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0
0.2
3
4
pull on C
0.3
0.4
0.5
Entries
10
0.7
0.8
error on S
100
Mean
0.2898
RMS
0.03745
Underflow
Overflow
8
0.6
Integral
0
0
100
6
4
2
0
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45 0.5
error on C
Figura B-5. Mock Fit da 100 esperimenti per il fit combinato. Le prime 3 distribuzioni rappresentano i pull per gli
eventi di segnale, per S e per C, le ultime due le distribuzioni dell’errore su S eC.
F IT
DIPENDENTE DAL TEMPO
134
B.3 Parametri del fit sui dati
M ARCO V IGNATI
Fit dipendente dal tempo
B.3 Parametri del fit sui dati
135
Parametro
Valore
C
DeF on(B 0 → φ(K + K − )KS0 )P 1Cat2
−0.08 ± 0.32
−2.24 ± 0.85
DeF on(B 0 → φ(K + K − )KS0 )P 1N oT ag
DeF on(B 0 → φ(K + K − )KL0 )SlopeCat2
−0.96 ± 0.42
−27.4 ± 4.1
DeF on(B 0 → φ(K + K − )KS0 )P 1Cat3
DeF on(B 0 → φ(K + K − )KS0 )P 1Cat4
DeF on(B 0 → φ(K + K − )KL0 )SlopeCat3
0
+
−
DeF on(B → φ(K K )KL0 )SlopeCat4
DeF on(B 0 → φ(K + K − )KL0 )SlopeN oT ag
DtF on(B 0 → φ(K + K − )KL0 )µCat1
DtF on(B 0 → φ(K + K − )KL0 )µCat2
DtF on(B 0 → φ(K + K − )KL0 )µCat3
DtF on(B 0 → φ(K + K − )KL0 )µCat4
DtF on(B 0 → φ(K + K − )KS0 )µCat1
DtF on(B 0 → φ(K + K − )KS0 )µCat2
DtF on(B 0 → φ(K + K − )KS0 )µCat3
DtF on(B 0 → φ(K + K − )KS0 )µCat4
F sF on(B 0 → φ(K + K − )KS0 )M ean1
F sF on(B 0 → φ(K + K − )KS0 )M ean2
F sF on(B 0 → φ(K + K − )KS0 )Sigma1
F sF on(B 0 → φ(K + K − )KS0 )Sigma2
F sF on(B 0 → φ(K + K − )KL0 )M ean1
F sF on(B 0 → φ(K + K − )KL0 )M ean2
F sF on(B 0 → φ(K + K − )KL0 )Sigma1
F sF on(B 0 → φ(K + K − )KL0 )Sigma2
HelF on(B 0 → φ(K + K − )KS0 )P 1
HelF on(B 0 → φ(K + K − )KL0 )Exp
HelF on(B 0 → φ(K + K − )KL0 )P 1
M esF on(B 0 → φ(K + K − )KS0 )SlopeCat2
M esF on(B 0 → φ(K + K − )KS0 )SlopeCat3
M esF on(B 0 → φ(K + K − )KS0 )SlopeCat4
M esF on(B 0 → φ(K + K − )KS0 )SlopeN oT ag
S
bkg(B → φ(K + K − )KL0 )N
0
F on(B 0 → φ(K + K − )KL0 )T agF racCat1
F on(B 0 → φ(K + K − )KL0 )T agF racCat2
F on(B 0 → φ(K + K − )KL0 )T agF racCat3
0
+
−
F on(B → φ(K K )KL0 )T agF racCat4
F on(B 0 → φ(K + K − )KS0 )N
F on(B 0 → φ(K + K − )KS0 )T agF racCat1
F on(B 0 → φ(K + K − )KS0 )T agF racCat2
F on(B 0 → φ(K + K − )KS0 )T agF racCat3
F on(B 0 → φ(K + K − )KS0 )T agF racCat4
F on(B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 )
sigN
Tabella B-2.
−1.62 ± 0.68
−0.98 ± 0.71
−33.4 ± 3.6
−27.3 ± 3.2
−28.8 ± 2.4
0.33 ± 0.12
0.04 ± 0.37
0.11 ± 0.32
0.039 ± 0.029
0.33 ± 0.38
−0.143 ± 0.091
0.034 ± 0.072
0.116 ± 0.067
0.327 ± 0.022
0.366 ± 0.032
0.450 ± 0.013
0.257 ± 0.020
0.185 ± 0.052
0.2418 ± 0.0081
0.235 ± 0.031
0.4380 ± 0.0049
0.34 ± 0.14
6.30 ± 1.6
0.106 ± 0.059
−26 ± 10
−25.1 ± 8.1
−29.4 ± 7.6
−26.1 ± 4.7
0.66 ± 0.36
5302 ± 73
0.0132 ± 0.0016
0.1420 ± 0.0048
0.1852 ± 0.0054
0.2321 ± 0.0058
1126 ± 34
0.0054 ± 0.0022
0.1066 ± 0.0093
F IT DIPENDENTE DAL TEMPO
0.172 ± 0.011
0.197 ± 0.012
829 ± 29
1030 ± 134
136
Fit dipendente dal tempo
B.4 Tabelle delle sistematiche
B 0 → φ(K + K − )KL ∆E
M ARCO V IGNATI
∆ S(+)
∆ S(−)
∆ C(+)
∆ C(−)
σ
0.000674
-0.000666
0.000217
-0.000218
α
BB mean
4.29e-05
0.000109
-4.01e-05
-9.79e-05
0.000149
0.000266
-0.000155
-0.00027
BB σ
BB α
0.000289
1.9e-05
-0.000297
-1.96e-05
0.000123
3.31e-06
-0.000119
-3.41e-06
BB N
0.000282
-0.000238
9.25e-05
-0.0001
total
7.95E-04
7.74E-04
4.05E-04
4.11E-04
B.4 Tabelle delle sistematiche
137
B 0 → φ(K + K − )KL ∆t B Background
∆ S(+)
∆ S(−)
∆ C(+)
∆ C(−)
Dilution Cat 1
Dilution Cat. 2
-6.23e-08
1.71e-06
-5.7e-07
-2.34e-06
1.17e-06
4.66e-06
-1.26e-06
-4.74e-06
Dilution Cat. 3
Dilution Cat. 4
9.32e-08
4.35e-07
-7.26e-07
-1.07e-06
1.5e-06
2.02e-06
-1.59e-06
-2.1e-06
∆Dilution Cat. 1
∆Dilution Cat. 2
6.05e-05
7.02e-05
-6.07e-05
-7.07e-05
0.000289
0.000164
-0.00029
-0.000164
∆Dilution Cat. 3
∆Dilution Cat. 4
2.87e-05
2.88e-06
-2.93e-05
-3.52e-06
0.000109
8.72e-06
-0.00011
-8.81e-06
tag Cat.1
tag Cat.2
1.09e-05
4.22e-05
-1.05e-05
-4.27e-05
7.98e-06
6.4e-05
-9.54e-06
-6.42e-05
tag Cat.3
tag Cat.4
1.02e-05
2.59e-05
-1.08e-05
-2.65e-05
1.04e-05
9.41e-06
-1.05e-05
-9.51e-06
µ Cat.1
9.84e-05
-9.78e-05
0.000468
-0.00047
µ Cat.2
µ Cat.3
8.7e-05
2.5e-05
-8.75e-05
-2.56e-05
0.000203
9.56e-05
-0.000203
-9.57e-05
µ Cat.4
bcore Cat. 1
1.77e-05
0.000248
-1.83e-05
-0.000242
4.93e-05
-9.51e-06
-4.93e-05
-4.49e-06
bcore Cat. 2
bcore Cat. 3
0.000108
2.87e-05
-0.00011
-2.81e-05
0.000105
1.29e-05
-0.000104
-1.28e-05
bcore Cat. 4
bcore N oT ag
7.97e-05
1.11e-06
-8.19e-05
-1.85e-06
4.18e-05
2.87e-07
-4.15e-05
-3.75e-07
σcore
btail
-3.19e-06
0
-2.14e-07
0
0.000133
0
-0.000129
0
ftail
fout
5.97e-07
2.55e-05
-1.22e-06
-2.39e-05
9.25e-07
0.000314
-1.02e-06
-0.000323
τ
∆m
1.43e-05
3.16e-07
-1.53e-05
-3.16e-07
5.87e-06
4.32e-08
-5.47e-06
-4.32e-08
S
0.0237
-0.0224
0.00287
-0.00276
C
0.00748
-0.00494
0.0327
-0.0368
total
2.49E-02
2.29E-02
3.28E-02
3.69E-02
F IT
DIPENDENTE DAL TEMPO
138
Fit dipendente dal tempo
B 0 → φ(K + K − )KL ∆t Continuum
∆ S(+)
∆ S(−)
∆ C(+)
∆ C(−)
σcore
τ
0.000195
0.0012
-0.000193
-0.000746
0.000311
0.000241
-0.000314
-0.000136
meantail
σtail
0.00121
0.00687
-0.00119
-0.00687
0.000675
0.00892
-0.000665
0.0255
meanout
σout
0
0
0
0
0
0
0
0
fout
0.00266
-0.0019
0.00425
-0.00536
ftail
0.000181
-0.000118
5.86e-05
-5.64e-05
total
7.57E-03
7.27E-03
9.91E-03
1.04E-02
B 0 → φ(K + K − )KL F isher
∆ S(+)
∆ S(−)
∆ C(+)
∆ C(−)
mean
0.000727
-0.000726
0.00203
-0.00204
σ lef t
0.000189
-0.000183
0.00149
-0.00153
σ right
BB f
0.000331
0.00025
-0.000327
-0.000244
0.000964
0.000583
-0.000966
-0.000608
BB mean1
BB mean2
0.000159
0.000167
-0.000162
-0.000167
0.00014
0.000466
-0.000138
-0.000461
BB sigma1
BB sigma2
9.83e-05
0.000155
-4.09e-05
-0.000158
3.95e-05
0.00113
-5.18e-05
-0.00113
total
9.07E-04
8.99E-04
3.02E-03
3.05E-03
B 0 → φ(K + K − )KL cos(θHEL )
M ARCO V IGNATI
∆ S(+)
∆ S(−)
∆ C(+)
∆ C(−)
P1
0.0007
-0.000812
0.00109
-0.00121
P2
P3
0.00233
0.00339
-0.002
-0.003
0.00151
0.000679
-0.00173
-0.000749
BB P 1
BB P 2
0.00106
0
-0.00126
0
0.000844
0
-0.000731
0
BB P 3
BB P 4
0.00407
0.00384
-0.00592
-0.0052
0.00221
0.0018
-0.00165
-0.0014
total
7.06E-03
8.79E-03
3.57E-03
3.20E-03
B.4 Tabelle delle sistematiche
139
B 0 → φ(K + K − )KS ∆E
∆ S(+)
∆ S(−)
∆ C(+)
∆ C(−)
Area1
0.000731
-0.000718
0.00121
-0.00123
mean1
σ1
0.000379
0.000427
-0.000385
-0.000469
5.05e-05
0.000123
-4.7e-05
-9.03e-05
σ2
BB Area1
0.00044
0.00144
-0.000408
-0.00144
0.000316
8.26e-05
-0.000348
-7.55e-05
BB mean1
BB σ1
0.00025
0.000357
-0.000238
-0.000316
0.000178
0.000734
-0.000166
-0.00082
BB σ2
0.00161
0.00247
0.000479
-0.000249
total
2.43E-03
3.06E-03
1.55E-03
1.55E-03
F IT
DIPENDENTE DAL TEMPO
140
Fit dipendente dal tempo
B 0 → φ(K + K − )KS ∆t B Background
M ARCO V IGNATI
∆ S(+)
∆ S(−)
∆ C(+)
∆ C(−)
Dilution Cat 1
3.14e-07
-9.47e-07
4.01e-07
-4.88e-07
Dilution Cat. 2
Dilution Cat. 3
3.5e-06
8.81e-07
-4.13e-06
-1.51e-06
8.07e-06
3.13e-06
-8.15e-06
-3.21e-06
Dilution Cat. 4
∆Dilution Cat. 1
-6.17e-07
0.00015
-1.55e-08
-0.000151
4e-06
0.000106
-4.09e-06
-0.000106
∆Dilution Cat. 2
0.000133
-0.000133
0.000282
-0.000283
∆Dilution Cat. 3
∆Dilution Cat. 4
8.44e-05
9.66e-07
-8.49e-05
-1.6e-06
0.000224
1.72e-05
-0.000224
-1.73e-05
tag Cat.1
tag Cat.2
5.92e-05
0.00032
-5.98e-05
-0.00032
0.000118
9.96e-05
-0.000118
-9.99e-05
tag Cat.3
tag Cat.4
5.12e-05
2.02e-05
-5.17e-05
-2.05e-05
3.22e-05
8.05e-05
-3.24e-05
-8.02e-05
µ Cat.1
µ Cat.2
0.000243
0.000165
-0.000244
-0.000164
0.000172
0.00035
-0.000172
-0.00035
µ Cat.3
µ Cat.4
7.37e-05
6.94e-06
-7.43e-05
-7.47e-06
0.000196
9.69e-05
-0.000196
-9.68e-05
bcore Cat. 1
bcore Cat. 2
0.000181
0.00033
-0.000187
-0.000341
3.68e-06
5e-05
-1.02e-06
-5.31e-05
bcore Cat. 3
bcore Cat. 4
7.01e-05
4.89e-06
-7.03e-05
-4.45e-06
1.06e-05
2.02e-06
-1.17e-05
-1.27e-06
bcore N oT ag
5.19e-06
-5.95e-06
-5.02e-08
-3.6e-08
σcore
btail
0.000316
1.54e-05
-0.000328
-1.55e-05
3.04e-05
2.82e-06
-3.06e-05
-2.83e-06
σtail
ftail
0
3.34e-05
0
-3.41e-05
0
3.73e-06
0
-3.82e-06
fout
τ
0.000103
0.000279
-0.000106
-0.000274
2.91e-05
3.42e-05
-3.13e-05
-3.37e-05
∆m
S
3.16e-07
0.0441
-3.16e-07
-0.0435
4.32e-08
0.000397
-4.32e-08
-0.000343
C
0.00103
-0.000497
0.0464
-0.0477
total
4.41E-02
4.35E-02
4.64E-02
4.77E-02
B.4 Tabelle delle sistematiche
141
B 0 → φ(K + K − )KS ∆t Continuum
∆ S(+)
∆ S(−)
∆ C(+)
∆ C(−)
σcore
τ
0.00257
0.00655
-0.00342
-0.00641
0.0017
0.0019
-0.00147
-0.00208
meantail
σtail
0.000479
0.000286
-0.000656
-0.000693
0.002
0.000428
-0.00183
-0.000632
fout
0.00171
-0.00162
0.000261
-0.000269
ftail
0.00295
-0.00293
0.0012
-0.00121
total
7.84E-03
8.06E-03
3.49E-03
3.43E-03
B 0 → φ(K + K − )KS F isher
∆ S(+)
∆ S(−)
∆ C(+)
∆ C(−)
mean
lef t σ
0.000878
0.000408
-0.000886
-0.000401
0.000532
1.39e-05
-0.000516
-1.54e-05
right σ
BB mean
0.00128
2.2e-05
-0.00131
-1.78e-05
0.00115
6.22e-05
-0.00112
-5.95e-05
BB lef t σ
BB right σ
0.000235
5.69e-05
-0.000229
-5.87e-05
4.27e-05
6.2e-05
-4.68e-05
-6e-05
total
1.62E-03
1.65E-03
1.27E-03
1.24E-03
B 0 → φ(K + K − )KS cos(θHEL )
∆ S(+)
∆ S(−)
∆ C(+)
∆ C(−)
P1
0.000255
-0.000267
7.44e-05
-7.33e-05
P2
BB P 1
2e-05
0.000447
-4.45e-05
-0.000418
0.000127
6.31e-05
-5.95e-05
-5.86e-05
total
1.62E-03
1.67E-03
1.40E-03
1.35E-03
F IT
DIPENDENTE DAL TEMPO
142
Fit dipendente dal tempo
B 0 → φ(K + K − )KS mES
∆ S(+)
∆ S(−)
∆ C(+)
∆ C(−)
mean
σ
0.000558
0.000616
-0.000565
-0.000634
0.000133
0.000783
-0.000134
-0.000778
α
N
0.000502
0.000385
-0.000529
-0.000433
0.000688
0.000628
-0.000655
-0.000572
BB mean
BB σ
0.000843
0.000908
-0.000871
-0.000874
0.000551
0.000377
-0.000543
-0.000387
BB α
2.17e-05
-0.000263
0.000114
-2.59e-05
total
1.62E-03
1.67E-03
1.40E-03
1.35E-03
B 0 → φ(KS KL )KS ∆E
∆ S(+)
M ARCO V IGNATI
∆ S(−)
∆ C(+)
∆ C(−)
α
0.000264
-5.84e-05
0.00203
-0.00178
mean
N
0.000786
0.000471
-0.000734
-0.000292
0.000769
0.000696
-0.000726
-0.000507
σ
0.00222
-0.00187
0.00272
-0.00303
Continuum ξ
0.000931
-0.000865
0.00129
-0.000984
total
2.59E-03
2.21E-03
3.78E-03
3.76E-03
B.4 Tabelle delle sistematiche
143
B 0 → φ(KS KL )KS ∆t Continuum
∆ S(+)
∆ S(−)
∆ C(+)
∆ C(−)
σcore
0.00211
-0.00203
0.00683
-0.00645
fout
ftail
0.000863
0.00342
-0.000846
-0.00356
0.000803
0.00296
-0.00084
-0.00293
meantail
σtail
0.000376
0.000374
-0.000485
-0.000766
0.000847
0.000682
-0.000731
-0.000718
τ
µ Cat. 1
0.00521
0.00021
-0.00473
-0.000204
0.0123
0.00141
-0.00717
-0.00145
µ Cat. 2
µ Cat. 3
0.000722
0.000248
-0.000724
-0.000248
0.00226
0.00141
-0.00227
-0.0014
µ Cat. 4
tag Cat.1
0.000202
0.000131
-0.000202
-0.000129
0.000811
0.000985
-0.000806
-0.00101
tag Cat.2
tag Cat.3
0.000129
0.000503
-0.000132
-0.000506
0.000728
0.000304
-0.00073
-0.00029
tag Cat.4
fGood
7.35e-05
0.000403
-7.35e-05
-0.000398
0.000194
0.000374
-0.00019
-0.000363
SignalfGood
0.000153
-0.000159
0.000321
-0.000296
total
6.74E-03
6.47E-03
1.48E-02
1.07E-02
B 0 → φ(KS KL )KS F isher
∆ S(+)
∆ S(−)
∆ C(+)
∆ C(−)
mean
0.00214
-0.00197
0.000328
-0.00034
σ lef t
σ right
0.00118
0.00185
-0.00112
-0.00154
0.000538
0.000228
-0.000642
-0.000188
Continuum mean1
0.00161
-0.00149
0.00121
-0.000747
Continuum mean2
Continuum σ 1
0.00706
0.00198
-0.0053
-0.00147
0.00249
0.00388
-0.00173
-0.00324
Continuum σ 2
Continuum f
0.0132
0.00578
-0.0098
-0.00701
0.00305
0.00405
-0.00278
-0.00416
total
1.00E-02
9.49E-03
6.99E-03
6.30E-03
F IT
DIPENDENTE DAL TEMPO
144
Fit dipendente dal tempo
B 0 → φ(KS KL )KS cos(θHEL )
∆ S(+)
∆ S(−)
∆ C(+)
∆ C(−)
P1
P2
0.000631
0.00168
-0.00127
-0.000887
0.00042
0.000433
-0.000165
-0.000163
ContinuumP 1
0.000978
-0.00124
0.00039
-0.000275
total
2.04E-03
1.98E-03
7.18E-04
3.60E-04
B 0 → φ(KS KL )KS mφ
M ARCO V IGNATI
∆ S(+)
∆ S(−)
∆ C(+)
∆ C(−)
α
mean
0.000772
0.000326
-0.000741
-0.000331
0.000961
0.000468
-0.000869
-0.00045
N
σ
0.000815
0.000205
-0.000924
-0.00021
0.000749
0.000295
-0.000536
-0.000276
mean
P1
0.000887
0.00152
-0.000878
-0.000753
0.00131
0.00144
-0.00144
-0.00323
P2
f
0.0016
0.000355
-0.000732
-0.000354
0.0014
0.000884
-0.00344
-0.00085
total
2.68E-03
1.89E-03
2.88E-03
5.14E-03
Ringraziamento
In primis ringrazio “mamma” per tutto da zero a 23 anni. Perchè senza di lei non sarei arrivato a questo punto, e non
sarei arrivato a tanti punti prima. Grazie. Papà , per avermi fatto vedere cose belle e per avermi aiutato con quelle
brutte. Corrado e Giulia, per essere la mia famiglia. I miei nonni, per la mia infanzia e per essere ancora con me.
Questa bellissima tesi non sarebbe stata bellissima senza il Prof. Ferroni, che mi ha fatto conscere la fisica vera. Senza
Gianluca, onnisciente, che ha insegnato, che è sempre stato paziente, che ha risposto alle domande “C’ho il baco in
Beta”, “ma la risoluzione...”, “e’ biasato”. Senza Maurizio, che mi ha accolto a SLAC imprecando contro la segretaria
della Guest House, che ha sempre accolto i momenti di svago con i suoi “Che te ridi? Hai sblindato? quanto viene S?
la Super Simmetria? Girati e lavora!”, che mi ha sempre dato fiducia, che ha mostrato come i problemi a volte non
sono problemi. Senza Baffetto, compagno di sventure, con il quale sono stati condivise tutte le gioie e tutti i bias. Con
il quale abbiamo fatto il taglio e cucito su tutti, nessuno si senta escluso, gli elementi della baita. Senza l’inventore
di “A livello de” , “dadi”, “me prude”, “mano a paletta”, e chi più ne ha più ne metta, sempre sorridente ma sempre
“sfaciolato”. Insomma senza la “baita”, che ha sopportato “aggi”, tutte le volte che si è comportato come “aggi”. E
senza il calcolo, come sarebbe stata la mia vita? Grazie calcolo.
Grazie ai miei amici, per primi Veronica e Luca, che mi sono sempre stati vicini, grazie.
146
M ARCO V IGNATI
Ringraziamento
Elenco delle figure
1-1 Triangoli Unitari ottenuti dalle relazioni 1.18 (caso a), 1.19 (caso b), 1.20 (caso c). . . . . . . . . . .
7
1-2 Limiti imposti sul valore di (ρ, η) dalle misure indirette. Le curve rappresentano il caso ideale di misure
infinitamente precise, ottenute prendendo i valori centrali delle varie quantità. L’area rappresentata è
quella selezionata con l’analisi di [6]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1-3 Limiti imposti al valore di (ρ, η) dalle misure indirette e da sin2β. Ogni banda rappresenta l’indeterminazione sul limite imposto, dovuto alle incertezze con cui sono note le varie quantità. . . . . . . . .
10
1-4 Aree selezionate dall’analisi del Triangolo Unitario nel piano ρη, corrispondenti allo stato dell’analisi
per gli anni 1988, 1995 ed estate 2000. Nell’area 2003 è stata aggiunta la misura d sin 2β. . . . . . .
11
1-5 Violazione di CP nel mescolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1-6 Schema per il decadimento dei mesoni B 0 e B 0 alla B Factory BABAR. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1-7 Violazione di CP nell’interferenza tra decadimento e mescolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1-8 Decadimenti B 0d → charmonio + K 0 (K ∗0 ) (Tipo I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1-9 Diagrammi a pinguino responsabili del decadimento B 0 → φK 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
d
d
1-10 Regioni permesse nel piano Re(δ23
)AB − Im(δ23
)AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1-11 Correlazione tra C ed S per diverse inserzioni di massa per il decadimento B → φK S0 . . . . . . . . .
24
2-1 Trasformazione di Lorentz a BABAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2-2 Sezione longitudinale del rivelatore BABAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2-3 Sezione trasversale del rivelatore BABAR
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2-4 Vista trasversale della zona di interazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2-5 Luminosità integrata ottenuta da PEP II e registrata da BABARdal 1999 (sinistra) e del Run 3 (destra).
29
2-6 Luminosità giornaliera integrata da PEP II e registrata da BABARtotale (sinistra) e del Run 3 (destra).
31
2-7
Risoluzione del SVT (layer più interno) sul singolo hit in funzione dell’angolo di incidenza della
traccia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2-8 Visione schematica del SVT : sezione trasversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2-9 Visione schematica del SVT : sezione longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2-10 Sezione longitudinale della DCH, le dimensioni sono espresse in mm. . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
148
ELENCO DELLE FIGURE
2-11 Rappresentazione schematica dei primi quattro super − layers. I numeri sulla destra indicano il
valore dell’angolo stereo (in mrad.) per ogni layer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2-12 Celle di drif t. Sono rappresentate le isocrone delle celle dei layers 3 e 4 di un super−layer assiale;
le curve sono quasi circolari in vicinanza dei fili di senso, ma diventano irregolari vicino ai fili di campo. 36
2-13 (a) Risoluzione sul singolo hit nella DCH. (b) Risoluzione sul dE/dx per elettroni Bhabha.
. . . .
37
2-14 Vista tridimensionale del DIRC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2-15 Schema del DIRC: zona di radiazione e regione di immagine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2-16 Ricostruzione di un anello Čerenkov nel DIRC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2-17 (a) Risoluzione sull’angolo Čerenkov ricostruito per il singolo fotone. (b) Risoluzione sulla differenza
tra il tempo di arrivo misurato ed aspettato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2-18 Sezione longitudinale dell’EM C (è mostrata soltanto la perte superiore) che mostra il posizionamento dei 56 anelli di cristalli. Il rivelatore è a simmetria assiale lungo l’asse z. Le dimensioni sono date
in mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2-19 Risoluzione dell’ EM C in funzione dell’energia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2-20 Schema di un cristallo dell’EM C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2-21 Vista dell’IFR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2-22 Sezione di un RP C planare con lo schema della connessione dell’HV. . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3-1 Spettro di impulso dei K carichi nel sistema del laboratorio, campione di segnale Monte Carlo di
B 0 → φ(K + K − )KL0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3-2 Perdita di energia dE/dx al variare dell’impulso della traccia carica nel rivelatore di vertice (sinistra)
e nella camera a deriva (destra) per diversi tipi di particella. Le curve continue rappresentano gli
andamenti tipici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3-3 Angolo Cerenkov misurato nel DIRC in funzione dell’impulso per un campione di riferimento di kaoni
(sinistra) e di pioni a(destra). Le curve continue sono gli andamenti tipici per diversi tipi di particelle.
Si nota come solo una piccola frazione di K e di π non segua l’andamento aspettato. . . . . . . . . .
50
0
3-4 Distribuzione della differenza tra angolo Cerenkov aspettato e osservato θ C − θC
per fotoni emessi
∗+
0 +
0
da kaoni carichi nei decadimenti di un campione di controllo D → D π (D → K − π + ). . . . .
51
3-5 Distribuzione della massa del KS0 → π + π − per KS0 provenienti dal mesone φ (sinistra) e per KS0
provenienti dal B, campione di Montecarlo B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3-6 Distribuzione dell’energia rilasciata nel calorimetro elettromagnetico dai K L0 generati per eventi di
segnale Monte Carlo (sinistra) e per il fondo (destra). L’istogramma rappresenta il Monte Carlo di
continuo, i punti i dati sulla risonanza fuori della regione di segnale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3-7 Distribuzione del momento di Zernike Z20 dei KL0 per eventi Monte Carlo B 0 → φ(K + K − )KL0
(sinistra) e per il fondo (destra). L’istogramma rappresenta il Monte Carlo di continuo, i punti i dati
sulla risonanza fuori della regione di segnale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
M ARCO V IGNATI
ELENCO DELLE FIGURE
149
3-8 Rappresentazione φ − θ di una regione del calorimetro su cui avviene il deposito di energia. Nella
figura sono indicate alcune delle variabili che definiscono la variabile LAT. . . . . . . . . . . . . . .
56
3-9 Distribuzione di LAT per cascate provocate da elettroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3-10 Distribuzione spaziale degli hit dei KL0 nelle zone barrel e forward del rivelatore IFR
. . . . . . . .
58
3-11 Molteplicità dei cluster 3D al variare dell’angolo θ, per eventi con più di un KL0 ricostruito . . . . . .
58
3-12 Distribuzione del numero di layer colpiti (sinistra) e del primo layer colpito (destra) da un K L0 per
eventi di segnale Monte Carlo B 0 → φ(K + K − )KL0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3-13 Probabilità del χ2 per l’associazione dei candidati IFR e EMC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
3-14 Efficienza di ricostruzione dei KL0 combinati IFR e EMC in funzione dell’impulso (sinistra) e della
direzione di volo (destra). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3-15 Distribuzione del selettore per i KL0 rivelati nel calorimetro elettromagnetico. In rosso il segnale
Monte Carlo per eventi di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 , in azzurro il continuo. . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3-16 Schema dell’ organizzazione dei piani di una rete neurale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
3-17 Singola unità della rete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
3-18 Distribuzioni di alcune variablili di input della rete neurale per il segnale Monte Carlo (linea) e per il
fondo Monte Carlo (punti). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
3-19 Distribuzioni di alcune variablili di input della rete neurale per il segnale Monte Carlo (linea) e per il
fondo Monte Carlo (punti). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
3-20 Distribuzioni di alcune variablili di input della rete neurale per il segnale Monte Carlo (linea) e per il
fondo Monte Carlo (punti). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
3-21 Massa invariante del sistema KK con PID NotAPion × SMS Tight per segnale MC (sinistra) ∆E
sideband (destra). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3-22 Distribuzione della massa invariante del sistema KS0 KL0 per eventi B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 e continuo
MonteCarlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
3-23 Distribuzione di ∆E nel caso di un KL0 nello stato finale, eventi di segnale MonteCarlo presi di
B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 e eventi di continuo Monte Carlo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
3-24 Sinistra: la distribuzione spaziale per eventi BB è approssimativamente isotropa. Destra: gli eventi
di continuo sono concentrati intorno ad un asse, detto asse di sfericit à . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3-25 Distribuzione di | cos(θSP H | per eventi di segnale Monte Carlo (istogramma continuo), e dati fuori
risonanza (tratteggiato), il taglio applicato corrisponde alla linea verticale. . . . . . . . . . . . . . .
73
3-26 Distribuzione di R2 per eventi Monte Carlo generici di tipo Υ (4S) e fondo qq. . . . . . . . . . . . .
74
3-27 Raffigurazione del sistema φK (sinistra) nel sistema di riferimento della B e del sistema KK nel
sistema di riferimento della φ (destra). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
3-28 Distribuzioni normalizzate di helicità nel caso di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 , eventi di segnale MonteCarlo
e ∆E sideband. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
ELENCO DELLE FIGURE
150
ELENCO DELLE FIGURE
3-29 Distribuzione delle efficienze di segnale e fondo in funzione del taglio sul Fisher per diversi insiemi di
variabili, eventi di segnale MonteCarlo per B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 e fondo continuo uu/dd/ss/cc . . .
76
4-1 Distribuzione di ∆E per eventi di tipo B → φK ∗ selezionati come B 0 → φ(K + K − )KS0 . . . . . . .
81
4-2 Ditribuzioni e fit delle variabili della funzione di verosimiglianza parametrizzate sul segnale Monte
Carlo di B 0 → φ(K + K − )KS0 . I parametri sono riportati in tabella A-1. . . . . . . . . . . . . . . .
82
4-3 Ditribuzioni e fit delle variabili della funzione di verosimiglianza per il fondo di B 0 → φ(K + K − )KS0 .
I parametri sono riportati in tabella A-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
4-4 Ditribuzioni e fit delle variabili della funzione di verosimiglianza per il fondo continuo B 0 B 0 di B 0 →
φ(K + K − )KS0 . I parametri sono riportati in tabella A-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
4-5 Distribuzioni per i pull di segnale (sinistra) e fondo (destra) generate da un toy Monte Carlo da 1000
esperimenti per B 0 → φ(K + K − )KS0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
4-6 Fit di verosimiglianza sui dati per B 0 → φ(K + K − )KS0 . Linea continua per la pdf totale, linea
tratteggiata per il fondo continuo e barrette verticali per il fondo B 0 B 0 . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
4-7 Projection plot per B 0 → φ(K + K − )KS0 . Linea continua per la pdf totale, linea tratteggiata per il
fondo continuo e B 0 B 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
4-8 Distribuzione della funzione di verosimiglianza per il fit sui dati di B 0 → φ(K + K − )KS0 . . . . . . .
87
4-9 Distribuzioni normalizzate per segnale e fondo della rete neurale di B 0 → φ(K + K − )KL0 . . . . . .
88
4-10 Ditribuzioni e fit delle variabili della funzione di verosimiglianza parametrizzate sul segnale Monte
Carlo di B 0 → φ(K + K − )KL0 . I parametri sono riportati in tabella A-4. . . . . . . . . . . . . . . .
89
4-11 Ditribuzioni e fit delle variabili della funzione di verosimiglianza parametrizzate sulla sideband di
B 0 → φ(K + K − )KL0 . I parametri sono riportati in tabella A-4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
4-12 Ditribuzioni e fit delle variabili della funzione di verosimiglianza parametrizzate sul fondo BB di
B 0 → φ(K + K − )KL0 . I parametri sono riportati in tabella A-4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4-13 Projection plot per B 0 → φ(K + K − )KL0 . Linea continua per la pdf totale, linea tratteggiata per il
fondo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4-14 Sinistra: distribuzione della rete neuraleper eventi di segnale Monte Carloe sideband di ∆E; Destra:
significanza statistica al variare del taglio sulla rete neurale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
4-15 Efficienza del segnale rispetto all’efficienza del fondo al variare dei tagli per fisher composto di soli
polinomi di Legendre e con l’aggiunta delle variabili per i KL0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
4-16 Distribuzioni e fit delle variabili della funzione di verosimiglianza parametrizzate sul segnale Monte
Carlo di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 . I parametri sono riportati in tabella A-7. . . . . . . . . . . . . . . . .
4-17 Distribuzioni e fit delle variabili della funzione di verosimiglianza per il fondo diB 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 ,
tutte le variabili sono parametrizzate sui dati appartenenti alla sideband di ∆E tranne ∆E stessa che
è stata parametrizzata sui dati fuori risonanza. I parametri sono riportati in tabella A-8. . . . . . . .
4-18 Distribuzioni per i pull di segnale (sinistra) e fondo (destra) generate da un toy Monte Carlo da 10000
esperimenti per B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M ARCO V IGNATI
95
96
97
ELENCO DELLE FIGURE
151
4-19 Fit di verosimiglianza sui dati per B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 . Linea continua per la pdf totale, linea
tratteggiata per il fondo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
4-20 Projection plot per B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 . Linea continua per la pdf totale, linea tratteggiata per il
fondo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
4-21 Andamento della funzione di verosimiglianza per il fit sui dati di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 . . . . . . . . .
99
4-22 Parametrizzazione del discriminante di Fisher sugli eventi nella sideband di ∆E con una gaussiana
singola (linea continua) e doppia (linea tratteggiata). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5-1 Rappresentazioni della cinematica di decadimento del sistema B 0 B 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5-2 Correlazione tra σ∆t e la larghezza di δt (sinistra) e con il valor medio di δt (destra) da simulazioni
Monte Carloper eventi di tipo Bf lav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5-3 Distribuzione aspettata di ∆t eventi etichettati com B 0 e come B 0 nel caso di a) tagging e risoluzione
perfetti b) tipiche frazioni di mistag e risoluzione su ∆t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5-4 Rappresentazione della tecnica di vertice a partire da un K S0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5-5 Distribuzione dell’errore su ∆t in per ciascuna classe (sinistra) e (destra) errore medio stimato in
funzione della lunghezza di decadimento del KS0 nel piano xy, le frecce indicano i cinque strati dell
SVT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5-6 Errore medio stimato su z (punti) in funzione dell’angolo polare (sinistra) e azimutale (destra) del
KS0 , gli istogrammi mostrano la distribuzione dei KS0 in scala arbitraria mentre la curva tratteggiata
indica il contributo all’errore causato sull’incertezza del punto di interazione dei fasci pari a 200 µm
in x e 30 µm in y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5-7 Confronto dell’andamento del valor medio e la larghezza di δ t in funzione di σ∆t tra i vertici BC di
B 0 → J/ψKS0 e B 0 → KS0 π 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5-8 Alcune della quantità mostrate per B 0 → KS0 π 0 ricalcolate per B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 , la statistica
inferiore disponibile per quest’ultimo rende i grafici differenti nelle regioni pi ù povere di segnale. . . 108
6-1 Asimmetria dipendente dal tempo ricostruita sul Monte Carlo si segnale di B 0 → φ(K + K − )KS0
(sinistra) B 0 → φ(K + K − )KL0 (centro) B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 (destra). Gli andamenti riproducono
l’asimmetria con la diluizione (vedi equazione 5.4) (Raw Asymmetry). . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6-2 Distribuzioni e fit di ∆t sui dati appartenenti alla sideband di mES di B 0 → φ(K + K − )KS0 . . . . . . 110
6-3 Distribuzioni e fit di ∆t sui dati appartenenti alla sideband di ∆E di B 0 → φ(K + K − )KL0 . . . . . . 111
6-4 Distribuzioni e fit di ∆t sui dati appartenenti alla sideband di ∆E di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 . . . . . . . 111
6-5 Projection plot per le distribuzioni di ∆t per i B 0 , i B 0 e per l’asimmetria dipendente dal tempo di
B 0 → φ(K + K − )KS0 . La significanza statistica è pari a 3.8 avendo applicato il taglio LR > 0.52. . 113
6-6 Andamento della verosimiglianza di B 0 → φ(K + K − )KS0 in funzione del numero di eventi di segnale,
di S e di C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6-7 Projection plot per le distribuzioni di ∆t per i B 0 , i B 0 e per l’asimmetria dipendente dal tempo di
B 0 → φ(K + K − )KL0 . La significanza statistica è pari a 1.5 avendo applicato il taglio LR > 0.52. . 115
ELENCO DELLE FIGURE
152
ELENCO DELLE FIGURE
6-8 Andamento della verosimiglianza di B 0 → φ(K + K − )KL0 in funzione del numero di eventi di segnale,
di S e di C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
B-1 Toy Monte Carlo da 500 esperimenti per il fit dipendente dal tempo di B 0 → φ(K + K − )KS0 : pull per
gli eventi di segnale, per S e C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
B-2 Toy Monte Carlo da 500 esperimenti per il fit dipendente dal tempo di B 0 → φ(K + K − )KL0 : pull per
S e C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
B-3 Mock Fit da 100 esperimenti per il fit dipendente dal tempo di B 0 → φ(K + K − )KS0 : le prime 4
distribuzioni rappresentano i pull per gli eventi di segnale, per S e per C, le ultime due le distribuzioni
dell’errore su S eC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
B-4 Mock Fit da 100 esperimenti per il fit dipendente dal tempo di B 0 → φ(K + K − )KL0 : le prime 4
distribuzioni rappresentano i pull per gli eventi di segnale, per S e per C, le ultime due le distribuzioni
dell’errore su S eC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
B-5 Mock Fit da 100 esperimenti per il fit combinato. Le prime 3 distribuzioni rappresentano i pull per gli
eventi di segnale, per S e per C, le ultime due le distribuzioni dell’errore su S eC. . . . . . . . . . . . 133
M ARCO V IGNATI
Elenco delle tabelle
1-1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1-2 Valori misurati per sin 2β dalle collaborazioni BABAR e Belle, SφK 0 , CφK 0 sono i valori del fit combinato su B 0 → φ(K + K − )KS0 e B 0 → φ(K + K − )KL0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2-1 Sommario della copertura, della segmentazione e delle prestazioni del rivelatore BABAR . . . . . . . .
28
2-2 Parametri dei fasci di PEP II. I valori sono mostrati come previsti dal progetto e nel loro valore tipico
e sono riferiti al primo anno di funzionamento. I valori tipici attuali sono per la luminosit à istantanea
di 6.1 × 1033 cm−2 s−1 e per la luminosità integrata giornaliera di 341 pb−1 . . . . . . . . . . . . .
√
2-3 Sezione d’urto di produzione con s = M (Υ (4S)). La sezione d’urto Bhabha è una sezione d’urto
effettiva, all’interno dell’accettanza sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
30
2-4 La segmentazione della lettura dell’IFR. Il numero totale di canali è circa 53000. . . . . . . . . . . .
44
3-1 Livelli di purezza del selettore KaonSMSSelector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3-2 Efficienze di ricostruzione per i candidati KL0 prodotti in eventi φγ. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
4-1 Efficienze per i tagli applicati, segnale Monte Carlo di B 0 → φ(K + K − )KS0 . . . . . . . . . . . . .
80
4-2 Eventi di fondo B 0 B 0 aspettati, stima da eventi Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
4-3 Eventi estratti dalla funzione di verosimiglianza di B 0 → φ(K + K − )KS0 su campioni di controllo. .
84
4-4 Efficienze per i tagli applicati, segnale Monte Carlo di B 0 → φ(K + K − )KL0 . . . . . . . . . . . . . .
88
4-5 Eventi di fondo B 0 B 0 aspettati, stima da eventi Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
4-6 Efficienze per i tagli applicati, segnale Monte Carlo di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 . . . . . . . . . . . . . .
92
4-7 Eventi aspettati in 112 fb
−1
per il segnale e le diverse categorie di fondo . . . . . . . . . . . . . . .
93
4-8 Risultati del fit su campioni di controllo per B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
4-9 Risultati del fit sui dati di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 rimuovendo una delle quattro pdf.
97
. . . . . . . . . .
5-1 Efficienza di tagging , probabilità media di mistag w, differenza di mistag ∆w = w(B 0 ) − w(B 0 ), e
effettiva efficienza di tag Q per eventi di segnale in ciascuna categoria di tagging. Valori misurati nel
campione Bf lav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5-2 Parametri per la pdf di ∆t di segnale determinati sul campione B f lav e valori utilizzati per ∆m e ∆t. 105
154
ELENCO DELLE TABELLE
5-3 frazione di eventi in ciascuna classe.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6-1 Risultati del fit sul segnale Monte Carlo per i tre modi di decadimento, i parametri generati sono
C = 0 e S = 0.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6-2 Fit gaussiani dei pull del toy Monte Carlo per B 0 → φ(K + K − )KS0 e B 0 → φ(K + K − )KL0 . . . . . 111
6-3 Fit gaussiani dei pull del Mock fit e errori aspettati per B 0 → φ(K + K − )KS0 e B 0 → φ(K + K − )KL0 . 112
6-4 Fit gaussiani dei pull del Mock fit e errori aspettati per il fit combinato di B 0 → φ(K + K − )KS0 e
B 0 → φ(K + K − )KL0 e B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6-5 Contributi all’errore sistematico di ciascuna pdf della funzione di verosimiglianza . . . . . . . . . . 118
6-6 Errori sistematici associati alla ricostruzione del vertice di decadimento. . . . . . . . . . . . . . . . 118
6-7 Sommario dei risultati sui parametri dell’asimmetria di CP nei decadimenti B 0 → φK 0 e la media
mondiale sul Charmonio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
A-1 Parametri delle pdf di B 0 → φ(K + K − )KS0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A-2 Coefficienti di correlazione lineare per le variabili di B 0 → φ(K + K − )KS0 simati sul campione di
segnale Monte Carlo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A-3 Coefficienti di correlazione lineare per le variabili di B 0 → φ(K + K − )KS0 stmati sulle sideband di
B 0 → φ(K + K − )KS0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A-4 Parametri delle pdf di B 0 → φ(K + K − )KL0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A-5 Coefficienti di correlazione lineare per le variabili del segnale di B 0 → φ(K + K − )KL0 stimati sul
campione di segnale Monte Carlo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A-6 Coefficienti di correlazione lineare delle variabili del fondo di B 0 → φ(K + K − )KL0 . Le correlazioni
con ∆E sono state stimate sul campione fuori risonanza e quelle restanti sulla sideband di ∆E. . . . 124
A-7 Parametri per le pdf del segnale di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
A-8 Parametri per le pdf del fondo di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
A-9 Coefficienti di correlazione lineare per le variabili del segnale di B 0 → φ(K + K − )KL0 stimati sul
campione di segnale Monte Carlo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
A-10 Coefficienti di correlazione lineare delle variabili del fondo di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 . Le correlazioni
tra ∆E e le altre variabili sono state calcolate sul campione di dati fuori risonanza, le altre sui dati
appartenenti alla sideband di ∆E.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
A-11 Scarto del numero di eventi di segnale aumentando (scarto+) o diminuendo (scarto-) di una σ i
parametri delle singole pdf di B 0 → φ(KS0 KL0 )KS0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
B-1 Parametri delle pdf di fondo di ∆t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
B-2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
M ARCO V IGNATI
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