INTRODUZIONE
•Tutti i ragazzi imparano meglio le cose che per loro sono
divertenti.
•Il metodo e i materiali adatti allo studio devono essere
agganciati, in qualche modo, ad attività piacevoli.
•Attività che devono essere in grado di attrarre e
concentrare l’attenzione.
•Se gli alunni troveranno “ gradevole “ lo studio,
apprenderanno di più e svilupperanno un reale interesse
per la matematica ed un motivazione che dureranno nel
tempo.
CONTESTO
E’ a partire dagli alunni che l’insegnante deve affrontare una
programmazione educativa-didattica, che non può essere un
modello fisso e rigido legato alle metodologie del passato ma
flessibile e adattabile all’utilizzo delle nuove tecnologie da cui
i ragazzi sono molto attratti e fortemente motivati.
L’ insegnamento tradizionale viene così ribaltato:
il docente non è più il trasmettitore di un sapere preconfezionato, inscatolato,
asettico che considera la capacità dei ragazzi solo in relazione ad una attività di
ricezione passiva.
Il docente diventa un animatore, che crea la tensione indispensabile per
l’apprendimento, pone problemi e suscita la curiosità, ed è anche un regista
dell’apprendimento nel senso che, partendo da situazioni concrete, con dosati
suggerimenti, guida l’alunno nella ricerca della soluzione di un problema e lo
avvia gradualmente alla conquista del pensiero logico ed operativo.
INDIVIDUAZIONE ARGOMENTO
Perché saper risolvere le equazioni?
Perché le equazioni servono a risolvere dei problemi!
Di fronte ad un problema, la formalizzazione matematica ha un ruolo
unificatore.
Mettendo << un problema in equazione >> ci si sbarazza del contesto e ci
si ritrova nel mondo rassicurante della matematica, dove le regole, se
conosciute, ci guidano verso la soluzione.
OBIETTIVI
•Riconoscere equazioni di 1° grado e saperle classificare (sia rispetto ai coefficienti che
rispetto alla forma algebrica).
•Conoscere i principi di equivalenza e saperli applicare per ridurre le equazioni a forma
normale.
•Acquisire le tecniche per la risoluzione delle equazioni di 1° grado ed essere in grado di
discutere le soluzioni.
•Riconoscere nelle equazioni un valido strumento per la discussione e la risoluzione di
problemi di tipo matematico e non.
•Saper impostare e risolvere problemi mediante l’uso delle equazioni.
METODOLOGIA
•L’ insegnamento sarà condotto per problemi.
•Si trovarà un punto di incontro tra l’esigenza di acquisire la tecnica di risoluzione delle
equazioni e quella di assimilare il concetto e di capirne l’utilità, per la risoluzione dei problemi.
•I punti essenziali della trattazione saranno costituiti da problemi concreti che permetteranno
di introdurre strumenti e tecniche matematiche, per poi ritornare al problema stesso.
•L’uso delle tecnologie informatiche servirà soprattutto a supportare e velocizzare l’analisi
comparativa di casi concreti diversi..
N.B. Un modello così organizzato mira a promuovere interesse, che resterà nel tempo, sia
per le equazioni che per la matematica in genere. La conoscenza sequenziale e lineare viene,
infatti, affiancata da quella reticolare.
PREREQUISITI
Contenutistici: Conoscenza del calcolo numerico e letterale.
Tecnici: Conoscenza generale del sistema operativo Windows XP.
DESCRIZIONE ATTIVITA’ ( o fasi del percorso formativo)
Cos’è una equazione?
Cos’è una disequazione?
Semplicemente:
UGUAGLIANZA TRA
DUE ESPRESSIONI
contenenti una incognita:
5x + 4 = 2x + 7
x2
– 5x – 6 = 0
→ equazione: verificata solo per particolari valori
attribuiti all’incognita
2x + 1 = 0
DISUGUAGLIANZA
TRADUE EPRESSIONI
contenenti una incognita:
5x + 2 ≥ 3x – 4-x2 + 4 > 0
x–7<0
→disequazioni: verificata per infiniti valori
attribuiti all’incognita
Proseguiamo con le equazioni distinguendole in base al grado (dato
dall’esponente più alto dell’incognita) ma svilupperemo solo quelle di 1° grado
classificandole:
EQUAZIONI
↓
NUMERICHE-------------------------------------------------- LETTERALI
oltre l’incognita
oltre l’incognita
contiene solo numeri
contiene altre lettere
da considerare costanti
↓
INTERE----------------------------------FRAZIONARIE
non contengono
contengono
incognite a
incognite anche
denominatore
a denominatore
↓
INTERE-------------- FRAZIONARIE
non contengono
contengono
incognite a
incognite anche
denominatore
a denominatore
Riguardo alla risoluzione di una equazione basta ricordare che per quanto possa
apparire complessa, attraverso corrette trasformazioni (sfruttando le conoscenze
del calcolo algebrico e i due principi di equivalenza) si arriva,attraverso una serie di
passaggi tra equazioni equivalenti, alla
FORMA NORMALE
ax = b da cui
se
la soluzione
si dice che l’equazione
a≠0
x = b/a è unica
è determinata
a=0
b=0
è un numero qualunque
perché 0x = 0 sempre
è una equazione indeterminata
ammette infinite soluzioni (identità)
a=0
b≠0
non esiste perché
0x = b mai
è impossibile non ammette soluzioni
La comprensione del 1° principio di equivalenza può risultare più efficace se considerata
l’equazione:
x + 5 = 2x
osserviamo attentamente il seguente disegno in cui è evidenziato che, come nella bilancia non si
altera l’equilibrio aggiungendo o togliendo lo stesso peso ai due piatti, così, aggiungendo o togliendo
una stessa “ quantità “ ad entrambi i membri dell’equazione si ottiene un’equazione equivalente.
Per meglio individuare il percorso di risoluzione di una equazione
di 1° grado è esauriente il seguente schema:
Ritornanando alle motivazioni che ci hanno indotto alla scelta dell’argomento,
proporrò esempi di problemi di tipo matematico e non:
1) Un numero aumentato di 7 uguaglia 10.
2) Il doppio di un numero diminuito di 2 uguaglia il numero stesso aumentato di 3.
3) Un padre ha 38 anni ed il figlio ne ha 14. dopo quanti anni l’età del padre sarà il doppio
di quella del figlio?
4) In un triangolo isoscele ciascuno degli angoli alla base è 5/26 dell’angolo al vertice.
Determina l’ampiezza dei tre angoli del triangolo.
5) In un rettangolo, la base è triplo dell’altezza e la loro differenza è di 28cm; calcolare la
misura della base.
6) In una città europea è stata registrata la temperatura alle ore 8.00 e alle ore 12.00. Si
sa che la somma delle due temperature è di 7 gradi e che la temperatura delle ore
12.00 supera quella delle ore 8.00 di 9 gradi. Qual era la temperatura di quella città
alle ore 8.00?
7) La stessa quantità di birra che si trova in 36 bottigliette da ½ litro ciascuna è contenuta
anche in 24 caraffe. Determinare la capacità di ciascuna caraffa.
8) Un problema di Eulero
<<Un padre ha tre figli e lascia in eredità 1.600 corone. Il testamento precisa che il
maggiore deve ricevere 200 corone più del secondo e il secondo 100 corone più
dell’ultimo.
9) Qual è la somma ereditata da ciascun figlio?>>
10) Un mattone pesa 1 kg più mezzo mattone; quanto pesa il mattone?
Un televisore, dopo che è stato praticato uno sconto del 12% sul prezzo
originario, è stato pagato 308 euro Qual era il prezzo originario del
televisore?
11)Si vuole formare la somma di 5 euro con 40 monete, alcune da 20
centesimi e altre da 50 centesimi. Quante monete da 20 e quante da 50
centesimi sono necessarie?
12)Un bastone è infisso a terra per 1/3 della sua lunghezza ed emerge per
84 cm. Quanto è lungo il bastone?
13)Un’auto, su un’autostrada, parte da un casello A verso il casello B che
dista 200 km da A;
dopo 20 minuti, dal casello B parte una seconda auto che si muove in
senso opposto al precedente (cioè verso il casello A).
Le due auto viaggiano a una velocità che si può considerare mediamente
costante e uguale a 110 km all’ora per la prima auto e a 90 km all’ora per la
seconda.
Dopo quanto tempo dalla sua partenza la prima auto incontrerà la
seconda?
Lo schema di ragionamento da seguire per risolvere un qualsiasi problema si
articola in diverse fasi:
1) Analisi del testo e scelta dell’incognita
Attraverso la lettura e l’analisi accurata del testo di un problema, si individua
la grandezza che può essere considerata come incognita.
2) Traduzione del problema in equazione
Si traduce l’enunciato del problema nel linguaggio algebrico, cioè si esprime
con una equazione il legame fra l’incognita e i dati.
4)Risoluzione dell’equazione
Si risolve l’equazione trovata con le tecniche matematiche conosciute.
5)Discussione della soluzione
Si verifica se la soluzione ottenuta soddisfi le condizioni del problema e quindi
sia accettabile.
Ad esempio
● un numero intero positivo, se indica persone o animali ,
● un numero positivo, se indica la misura del perimetro o l’area di
una figura piana...
ESEMPI DI RISOLUZIONE
► In un rettangolo, la base è il triplo dell’altezza e la loro differenza è di 28 cm;
calcolare
la misura della base.
Analisi del testo e scelta dell’incognita
Sappiamo che:
AB = 3AD
AB – AD = 28 (in cm)
se dunque indichiamo con x l’altezza AD, possiamo esprimere la base AB con 3x.
Traduzione del problema in equazione
3x – x = 28
↓
↓
↓
base altezza differenza fra base e altezza
Risoluzione dell’equazione
3x – x = 28
2x = 28
x =28/2
x = 14
cioè:
e quindi:
semplificando:
Discussione dell’equazione
La soluzione x = 14 è accettabile, perché la misura di un segmento deve essere un
numero positivo.
► In una città europea è stata registrata la temperatura alle ore 8.00 e alle ore 12.00. Si sa che
la somma delle due temperature è di 7 gradi e che la temperatura delle ore 12.00 supera
quella delle ore 8.00 di 9 gradi. Qual era la temperatura di quella località alle ore 8.00?
Analisi del testo e scelta dell’incognita
Sappiamo che alle ore 12.00 la temperatura, rispetto alle ore 8.00, è aumentata di 9 gradi e
che la somma delle due temperature è di 7 gradi. Se indichiamo con x la temperatura alle
ore
8.00, possiamo esprimere con x + 9 la temperatura alle ore 12.00.
Traduzione del problema in equazione
x
+
↓
temperatura
alle ore 8.00
(x + 9)
=
↓
temperatura
alle ore 12.00
7
↓
somma delle
temperature
Risoluzione dell’equazione
x + ( x +9) = 7
x + x +9 = 7
2x = 7− 9
2x = − 2
x = − 2/2 quindi x = −1
Discussione della soluzione
La soluzione x = −1 è accettabile, perché la temperatura di una data località può essere un
numero positivo o negativo.
►La stessa quantità di birra che si trova in 36 bottigliette da 1/2 litro ciascuna è contenuta anche
in 24 caraffe. Determinare la capacità di ciascuna caraffa.
Analisi del testo e scelta dell’incognita
Sappiamo che i litri di birra contenuti nelle bottigliette sono tanti quanti quelli versati nelle
caraffe. Poiché ci viene chiesto di determinare la capacità delle caraffe, indichiamo quest’ultima con
x.
.Traduzione del problema in equazione
24 ∙ x =
36 ∙ 1/2
↓
↓
litri contenuti
litri contenuti
nelle caraffe
nelle bottiglie
Risoluzione dell’equazione
24 x = 36 . ½
24 x = 18
x = 18/24 da cui x =3/4
Discussione della soluzione
La soluzione x = 3/4 è accettabile, perché la capacità delle caraffe può essere espressa con un
numero intero o frazionario.
►Un problema di Eulero
<<Un padre ha tre figli e lascia in eredità 1.600 corone. Il testamento precisa che il
maggiore deve ricevere 200 corone più del secondo e il secondo 100 corone più dell’ultimo.
Qual è la somma ereditata da ciascun figlio?>>
Scelta dell’incognita
In questo problema le incognite sono apparentemente tre, ma se indichiamo con x una delle
tre
parti possiamo esprimere le altre in funzione della x.
Quindi sia x (in corone) la parte di eredità del figlio maggiore.
La parte del secondo è x – 200, quella del terzo (x – 200) – 100 = x – 300.
Traduzione del problema in equazione
x
+
( x – 200)
+
( x – 300)
=
1600
↓
↓
↓
↓
eredità del
eredità del
eredità del
eredità
1° figlio
2° figlio
3° figlio
complessiva
Risoluzione dell’equazione
x + (x – 200) + (x – 300) = 1600
x + x − 200 + x – 300 = 1600
3x – 500 = 1600
3x = 1600 + 500
3x =2100
x = 2100/3 da cui segue che
x = 700
Discussione della soluzione
La soluzione x è positiva, e quindi accettabile.
Il primo figlio eredita 700 corone, il secondo 500 e l’ultimo 400.
La corona è il nome di antiche monete d’oro e d’argento ed attuale unità monetaria di Islanda,
Svezia, Danimarca, Norvegia e di altri Paesi Baltici.
►Un mattone pesa 1 kg più mezzo mattone; Quanto pesa il mattone?
Invece di procedere per tentativi, possiamo risolvere facilmente l’indovinello in questo modo.
Analisi del testo e scelta dell’incognita
Indichiamo con l’incognita x il peso, in kg, del mattone.
Traduzione del problema in equazione
x
=
peso del mattone
Risoluzione dell’equazione
1
1 Kg
+
1/2 x
peso del mezzo mattone
x = 1+ 1/2x
2x = 2 + x
2x – x = 2
x=2
Discussione della soluzione
La soluzione x è positiva, trattandosi di un peso risulta accettabile.
► Un televisore, dopo che è stato praticato uno sconto del 12% sul prezzo originario, è stato
pagato 308 euro. Qual era il prezzo originario?
Analisi del testo e scelta dell’incognita
Poiché lo sconto subito dal prezzo del televisore è il 12% ed il prezzo scontato è uguale a
308 euro, indichiamo con l’incognita x il prezzo originario del televisore
Traduzione del problema in equazione
x
−
12/100
∙
x
=
308
↓
↓
↓
↓
il prezzo
meno
il 12% del prezzo
è uguale
prezzo
originario
originario
al
originario
ossia:
x – 3/25 x = 308
osserva che 12/ 100 = 3/ 25
Risoluzione dell’equazione
x – 3/25 x = 308
25 x – 3 x = 308 ∙ 25
moltiplicando entrambi i membri per 25
22 x = 7700
x = 7700/22 = 350
Discussione della soluzione
La soluzione trovata è accettabile infatti è positiva ed è maggiore di 308.
►Si vuole formare la somma di 5 euro con 40 monete, alcune da 20 centesimi e altre da 50
centesimi. Quantemonete da 20 e quante da 50 centesimi sono necessarie?
Analisi del testo e scelta dell’incognita
Abbiamo a disposizione monete da 20 e 50 centesimi;
e possiamo utilizzare complessivamente 40 monete per ottenere una somma pari a 5 euro.
Indichiamo con x il numero di monete da 20 centesiminecessarie: così resta automaticamente
determinato,in funzione di x, il numero di monete da 50 centesimi, che sarà uguale a 40 – x, dal
momento che si vogliono usare in tutto 40 monete.
Traduzione del problema in equazione e relativa risoluzione
20/100 x + 50/100(40 – x) = 5
semplificando segue
1/5 x + 1/2(40 – x) = 5
moltiplicando i due membri dell’equazione per 10 si ha
2 x + 5(40 − x ) = 50
2 x + 200 – 5 x = 50
−3 x = −150
cambiando di segno (conseguenza 2° princ.equivalenza)
3 x = 150
x = 150/ 3 = 50
Discussione della soluzione
La soluzione trovata è un numero naturale, ma non soddisfa la condizione di essere minore o
uguale di 40 (si potevano usare al massimo 40 monete) perciò non è accettabile.
Dobbiamo concludere che è impossibile formare la somma di 5 euro utilizzando 40 monete,
alcune da 20 e altre da 50 centesimi.
►Un bastone è infisso nel suolo per 1/3 della sua lunghezza
ed emerge per 84cm. Quanto è lungo il bastone?
Nell’antichità, questo problema
veniva risolto ragionando più o meno così:<< Attribuiamo al bastone una lunghezza qualsiasi: se,
per esempio, il bastone fosse lungo 120 cm, la parte emergente sarebbe di 80 cm. Ma allora la
misura del bastone ( x ) sta alla parte che emerge ( 84 ) come 120 sta a 80. Cioè ( con scrittura
moderna):
x : 84 = 120 : 80 → x = 126
IL bastone è lungo 126 cm>>. Questo metodo , detto della falsa posizione perché basato sulla falsa
supposizione che il bastone fosse lungo 120 cm, aveva il difetto di poter essere applicabile solo a
casi molto semplici.
Oggi l’algebra ci consente un approccio più generale.
Come più volte visto nei problemi presi in esame precedentemente, se indichiamo con x la misura
del bastone, possiamo così tradurre l’enunciato del problema:
x
−
1/3 x
=
84
misura del
misura della
misura della
bastone
parte infissa
parte che emerge
Questa è un’ equazione, ossia un’uguaglianza che contiene << quantità date >> e << quantità
incognite >> che, come in tutti gli altri problemi illustrati in questa unità, abbiamo cercato di
individuare e di determinare.
x − 1/3 x = 84 moltiplicando per 3 tutti i termini
3x − x = 252
2x = 252 dividendo per 2
x = 126
► Un’auto, su un’autostrada, parte da un casello A verso il casello B che dista 200 km da A;
dopo 20 minuti, dal casello B parte una seconda auto che si muove in verso opposto al
precedente ( cioè verso il casello A ).
Le due auto viaggiano a una velocità che si può considerare mediamente costante e uguale a
110 km all’ora per la prima auto e 90 km all’ora per la seconda.
Dopo quanto tempo dalla sua partenza la prima auto incontrerà la seconda?
Analisi del testo e scelta dell’incognita
L’auto che parte da A
viaggia a 110 km all’ora
L’auto che parte da B
viaggia a 90 km all’ora e parte dopo 20 minuti
La distanza tra i caselli A e B
è di 200 km
Indichiamo con t il tempo incognito (espresso in ore) trascorso dal momento in cui l’auto A
parte all’istante in cui le auto si incontrano.
L’auto B parte dopo 20 minuti cioè dopo un terzo di ora.
Si incontreranno quando l’auto A avrà percorso uno spazio = 110 km/h ∙ t ; l’auto B
avrà percorso uno spazio = 90 km/h ∙ (t – 1/3) e la somma degli spazi percorsi sarà uguale
alla distanza dei due caselli pari a 200 km.
Trasformazione del problema in equazione, risoluzione e discussione.
110 ∙ t + 90 ( t – 1/3) = 200
110 ∙ t + 90 ∙ t – 30 = 200
200 ∙ t = 230
t = 230/200 = 23/ 20
la soluzione è accettabile poiché, avendo misurato il tempo in ore, le auto si incontreranno
dopo un tempo uguale a:
23/20 ∙ 60 minuti = 69 minuti
ossia dopo 1 ora e 9 minuti.
Possiamo concludere che riguardo alla risoluzione di un
problema relativo a numeri o a relazioni astratte tra quantità, è
necessario solo tradurre il problema dal proprio linguaggio al
linguaggio dell’algebra. Una equazione è uno strumento
algebrico per risolvere (una classe di) problemi, le incognite
sono le risposte che si cercano e poiché ancora non si
conoscono, le indichiamo con delle lettere ( incognite).
Verifica relativa al percorso formativo
1) Stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali sono
false :
a)L’identità è una uguaglianza fra due espressioni algebriche, contenente una
variabile, verificata per qualunque valore numerico attribuito alla variabile
che in essa figura.
V
F
b)L’equazione è una uguaglianza tra due espressioni algebriche, contenente una
variabile, verificata per qualunque valore numerico attribuito alla variabile che
in essa figura.
V
F
c)Un’equazione è frazionaria se presenta l’incognita a denominatore.
V
F
d)Un’equazione è letterale se oltre l’incognita non presenta altre lettere.
V
F
e) 2 x  3  4  1 non è un’equazione frazionaria.
3x  1 5 3
f)Se nella forma normale a∙x = b risulta a≠0 e b=0 l’equazione è determinata.
V
F
V
F
g)Se nella forma normale a∙x = b risulta a=0 e b≠0 l’equazione è indeterminata.
V
F
V
F
h)4x=25
x
4
25
2) Completa le seguenti frasi:
a)La forma normale di una equazione di primo grado è……………………………
b)Le equazioni che posseggono un numero infinito di soluzioni
………………….
si dicono
c)Le equazioni che posseggono un numero………………… di soluzioni si dicono
determinate.
d)Se si aggiunge o si sottrae ad ambo i membri di una equazione uno stesso numero o
una espressione algebrica nell’incognita considerata, allora si ottiene
…………………………………………………………………………..
e)3x+5 ≥ 2x-4 e
x+7 <4-6x sono ………………………………….
f)Se in un problema di geometria indichiamo con l’incognita x la misura di un
segmento,nella relativa discussione un valore ………………………… non potrà
essere accettato.
g)Lo schema di ragionamento da seguire per risolvere un qualsiasi problema si articola
generalmente in quattro fasi; elencale:
…………………………………
………………………………….
…………………………………..
…………………………………….
3)Associa, mediante frecce, ad ogni equazione la sua caratteristica.
a∙x + 6a = 3
intera a coefficienti numerici interi
8
 4 x  24
x
intera a coefficienti numerici frazionari
(2 x  3)(2 x  3)  2 x 2  1  10 x  2 x 2
frazionaria (o fratta)
x 1
  15
6 9
letterale
4) Scegli la risposta esatta tra quelle suggerite:
a) Data una equazione che ridotta in forma normale risulta 0∙x = 0 essa ammette
soluzione:
x=0
è indeterminata
è impossibile
x = −7
b) Data una equazione che ridotta in forma normale risulta 0∙x = 3
ammette soluzione:
x=0
è indeterminata
è impossibile
essa
x=−3
c) L’equazione 2x = − 5 ammette soluzione:
x=
5
2
x=−
5
2
x=
2
5
x=−
2
5
d) L’equazione 6x − 18 = 0 ammette soluzione:
x=
1
3
è impossibile
x=3
è indeterminata
5) Tradurre le seguenti frasi in equazioni
•Un numero sommato a 3 è uguale a 12. _________________________________________
•Il doppio di un numero è uguale alla sua metà aumentata di 2_________________________
•Addizionando 9 al prodotto tra 7 ed un numero si ottiene 16 __________________________
•Il triplo di un numero è uguale alla somma del numero stesso e del suo successivo
____________________________
•La somma di due numeri consecutivi è uguale alla somma tra il minore di essi e 6
____________________________
•La quinta parte di un numero aumentata di 3 è uguale alla sua terza parte diminuita di
5___________________________
6) Calcola, sul foglio a parte, le seguenti quattro equazioni:
2  3x  4  x  2  8x  1
(3x  1) 2  2(3x  1)  (3x  1)(3x  1)
x 1
2x  1
2
4
2
4
x 1 x  2
3 x  3  2 x  [( x 
)
]
3
3
7) Risolvi il seguente problema:
Un padre ha 38 anni ed il figlio ne ha 14; dopo quanti anni l’età del
padre sarà il doppio di quella del figlio?
Ricordati
♣ di individuare l’elemento incognito
♣ di esprimere il problema in equazione
♣ di risolvere l’equazione
♣ di discutere il risultato ottenuto per verificare se sia accettabile
STRUMENTI UTILIZZATI
Software didattico, Word, Power point, scanner, internet, libri di testo.
DURATA
Da quattro a più settimane in base alle capacità di attenzione e di concentrazione degli
alunni.
♣La sfida non è tanto quella di insegnare la matematica a tutti ma è quella di fornire
un’educazione matematica a tutti.
♣Al centro di questa impostazione sta sicuramente la capacità di matematizzare il reale,
ovvero la capacità di passare dalla realtà alla matematica (modellizzazione di una
situazione reale) e viceversa (trasferimento dei risultati dal modello alla situazione
reale).
♣la costruzione di quest’abilità, sebbene richieda momenti di riflessione sul proprio
percorso d’apprendimento, avviene essenzialmente attraverso un lavoro collaborativo di
confronto.
♣non ci si deve limitare all’allenamento dei ragazzi nei riguardi della padronanza di
particolari tecniche matematiche, ma si deve insistere soprattutto sullo sviluppo di una
comprensione e di una consapevolezza critica di quando e come le tecniche
matematiche debbano essere usate.
♣Sarà auspicabile stimolare l’adozione di un approccio euristico alla soluzione dei
problemi per cui di fronte ad un problema che non si è capaci di risolvere, si tenti di
formularne uno simile che invece si sa risolvere.