COMPORTAMENTO MECCANICO DEI MATERIALI
Indice
1. Generalità sul comportamento meccanico dei materiali ........................................................................................... 3
1.1 Meccanismi di deformazione ................................................................................................................................. 3
1.2 Curva sforzo-deformazione ................................................................................................................................... 4
1.3 Modalità e interpretazione delle prove sui materiali ........................................................................................... 5
1.4 Metodi di identificazione ........................................................................................................................................ 6
1.5 Metodo dei minimi quadrati (Gauss-Newton )..................................................................................................... 6
1.6 Alcuni modelli di comportamento ........................................................................................................................ 6
1.7 Modelli matematici ............................................................................................................................................... 11
Generalità sui modelli viscosi................................................................................................................................... 11
Plasticità.................................................................................................................................................................... 13
Comportamento ciclico............................................................................................................................................. 13
Modelli elastoplastici bilineari di incrudimento isotropo e cinematico .................................................................... 14
Rilassamento............................................................................................................................................................. 16
1.8 Criteri di estrapolazione (Larson-Miller) ........................................................................................................... 17
1.9 Danneggiamento ................................................................................................................................................... 19
1.10 Misura del danneggiamento............................................................................................................................... 20
Dal modulo elastico .................................................................................................................................................. 20
Dai parametri plastici................................................................................................................................................ 20
Da caratteristiche viscoplastiche............................................................................................................................... 20
A fatica ad alto numero di cicli................................................................................................................................. 21
A fatica a basso numero di cicli................................................................................................................................ 21
2. Elementi di Meccanica dei Solidi............................................................................................................................... 23
Concetto di continuo................................................................................................................................................. 23
2.1 Vettori e Tensori ................................................................................................................................................... 23
2.2 Tensore di deformazione ...................................................................................................................................... 24
2.3 Tensore di sforzo................................................................................................................................................... 25
Direzioni principali................................................................................................................................................... 25
Continuità ................................................................................................................................................................. 27
2.4 Congruenza ........................................................................................................................................................... 27
2.5 Equazioni costitutive ............................................................................................................................................ 27
3. Casi elastici monodimensionali.................................................................................................................................. 28
3.1 Flessione di travi a forte curvatura ..................................................................................................................... 28
3.2 Centro di taglio ..................................................................................................................................................... 30
3.3 Flessione e taglio di travi a sezione composita.................................................................................................... 30
4.Teoria dell’elasticità bidimensionale.......................................................................................................................... 32
4.1 Stato piano di sforzo (SPS)................................................................................................................................... 32
4.2 Stato piano di deformazione (SPD) ..................................................................................................................... 33
4.3 Soluzioni in forma chiusa ..................................................................................................................................... 33
4.4 Coordinate polari.................................................................................................................................................. 36
Esempi ...................................................................................................................................................................... 37
4.4b Metodo alternativo per la descrizione del comportamento elastico dei corpi assialsimmetrici................... 40
Disco forato con pressione interna............................................................................................................................ 41
Disco forato soggetto a pressione esterna ................................................................................................................. 42
Disco pieno con pressione esterna ............................................................................................................................ 42
Disco forato rotante .................................................................................................................................................. 42
Disco con effetti termoelastici .................................................................................................................................. 43
Casi di interferenza ................................................................................................................................................... 44
5. Principi e criteri energetici......................................................................................................................................... 45
5.1 Il principio dei lavori virtuali (PLV)................................................................................................................... 45
5.2 Il principio di minimo dell’energia potenziale (PMEP)..................................................................................... 46
5.3 Il principio di minimo dell’energia complementare (PMEC) ........................................................................... 47
5.4 Il metodo di Rayleigh-Ritz ................................................................................................................................... 47
5.5 Esempi.................................................................................................................................................................... 47
Esempio di applicazione del metodo di Rayleigh-Ritz con il PMEP........................................................................ 48
Esempio di applicazione del metodo di R.R. col PMEC .......................................................................................... 49
1
6. Teoria della torsione non circolare elastica .............................................................................................................. 50
6.1 Analogia della membrana .................................................................................................................................... 51
6.2 Sezione ellittica...................................................................................................................................................... 52
6.3 Sezione rettangolare con lati simili...................................................................................................................... 52
6.4 Sezione rettangolare stretta ................................................................................................................................. 53
Sezione sottile aperta ................................................................................................................................................ 53
6.5 Sezione sottile chiusa ............................................................................................................................................ 54
6.6 Esempi.................................................................................................................................................................... 54
Sezione aperta a parete sottile – Taglio e torsione spuria ......................................................................................... 54
Sezione chiusa. ......................................................................................................................................................... 55
7. Strutture elastoplastiche ............................................................................................................................................ 56
7.1 Trave inflessa ........................................................................................................................................................ 56
Esempio: Trave a mensola elastoplastica ................................................................................................................. 58
7.2 Torsione elastoplastica circolare ......................................................................................................................... 59
7.3 Teoria della prova di flessione ............................................................................................................................. 59
7.4 Teoria della prova di torsione.............................................................................................................................. 61
8. Strutture perfettamente plastiche ............................................................................................................................. 62
8.1 Coefficiente di collaborazione a flessione............................................................................................................ 62
8.2 Coefficiente di collaborazione a torsione ............................................................................................................ 63
8.3 Analisi limite di disco in pressione ...................................................................................................................... 64
9. Strutture soggette ad alta temperatura e tempo ...................................................................................................... 67
9.1 Casi di viscoelasticità monodimensionale ........................................................................................................... 67
Flessione retta di travi............................................................................................................................................... 67
9.2 Casi di viscoelasticità bidimensionale ................................................................................................................. 68
Relazioni costitutive ................................................................................................................................................. 68
Disco in pressione..................................................................................................................................................... 69
Disco rotante............................................................................................................................................................. 69
9.3 Casi di comportamento a creep non lineare ....................................................................................................... 70
Flessione ................................................................................................................................................................... 70
Flessione di travi soggette a rilassamento................................................................................................................. 71
Stati complessi di sollecitazione a creep................................................................................................................... 71
Travi con sezione circolare soggette a torsione e creep............................................................................................ 72
Serbatoio di piccolo spessore in pressione................................................................................................................ 72
10. Bibliografia................................................................................................................................................................ 73
2
1. Generalità sul comportamento meccanico dei materiali
Noi conosciamo i materiali strutturali in modo sistematico attraverso le osservazioni e le prove cui
li sottoponiamo. Una prova di fondamentale importanza per classificare il comportamento
meccanico è la prova di trazione-compressione sotto carico costante o variabile nel tempo.
Appartengono alla categoria delle prove a carico variabile la classica prova di trazione e la prova di
fatica, mentre è una prova tipica a carico costante quella di creep.
Ad ogni prova dobbiamo associare grandezze e parametri significativi. Dalla Meccanica dei Solidi
sappiamo che le grandezze fondamentali per descrivere il comportamento del materiale sono sforzi
e deformazioni, mentre possiamo assumere come parametri importanti la temperatura ambiente,
l’umidità dell’aria e in generale la composizione dell’atmosfera, il tempo di prova, etc.
1.1 Meccanismi di deformazione
Deformazioni elastiche
Sono deformazioni recuperabili allo scarico senza fenomeni di dissipazione di energia.
Sono dovute a distorsioni della struttura atomica sostanzialmente reversibili che, una volta rimossa
la causa (carico) che le ha determinate, scompaiono.
E’ quindi fondamentale postulare uno stato di riferimento iniziale, con deformazioni nulle
corrispondenti a carico nullo, al quale si ritorna qualunque sia il ciclo di carico, se questo viene alla
fine azzerato.
Deformazioni elastiche con dissipazione
Sono caratterizzate da un recupero della deformazione allo scarico, ma con dissipazione di energia e
quindi con un ciclo di isteresi con area non nulla.
Sono dovute principalmente a diffusione di energia termica o a migrazione di atomi e difetti.
Poiché questi effetti sono dipendenti dal tempo, si ha ritardo nel recupero della deformazione, con
produzione di dissipazione.
Altri meccanismi dissipativi possono essere dovuti a moto di dislocazioni e a flussi termici interni
derivanti da anisotropia della struttura.
In ogni caso l’energia dissipata è dipendente dal tempo (dalla frequenza nelle sollecitazioni
cicliche).
Deformazioni plastiche
Le deformazioni permanenti macroscopiche derivano da deformazioni irreversibili della struttura
cristallina: Possono essere soltanto plastiche, oppure, più in generale per i metalli, visco-plastiche.
Un meccanismo ipotizzato in passato le faceva risalire a scorrimento di piani cristallini per effetto
di sollecitazioni di taglio. In questo caso l’energia teorica richiesta è molto più elevata di quella che
normalmente si riscontra sperimentalmente.
Un meccanismo a più bassa energia, ipotizzato più di recente, è quello derivante da movimento di
dislocazioni. La presenza di dislocazioni rende meno stabile la struttura cristallina dei metalli. Se la
dislocazione si muove per effetto di una sollecitazione che ne favorisca il movimento, il risultato
finale è uno spostamento permanente, come si può vedere dalla fig.1.1, in cui una dislocazione di
bordo si muove per effetto di una sollecitazione di taglio.
3
Fig.1.1 Movimento di una dislocazione
Le dislocazioni sono difetti della struttura cristallina in genere presenti inizialmente nei metalli e
attivate dallo stato di sforzo e dalla temperatura. Esse inoltre vengono generate dallo stesso
meccanismo di deformazione. Cioè la densità di dislocazioni aumenta per effetto delle deformazioni
permanenti, risultando in un affollamento che può ostacolarne il movimento ulteriore. Questo
corrisponde all’incrudimento per deformazione. Tuttavia all’aumento di deformazione può
corrispondere anche un fenomeno opposto di addolcimento, in cui la disposizione delle dislocazioni
è tale da facilitarne il movimento. In genere i due meccanismi si compensano ad elevate
deformazioni dando luogo al tipico andamento con plateau della curva sforzo-deformazione.
Un incrudimento per dispersione può ottenersi d’altra parte facendo precipitare una fase costituita
da particelle dure in una matrice soffice. Le particelle costituiscono ostacolo al moto delle
dislocazioni.
1.2 Curva sforzo-deformazione
La curva di fig. 1.2 può essere considerata tipica di un materiale metallico soggetto a prova di
trazione in controllo di carico, a temperatura superiore al 30-40% della temperatura di fusione (in
gradi °K). Essa presenta alcune caratteristiche particolarmente interessanti, parzialmente discusse
precedentemente.
σ
C
D
B
A
F
E
ε
Fig.1.2 Curva σ-ε di un materiale elastico viscoplastico
4
σ
C
D
B
A
E
F
t
Fig. 1.2a Variazione temporale del parametro imposto σ
Il parametro controllato nel tempo è la tensione σ, che segue un andamento come quello di fig. 1.2a
In particolare, il tratto AB è elastico e corrisponde a deformazione reversibile del reticolo atomico.
Il tratto BC denota incrudimento. Siamo già nel campo delle deformazioni irreversibili per
movimento di dislocazioni, con incrudimento da deformazione. In pratica, le nuove dislocazioni che
si generano si dispongono in modo tale da ostacolare il proprio movimento. Il tratto CD, ottenuto
mantenendo lo sforzo costante per un tempo sufficientemente lungo, corrisponde a una
deformazione viscosa, in cui sono presenti scorrimenti intergranulari oltre che intragranulari per
movimento di dislocazioni e anche per diffusione di atomi. In questo caso la struttura non è mai in
equilibrio e la deformazione cresce col tempo fino alla rottura. La deformazione è particolarmente
sensibile alla temperatura e la sua velocità cresce sia con la temperatura che con lo sforzo. Se il
provino viene scaricato esso segue il tratto DF, con effetto Bauschinger. Se tuttavia nel punto E si
lascia il provino scarico, si ha un recupero della deformazione EE’. Ancora tale recupero è
dipendente dalla temperatura e dal tempo e non c’è se la temperatura è < di 0,3⋅Tf (Tf = temperatura
assoluta di fusione).
Effetto Bauschinger
Le deformazioni permanenti dei grani cristallini, essendo questi orientati diversamente, non
rispettano di per se la congruenza alla confluenza dei grani. Nascono a tale scopo stati di tensione
locali che si sommano o sottraggono alle tensioni macroscopiche applicate. Tali stati di sforzo locali
facilitano o non le deformazioni ulteriori. Dopo un ciclo di carico e scarico da zero la presenza di
autotensioni è tale da facilitare gli scorrimenti in una successiva fase di compressione.
Contrazione trasversale
Il coefficiente di Poisson, che descrive la contrazione trasversale, è < 0,5 nel tratto elastico, mentre
nel comportamento visco-plastico risulta = 0,5. Poiché la variazione relativa di volume è data da
∆V/V = ε1 + ε2 + ε3
con J1 = ε1 + ε2 + ε3 = invariante primo dello stato di deformazione, si ha, per esempio nel caso di
trazione monoassiale, ε2 = ε3 = - ν⋅ε1 = - 0,5ε1 e quindi ∆V/V = 0, cioè la deformazione permanente
avviene con variazione di volume nulla. Questo conferma il fatto evidente che i meccanismi di
scorrimento alla base di tali deformazioni lasciano invariato il volume e agiscono solo sulla forma
dell’aggregato cristallino.
1.3 Modalità e interpretazione delle prove sui materiali
Le prove si svolgono con modalità standard e in condizioni controllate. I provini hanno forma,
dimensione, lavorazione standard. La macchina di prova è dimensionata in modo da essere molto
meno deformabile del provino e da assicurare le tensioni e deformazioni appropriate.
5
Le grandezze che si rilevano durante la prova sono principalmente la forza applicata e
l’allungamento del tratto utile. E’ importante misurare anche la temperatura del provino. La misura
di forza avviene in genere mediante una cella di carico (dinamometro) disposta in serie con il
provino. La misura dell’allungamento si effettua mediante un estensometro, cioè un elemento a
bassa rigidezza collegato in modo da seguire la deformazione del provino, oppure mediante
estensimetri elettrici a resistenza (strain gauges) incollati sul provino.
La misura della temperatura è critica. Infatti se, per esempio nella legge di scorrimento viscoso,
consideriamo una relazione del tipo
έ = dε /dt = f(σ)g(T)
otteniamo ln έ = ln f(σ)+ ln g(T) e differenziando
dέ/έ = df(σ)/f(σ) +dg(T)/g(t)
quindi ponendo f(σ) = Bσn g(T) = e(-∆H/RT)
si ottiene
dέ/έ = ndσ/σ + (∆H/R)dT/T2
da cui si vede che il termine in temperatura è molto più sensibile (da 15 a 70 volte) alle variazioni di
T che l’altro a quella di σ.
In genere la misura di T si effettua con termocoppie, meglio se saldate, sulla superficie.
1.4 Metodi di identificazione
I risultati di una prova possono essere interpretati in due modi. Nel primo viene assunta una legge di
riferimento i cui parametri sono determinati mediante i risultati della prova; nel secondo invece si
procede in modo puramente empirico raccordando i punti sperimentali con curve opportune.
Qui ci riferiamo soltanto al primo metodo.
I parametri delle leggi di comportamento devono essere quindi dedotti da un numero sufficiente di
dati sperimentali.
1.5 Metodo dei minimi quadrati (Gauss-Newton )
Si deve minimizzare la funzione scarto assunta come semisomma degli scarti quadratici
i = 1,2,…,m
H = ½[ yit(a, xi) – yis(xi)]2
dove yis(xi) sono i valori sperimentali e yit(xi) rappresentano i valori della funzione teorica y(x) calcolata nei punti xi.
Se yt(x) è funzione lineare degli n parametri incogniti an, cioè se
yit(xi) = A0(xi) + A1(xi)a1 + … + An(xi)an
con Aj(x) funzione arbitraria di x, la minimizzazione di H si ottiene scrivendo
j = 1,2, … ,n
∂H/∂aj = 0
Si perviene al sistema lineare di equazioni
Ba = Y
Dove il termine generico della matrice quadrata e simmetrica dei coefficienti vale
Bjk = AjlAkl (è omesso il simbolo di sommatoria per l = 1,2,…,m)
con Ajl = Aj(xl) e dove
Yj = Ajl(yls – A0l)
1.6 Alcuni modelli di comportamento
Solido elastico
Il modello meccanico corrispondente è la semplice molla.
6
Non necessariamente lineare, è caratterizzato dall’avere deformazione reversibile. La sua curva
sforzo-deformazione (risposta alla rampa di tensione) e la sua risposta al gradino di tensione (creep)
sono le seguenti
σ
σ
σ
ε
ε
t
t
t
Fig.1.6.1 Risposta del solido elastico alla rampa di tensione e al gradino di tensione
Solido viscoelastico
Ha un comportamento nelle prove di trazione di creep (tensiome imposta a gradino) e di
rilassamento (deformazione imposta a gradino) come quello indicato qualitativamente in fig. 1.6.2.
Nella prova di creep la deformazione non viene recuperata allo scarico se non dopo un tempo
infinito.
ε
σ
σ
ε
t
t
Fig. 1.6.2 Solido viscoelastico
Esistono molti modelli che approssimano più o meno bene il comportamento reale. Uno dei più
usati, anche se non da solo, è il modello di Voigt-Kelvin
E
η
La risposta alla rampa di tensione e la risposta al creep sono indicate in fig. 1.6.3.
σ
ε
ε
t
Fig. 1.6.3 Risposta alla rampa di tensione e al gradino di tensione del modello di Voigt-Kelvin
7
La risposta alla rampa di deformazione o di tensione si ricava analiticamente nel modo seguente:
Posto per i singoli rami del modello dεη/dt = ση/η
εE = σE/E
si ha
σ = (dεη/dt)η + εEE = (dεη/dt)η + (dεE/dt)Et = έ(η + Et)
La risposta alla rampa di tensione σ = kt si ricava sempre dalla
σ = (dεη/dt)η + εEE
con ε =εη = εE e integrando
ε = Ce(-Et/η) + σ/E[1 – (η/E)/t]
per t = 0 ε = 0 → C = kη/E2
quindi ε = σ/E [(η/E)/t (e(-Et/η) – 1) + 1] (fig. 1.6.3.b). Si noti che per t = 100 η/E il termine fra parentesi quadra vale
0,99. Quindi per tempi superiori si può ritenere ε = σ/E.
La risposta alla tensione costante si ricava dalla stessa trattazione del caso precedente, ponendo σ = σ0. Si ottiene
ε = Ce(-Et/η) + σ/E
e per t = 0 ε = 0 → C = - σ0/E
ε = σ0/E(1 - e(-Et/η) ) (fig. 1.6.3.c)
La risposta alla deformazione costante è data da σ = ε E.
Solido puramente plastico
E’ descrivibile con il modello meccanico semplice di contatto per attrito.
σ
σ
Quando lo sforzo supera un certo valore di soglia avviene una deformazione permanente,
indipendente dal tempo e totalmente irreversibile. Pertanto la curva sforzo-deformazione è del tipo
indicato in fig. 1.6.4 mentre non sono definite le curve di risposta al gradino di sforzo e di
deformazione.
La deformazione accumulata in fase di carico permane interamente anche in fase di scarico.
σ
ε
Fig. 1.6.4 Solido perfettamente plastico
Solido elastico-perfettamente plastico
Somiglia al precedente con in più una deformazione elastica reversibile sia in fase di carico che allo
scarico
σ
ε
Fig.1.6.5 Solido elastico perfettamente plastico
Solido perfettamente viscoplastico
8
σ
y
λ
E’ riconducibile al modello plastico con in più la dipendenza (lineare) dal tempo della deformazione
Il valore di soglia dipende dalla velocità di deformazione
σ
ε
σ
σy
σy
σ >σy
ε
t
t
Fig. 1.6.6 Solido perfettamente viscoplastico: Risposta alla rampa di tensione (1), creep (2) e
rilassamento (3). La velocità di deformazione è data dalla legge di Norton dε/dt = (σ/λ)n
Solido elastico-perfettamente viscoplastico senza incrudimento
σy
λ
E
La deformazione è puramente elastica al disotto di un valore di soglia, mentre al disopra di tale
valore si compone di una parte elastica e di una viscoplastica.
σ
σ
ε
σo≥ σ y
σ ≥ σy
σy
ε
t
σ op σ y
t
Fig. 1.6.7 Caratteristiche del solido elastico-viscoplastico
Tipi di incrudimento
Nel trattare l’incrudimento si usano fondamentalmente due modelli: a) l’incrudimento isotropo b)
l’incrudimento cinematico.
a) Incrudimento isotropo
9
σ
B
A
ε
C
O
BD = 2BC
D
Fig. 1.6.8 Modello di incrudimento isotropo
Sebbene meno vicino al comportamento reale, questo modello è molto usato per la sua semplicità.
Nella fase di scarico si percorre il tratto elastico fino a un punto caratterizzato da un valore
simmetrico dello sforzo, cioè CD = BC. Da lì in poi si segue la curva monotonica ribaltata.
b) Incrudimento cinematico
σ
C
B
ε
A
D
Fig. 1.6.9 Modello di incrudimento cinematico
La tensione alla quale si abbandona - allo scarico – la fase elastica, dipende dalla deformazione
raggiunta. Si ammette che il punto D disti da C quanto due volte B dista da A.
Tale modello riesce a descrivere l’effetto Bauschinger.
Comportamento ciclico
Le caratteristiche di incrudimento dei metalli variano se il solido è sottoposto a cicli di trazionecompressione. Principalmente si possono avere fenomeni di addolcimento e di indurimento e di
deriva (ratcheting)
A titolo di esempio si riportano i casi di indurimento (che avviene se Sr/Sy > 1,4; Sr = limite di
rottura, Sy = limite di snervamento) e di addolcimento (Sr/Sy < 1,2).
10
Fig. 1.6.10 Incrudimento ciclico a deformazione imposta. (1), indurimento (2) addolcimento
1.7 Modelli matematici
Tralasciamo il caso elastico, ampiamente noto.
Generalità sui modelli viscosi
La relazione costitutiva più semplice si ha supponendo che la deformazione sia una funzione unica
del tempo e dello sforzo, a temperatura costante
ε = φ(σ,t)
7.1)
Facendo l’ipotesi che la dipendenza da σ e da t sia separabile e che la dipendenza da σ sia lineare,
cioè
ε = φ(σ,t) = f(σ)C(t) = σC(t)
7.2)
La relazione 7.1) è rappresentabile con una superficie le cui proiezioni sui piani ε,t ε,σ e σ,t sono le
curve di creep, le curve isocrone e le curve di rilassamento.
ε
σ3
σ2
σ1
σ
ε
ε =ε
t=t
t
t
σ1σ2 σ3
σ
t
Fig. 1.7.1 Curve deformazione-tempo (1), isocrone (2), tensione-tempo (3)
Le curve isocrone sono rette solo nel caso lineare.
11
Questa rappresentazione, utile in molti casi, cade in difetto nel caso di recupero di deformazione.
Dallo schema precedente discende infatti che se si annulla improvvisamente lo sforzo deve
annullarsi anche la deformazione istantaneamente, il che non avviene in realtà.
Principio di sovrapposizione (Boltzmann)
La validità del principio di sovrapposizione che discuteremo nel seguito è generale e non ristretta al caso viscoelastico.
Se si considera una storia di carico quale quella di fig. 1.7.2, dove la tensione vale inizialmente σ1 e dopo il tempo τ si
porta a σ2
la deformazione, dopo il tempo τ, vale (ipotesi di strain hardening)
ε = φ(σ1,t) - φ(σ1,t-τ) + φ(σ2,t-τ)
che scriviamo anche come
ε = ε1(t)-ε1(t-τ)+ε2(t-τ)
σ2
σ
σ1
t
ε
ε2
ε1
ε1 − ε1 (t − τ ) + ε 2 (t − τ )
t −τ
τ
t
Fig. 1.7.2 Applicazione del principio di sovrapposizione
Se il gradino di tensione è molto piccolo, per cui si può scrivere φ(σ2,t-τ) = φ(σ1,t-τ) + ∂φ(σ1,t-τ)/∂σ⋅dσ, si ha
ε = φ(σ1,t) + (∂φ(σ1,t-τ)/∂σ)dσ
e quindi per una variazione continua finita, considerata come somma di variazioni infinitesime
ε = ∫0σ(∂φ(σ,t-τ)/∂σ)⋅dσ
Questo viene chiamato l’integrale di convoluzione e può essere espresso in funzione del tempo τ
ε = ∫0t(∂φ(σ,t-τ)/∂σ)(dσ/dτ)⋅dτ
che, nel caso di materiale lineare diventa
ε = ∫0tC(t-τ)(dσ(τ)/dτ)⋅dτ
dove C(t) è la funzione cedevolezza a creep.
Nel caso del rilassamento si ha
σ = ψ(ε,t) = εR(t)
con R(t) modulo di rilassamento.
Si può dimostrare che modulo di rilassamento e cedevolezza a creep sono legati dagli integrali di convoluzione
∫0tC(t-τ)R(τ)dτ = t = ∫0tR(t-τ)C(τ)dτ
quindi nota C è possibile trovare R e viceversa, almeno in teoria.
Esempio: Modello di Maxwell
E
η
E’ costituito da una molla e uno smorzatore lineare in serie. La molla ha una relazione costitutiva
ε= σ/E
mentre per lo smorzatore si ha
έ = σ/η
Quindi l’equazione costitutiva del modello di Maxwell è
έ = dσ/dt/E + σ/η
Per la prova di creep (σ = cost) si ottiene
12
ε = σ(1/E + t/η) = σC(t)
mentre per la prova di rilassamento si trova
σ = Eεe(-E/η)t = εR(t)
Risulta possibile quindi, svolgendo l’integrale, verificare che
∫0tC(t-τ)R(τ)dτ = t
Identificazione
Le funzioni temporali C(t) e R(t) possono essere ricavate sperimentalmente con una sola prova monoassiale di creep e
di rilassamento.
Plasticità
Le curve σ-ε a trazione e compressione dei materiali metallici duttili, in assenza di scorrimenti
viscosi, presentano un andamento caratterizzato da un tratto lineare elastico e da un tratto elastoplastico, dopo una soglia di tensione pari a σY.
Modelli di plasticità perfetta
Nell’ipotesi di comportamento elastico-perfettamente plastico
Per
σ ≤ σY
σ > σY
ε = σ/E
ε = qualsiasi
Nell’ipotesi di comportamento elastico-plastico con incrudimento ε = εe + εp
Per
σ ≤ σY
σ > σY
εe = σ/E
εe = σ/E
εp = 0
εp = [( σ - σY)/K]m Sgn(σ) 7.3)
Se invece si può trascurare la componente elastica e si fa partire la deformazione plastica da zero si
può usare più semplicemente
ε = [( σ )/K]m Sgn(σ)
Comportamento ciclico
Se la legge di incrudimento monotonica è del tipo εp = g(σ), la relazione tra le creste di
deformazione e di tensione nel comportamento ciclico è dunque ∆εp /2 = g(∆σ/2).
σ
ε
∆σ
∆ε
Fig.1.7.3 Comportamento ciclico
13
In realtà la curva degli apici ciclica non coincide con quella monotonica e quindi si preferisce fare
riferimento direttamente alla curva sperimentale individuata dagli apici e ricavare quindi la funzione
gc :
∆εp/2 = gc(∆σ/2)
Per definizione si indica come curva ciclica la curva ottenuta unendo tutti gli apici di una serie di
cicli simmetrici stabilizzati.
Modelli elastoplastici bilineari di incrudimento isotropo e cinematico
Nel caso della fig.1.7.3, una volta superato il gomito caratterizzato dal valore σY cioè per σ > σY il
legame fra incremento di deformazione e di sforzo può essere scritto in vari modi
dσ = E(dε – dεp)
dσ = Etdε
dσ = Hdεp
dove H è il così detto parametro di incrudimento.
σ
σB
σy
E1
E
ε
D
σ B − 2σ y
−σ B
Fig. 1.7.3 Modello bilineare con incrudimento isotropo e cinematico
Sostituendo la prima e la terza nella seconda si ottiene
H = Et/(1 – Et/E)
Et = E(1 – E/(E+H))
Se Et = 0 anche H = 0 e il materiale è detto elastico-perfettamente plastico.
Uno schema di calcolo unidimensionale può essere il seguente:
Per σ > σY
se dσ > 0 allora dσ = Etdε
se dσ < 0 allora dσ = Edε
Incrudimento isotropo
Se si assume che lo snervamento riappare per σ < - σB allora si parla di incrudimento isotropo
Incrudimento cinematico
L’ipotesi precedente, sebbene usata perché particolarmente semplice, non rispetta la realtà
sperimentale la quale dice che si ha nuovo snervamento allo scarico per σ = σB - σY. Questa ipotesi
è detta di incrudimento cinematico (ramo della curva σ-ε che parte da D e stabilisce nello scarico
elastico un campo di tensione disponibile pari a 2σY.
se dσ < 0 allora dσ = Edε finchè σ - σB < 2σY
Se invece σ - σB > 2σY allora dσ = Etdε
14
Viscoplasticità
Le curve di creep nei materiali metallici si presentano con 3 fasi:
-
creep primario durante il quale l’iniziale alta velocità di deformazione diminuisce
progressivamente per effetto dell’incrudimento del materiale
creep secondario durante il quale la velocità di deformazione è praticamente costante
creep terziario in cui la velocità di deformazione cresce per effetto della diminuzione di sezione
e del danneggiamento interno, fino alla rottura.
ε
cost
=
σ
I
II
III
t
t
r
Fig. 1.7.4 Curva ε-t tipica del creep nei metalli
Questo diagramma non è altro che una sezione di un diagramma tridimensionale a temperatura T
costante ε,σ,t. Si hanno quindi 3 tipi di curve: ε-t, dette di creep, che sono sezioni della superficie
tridimensionale a σ costante, le curve isocrone σ-ε a tempo costante e le curve di rilassamento σ-t ad
ε costante.
Nella fase secondaria, che è la più importante per la sua estensione e per l’entità delle deformazioni,
se si riportano le coppie di valori (έs,σ) a temperatura costante in coordinate logaritmiche, come in
Fig.1.7.5 Rappresentazione logaritmica delle coppie (έs,σ)
Fig1.7.5 si individuano in genere 2 campi: uno in cui la retta ha coefficiente angolare n = 1 e una in
cui n > 1. In questi due campi si parla di creep proporzionale o lineare, per n = 1, e di creep non
lineare, che corrispondono a 2 meccanismi diversi di deformazione: per diffusione di atomi e per
movimento di dislocazioni.
La dipendenza dalla temperatura assoluta è evidenziata da un altro tipo di diagramma, come in fig.
1.7.6.
15
Fig.1.7.6 Dipendenza dalla temperatura(ln έs,1/T)
Le leggi di comportamento nelle fasi del creep sono di tipo empirico:
-
per il creep primario si può scrivere (Andrade) ε = At1/q dove A e q sono coefficienti che
dipendono dal materiale e dalla temperatura
-
per il creep secondario si ha (Norton)
έs = Bσn
7.4)
dove ancora B e n dipendono dal materiale e dalla temperatura. La stessa legge costitutiva si
può esprimere in modo diverso έ = (σ/λ)n .
- per la fase terziaria non si assumono in genere leggi costitutive specifiche perché, se la curva si
riferisce a σ costante e non a carico costante, si può considerare prosecuzione della fase
secondaria. Si studia questa fase con il danneggiamento.
La dipendenza dalla temperatura ammessa generalmente è del tipo έ ~ e(-∆H/RT) dove ∆H è
un’energia di attivazione, con un valore del rapporto ∆H/R che va da 15000 °K a 35000 °K per i
metalli di uso comune e 500 < °K < 1000. Purtroppo risulta sperimentalmente che l’energia ∆H non
è indipendente dallo sforzo e dalla temperatura.
Rilassamento
ε
σ
t
t
Fig. 1.7.7 Risposta al gradino di deformazione (1): rilassamento della tensione σ (2)
16
La prova di rilassamento produce una curva σ-t a deformazione e temperatura costanti, quindi a
velocità di deformazione nulla. Poiché essa avviene a sforzo decrescente, con recupero della
deformazione elastica, con l’ipotesi di legge “time hardening”, per cui la velocità di deformazione
dipende solo dal tempo e non dalla deformazione accumulata, e con riferimento ad un modello del
tipo
E
g
si può scrivere
έ = (1/E)dσ/dt + g(t)σn
dove g(t) è un’opportuna funzione del tempo, ricavata da prove con sforzo variabile (in molti casi –
avendo a che fare con deformazioni in fase secondaria - si può porre g(t) = cost = B). Integrando si
ha
∫dσ/σ = - E ∫ g(t)dt
da cui
σ(t)/σ0 = [1 + (n-1)Eσ0n-1∫ g(t)dt]-1/(n-1)
Identificazione dei parametri viscoplastici
I parametri della legge εp = [( σ - σY)/K]m Sgn(σ) della plasticità monoassiale si ricavano da una
semplice prova di trazione o di compressione a temperatura costante e quindi sono riferibili a quella
temperatura.
I parametri della legge di Norton έ = Bσn si ricavano dai tratti delle curve ε-t (di prove di creep) a
velocità di deformazione costante a diversi livelli di sollecitazione a temperatura e sforzo costanti.
1.8 Criteri di estrapolazione (Larson-Miller)
Si è già detto che le caratteristiche viscoplastiche dipendono fortemente dalla temperatura, per cui
diventa prudente non utilizzare metodi di interpolazione - e soprattutto di estrapolazione – standard
per questa grandezza. Un metodo per prevedere le caratteristiche ad alta temperatura dei metalli,
largamente usato per la sua dimostrata efficacia, è il cosiddetto metodo di Larson-Miller, basato su
una ipotesi particolare di dipendenza dallo sforzo e dalla temperatura.
Esso può fare riferimento o alla velocità di deformazione del creep secondario o al tempo di rottura
del creep terziario.
Nel primo caso l’ipotesi di partenza è che la velocità di deformazione della fase secondaria sia data
dall’espressione
έ = C*e(-∆H/RT)
7.5)
dove, come già detto, ∆H è un’energia di attivazione, T la temperatura assoluta, R la costante di
Boltzman.
L’ipotesi di Larson-Miller è che la dipendenza da σ sia inserita solo in ∆H, cioè ∆H = ∆H(σ) e non
in C*.
Passando ai logaritmi naturali
ln(έ) = lnC*– ∆H(σ)/RT
da cui
∆H(σ)/R = T(lnC* - ln έ)
17
e passando ai logaritmi in base 10 e riscrivendo C = logC*
∆H(σ)/R’= T(C – log έ)
La quantità a sinistra dell’uguaglianza prende il nome di parametro di Larson-Miller, quindi
PLM(σ) = T(C – log έ)
7.6)
Questa relazione è efficacemente rappresentata sul piano log έ – 1/T
logε&
C
σ
Fig. 1.7.8 Rappresentazione della relazione di Larson-Miller
Il suo uso è abbastanza semplice: da una serie di dati disponibili si ricava la costante C. Poi la
relazione stessa viene impiegata per estrapolare i dati ad altre condizioni.
Nel caso di previsione del tempo di rottura si può partire dall’ipotesi che, nella fase terziaria,
trέ = cost
Inserendo questa relazione nella 7.5) e elaborando nello stesso modo si ottiene
7.7)
P’LM(σ) = T(C’ + logtr)
Esempio 1 – Velocità di deformazione secondaria
Si supponga di conoscere i seguenti dati di un acciaio 24 Cr Mo 5:
Tab.1
753 °K (480°C) 813 °K (540°C)
σ0,2/104 (Mpa)
130
60
5
σ0,2/10 (Mpa)
90
25
4
σ1/10 (Mpa)
180
90
Si vuole conoscere la velocità di deformazione a 550 °C (823 °K) con σ = 55 MPa. Dai dati della
Tab. 1 si ricava la Tab.2
Tab.2
753 °K
813 °K
έ (1/ore)
σ (Mpa)
έ (1/ore)
σ (Mpa)
-6
-6
0,2 10
130
0,2 10
60
0,2 10-7
90
0,2 10-7
25
-6
-6
1 10
180
1 10
90
Dai 2 dati con sforzo uguale si può ricavare immediatamente C. Infatti poiché PLM è uguale nei 2
casi si ha dalla 7.6) : 753(C – log 0,2 10-7) = 813(C – log 1 10-6). Quindi C = 15,3.
Si possono adesso ricavare i valori di PLM utilizzando per ciascun dato sempre la relazione 7.6). Si
ottiene la tabella 3
Tab.3
σ (Mpa)
PLM
25
18698
60
17895
90
17317
18
90
130
180
17317
16565
16039
Interpolando questi dati con una funzione cubica si ha σ = 3.6668 104 – 6,0539 x + 3,56 10-4x2 –
6,2597 10-9x3 (dove x= PLM).
In corrispondenza di σ = 55 si ricava PLM = 18100, quindi έ = 2,03 10-7dalla relazione di LarsonMiller.
Esempio 2 - Tempo di rottura e sforzo
Dati alcuni valori di rottura dopo 104 e 105 ore (Tab.4) a varie temperature, si vogliono ricavare i
valori a 823 °K.
E’ nota la tabella seguente
Tab.4
T
°K
σr/104 (Mpa)
σr/105 (Mpa)
693
713
733
753
773
793
813
385
310
340
250
280
200
225
155
175
120
135
82
95
50
Ciascuna coppia di dati alla stessa temperatura può essere interpolata linearmente in campo
logaritmico nei riguardi del tempo di rottura. Tale retta ha equazione log σr = A + a log tr. Per
temperature vicine, per es. la T1 e la T2, si possono considerare i tempi di rottura relativi a coppie
uguali di σr. Dalla relazione 7.7) si ricava il valore di C1’ = (T1 log tr1 – T2 log tr2)/( T1 – T2). Così
facendo per varie coppie, si ottengono vari valori di C’ che mediati forniscono C’ = 22,12.
La procedura è adesso analoga a quella dell’Esempio 1: si ricavano i valori di PLM per tutti i valori e
la curva PLM - σr, quindi in corrispondenza del valore assegnato di σr il corrispondente tempo di
rottura
Per es. per σr = 50 Mpa, T= 823°K, si ha PLM = 22060 e quindi tr = 48348 ore. Viceversa per tr = 105
ore si ricava, sempre alla stessa temperatura, PLM = 22320, da cui σr = 36 Mpa.
1.9 Danneggiamento
S’intende nei metalli per danneggiamento la nascita lo sviluppo e la coalescenza di difetti interni
(cavità) che crescono con la deformazione plastica.
Per definizione il parametro di danno D è dato da
D = 1 - Ae/A
Dove A è l’area totale e Ae l’area resistente effettiva, cioè l’area depurata dei difetti. I limiti di D
sono 0 (materiale non danneggiato) e 1 (materiale totalmente danneggiato).
n
Fig.1.7.9 Danneggiamento interno del materiale sull’area avente normale n
19
Ipotesi di isotropia
Consiste nel supporre le cavità distribuite uniformemente e senza direzioni privilegiate. In questo
caso il parametro D risulta indipendente dall’orientazione della normale n alla superficie resistente
considerata e ha carattere di scalare.
Sforzo effettivo
Nel caso esemplificativo di trazione semplice lo sforzo effettivo si ottiene dividendo la forza
applicata P per l’area effettiva
σe = P/Ae = (P/A)(A/Ae) = σ/(1-D)
Si vede che σe = σ per D = 0 e σe → ∞ per D → 1
Si osservi che si trascura la concentrazione di sforzi dovuta alla presenza dei difetti.
Deformazione
Si fa l’ipotesi che la deformazione effettiva sia solo influenzata dallo sforzo effettivo e non
direttamente dalla presenza di difetti.
Con questa ipotesi si conservano le leggi costitutive e le relazioni valide in assenza di
danneggiamento sostituendo soltanto lo sforzo nominale con quello effettivo. Per esempio la
relazione di elasticità monodimensionale ε = σ/E diviene per un materiale danneggiato
εe = ε = σ/E(1-D)
8.1)
1.10 Misura del danneggiamento
Una misura indiretta del danneggiamento può essere fatta misurando vari parametri: elastici,
plastici, viscoplastici. La misura diretta risulta impossibile normalmente.
Dal modulo elastico
Dalla 7.1) risulta
D = 1- σ/Eεe
cioè, indicando il rapporto σ/εe con Ee
D = 1- Ee/E
Il modulo Ee è quello che risulta da una misura istantanea delle grandezze nominali σ e ε mentre E è
il modulo elastico del materiale non danneggiato. Durante una qualsiasi prova si può quindi
periodicamente misurare il modulo elastico e valutare D.
Dai parametri plastici
Ricordando la relazione 7.3)
εp = [(σ - σY)/K]m
introducendo il danneggiamento
εp = [(σ/(1-D) - σY)/K]m
si ha
D = 1 – σ/(K εp1/m + σY)
Questa relazione è utilizzabile praticamente solo per grandi deformazioni plastiche, dove è bene
introdurre la deformazione naturale εpn = ln(1+εp).
Da caratteristiche viscoplastiche
20
Il danneggiamento da creep è trascurabile nella fase primaria e nella fase secondaria. In questa fase
vale la 7.4)
dεs/dt = Bσn
mentre nella fase terziaria
dεt/dt = B[σ/(1-D)]n
combinando le 2 relazioni e supponendo che l’esponente n non dipenda dal danneggiamento, si
ottiene
D = 1 – (έs/έt)1/n
che si può correggere per tener conto che, se la prova avviene a carico costante invece che a sforzo
costante, l’area resistente varia
D = 1 – (1+ε)/(1+ε*)(έs/έt)1/n
dove ε* è la deformazione all’inizio della fase secondaria.
A fatica ad alto numero di cicli
Per una sollecitazione variabile nel tempo ma stazionaria con valore medio pari a σm > 0 e alternato
pari a σa si ha, secondo la regola di Goodman, la seguente relazione per la resistenza a fatica per il
numero di cicli a rottura N
σa/σf(N) + σm/σr = 1
dove σf(N) e σr sono rispettivamente la resistenza a fatica simmetrica per il numero di cicli N e il
limite di resistenza a trazione del materiale.
Introducendo la relazione
σf(N) = BNb
fornita dall’ipotesi di linearità in campo logaritmico della curva di Wőhler, si ricava
N = [σa/B(1- σm/σr )]1/b
Secondo l’ipotesi di danneggiamento cumulativo lineare di Palmgren-Miner la frazione di danno
per un carico di durata pari a n cicli coincide con n/N
D = n/N
Ne discende che il danno per ciclo è dato da
∂D/∂n = 1/N = 1/ [σa/B(1- σm/σr )]1/b
Questa relazione si può integrare, nel caso generale di variazione della componente media e
alternata con il numero di cicli, tra i limiti D = 0 e D = 1, per ottenere il numero di cicli a rottura.
A fatica a basso numero di cicli
Nel campo della fatica oligociclica le deformazioni plastiche (fig. 1.7.8) diventano preponderanti e
σ
∆ ε el
∆σ
∆ ε pl
ε
Fig. 1.7.8 Ciclo di isteresi durante la fatica oligociclica
21
si può quindi ammettere che il danneggiamento per ciclo sia funzione dell’ampiezza della
deformazione plastica nel ciclo
∂D/∂n = f(∆εpl)
Ipotizzando una funzione potenza e usando la semiampiezza di deformazione
∂D/∂n = [(∆εpl/2)/ε’f]-1/c
con ε’f coefficiente di duttilità a fatica, si ottiene, per ∆εpl costante, integrando (per D fra 0 e 1 e n
fra 0 e Nf)
Nf = [(∆εpl/2)/ε’f]1/c
e quindi
∆εpl/2 = ε’fNfc
relazione che lega nella fatica oligociclica la semiampiezza di deformazione plastica al numero di cicli di rottura Nf. Si
perviene quindi per questa via alla stessa relazione espressa direttamente (empiricamente) dalla legge di MansonCoffin.
22
2. Elementi di Meccanica dei Solidi
Concetto di continuo
La Meccanica dei Solidi (MS) classica considera il materiale come un mezzo ideale privo di
discontinuità, cioè prende in esame i problemi relativi solo a una scala sufficientemente grande, in
modo tale che la struttura reale atomica possa essere trascurata. A tale scala si perdono i dettagli
non solo della struttura atomica, ma anche quelli della struttura macroscopica reale di compositi e
mezzi eterogenei (scala fibra-matrice).
E’ invalsa l’abitudine di utilizzare i simbolismi del calcolo tensoriale per trattare in modo compatto
le relazioni della Meccanica dei Solidi. D’altra parte il concetto stesso di tensore è nato, come dice
la parola stessa, dalla MS.
2.1 Vettori e Tensori
La trattazione di grandezze vettoriali e tensoriali può essere fatta o in forma sintetica, come già
detto, sfruttando la regola di Einstein di saturazione degli indici, oppure in forma matriciale. Noi
seguiremo entrambe.
La separazione tra vettori e tensori è puramente convenzionale, rientrando i vettori nel concetto
generale di tensore di ordine qualsiasi.
Noi utilizzeremo la notazione tensoriale compatta per esprimere relazioni generali e le matrici per
trattare praticamente tali relazioni.
Il tensore è una grandezza matematica che rappresenta una quantità fisica, avente in genere più di
una componente, che varia col sistema di riferimento, secondo equazioni caratteristiche. Se ci si
riferisce ad un sistema cartesiano di riferimento, come noi faremo prevalentemente, il tensore si
dice cartesiano. L’ordine del tensore è correlato direttamente con il numero delle componenti
cartesiane che esso ha. Pertanto il tensore di ordine zero è uno scalare, il tensore di ordine uno è un
vettore e il tensore di ordine due ha nove componenti scalari (cioè è composto da tre vettori); il
tensore di ordine quattro ha 81 componenti scalari. Il tensore si indica con la notazione indiciale,
per es. quello doppio con Aij
Dove gli indici (in realtà pedici) valgono 1,2,3 ordinatamente. La ripetizione dello stesso indice
indica una sua saturazione e quindi convenzionalmente una somma:
Analogamente:
R = Aii = A11 + A22 + Ai33
Ri = Aij bj= Ai1 ⋅b1+ Ai2 ⋅b2+ Ai3 ⋅b3
Elencati in tabella sono i seguenti più comuni tensori:
Esempio
A
Aii
ui
εij
Aijkl
Quantità
Scalare
Scalare (A11 + A22 + Ai33)
Vettore
Tensore di ordine 2
Tensore di ordine 4
Indici attivi
0
0
1
2
4
del tipo
Vi’ = aijVi
2.1)
23
Dove l’insieme dei termini aij è la matrice dei coseni direttori della terna xi rispetto alla terna x’i. Il
termine generico aij più propriamente è il coseno dell’angolo θij che l’asse x’i forma con l’asse xj .
Quindi in forma esplicita:
VI‘= aijVJ = cosθi1V1 + cosθi2V2 + cosθi3V3
La trasformazione
Vi’ = aijVj
si può scrivere in forma matriciale, omettendo le parentesi quadre o graffe per semplicità,
V’ = aV
Intendendo ovviamente con V e V’ matrici colonna (vettori) 3x1 e con a una matrice quadrata 3x3.
Tale relazione si può invertire
V = a-1V’
La matrice a-1 è l’inversa di a . Si noti che in questo caso particolare, matrice di coseni direttori,
risulta anche
a-1 = aT
cioè la matrice dei coseni direttori è ortogonale.
Per un tensore del secondo ordine vale la regola di trasformazione
σij’ = aikaljσkl
2.2)
ovvero in forma matriciale, intendendo con σ la matrice (3x3) delle componenti del tensore
σ’ = a σ aT 2.2a)
Dalla definizione di coseno direttore risulta che
aikalj = 1 se i = j
= 0 se i ≠ j
cioè aikalj = δij (indice di Kronecker).
La trasformazione di un tensore del quarto ordine si effettua con la regola
Cijkl’ = aimanj arkasl Cmnrs
2.3)
Ovvero in forma matriciale
C’ = TTCT
Dove T è una matrice opportuna formata da prodotti di coseni direttori (che si vedrà espressamente
nel prossimo paragrafo).
2.2 Tensore di deformazione
Per descrivere lo stato deformato di un corpo è sufficiente un tensore di ordine 1, specificamente il
vettore spostamento del punto ui. Tuttavia è utile introdurre un tensore di deformazione del secondo
ordine per meglio correlarlo al tensore di sforzo.
In un solido deformato lievemente, per un elemento infinitesimo del quale si possa trascurare sia la
distorsione curvilinea dei lati che i termini superiori al primo dello sviluppo in serie, si può scrivere:
εij = ½(ui,j + uj,i)
i,j = 1,2,3
2.4)
dove la notazione ui,j ha il significato ui,j = ∂ui/∂xj.
Da notare che nella definizione tecnica delle deformazioni si usano grandezze che coincidono con le
precedenti solo quando i = j, mentre non coincidono quando i ≠ j, essendo in questo caso
γij = 2εij
Si osservi che solo εij ha carattere tensoriale e solo per esso vale la regola di trasformazione 2.2),
mentre questo non vale per le deformazioni tecniche.
24
La regola matriciale di trasformazione di coordinate si può applicare, in forma semplificata,
ponendo la matrice ε in forma vettoriale, sfruttando la simmetria per cui si limitano le componenti a
6
εT = {ε11 ε22 ε33 ε12 ε23 ε31}
chiamando con T la matrice
a112
a122
a132
a11a12
a12a13
a13a11
a212
a222
a232
a21a22
a22a23
a23a21
a312
a322
a332
a31a32
a32a33
a33a31
2a11a21
2a21a31
2a31a11
2a12a22
2a22a32
2a32a12
2a13a33
2a23a33
2a33a13
a11a22 + a12a21 a21a32 + a22a31 a31a12 + a32a11
a12a23 + a13a22 a22a33 + a23a32 a32a13 + a33a12
a13a21 + a11a23 a23a31 + a21a33 a33a11 + a31a13
si ha
ε’ = Tε
2.3 Tensore di sforzo
Separando un elemento infinitesimo di solido sotto sforzo in equilibrio, si possono mettere in
evidenza sulle superfici di separazione dei vettori sforzo, intesi come forze per unità di superficie,
quindi con le dimensioni di una pressione. Il vettore generico non è normale alla superficie e ha 3
componenti scalari cartesiane. L’insieme dei 3 vettori agenti sulle superfici normali agli assi
cartesiani costituisce il tensore di sforzo, che ha quindi 9 componenti cartesiane. Esso si trasforma
secondo la relazione 2.2)
σij’ = aikaljσkl
In modo del tutto simile a quanto visto per il tensore di deformazione, in forma matriciale
semplificata, si ha
σ’ = Tσ
con la stessa matrice T vista in quel caso.
Condizioni di equilibrio interno
Le equazioni cardinali della statica applicate all’elemento infinitesimo di volume in equilibrio
diventano
2.5a)
σij,j + Fi= 0
2.5b)
σij = σji
dove le Fi sono le forze per unità di volume applicate all’elemento.
Condizioni al contorno
L’equilibrio sulla superficie che delimita il solido, dove sono applicate azioni esterne, si può
scrivere come
Ti = σijnj
i,j = 1,2,3
Con n è stato indicato l’asse normale alla superficie (s,t sono 2 assi tangenti), ni sono i coseni
direttori della normale rispetto agli assi xi e le Ti (dette azioni superficiali) sono le componenti
dell’azione esterna (dimensionalmente pressioni).
Direzioni principali
Con riferimento al tensore di sforzo, ma lo stesso ragionamento si può fare per il tensore di
deformazione, si può partire dall’ipotesi che esista un particolare sistema di riferimento rispetto al
25
quale il tensore di sforzo si riduca solo alle componenti non nulle σii che indicheremo con σ1 σ2 e
σ3. Procedendo in forma matriciale e indicando con a la matrice dei coseni direttori che individua le
direzioni principali, si ha
σ1
T
aσ a = [ σ2
] = σp
σ3
Cioè, moltiplicando a sinistra e a destra dell’uguaglianza per aT e osservando che aTa= I (matrice
unitaria) si ottiene
σ aT = aT σp
Limitando questa relazione matriciale alla prima colonna di aT soltanto (ma lo stesso discorso può
ripetersi per la seconda e la terza) si ha
┌ σ11 σ12 σ13 ┐ a11
a11
│σ21 σ22 σ23 │{ a12} = { a12} σ1
└σ31 σ32 σ33 ┘ a13
a13
Quindi si può scrivere
┌ σ11 σ12 σ13 ┐ a11
┌1
┐ a11
│σ21 σ22 σ23 │{ a12} - │ 1 │ { a12}σ1 = 0
└σ31 σ32 σ33 ┘ a13
└
1 ┘
a13
Perché il sistema omogeneo abbia soluzione deve annullarsi il determinante dei coefficienti
┌ σ11 -σ1 σ12 σ13 ┐
det│ σ21
σ22-σ1 σ23 │ = 0
└ σ31
σ32 σ33 -σ1 ┘
Ne nasce un’equazione di terzo grado in σ1 che ammette 3 soluzioni reali – le 3 tensioni principali a cui corrispondono 3 terne di coseni direttori e quindi 3 assi ortogonali.
L’equazione ha la forma
σ13 –I1 σ12 + I2 σ1 – I3 = 0
dove I1 I2 I3 sono gli invarianti principali dello stato di sforzo:
I1 = σ11 + σ22 + σ33
I2 = σ11σ22 - σ122 + σ22σ33 - σ232 + σ33σ11 - σ312
I3 = σ11σ22σ33 + 2σ12σ23σ31 - σ13σ22σ31 - σ21σ12σ33 - σ32σ23σ11
26
Continuità
- Spostamenti
La continuità degli spostamenti deve essere assicurata su ogni superficie (linea) di un solido integro.
Se invece si producono superfici di scorrimento o di separazione oppure cavità, etc. tale condizione
non può più essere soddisfatta.
Essa si esprime con relazioni tipo
ui’ = ui”
dove ui’ e ui” sono componenti di spostamento calcolate a destra e a sinistra della superficie.
- Azioni superficiali
Per l’equilibrio, anche le azioni superficiali devono essere continue lungo superfici e linee. Con le
stesse convenzioni precedenti
Ti’ = Ti”
Ora se ci si riferisce alla terna n,t,s,
Tn = σnn, Tt = σnt, Ts = σns
2.6)
Ne consegue che devono essere continue anche le componenti σnn, σnt, , σns.
Da notare che questa continuità non è richiesta per le altre 3 componenti indipendenti del tensore di
sforzo.
2.4 Congruenza
Si è detto che il corpo deformato è descritto compiutamente dal vettore spostamento del punto ui.
Introducendo invece il tensore di deformazione εij , si perviene ad un numero di equazioni
insufficiente a risolvere il problema. Bisogna quindi introdurre ulteriori equazioni. Queste sono le
cosiddette equazioni di congruenza, ottenute eliminando le incognite ui. Si procede così:
εij = ½(ui,j + uj,i)
derivando
εij,kl = ½(ui,jkl + uj,ikl)
quindi scambiando gli indici
εkl,ij = ½(uk.lij + ul,kij)
εjl,ik = ½(uj,lik + ul,jik)
εik,jl = ½(ui,kil + uk,ijl)
infine si ottiene
εij,kl + εkl,ij - εik,jl - εjl,ik = 0
2.7)
Soltanto 6 delle 81 equazioni precedenti sono indipendenti. Cioè rispetto agli assi x,y,z:
εxx,zy = -εyz,xx + εzx,yx + εxy,zx
εyy,xz = -εzx,yy + εxy,zy + εyz,xy
εzz,yx = -εxy,zz + εyz,xz + εzx,yz
2.8)
2εxy,yx = εxx,yy + εyy,xx
2εyz,zy = εyy,zz + εzz,yy
2εzx,xz = εzz,xx + εxx,zz
2.5 Equazioni costitutive
Le relazioni tra sforzi e deformazioni nel caso di materiale elastico lineare sono
σij = Cijklεkl
2.9a)
27
εij = Cijkl-1σkl = Sijklσkl
In forma matriciale semplificata (con i vettori σ e ε)
σ = Cε
ε = Sσ con S = C-1
2.9b)
Cambiamento del sistema di riferimento
Se si passa dal sistema x al sistema x’ la matrice elastica cambia con la regola
S = TTS’T
2.10)
Infatti, poiché si conserva l’energia di deformazione W = ½σTε = ½σTSσ, si può scrivere
σTSσ = σ’TS’σ’
cioè
σTSσ = σTTTS’Tσ
da cui la 2.10).
L’esistenza dell’energia di deformazione, grandezza scalare, richiede la simmetria di S o C. Infatti
W = ½σTε = ½ εTCTε = ½εTσ = ½ εTCε, per cui CT = C. Inoltre l’invarianza della matrice elastica
rispetto a 2 ribaltamenti successivi di 180° del sistema di riferimento per un materiale ortotropo
porta al disaccoppiamento delle deformazioni estensionali εii dalle tensioni σii e delle
deformazionali tangenziali εij dalle tensioni σij e alla riduzione a 9 dei termini indipendenti della
matrice elastica. Per un materiale isotropo si ha una riduzione a 2, per cui
S11 = S22 = S33 = 1/E S12 = S13 = S23 = - ν/E S44 = S55 = S66 = 1/G con G = E/2(1+ν)
3. Casi elastici monodimensionali
Dove la geometria della struttura e la distribuzione dei carichi lo consentono, cioè quando si ha a
che fare con le cosiddette travi soggette a trazione e flessione, si conserva solo una componente
dello stato di sforzo, ad esempio σz. In caso di assenza di forze di volume le equazioni di equilibrio
indefinito si riducono a ∂σz∂z = 0,cioè σz deve essere considerata costante. Questo avviene solo nel
caso di trave soggetta a trazione in assenza di variazione di sezione o a flessione costante. Tutti gli
altri casi non rispettano rigorosamente la condizione di equilibrio interno.
3.1 Flessione di travi a forte curvatura
Le ipotesi di base per la trattazione di questo caso sono qui compendiate:
- elasticità del materiale
- conservazione della planarità della sezione prima e dopo la deformazione
- stato di sforzo monodimensionale
- azione normale applicata al baricentro
Un tronco compreso fra due piani passanti per il centro di rotazione, formanti l’angolo dθ si
deforma come in fig. 3.1. Si noti preliminarmente che l’azione N s’intende applicata al baricentro
della sezione, la cui posizione è individuata dal raggio RG rispetto al centro O. La fibra di lunghezza
iniziale rdθ si porta alla lunghezza r(dθ + ∆dθ) + y dα, dove y è la distanza dall’asse neutro. Risulta
quindi
εθ = [r(dθ + ∆dθ) + y dα – rdθ]/ rdθ = ∆dθ/dθ + ydα/rdθ
Si riconosce che il termine ∆dθ/dθ è dovuto all’azione normale N, mentre ydα/rdθ è dovuto al
momento flettente.
Con l’ipotesi di elasticità monodimensionale si ha
σθ = Eεθ = E∆dθ/dθ + Eydα/rdθ = σθN + σθM
Si vede come la distribuzione di σθ nella sezione è costituita da un termine indipendente da r, σθN,
dovuto all’azione normale N, e da un termine variabile con y/r, σθM,dovuto al momento flettente M.
Da notare che l’origine dell’asse y è l’asse neutro, non più baricentrico. Si ha inoltre
28
N = ∫A σθNdA = EA∆dθ/dθ
3.1)
y
dα
dα
Re
RG
N
r
N
M
Ri
M
Ro
∆dθ
∆dθ
2dϑ
O
Fig. 3.1 Deformazione di un tratto di trave a forte curvatura soggetto a flesso-trazione
La posizione dell’asse neutro si determina scrivendo la relazione
0 = ∫AσθMdA = ∫AEydα/rdθ)dA
Indicando con Ro il raggio, dal centro O, dell’asse neutro:
0 = ∫A (Eydα/rdθ)dA = ∫A (E(r-Ro)/r )dα/dθdA = Edα/dθ∫A ((r-Ro)/r )dA
Si ricava infine 0 = ∫A ((r-Ro)/r )dA = A - Ro ∫A (1/r )dA e quindi
Ro = A/∫A (1/r )dA
3.2)
L’ulteriore relazione
M = ∫AσθydA = ∫A (Ey2dα/rdθ)dA = ∫A (E(r-Ro)2/r )dα/dθdA = Edα/dθ∫A(r-2Ro + Ro2/r)dA =
(Edα/dθ)yGA
avendo indicato con yG la distanza del baricentro dall’asse neutro, fornisce
Edα/dθ = M/yGA
3.3)
Quindi in definitiva si hanno le relazioni
σθN = N/A
σθM = My/ryGA
che insieme alle
∆dθ = Ndθ/EA
dα = Mdθ/EyGA
ricavate dalle 3.1) e 3.3), e alla 3.2) costituiscono le relazioni di base per risolvere problemi
strutturali.
La non coincidenza fra asse neutro e baricentro comporta le seguenti espressioni per lo spostamento
circonferenziale in corrispondenza del baricentro e per la rotazione della sezione
duG = RG∆dθ + yGdα = = NRGdθ/EA + Mdθ/EA
dφ = ∆dθ + dα = Ndθ/EA + Mdθ/EyGA
29
3.2 Centro di taglio
La formula di Zurawskij per l’azione di taglio dice che τ = TS/bI dove T è l’azione di taglio, S è il
momento statico della parte superiore (o inferiore) della sezione, messa in evidenza da un taglio
opportuno (lungo la linea di taglio la τ deve essere costante), rispetto all’asse neutro, b la larghezza
della sezione in corrispondenza del taglio e I il momento d’inerzia della sezione rispetto all’asse
neutro.
Se si ha a che fare con una sezione non simmetrica rispetto all’asse di sollecitazione, quale quella di
fig. 3.2 e si opera un taglio nel tratto orizzontale si può scrivere per la parte di sezione di lunghezza
x e spessore b, S = bd x. Quindi τ = Tbd x/bI =T d x/I. Nel tratto verticale si ha S = bwd + by(dy/2).
w
τ
y
C
x
d
e
τ
O
b
T
Fig. 3.2 L’azione di taglio T è verticale
La distribuzione delle τ lungo la sezione è tale da esercitare una coppia torcente, a meno che
l’azione di taglio non passi per un punto opportuno (C), detto centro di taglio. Per il calcolo
dell’eccentricità “ e” basta imporre l’equivalenza del momento intorno a O dovuto alle τ e al taglio
T:
2d∫A’ τdA’ = 2d∫0wτb dx = Te
avendo indicato con A’ l’area di ciascuno dei due piatti orizzontali. Si ricava (I = mom.d’inerzia)
e = bd2w2/ I
3.3 Flessione e taglio di travi a sezione composita
La flessione di travi a sezione simmetrica rispetto all’asse di sollecitazione con più materiali elastici
si può trattare con le consuete ipotesi di base della flessione retta, purchè si possa assumere che la
contrazione trasversale dei diversi materiali sia sostanzialmente identica.
Cioè se si ammette che la sezione ruoti intorno all’asse neutro mantenendosi piana, la
deformazione, con z asse longitudinale, può ritenersi funzione lineare della distanza y dall’asse
neutro ε = ky, dove k è la curvatura della trave in direzione z. Risulta quindi σ = Eε = Eky.
y
E1
E2
E3
x
Fig. 3.3 Sezione con asse di simmetria verticale composita
30
Equilibrio assiale
Dalla condizione di equilibrio alla traslazione lungo l’asse z della sezione, in mancanza di azione
normale, si può ricavare la posizione dell’asse neutro. Infatti la relazione 0 = ∫ σ dA = ∫ Eε dA =
∫ Eky dA = k∫ Ey dA, espressa in funzione della posizione incognita dell’asse neutro, è sufficiente a
tale scopo. Si noti che l’assunzione σ = Eε vale solo in mancanza di tensioni trasversali, la cui
presenza comporterebbe uno stato doppio di tensione.
Il caso in esame differisce quindi da quello per un solo materiale per il fatto che E risulta funzione
di y e non può essere portato fuori dall’integrale.
Equilibrio alla rotazione della sezione
La condizione di equilibrio alla rotazione intorno all’asse neutro si scrive come
M = ∫ σy dA = ∫ Eεy dA = ∫ Eky2 dA = k∫ Ey2 dA
da cui k = M/∫ Ey2 dA e quindi
σ = Eε = Eky = Ey M/∫ Ey2 dA
Si osservi che, nota la curvatura k, è possibile calcolare la rotazione lungo z: dφ = k dz.
Taglio
La determinazione della tensione di taglio si effettua generalizzando il procedimento di Zurawskij,
scrivendo la condizione di equilibrio alla traslazione assiale di una parte della trave ottenuta con due
piani normali all’asse z distanti tra loro dz e un piano normale all’asse y a distanza arbitraria
dall’origine.
T + dT
σ + dσ
dz
y
σ
M + dM
A'
M
b
z
τ
T
Sui piani verticali di area A’ agiscono le σ e le σ + dσ, dovute al momento flettente
(σ = Ey M/∫AEy2dA, dove A è l’area totale della sezione), mentre sul piano orizzontale inferiore di
area bdz agisce la τ supposta costante. τ è positiva su tale piano se contraria all’asse z e quindi sulla
sezione è positiva se diretta in verso contrario all’asse y. Pertanto si ha
τ bdz = ∫ A’dσ dA’ = ∫ A’ (Ey dM/∫ Ey2 dA) dA’
dove dM si può sostituire con Tdz
τ bdz = ∫A’ (Ey Tdz/∫AEy2 dA) dA’
L’integrale ∫AEy2 dA e T non dipendono da A’ e quindi possono portarsi fuori dal rispettivo
integrale. Così si ottiene
τ = T ∫A’ Ey dA’ /b∫AEy2 dA
Gli integrali a numeratore e a denominatore possono intendersi come una generalizzazione dei
termini S ed I della formula di Zurawskij per sezioni omogenee.
31
4.Teoria dell’elasticità bidimensionale
Il problema più generale elastico presenta 15 incognite: 6 εij (deformazioni), 6 σij (sforzi), 3 ui
(spostamenti). Sono disponibili 6 relazioni deformazioni-spostamenti (2.4), 3 equazioni di
equilibrio indefinito (2.5a), 6 relazioni di elasticità (2.9), in totale 15 equazioni, che con le
opportune condizioni al contorno risolvono almeno in via di principio il problema tridimensionale
elastico. Noi ci riferiamo a 2 problemi semplificati, a 2 dimensioni, cioè il caso dello stato piano di
sforzo e quello del caso piano di deformazione.
4.1 Stato piano di sforzo (SPS)
E’ il caso della piastra sottile caricata da forze che giacciono sul piano stesso. Assumendo una terna
di riferimento con l’asse z normale al piano medio e x e y giacenti su questo, si ha per ipotesi σz =
τzx= τzy = 0. Le equazioni di equilibrio (2.5a) si riducono in questo caso a
4.1a)
∂σx/∂x + ∂τxy/∂y + Fx = 0
∂σy/∂y + ∂τxy/∂x + Fy = 0
4.1b)
In presenza di azioni superficiali Ti le condizioni al contorno si esprimono con le
Tx = σx nx + τxy ny
4.2a)
Ty = σy ny + τxy nx
4.2b)
Dove nx, ny sono i coseni direttori della normale n rispetto agli assi x e y.
Le relazioni deformazioni-spostamenti si riducono per il caso piano di sforzo alle
εx = ∂u/∂x
εy = ∂v/∂y
γxy = ∂u/∂y + ∂v/∂x
derivando la prima 2 volte rispetto a y, la seconda 2 volte rispetto a x e la terza una volta rispetto a x
e una rispetto a y, si ottiene la condizione di congruenza
∂2εx/∂y2 + ∂2εy/∂x2 = ∂2γxy/∂x∂y
4.3)
Le relazioni costitutive sforzi-deformazioni sono:
εx = 1/E⋅(σx - νσy) εy = 1/E⋅(σy - νσx) γxy = τxy/G
4.4)
Sostituendo nell’equazione 4.3) si ottiene
∂2⋅(σx - νσy)/∂y2 + ∂2⋅(σy - νσx)/∂x2 = 2(1+ν)∂2τxy/∂x∂y 4.5)
Considerando inoltre le eq. di equilibrio indefinito 4.1) derivando la prima rispetto a x e la seconda
rispetto a y e sommando si ottiene, facendo sistema con la 4.5)
(∂2/∂x2 + ∂2/∂y2) ⋅(σx + σy) = - (1+ν)(∂Fx/∂x+∂Fy/∂y)
4.6)
Si noti che nel caso di forze di volume costanti, l’eq. 4.6) non dipende da alcuna caratteristica del
materiale.
Nel caso di forze di volume nulle, possiamo scrivere il sistema di equazioni differenziali
∂σx/∂x + ∂τxy/∂y = 0
4.7)
∂σy/∂y + ∂τxy/∂x = 0
2
2
2
2
(∂ /∂x + ∂ /∂y ) ⋅(σx + σy) = 0
con condizioni al contorno del tipo di quelle fornite dalle eq. 4.2).
Funzione di sforzo
Il problema può essere ulteriormente semplificato introducendo la funzione di sforzo φ(x,y) tale che
σx = ∂2φ/∂y2 σy = ∂2φ/∂x2 τxy = - ∂2φ/∂x∂y
4.8)
Sostituendo nella terza delle 4.7) si ottiene
∂4φ/∂x4 + ∂4φ/∂y4 + 2∂4φ/∂x2∂y2 = 0
che si può scrivere in forma compatta come
∇4ϕ= 0
4.9)
avendo indicato con ∇4 l’operatore biarmonico
∇4 = (∇2)2 = (∂2/∂x2 + ∂2/∂y2)2 = ∂4/∂x4 + ∂4/∂y4 + 2∂4/∂x2∂y2
32
Presenza di effetti termici
Il caso di stato di sforzo piano con presenza di salto termico ∆T può essere preso in considerazione
semplicemente correggendo le relazioni di elasticità 4.4) nel modo seguente
εx = 1/E⋅(σx - νσy) + α∆T
εy = 1/E⋅(σy - νσx) + α∆T
γxy = τxy/G
4.10)
Si ottiene in definitiva
∇4ϕ = - E∇2α∆T
4.11)
dove ∇2 = (∂2/∂x2 + ∂2/∂y2) è l’operatore laplaciano.
4.2 Stato piano di deformazione (SPD)
Se la dimensione del corpo nella direzione z è estremamente grande e se si suppone che le sezioni
d’estremità non possano traslare, allora si può ipotizzare che w = 0 dovunque. Poiché le componenti
u e v non dipendono da z, si ha
εz = ∂w/∂z = 0
γyz = ∂v/∂z + ∂w/∂y = 0
γxz = ∂u/∂z + ∂w/∂x = 0
Inoltre
σz = ν(σx + σy)
Le relazioni sforzi-deformazioni diventano
εx = 1/E⋅[(1-ν2)σx - ν(1 + ν)σy]
εy = 1/E⋅[(1-ν2)σy - ν(1 + ν)σx]
γxy = τxy/G
4.12)
Procedendo in modo simile al precedente, definendo nello stesso modo la funzione di sforzo, si
ottiene, se le forze di volume sono costanti e se è presente un effetto termico
∇4ϕ = - E’∇2α’∆T 4.13)
dove
E’ = E/(1-ν2) α’ = α(1 + ν) 4.14)
Un’ulteriore generalizzazione delle 4.11) e 4.13) si ha considerando anche forze di volume
conservative cioè con un potenziale V(x,y) tale che Fx = - ∂V/∂x, Fy = - ∂V/∂y.
Si ottiene ∇4ϕ = - E’∇2α’∆T – (1-ν’)∇2V dove rispettivamente E’ = E, α’= α, ν’= ν per SPS,
mentre per SPD valgono le 4.14) e anche ν’= ν/(1-ν).
4.3 Soluzioni in forma chiusa
Da notare che sia per lo stato piano di sforzo che per quello piano di deformazione le condizioni al
contorno 4.2) sono esprimibili con la funzione di sforzo
Ty = ∂2φ/∂x2 ny - ∂2φ/∂x∂y nx
4.15)
Tx = ∂2φ/∂y2 nx - ∂2φ/∂x∂y ny
Notiamo infine che in assenza di forze di volume sia in SPS che in SPD il problema si può risolvere
trovando la funzione ϕ che soddisfi la 4.11) o la 4.13), con le condizioni al contorno 4.15).
Purtroppo la soluzione analitica in forma chiusa per un problema qualsiasi non esiste; essa è
disponibile solo per alcuni casi semplici.
Il metodo di soluzione ‘inverso’ procede invece a ritroso.
1) Viene assegnata la funzione ϕ per la quale risulterà ∇4ϕ = f(x,y). A questo punto si assume
E∇2α∆T = -f(x,y)
2) Viene definito un contorno arbitrario. Su di esso devono essere assegnate le condizioni 4.2).
Essendo stata definita ϕ risulta agevole il calcolo dei termini differenziali delle 4.15). Vengono
quindi calcolate a posteriori le Ti coerenti con tali relazioni.
3) Possono essere quindi calcolati gli sforzi del problema, adoperando le 4.8).
Consideriamo il caso semplice con ∆T = 0. Vale allora la 4.9). Molte funzioni ϕ la soddisfano. Per
esempio i polinomi della forma Cijxiyj.
33
Tab.4.1
ϕ
σx
σy
τxy
Condizioni al
contorno
Xa Xb Xc Xd
Ya Yb Yc Yd
y
2b
2a
1
0
2C20
0
Yb = -2C20
Yd = 2C20
C30x3
0
6C30x
0
Yb = -6C30x
Yd = 6C30x
C02y2
2 C02
0
0
Xa = -2C02
Xc = 2C02
C03y3
6 C03y
0
0
Xa = -6C03y
Xc = 6C03y
C20x2
2
3
4
5
C11xy
0
0
- C11
6
C12xy2
2 C12x
0
- C12y
Xb = C11
Xd = -C11
Ya = C11
Yc = -C11
Xa = 2C12a
Xb = -2C12b
Xc = -2C12a
Xd = -2C12b
Ya = 2C12y
Yc = -2C12y
34
7
C13xy3
6 C13xy
0
-3
C13y2
0
2C21y
- C21x
0
6C31xy
-
Xa = 6C13ay 7
Xb = 3C13b2
Xc = 6C13ay
Xd = -3C13b2
Ya = 3C13y2
Yc = -3C13y2
C13xy3
8
C21x2y
9
C31x3y
3C31x2
Gi sforzi e le forze superficiali associati per un contorno rettangolare, sono indicati nella tabella 4.1.
Combinando più casi della tabella si possono ottenere soluzioni interessanti.
Esempio
Flessione di una trave a mensola
Una trave con sezione rettangolare di lati w e 2b, di lunghezza l, è vincolata rigidamente ad un
estremo e libera all’altro, dove è applicata una forza verticale P. Il sistema di riferimento x-y ha
origine nell’estremo libero e asse x diretto come la trave.
P
w
x
y
Fig. 4.1 Trave a mensola
Si possono sommare le due soluzioni 5 e 7.
La funzione di sforzo è
ϕ = C11xy + C13xy3
e gli sforzi associati alle 4.8) sono
σx = 6 C13xy σy = 0 τxy = - C11 -3 C13y2
Le costanti C11 e C13 si determinano con le condizioni al contorno
P = ∫-bb -wτxy(x=0)dy τxy (y=±b) = 0
Da cui
C11 = -3 C13 b2 C13 = -P/4wb3
Si può notare che la soluzione precedente coincide con quella elementare delle travi. Le ipotesi alla
base di questa soluzione sono le seguenti:
- La distribuzione delle azioni superficiali di taglio all’estremità, che è determinata dalla forza P,
deve essere parabolica
35
-
La distribuzione delle azioni normali all’incastro deve essere lineare in y.
Se il caso reale si allontana da queste ipotesi, allora la soluzione non è valida. Tuttavia lo sarà
sufficientemente lontano dalle superfici corrispondenti a x = 0 e x = l.
4.4 Coordinate polari
Per i dischi e per i problemi dei fori è opportuno introdurre le coordinate polari:
r2 = x2 + y2 θ = arctan y/x
4.16)
da cui
∂r/∂x = x/r = cosθ ∂r/∂y = y/r = sinθ
4.17a)
2
2
∂θ/∂x = -y/r = -sinθ/r
∂θ/∂y = x/r = cosθ/r
4.17b)
Per un elementino infinitesimo in coordinate polari, le equazioni di equilibrio radiale e
circonferenziale, in stato piano di sforzo, si scrivono
σ r + dσ r
τ r ϑ + d τ rϑ
r + dr
σϑ
τ ϑ r + d τ ϑr
σ θ + dσ ϑ
R
τ ϑr
σ
τ rϑ
r
r
dθ
∂σr/∂r + 1/r∂τrθ/∂θ + (σr - σθ )/r + R = 0
4.18a)
1/r∂σθ/∂θ + ∂τrθ/∂r + 2 τrθ/r = 0
4.18b)
dove con R si è indicata la forza (per unità di volume) radiale presente. Tali relazioni sono
l’equivalente in coordinate polari delle 4.1). La funzione di sforzo può essere introdotta con le
seguenti definizioni:
σr = 1/r ∂ϕ/∂r + 1/r2 ∂2ϕ/∂θ2
4.19)
σθ = ∂2ϕ/∂r2
2
2
τrθ = 1/r ∂ϕ/∂θ - 1/r ∂ ϕ/∂r∂θ = - ∂/∂r(1/r ∂ϕ/∂θ)
La trasformazione delle relazioni differenziali per la funzione di sforzo sono le seguenti:
∂ϕ/∂x = ∂ϕ/∂r⋅∂r/∂x + ∂ϕ/∂θ⋅∂θ/∂x = ∂ϕ/∂r⋅cosθ - 1/r ∂ϕ/∂θsinθ
per ottenere la derivata seconda sfruttiamo la relazione formale
∂2ϕ/∂x2 = (∂/∂r⋅cosθ - 1/r ∂/∂θsinθ)(∂/∂r⋅cosθ - 1/r ∂/∂θsinθ)ϕ =
2
2
2
∂ ϕ/∂r ⋅cos θ - 2/r⋅∂2ϕ/∂θ∂rsinθcosθ + ∂ϕ/∂r⋅sin2 θ/r + 2∂ϕ/∂θsinθcosθ/r2 + ∂2ϕ ∂θ2sin2θ/r2
procedendo allo stesso modo per ∂2ϕ/∂y2 e sommando si ottiene
∂2ϕ/∂x2 + ∂2ϕ/∂y2 = ∂2ϕ/∂r2 + 1/r ∂φ/∂r + ∂2ϕ ∂θ2/r2
Da cui, per il caso di forza di volume nulla, si ha
∇4ϕ= (∂2/∂x2 + ∂2/∂y2)2ϕ= (∂2/∂r2 + 1/r ∂/∂r + ∂2 /∂θ2/r2 )( ∂2ϕ/∂r2 + 1/r ∂φ/∂r + ∂2ϕ ∂θ2/r2) = 0
4.20)
36
Esempi
Problema con simmetria assiale
Se lo stato di sforzo non dipende da θ il problema si semplifica notevolmente. In questo caso τrθ = 0
e rimane solo la 4.18a) nella forma semplificata
dσr/dr + (σr - σθ )/r + R = 0
Se R = 0, l’eq. differenziale biarmonica 4.20) diventa un’equazione differenziale alle derivate totali
(d2/dr2 + 1/r d/dr)2φ = d4ϕ/dr4 + 2/r d3ϕ/dr3 – 1/r2 d2ϕ/dr2 + 1/r3 dφ/dr = 0
4.21)
t
la cui soluzione generale, introducendo la nuova variabile t tale che r = e , risulta
φ = Alog r + Br2log r + Cr2 + D
Si ricavano quindi
σr = 1/r φ,r = A/r2 + B(1 + 2log r) + 2C
σθ = φ,rr = - A/r2 + B(3 + 2log r) + 2C
Se la piastra non presenta foro all’origine, i termini in 1/r2 e log r devono essere nulli, per evitare
singolarità dello stato di sforzo, per cui A = B = 0. Questo problema ammette una soluzione con
sforzi costanti. E’ il caso del disco pieno premuto dall’esterno.
Il caso in cui solo B = 0 può rappresentare la soluzione del disco forato con pressione agente sui
bordi. Le condizioni al contorno determinano i valori delle costanti A e C.
b
a
p
Fig. 4.2 Disco premuto dall’interno
Per esempio per il disco avente raggi a e b, premuto dalla pressione p solo sul bordo interno (r = a),
di fig. 4.2, si ha
σr (r = b) = 0
σr (r = a) = -p
e quindi si ricava A = -pa2b2/(b2 – a2)
2C = pa2/(b2 – a2)
Si può anche calcolare lo spostamento radiale u = εθr = pa2/E(b2 – a2) [(1-ν)r + (1+ν)b2/r]
Per il disco con pressione solo sul bordo esterno (r = b) la soluzione si può ricavare dalla precedente
invertendo a con b.
37
Piastra rettangolare di larghezza 2b con foro circolare di diametro 2a con a « b
S
2b
S
2a
Fig.4.3
Le equazioni di partenza (Timoshenko p.78) sono sempre le 4.19) e 4.20). Per le condizioni al
contorno si considera un cerchio avente diametro 2b. Si fa l’ipotesi che lungo questa linea l’effetto
del foro sullo stato di sforzo della barra sia completamente attenuato. Pertanto si avrà:
τrθ
σx
σr
θ
Fig. 4.3a
Condizioni al contorno per il
caso precedente
σr = σx cos2θ = ½( 1 + cos2θ) σx
τrθ = - ½ sin2θ
dove σx = S
x
θ
4.22)
Date le condizioni al contorno si può fare l’ipotesi che la soluzione sia della forma
φ(r,θ) = f(r) cos2θ
Ne consegue che l’equazione differenziale 4.20) diventa
(d2/dr2 + 1/r d/dr - 4/r2 )( d2f/dr2 + 1/r df/dr –4f/r2) = 0
la cui soluzione generale è
f(r) = Ar2 + Br4 + C/r2 + D
La funzione di sforzo è data da
Φ = (Ar2 + Br4 + C/r2 + D) cos2θ
Quindi le componenti dello stato di sforzo risultano:
σr = 1/r ∂ϕ/∂r + 1/r2 ∂2ϕ/∂θ2 = - (2A + 6C/r4 + 4D/r2) cos2θ
σθ = ∂2ϕ/∂r2= (2A + 6C/r4 + 12Br2) cos2θ
τrθ = 1/r2 ∂ϕ/∂θ - 1/r ∂2ϕ/∂r∂θ = - ∂/∂r(1/r ∂ϕ/∂θ) = (2A + 6Br2 - 6C/r4 - 2D/r2) sin2θ
Le costanti d’integrazione si trovano imponendo le condizioni al contorno 4.22) e inoltre le
condizioni di bordo scarico per r = a. Si ottiene
38
A = - σx /4 B = 0 C = - a4 σx /4 D = a2 σx /2
da cui
σr = S /2 (1 – a2/r2) + S /2 (1+ 3a4/r4 – 4a2/r2) cos2θ
σθ = S /2 (1 + a2/r2) - S /2 (1+ 3a4/r4) cos2θ
τrθ = - S /2 (1 – 3a4/r4 + 2a2/r2) sin2θ
Trave a forte curvatura incastrata ad un estremo e soggetta al carico P all’altro
P
ϑ
a
x
r
b
y
Fig. 4.4
Possiamo assumere (Timoshenko p. 73) una funzione di sforzo del tipo
φ(r,θ) = f(r)sinθ
coerentemente con l’osservazione che il momento flettente varia con sinθ e, almeno nel caso di asse
rettilineo, lo sforzo è proporzionale al momento flettente. Sostituendo nell’equazione 4.19)
∇4ϕ = (∂2/∂r2 + 1/r ∂/∂r + ∂2 /∂θ2/r2 )( ∂2ϕ/∂r2 + 1/r ∂φ/∂r + ∂2ϕ ∂θ2/r2) = 0
si ricava che f﴾r﴿ deve soddisfare l’equazione differenziale
(d2/dr2 + 1/r d/dr - 1/r2 )( d2f/dr2 + 1/r df/dr - f/r2) = 0
La soluzione è del tipo
f = Ar2 + B/r + Cr + Dr log r
dove le costanti di integrazione A, B, C, D si determinano con le condizioni al contorno. Con questa
funzione, le relazioni 4.19) tra tensioni e funzione di sforzo diventano
σr = 1/r ∂ϕ/∂r + 1/r2 ∂2ϕ/∂θ2 = (2Ar – 2B/r2 + D/r)sin θ
σθ = ∂2ϕ/∂r2 = (6Ar + 2B/r2 + D/r)sin θ
τrθ = 1/r2 ∂ϕ/∂θ - 1/r ∂2ϕ/∂r∂θ = - ∂/∂r(1/r ∂ϕ/∂θ) = - (2Ar – 2B/r2 + D/r)cos θ
Dalle condizioni al contorno
σr (a) = σr (b) = τrθ (a) = τrθ (b) = 0
si ricavano solo due relazioni
(2Aa – 2B/a2 + D/a) = 0
(2Ab – 2B/b2 + D/b) = 0
Imponendo inoltre che la forza all’estremo θ = 0 sia P, per una larghezza unitaria, cioè
P = ∫ab τrθ dr = -A(b2 – a2) + B(b2 – a2) /a2b2 – d log b/a
si ha la terza relazione. Si ricavano quindi A, B, D
A = P/2N, B = - P a2b2 /2N, D = - P(b2 + a2)/N
con N = - (b2 – a2) + (b2 + a2) log b/a
Per θ = π/2 si ottiene
τrθ = 0 σθ = P/N [3r - a2b2/r3 - (b2 + a2)/r]
mentre per θ = 0 si ha
39
σθ = 0 τrθ = - P/N [r + a2b2/r3 - (b2 + a2)/r]
La soluzione è esatta solo se al contorno (θ = π/2 e θ = 0) le azioni esterne sono tali da rispettare le
relazioni precedenti. In caso contrario comunque la soluzione vale lo stesso a sufficiente distanza
dagli estremi.
4.4b Metodo alternativo per la descrizione del comportamento elastico dei corpi
assialsimmetrici
Caso piano di tensione
Si consideri un corpo assialsimmetrico, soggetto a forze indipendenti dall’angolo θ, di spessore
piccolo rispetto al raggio, come in figura
σ r +dσ r
r+dr
r
σθ
dθ
R
σr
σθ
Isolato l’elementino infinitesimo in coordinate polari r, θ, si scrive la condizione di equilibrio
radiale, per uno spessore unitario, in presenza di una forza (per unità di volume) R:
σrrdθ + 2σθdrdθ/2 – (σr + dσr)(r + dr)dθ - Rdr rdθ = 0
da cui σθdr – σr dr - dσrr - Rdr r = 0
o meglio
σθ – σr - rdσr/dr - R r = 0
a)
Si riconosce la forma in coordinate polari delle condizioni di equilibrio indefinito 2.5a).
Lo spostamento radiale u(r) è la grandezza che descrive la deformazione del corpo. Le deformazioni
radiale εr e circonferenziale εθ sono legate allo spostamento u dalle relazioni
C'
u+du
C
D'
D
dr
B'
B
A'
u
A
dθ
r
εθ =(A’B’- AB)/AB = [(r+u)dθ – rdθ]/rdθ = u/r
εr = (A’C’- AC)/AC = [(dr + du) – dr](dr = du/dr
Queste, insieme alle relazioni di elasticità del corpo isotropo
σr = E/(1-ν2)⋅( εr +νεθ)
d)
2
σθ = E/(1-ν )⋅( εθ +νεr)
e)
b)
c)
40
e alla relazione di equilibrio indefinito a), costituiscono un sistema di equazioni differenziali con
numero di incognite (5) uguale al numero di equazioni.
Sostituendo nelle d) e e) le b) e c) e poi nella a) si ottiene
E/(1-ν2)(ru,rr + u,r –u/r) + Rr = 0
che si può scrivere
E/(1-ν2)[(ur),r/r],r + R = 0
f)
La soluzione dell’equazione differenziale precedente risulta dalla somma dell’integrale
dell’omogenea associata e di un integrale particolare.
Caso di assenza di forze di volume (R = 0)
La soluzione dell’equazione omogenea è
g)
u = C1r/2 + C2/r
Le costanti di integrazione C1 e C2 si ricavano dalle condizioni al contorno.
Disco forato con pressione interna
b
a
p
Notando che
σr = E/(1-ν2)⋅( εr +νεθ) = E/(1-ν2)⋅[(1+ν)C1/2 – (1 - ν)C2/r2]
σθ = E/(1-ν2)⋅( εθ +νεr) = E/(1-ν2)⋅[(1+ν)C1/2 + (1 - ν)C2/r2]
e che le condizioni al contorno sono in questo caso:
σr (r = a) = -p; σr (r = b) = 0
h)
si ottiene
C2 = k (1+ν)b2/E
C1 = k 2(1-ν)/E
con k = pa2/(b2-a2)
da cui
u = (k/E)[(1-ν)r + (1+ν)b2/r]
σr = k(1 - b2/ r2)
σθ = k(1 + b2/ r2)
Si tenga presente che un procedimento più semplice mnemonicamente può essere il seguente:
Partire dalle relazioni
σr = A - B/ r2
σθ = A + B/ r2
Calcolare A e B applicando le condizioni h), che forniscono A = pa2/(b2-a2), B = Ab2.
Ricavare εθ = (1/E)⋅( σθ -νσr)
Risalire a u = rεθ.
Il diagramma delle tensioni lungo il raggio è il seguente
41
σ
k(1+b2/a2)
σ
θ
2k
r
a
b
σ
r
-p
Fig. 4b.1 Diagramma delle tensioni σθ e σr lungo il raggio r (k = = pa2/(b2-a2))
Disco forato soggetto a pressione esterna
Lo stesso caso, ma con pressione p esterna dà luogo a risultati deducibili dai precedenti purchè si
scambino a e b.
Disco pieno con pressione esterna
p
a
Partendo dalla soluzione
σr = A - B/ r2
σθ = A + B/ r2
e osservando che il termine dipendente da 1/r2 non può esistere perché fornirebbe valori infiniti
anche con pressioni piccolissime, si ha
σr = A = σθ = -p
u = rεθ = -pr(1-ν)/E
Caso di presenza di forze di volume (R ≠ 0)
Disco forato rotante
Il caso del disco rotante di raggi a e b si può risolvere ponendo R = ρω2r nell’equazione f) e
cercando l’integrale particolare da sommare all’integrale generale già discusso precedentemente.
Si può porre
42
up = - ρω2(1-ν2)r3/8E
La soluzione dell’equazione differenziale f) risulta dalla somma dell’integrale dell’omogenea
associata e dell’integrale particolare
u = C1r/2 + C2/r - ρω2(1-ν2)r3/8E
Le costanti di integrazione C1 e C2 si ricavano dalle condizioni al contorno
σr (r = a) = σr (r = b) = 0
e risultano
C1 = k’ 2(1-ν)(b2+a2) C2 = k’ (1+ν)b2a2
con k’ = ρω2(3+ν)/8E
e quindi
σr = E/2(1-ν) C1 – (E/r2)C2/(1+ν) - ρω2(3+ν)r2/8 = (E/k’)( b2+a2 - b2a2/ r2 - r2)
σθ = E/2(1-ν) C1 + (E/r2)C2/(1+ν) - ρω2(1+3ν)r2/8 = (E/k’)[b2+a2 + b2a2/ r2 – r2(1+3ν)/(3+ν)]
L’andamento delle tensioni σr e σθ è indicato nella figura seguente
σ
σθ
σ
a
r
r
b
Fig. 4.5b.2 Andamento delle tensioni σr e σθ nel disco forato
Disco con effetti termoelastici
Il caso del disco soggetto a sola differenza di temperatura dipendente dal raggio ∆T = ∆T(r), si
risolve introducendo, al posto delle d) ed e) le relazioni
σr = E/(1-ν2)⋅[( εr - εT) +ν(εθ - εT )]
i)
σθ = E/(1-ν2) [( εθ - εT) +ν(εr - εT )]
l)
con εT = α∆T, α = coefficiente di dilatazione.
Riconsiderando le b) c) ed a) si ottiene l’equazione differenziale in u
E/(1-ν2){[(ur),r/r],r – (1 + ν)εT,r}+ R = 0
m)
Conviene discutere solo il caso in cui R = 0 ed eventualmente sommare l’effetto separato delle
forze centrifughe ove presenti. La soluzione della m) risulta somma della soluzione dell’equazione
omogenea [(ur),r/r],r = 0 che è già nota (g) e della soluzione particolare dipendente da εT. Si ottiene
u = C1r/2 + C2/r + (1+ν)/r∫ar r εTdr
Supponendo il disco scarico ai bordi, σr (r = a) = σr (r = b) = 0, si ricavano le costanti incognite
C1 = (1/(b2-a2))2(1-ν)∫abr εTdr
C2 = (1/( b2-a2))a2(1+ν)∫abr εTdr
Si ottiene in definitiva
σr /E = (1/( b2-a2))∫abr εTdr· (1- a2/r2) – (1/r2)∫ar r εTdr
σθ /E = (1/( b2-a2))∫abr εTdr· (1+ a2/r2) + (1/r2)∫ar r εTdr - εT
Si può vedere che se εT = cost
σr = σθ = 0
u = rεT
43
Casi di interferenza
I casi pratici di interferenza si possono risolvere premettendo che:
- Le relazioni precedenti valgono, se R = 0, rigorosamente anche per il caso piano di deformazione
(cilindro infinito)
- Se R ≠ 0, i risultati per il caso piano di deformazione sono leggermente diversi ma non tali da
giustificare l’abbandono delle relazioni precedenti, particolarmente semplici
- Per cilindri finiti si è quindi autorizzati ad usare tutte le relazioni del disco piano.
Vediamo il caso di due cilindri coassiali di materiali diversi, rotanti, soggetti a ∆T(r) montati con
interferenza iniziale i. Vogliamo stabilire una relazione tra l’interferenza, la pressione di contatto al
diametro comune d2, la velocità di rotazione ω e la variazione di temperatura ∆T, nelle condizioni
di esercizio.
E2 ν 2 α 2
E1
d1
ν 1 α1
d2 d3
La relazione di congruenza in condizioni di esercizio, al diametro d2, è
i/2 = ump + umω + umT – uap - uaω - uaT
dove ump, umω, umT, sono gli spostamenti radiali calcolati in r = d2/2 rispettivamente dovuti alle sole
pressione, velocità e temperatura per il cilindro esterno e uap, uaω, uaT le analoghe grandezze per il
cilindro interno, calcolate sempre in d2/2.
Ricordiamo le relazioni essenziali, necessarie per esplicitare i termini della relazione di congruenza:
Cilindro, di raggi a e b, con pressione interna
k = pa2/(b2-a2)
u = (k/E)[(1-ν)r + (1+ν)b2/r]
σr = k(1 - b2/ r2)
σθ = k(1 + b2/ r2)
Cilindro, di raggi a e b, con pressione esterna
k = pb2/(a2-b2)
u = (k/E)[(1-ν)r + (1+ν)a2/r]
σr = k(1 - a2/ r2)
σθ = k(1 + a2/ r2)
Cilindro, di raggi a e b, rotante a velocità ω
u = C1r/2 + C2/r - ρω2(1-ν2)r3/8E
C1 = k’ 2(1-ν)(b2+a2) C2 = k’ (1+ν)b2a2
k’ = ρω2(3+ν)/8E
44
σr = (Ek’)( b2+a2 - b2a2/ r2 - r2)
σθ = (Ek’)[b2+a2 + b2a2/ r2 – r2(1+3ν)/(3+ν)]
Cilindro di raggi a e b, con distribuzione di temperatura (εT = α∆T)
u = C1r/2 + C2/r + (1+ν)/r∫ar r εTdr
C1 = (1/(b2-a2))2(1-ν)∫abr εTdr
C2 = (1/( b2-a2))a2(1+ν)∫abr εTdr
σr /E = (1/( b2-a2))∫abr εTdr· (1- a2/r2) – (1/r2)∫ar r εTdr
σθ /E = (1/( b2-a2))∫abr εTdr· (1+ a2/r2) + (1/r2)∫ar r εTdr - εT
Se εT = cost, σr = σθ = 0, u = rεT
5. Principi e criteri energetici
5.1 Il principio dei lavori virtuali (PLV)
Il principio degli spostamenti virtuali.
Ad un corpo in equilibrio supponiamo di applicare un sistema di spostamenti virtuali, cioè piccoli e
compatibili con i vincoli (cinematicamente ammissibili), mantenendo costanti le forze esterne
applicate e gli sforzi interni. Il PLV stabilisce che il lavoro che le forze esterne compiono per effetto
degli spostamenti virtuali uguaglia il lavoro interno compiuto dagli sforzi interni reali per le
deformazioni virtuali, oppure che è nullo il lavoro virtuale totale.
Indichiamo con
-
Pi le forze esterne concentrate applicate
Ri le reazioni vincolari
Uvi gli spostamenti virtuali concentrati relativi
Ui gli spostamenti effettivi dei vincoli
uvi gli spostamenti virtuali distribuiti
Fi le forze di volume
Ti le azioni superficiali
σij gli sforzi effettivi
σ0ij gli sforzi iniziali presenti
εvij le deformazioni virtuali conseguenti agli spostamenti virtuali
ε0kl le deformazioni iniziali presenti
Il PLV è valido qualunque sia il comportamento del materiale. Nel caso di materiale elastico, la
legge di Hooke può generalizzarsi nel modo seguente:
σij = Cijkl(εkl - ε0kl) + σ0ij
5.1)
Si può scrivere allora il PLV nella forma generalizzata
PiUvi + RiUi + ∫STTiuvidST + ∫VFFiuvidVF = ∫Vσij εvij dV
e introducendo la 5.1)
PiUvi + ∫STTiuvidST + ∫VFFiuvidVF = ∫V[Cijkl(εkl - ε0kl) + σ0ij] εvij dV
5.2)
Nelle relazioni precedenti ST indica la porzione di superficie su cui agiscono le Ti, VF la porzione di
volume su cui agiscono le Fi , e infine V indica tutto il volume resistente.
In forma matriciale la 5.2) si può scrivere come
45
PTUv + RTU + ∫STTTuvdST + ∫VFFTuvdVF = ∫VσT εv dV = ∫V[(ε - ε0)TC + σ0T] εv dV
5.2a)
dove P, R, T, F rappresentano i vettori forze concentrate, le reazioni vincolari, le forze di superficie
e di volume applicate, U gli spostamenti noti dei vincoli, Uv e uv i vettori spostamenti virtuali
concentrati e distribuiti, εv il vettore deformazione virtuale, σ il vettore sforzi reali e σ0 e ε0 i
rispettivi valori iniziali.
Nel caso elastico il PLV può anche esprimersi come un problema di minimo di un funzionale,
riducendosi al così detto Principio di minimo dell’energia potenziale se le forze applicate hanno un
potenziale e sono quindi conservative.
E’ da notare che in alcuni casi è possibile conoscere soluzioni approssimate che soddisfano soltanto
alcune delle equazioni richieste dalla teoria dell’elasticità. I principi energetici sono allora utili per
trovare la migliore soluzione possibile tra quelle approssimate.
Il principio delle forze virtuali
Se in un corpo in equilibrio sostituiamo al sistema delle forze reali un sistema di forze virtuali
(teoricamente comprensivo di forze superficiali e di volume), staticamente ammissibile, cioè
rispettoso delle condizioni di equilibrio, mantenendo gli spostamenti reali, e calcoliamo il lavoro
complessivo, esso risulta nullo. Cioè
PvTU + RvTUR +(∫STTvTu dST + ∫VFFvTu dVF)= ∫VσvT ε dV = ∫VσvT [S(σ –σo) + εo] dV
5.3)
5.2 Il principio di minimo dell’energia potenziale (PMEP)
Esso stabilisce che fra tutti i sistemi di spostamenti ui* cinematicamente ammissibili (virtuali), cioè
rispettosi dei vincoli e piccoli, quello reale corrisponde a un minimo dell’energia potenziale totale.
Siano
- Π* l’energia potenziale totale corrispondente ad un sistema di spostamenti ui*
- ui* il sistema di spostamenti cinematicamente ammissibili
- Ui* il sistema di spostamenti virtuali in corrispondenza delle forze concentrate reali Pi
- Ui il sistema di spostamenti reali dei vincoli assegnati
- σij* gli sforzi associati agli spostamenti ui*
- σ0ij gli sforzi iniziali reali presenti
- εij* le deformazioni associate agli spostamenti ui*
- ε0kl le deformazioni iniziali reali presenti
- Pi le forze esterne concentrate applicate
- Ri le reazioni vincolari reali
- Fi le forze di volume reali
- Ti le azioni superficiali reali
l’energia potenziale totale si può scrivere come
Π* = - PiUi* - Ri Ui - ∫STTiui*dST - ∫VFFiui*dVF +1/2∫ σij* εij* dV. Ponendo σij* = Cijkl(εkl*- ε0kl) +
σ0ij e osservando che i termini ε0kl e σ0ij sono indipendenti da εij* si ha
Π* = - PiUi* - Ri Ui - ∫STTiui*dST - ∫VFFiui*dVF +1/2∫V[Cijkl(εkl* - 2ε0kl) + 2σ0ij] εij* dV 5.3)
e in forma matriciale
Π* = - PTU* - RTU - ∫STTTu*dST - ∫VFFTu*dVF +1/2∫V[(ε*T - 2ε0T)C+ 2σ0T] ε* dV
5.3a)
Il principio quindi stabilisce che Π* raggiunge il minimo Π quando ui* diventa uguale a ui.
46
5.3 Il principio di minimo dell’energia complementare (PMEC)
Invece che partire da un sistema di spostamenti cinematicamente ammissibili, si può partire da un
sistema di forze e sforzi staticamente ammissibili, cioè rispettosi delle condizioni di equilibrio
interno ed esterno. Il principio stabilisce che fra tutti i sistemi staticamente ammissibili, quello reale
(cioè corrispondente al sistema di spostamenti e deformazioni reali) rende minimo il valore
dell’energia complementare.
Siano
- P* le forze esterne concentrate staticamente ammissibili
- R* le reazioni vincolari s.a.
- F* le (eventuali) forze di volume applicate s.a.
- T* le (eventuali) azioni superficiali applicate s.a.
- σ* gli sforzi s.a.
- σ0 gli sforzi iniziali reali
- ε0 le deformazioni iniziali reali
- U UR u gli spostamenti reali rispettivamente in corrispondenza delle forze, reazioni e delle
azioni superficiali e di volume s.a.
Si ha, in forma matriciale
Πc* = - UTP* - URTR* - ∫STuTT*dST - ∫VFuTF*dVF +1/2∫Vε*Tσ* dV
5.4)
che, se ε* = S(σ* –σo) + εo diventa
Πc* = - UTP* - URTR* - ∫STuTT*dST - ∫VFuTF*dVF +1/2∫V [(σ*T –2σoT)S + 2εo T]σ* dV 5.4a)
5.4 Il metodo di Rayleigh-Ritz
E’ un metodo di soluzione approssimato basato su uno dei principi energetici, che per certi versi
anticipa quello che poi sarà il Metodo degli Elementi Finiti. L’idea di base, con riferimento
specifico al Principio di minimo dell’energia potenziale, consiste nell’assumere lo spostamento
funzione lineare di un numero N di parametri incogniti ci, per es.:
u ≈ ciϕi + ϕ0
e poi determinare i ci mediante la minimizzazione dell’energia potenziale. Le funzioni ϕi e ϕ0
devono essere appropriate, devono cioè soddisfare alcune condizioni e si chiamano funzioni
approssimanti.
Perché le equazioni algebriche risultanti dall’applicazione del metodo di Rayleigh-Ritz abbiano
soluzione e perché la soluzione approssimata converga a quella reale all’aumentare del numero N di
parametri, le funzioni ϕi e ϕ0 devono soddisfare i seguenti requisiti:
- ϕ0 ha il compito di soddisfare le condizioni al contorno dette essenziali (o geometriche) e gioca il
ruolo di soluzione particolare di ordine più basso possibile
- ϕi devono soddisfare tre condizioni: 1) devono essere continue 2) devono soddisfare le
condizioni al contorno essenziali 3) devono essere linearmente indipendenti e complete.
5.5 Esempi
Applicazione del PLV al calcolo di iperstatiche
v. esercitazioni
47
Esempio di applicazione del metodo di Rayleigh-Ritz con il PMEP
q
F
M
z
Fig. 5.1
Si voglia studiare la trave a mensola di fig. 5.1, di lunghezza l, vincolata rigidamente con un
incastro all’estremo sinistro e soggetta a carichi di vario genere. Stabilendo un asse z a partire
dall’incastro e un asse y normale, le condizioni al contorno naturali (geometriche) sono:
v(0) = 0
dv(0)/dz = 0
5.5)
mentre le condizioni essenziali sono costituite dalle forze
q(z) F
M
Se assumiamo ϕ0 = 0 automaticamente soddisfiamo le 5.5). Per ϕ1 possiamo pensare ad una forma
ϕ1 = bz + cz2. Dalla seconda delle 5.5), che devono essere soddisfatte, risulta b = 0. Pertanto ϕ1 =
cz2 e le funzioni approssimanti successive possono avere la forma
ϕ2 = z3, ϕ3 = z4, …., ϕN = zN+1
Lo spostamento v(z) assume quindi la forma
v(z) = c1z2 + c2z3+ c3z4 + …
E’ possibile a questo punto calcolare l’energia potenziale Π*
Π* = 1/2∫lEI(d2v(z)/dz2)2dz – ∫lqv(z)dz – Fv(l) –Mdv(l)/dz
= 1/2∫lEI(2c1 + 6c2z +…+ N(N+1)cNzN-1)2dz
– ∫lq(c1z2 + c2z3+ c3z4 + …)dz – F(c1l2 + c2l3+ c3l4 + …) –M(2c1l + 3c2l2+ 4c3l3 + …)
Il minimo dell’energia potenziale si ha scrivendo che
δΠ = (∂Π/∂c1)δc1 +(∂Π/∂c2)δc2 + …+ (∂Π/∂cN)δcN = 0
e quindi imponendo che
∂Π/∂c1 = 0
∂Π/∂c2 = 0
… ∂Π/∂cN = 0
Per l’equazione i-esima si ha nel caso in esame
0 = ∫l I(2c1 + 6c2z +…+ N(N+1)cNzN-1)i (i+1) zi-1dz
– q zi+1dz – Fli+1 –M(i+1)li
Per un’approssimazione a due parametri si perviene a 2 equazioni
α11c1 + α12c2 = β1
α21c1 + α22c2 = β2
dove α11 = 4Eil
α12 = 6Eil2 = α21
α22 = 12Eil3
β1 = ql3/3 + Fl2 + 2Ml
β2 = ql4/4 + Fl3 + 3Ml2
Risolvendo si ottiene
c1 = 1/EI(5/24ql2 + 1/2Fl + 1/2M) c2 = -1/12EI(ql2 + 2Fl)
Da notare che la soluzione esatta è
V(z) = qz2/24EI(6l2 – 4lz + z2) + P/6EI(3lz2 – z3) –M/2Ei⋅z2
La soluzione approssimata a due parametri coincide quindi con quella esatta quando q = 0,
altrimenti no. Per avere coincidenza anche in questo caso bisognerebbe introdurre il termine di
quarto grado.
48
Esempio di applicazione del metodo di R.R. col PMEC
P
z
Fig.5.2 Trave con carico assiale concentrato
Nella struttura di fig. 5.2 il carico assiale P è applicato all’estremità libera: Si sa che la soluzione
esatta è: u(z) = Pz/EA σ = cost = P/A
Supponiamo di non conoscere σ e di partire da una sua distribuzione lineare arbitraria
σ*(z) = α + βz
5.6)
Occorre anche assegnare un sistema di forze esterne in equilibrio con σ*; tale non può essere una
sola forza P*, in quanto non verrebbe assicurato l’equilibrio della sezione generica, dove P*/A
risulterebbe indipendente da z. Bisogna quindi introdurre un carico assiale distribuito q*(z). Da
considerazioni intuitive risulta che per generare una σ* lineare è sufficiente un carico q* costante
lungo z. Tagliando la trave a distanza z dall’origine, deve essere per l’equilibrio q*(l-z) + P* = σ*A
= (α + βz)A e quindi
q*
P*
z
q* = - βA, P* = (α + βl)A
5.7)
L’energia complementare risulta
Πc* = 1/2∫V σ*2/E dV – ∫lq*u(z)dz – P*u(l)
dove u(z) è lo spostamento reale della struttura, mentre σ* q* e P* costituiscono il sistema di
tensioni e forze esterne staticamente ammissibile (o virtuale). Sostituendo a σ* l’espressione 5.6) e
a q* e P* le espressioni 5.7) e integrando si ottiene
Πc* = A/2E (α2l + β2l3/3 + αβl2) + Pβl2/2E – (α + βl)Pl/E
La ricerca del minimo si effettua azzerando le derivate di Πc* rispetto ad α e β, cioè ∂Πc*/∂α = 0
∂Πc*/∂β = 0. Si ottiene il sistema
α + βl/2 = P/A
α + 2βl/3 = P/A
che risolto fornisce α = P/A β = 0. Si ritrova quindi la soluzione esatta nota.
49
6. Teoria della torsione non circolare elastica
E’ noto che la soluzione del problema della torsione circolare elastica ipotizza la planarità della
sezione deformata. E’ ancora noto che se la sezione è di forma qualsiasi tale ipotesi non può più
essere conservata. Sperimentalmente è dimostrato che la sezione subisce spostamenti fuori del
piano e diviene pertanto ingobbata.
Il metodo di soluzione di De Saint-Venant, detto semiinverso, parte da ipotesi sulla deformazione
della sezione e soddisfa poi le condizioni di equilibrio indefinito e le condizioni al contorno.
Per una trave prismatica con sezione qualsiasi in cui una sezione d’estremità può ritenersi incastrata
y
v
α
O
u
ϑ
r
x
Mt
Fig. 6.1 Sezione generica soggetta a torsione
e l’altra soggetta a una coppia Mt, si può fare l’ipotesi che la sezione generica ruoti di un angolo
proporzionale alla distanza z dalla sezione d’incastro (α = θz), intorno a un centro di rotazione nel
quale poniamo l’origine delle coordinate cartesiane x e y. Gli spostamenti di un punto generico
(x,y,z) valgono, dato che rcosθ = x e rsinθ = y
u = - θzy, v = θzx, w = θψ(x,y)
dove θ è l’angolo di rotazione della sezione a distanza unitaria dall’incastro e ψ(x,y) è la cosiddetta
funzione d’ingobbamento.
Da queste relazioni si ricavano le componenti tecniche di deformazione
εx = εy = εz = γxy = 0
6.1a)
γxz = ∂u/∂z + ∂w/∂x = θ( ∂ψ/∂x –y) γyz = ∂v/∂z + ∂w/∂y = θ( ∂ψ/∂y + x) 6.1b)
Le corrispondenti tensioni sono
σx = σy = σz = τxy = 0
6.2a)
τxz = Gθ( ∂ψ/∂x –y) τyz =Gθ( ∂ψ/∂y + x) 6.2b)
Se si tiene conto della condizione di equilibrio indefinito 2.5a), σij,j + Fi= 0, si ottiene
∂τxz /∂z = 0, ∂τyz /∂z = 0, ∂τxz /∂x + ∂τyz /∂y = 0
Le prime due sono automaticamente soddisfatte per via delle 6.2b). La terza consente l’introduzione
della funzione di sforzo φ(x,y) tale che
τxz = ∂φ/∂y, τyz = - ∂φ/∂x
Introducendo queste nella 6.2b) ed eliminando ψ derivando la prima rispetto a y e la seconda
rispetto a x e sommando si ha
∇2φ = ∂2φ/∂y2 + ∂2φ/∂x2 = -2Gθ
6.3)
Lungo una qualsiasi linea tangente alla τz si ha τzy/τzx = dy/dx
50
y
τz
τ zy
ds dy
dx
τ zx
x
Fig.6.2
cioè lungo la linea φ,xdx + φ,ydy = 0 e quindi
φ = cost lungo qualsiasi linea tangente alla τz
6.4)
In particolare il contorno della sezione è una linea tangente alla sollecitazione τz perché scarico. Se
il contorno è unico, si può porre arbitrariamente φ = 0.
Inoltre la funzione φ deve soddisfare la condizione di equilibrio globale
Mt = ∫ (τzyx - τzxy)dA
che corrisponde alla relazione
Mt =2∫ φdA
6.5)
che può intendersi anche come Mt =2V con V = volume racchiuso dalla funzione φ sull’area della
sezione A.
Si può dimostrare che la 6.5) vale anche per il caso di sezione molteplicemente connessa e in
particolare duplicemente connessa, purchè per A non si intenda l’area resistente ma l’area
complessiva racchiusa dal contorno esterno e si assegni sulle aree vuote il valore che φ ha sul
relativo contorno.
Si noti che le proprietà della funzione φ espresse dalle 6.4) e 6.5) sono valide qualunque sia il
comportamento del materiale. Inoltre per definizione
|grad φ| = √[(∂φ/∂x)2 + (∂φ/∂y)2] = √[(τzy)2 + (τzx)2] = |τz|
6.6)
Per solo comportamento elastico si può scrivere, lungo una linea chiusa interna alla sezione
∫lτz·dl = 2GAlθ
6.8)
con Al = area della superficie racchiusa dalla linea l. La dimostrazione parte dal fatto che lungo una
linea chiusa l deve essere ∫ldw = 0 cioè non si devono verificare salti nello spostamento w. Tenendo
conto che lungo la linea dw = w,xdx + w,ydy, che γzx = w,x – θy, γzy = w,y + θx, e delle relazioni
elastiche, si ha
dw = (τzx dx + τzy dy)/G – θ(xdy – ydx)
Integrando e tenendo presente che ∫(τzx dx + τzy dy) = ∫lτz··dl, da intendersi come prodotto scalare del
vettore τz (τzx ,τzy) per il vettore ds (dx, dy), e che ∫(xdy – ydx) = 2Al si ottiene la 6.8).
6.1 Analogia della membrana
Una membrana sottile perfettamente estensibile (tipo palloncino di gomma o bolla di sapone)
vincolata ad un contorno piano e insufflata con pressione p tale da non provocare una deformata
troppo grande è retta all’equilibrio da un’equazione differenziale molto simile a quella della
torsione 6.3)
∇2z = - p/T
6.8)
dove z(x,y) è la deformata e T è la tensione, per unità di lunghezza, che agisce uniformemente sulla
membrana in direzione tangenziale.
L’analogia tra z(x,y) e φ(x,y) è utile perché in alcuni casi fornisce informazioni intuitive sulla
funzione di sforzo φ.
51
6.2 Sezione ellittica
y
b
x
a
Fig. 6.3
L’equazione del contorno è x2/a2 + y2/b2 = 1. Può essere quindi assunta per φ l’espressione
φ = φ0(1 - x2/a2 - y2/b2)
con φ0 determinata dalla condizione 6.4)
Mt =2∫ φdA = 2V = 2 φ0πab/2 = φ0πab
da cui
φ0 = Mt/πab
Si avrà quindi
τxz = φ,y = -2 φ0y/b2
τyz = - φ,x = 2 φ0x/a2
Inoltre soddisfacendo la 6.3) si ottiene
θ = Mt (a2 + b2)/π Ga3 b3
6.3 Sezione rettangolare con lati simili
y
b
a
x
Fig. 6.4
Si può utilizzare per φ uno sviluppo in serie del tipo
φ = bi cos (iπx/2a) Yi
i = 1,3,5,….,∞
dove le Yi sono funzioni di solo y. Sostituendo nella 6.3) si ottiene un’equazione differenziale in Yi
Yi “ –(iπ/2a)2Yi = 8Gθθ/iπbi (-1)(i-1)/2
che risolta fornisce
2 3 3
(i-1)/2
Yi = A sinh iπy/2a + B cosh iπy/2a + 32 Gθa /i π bi (-1)
Dalla condizione di simmetria rispetto all’asse x risulta A = 0. La costante B si determina con la
condizione di vincolo φ = 0 per y = ± b da cui si ottiene
2 3 3
(i-1)/2
Yi = 32 Gθa /i π bi (-1)
[1 – (cosh iπy/2a)/ cosh iπb/2a]
Sostituendo nell’espressione di φ si ottiene la soluzione. In particolare si possono ottenere i valori
assoluti massimi di τyz e τxz che si verificano rispettivamente nei punti di coordinate (y = 0, x = ± a)
e (x = 0, y = ± b). Il massimo assoluto si verifica nel punto più vicino all’origine (x = 0, y = - b) e
vale
τmax = Mtk2/[(2b)2(2a)]
Si ha inoltre
52
θ = Mtk1/[G(2b)3(2a)]
k1 e k2 sono dati dalla tabella seguente
Tab.6.1
b/a
k1
k2
1,0
0,66
0,5
0,25
0,1
7,09
5,08
4,37
3,56
3,20
4,81
4,33
4,06
3,55
3,19
6.4 Sezione rettangolare stretta
Nel caso che uno dei lati sia molto più piccolo dell’altro si può adoperare una soluzione
approssimata che fa riferimento all’analogia della membrana e che poggia sull’ipotesi che la
distribuzione di φ non dipenda dalla coordinata x (fig. 6.5) e sia quadratica in y: φ = φo(1 – 4y2/b2).
Ne segue che τzy = - φ,x = 0, τzx = φ,y = - 8φoy/b2
y
b
x
a
Fig. 6.5 Sezione rettangolare stretta (b « a)
Inoltre dalla condizione Mt = 2∫φdA si ricava φo = ¾ Mt /ab, da cui τzx = - 8φoy/b2 = -6Mty/ab3, e dalla
6.3) si ricava θ = 4φo /Gb2.
Si noti l’apparente paradosso che risulta calcolando il contributo di τzx al momento torcente. Infatti
integrando: C = ∫ τzxydA = ∫ - ( - 8φoy/b2)yady = ½ Mt. Tale risultato si giustifica dicendo che nel
calcolo del momento torcente manca il contributo della τzy agente nella zona dei bordi destro e
sinistro, trascurata del tutto nel procedimento precedente.
6.5 Sezione sottile aperta
Si può ritenere costituita da più parti rettangolari strette, in modo da potere scrivere per ciascuna di
esse Mti= 4/3φoiaibi θi = 4φoi /Gibi2
Per tutta la sezione si ha
2
Mt= ∑4/3φoiaibi θ = θi = 4φoi /Gibi
bi
ai
Fig. 6.6 Sezione aperta a parete sottile
53
Da cui φo1 = ¾ Mt/[a1b1 + a2b2 (G2b22/G1b12) +….]; φo2 = φo1(G2b22/G1b12) …… ; θ = 4φoi /Gibi2
Disponendo un asse y lungo ciascuno spessore a partire dal centro si ha inoltre τzxi = - 8φoiy/bi2 con
valore massimo ai bordi dove τmaxi = 4φoi/bi
6.5 Sezione sottile chiusa
Se la sezione è chiusa e la parete sottile si può assumere, coerentemente con l’analogia della
membrana, un gradiente di φ costante lungo lo spessore. Cioè | τ |= cost = |grad φ| = φ0/s, dove φ0 è
ϕo
s
Fig. 6.7 Vista in sezione della funzione φ utile per il calcolo del volume V
il valore che φ assume sul contorno interno. Si nota che |τ| risulta massima dove è minimo lo
spessore s. Il calcolo di φ0 può effettuarsi osservando che V ≈ φ0Am , dove Am è l’area racchiusa
dalla linea media corrente a metà spessore. Quindi Mt = 2V = 2 φ0Am , da cui |τ| = Mt/2sAm.
Per calcolare la rotazione, bisogna fare ricorso ad una ulteriore relazione. Questa si può ottenere con
l’applicazione ad un tratto di lunghezza unitaria della trave del principio delle forze virtuali, in cui il
sistema di forze è rappresentato da una coppia unitaria torcente e il sistema di spostamenti e
deformazioni è quello reale. Quest’ultimo differisce dal sistema virtuale solo nell’entità del
momento torcente. Deve essere allora 1·θ = ∫Vτ’γdV dove τ’ deriva dal momento unitario, mentre θ
e γ dal momento reale Mt. Inoltre V è il volume resistente. Con γ = τ/G = Mt/2GsAm e τ’ = 1/2sAm si
ottiene
θ = ∫Vτ’γdV = ∫Aτ’γdA = (Mt/G4Am2) ∫ldl/s
6.9)
avendo sostituito dA con sdl, dove la linea chiusa l è la linea media della sezione resistente.
6.6 Esempi
Sezione aperta a parete sottile – Taglio e torsione spuria
h
T
b1
.
C e O
h
b2
b1
Fig. 6.8
Dati: h = 150 mm; b1 = 5 mm; b2 = 10 mm E1 = 50 Mpa; E2 = 10 MPa
La sezione è formata dalle parti 1 (superiore e inferiore) con gli stessi spessori b1 e dalla parte
verticale 2 con spessore b2. Tutte hanno lunghezza h. I materiali delle due parti sono diversi. Si
supponga che l’azione di taglio T verticale passi per la mezzeria della parte 2.
54
Le tensioni di taglio si ottengono applicando alle varie parti la formula di Zurawskij modificata
τ = T ∫A’ Ey dA’ /b∫AEy2 dA = T(ES)*/b(EI)*
che presuppone il calcolo preliminare della rigidezza flessionale (EI)* di tutta la sezione. Essendo
l’asse neutro l’asse di simmetria orizzontale della sezione risulta (EI)* = 2 E1I1 + E2I2 = 450 106
Mpa mm4
Inoltre, nel punto più sollecitato della parte 1 che è quello più vicino alla giunzione con la parte 2 si
ha τ1 = T (ES)1*max/b1(EI)*
dove (ES)1*max = b1h2E1/2, da cui τ1 = 0,00125 T
Nella parte 2 il valore massimo della tensione si ha in mezzeria, dove (ES)*m = (ES)1*max + b2h2E2/8
= 3,094 106. Quindi τ2 = T (ES)*m/b2(EI)* = 0,000688 T.
Calcolando il momento Mo delle τ rispetto al punto O e uguagliando a Te si calcola l’eccentricità e
= 35,2 mm.
Avendo applicato la forza di taglio non nel centro di taglio ma sulla parte 2, sorge un momento
torcente spurio Mt = Te.
Con le formule della torsione di sezioni a parete sottile aperte si ha, detto k = (2hb13 + G2b23h/G1) =
2,78 10-4 mm4, τ1 =3Mt/k = 0,0078 T e τ2 =3 Mtb2G2/G1k = 0,0031 T. Si noti che le tensioni sono
calcolate lungo i lati lunghi dei rettangoli cui si riferiscono e sono costanti lungo tali lati.
Come si vede, i valori dovuti alla torsione spuria sono molto maggiori di quelli dovuti al taglio.
Effetto d’intaglio
Si noti che in corrispondenza degli spigoli interni c’è un effetto d’intaglio per il brusco
cambiamento della direzione delle τ. Il coefficiente d’intaglio teorico vale
Kt = 1,74(b/r)0,33
dove b è lo spessore (maggiore) della parete e r il raggio di raccordo.
b
r
Sezione chiusa.
Lo studio della torsione di una sezione chiusa con più materiali si può impostare con le relazioni
note e cioè Mt = 2V = 2 φ0Am , |τ| = Mt/2sAm e inoltre θ = ∫Vτ’γdV = ∫Aτ’γdA = (Mt/4Am2) ∫ldl/Gs
che rispetto al caso di un solo materiale differisce perché G risulta dentro l’integrale.
si
li
Data la sezione di figura, formata da 4 parti di spessore e materiale diverso collegate rigidamente,
possiamo subito dire che |τ| = Mt/2sAm, dove Am è l’area racchiusa dalla linea media ed s lo spessore
generico. τ sarà massima dove semplicemente lo spessore è minimo, indipendentemente dal
materiale.
Risulta poi, con riferimento alla figura per I simboli
θ = (Mt/4Am2) ∫ldl/Gs = (Mt/4Am2) (l1/G1s1 + l2/G2s2+ l3/G3s3 + l4/G4s4)
Effetto d’intaglio
55
In corrispondenza degli spigoli interni si verifica una concentrazione di sforzi il cui coefficiente
d’intaglio è
Kt = (s/r)/ln(1+s/r)
dove s è lo spessore e r il raggio di raccordo.
7. Strutture elastoplastiche
7.1 Trave inflessa
Le ipotesi di base di questa trattazione sono le seguenti:
- trave rettilinea con dimensioni trasversali piccole rispetto alla lunghezza
- comportamento del materiale elastico-perfettamente plastico simmetrico con scarico elastico
- conservazione della planarità delle sezioni prima e dopo la deformazione
Vi sia una trave inflessa, con una sezione doppiamente simmetrica – gli assi di simmetria
coincidono con x e y - e con asse di sollecitazione coincidente con y, soggetta a un momento
flettente M che supera il momento di prima plasticizzazione. Cioè
M > M’ = WfσY
dove Wf = modulo di resistenza della sezione Wf = I/ymax, I = momento d’inerzia, ymax = distanza
della fibra più sollecitata dall’asse neutro.
Se si ipotizza una caratteristica del materiale del tipo elastica perfettamente plastica simmetrica,
σy
σ
εy
ε
−σ y
Fig. 7.1 Materiale elastico-perfettamente plastico
si ha una distribuzione nella sezione della sollecitazione normale σ come in fig.7.2, conservando
l’asse neutro la sua posizione elastica baricentrica.
Per la deformazione ε invece può essere assunto un andamento lineare su tutta la sezione
σy
y
As/2
Ah
b
εy
h
As/2
Fig. 7.2 Flessione elasto-plastica di trave a sezione doppiamente simmetrica
Il momento flettente è dato da
M = ∫AσydA
dove l’integrale può dividersi in 2 integrali corrispondenti all’area interna Ah di altezza h e all’area
esterna As, cioè
M = ∫AhσydA + ∫AsσYydA
Per una sezione rettangolare di altezza b e larghezza a, si ottiene
56
M = M”[1 - ⅓(h/b)2]
dove M” = momento di plasticizzazione totale = σYab2/4. Si nota che per h = 0 M = M”, mentre per
h = b M = ⅔M” = M’
Risulta quindi
h/b = √[3(1 – M/M”)]
Ora poiché l’angolo di rotazione infinitesimo della sezione è
dφ = εmax dz/(b/2)
si ha
dφ = 2εY dz/b√[3(1 – M/M”)]
Con queste relazioni si possono risolvere vari problemi.
57
Esempio: Trave a mensola elastoplastica
Trave a mensola di lunghezza l e sezione rettangolare di lati a e b, soggetta a ciclo di carico e
scarico.
b
P
l
Ciclo di carico
P
z
M'
1
M(z)
c
0
2
t
Fig. 7.3
Si vogliono calcolare freccia e sforzi residui.
Deve ovviamente risultare M’ < M(l) < M”. Se M(l) > M” si forma all’incastro una cosiddetta
cerniera plastica, con conseguente collasso della struttura.
Il tratto c ≤ z ≤ l, dove M ≥ M’ ha comportamento elastoplastico, mentre il tratto 0 ≤ z ≤ c ha
comportamento elastico.
Nel tratto elastoplastico vale la dφep = 2εY dz/b√[3(1 – M/M”)], mentre nel tratto elastico vale la
dφel = M dz/EI
Applicando il PLV si ha quindi per la freccia f per il valore P del carico
f = ∫lelz dφel +∫lepz dφel = ∫0cPz2 dz/EI + ∫cl 2εYzdz/b[3(1 – Pz/M”)]1/2
Poiché ∫zdz/(A-Bz) = -(2/3B2)(A-Bz)1/2(2A+Bz)
si ottiene, alla fine della fase di carico
f = Pc3/3EI -(2/3B2)[(A-Bl)1/2(2A+Bl) - (A-Bc)1/2(2A+Bc)]
dove A = 3, B = 3P/M”, M” = σYab2/4
Allo scarico si ha un comportamento puramente elastico
fsca = Pl3/3EI
quindi la freccia residua vale
fres = f - fsca
Per il calcolo degli sforzi residui nella sezione d’incastro si osservi che nel punto 1 della fase di
carico (fig. 7.3) si ha una distribuzione di tensione σ lungo la sezione come quella di fig. 7.2, con
valore di h dato dalla
h/b = √[3(1 – M(l)/M”)]
Per il tratto 1.2 bisogna considerare invece una distribuzione lineare con valore massimo pari a
σmax = 6Pl/ab2
Quindi allo scarico si ha, nel punto di massima sollecitazione
σres = σY - 6Pl/ab2
58
σ max
σy
a
b
σ res
h
Fig. 7.4 Distribuzione delle tensioni elastoplastiche al carico P(1), di quelle elastiche di scarico e
della loro differenza (tensioni residue)
7.2 Torsione elastoplastica circolare
Questo caso si può trattare mantenendo l’ipotesi di linearità di γ lungo il raggio e introducendo un
comportamento elastico – perfettamente plastico del materiale. Cioè τ ha un andamento lineare fino
R
γ
γsn
τ
γmax
τsn
Rs
Fig. 7.5 Sezione circolare soggetta a torsione elasto-plastica
al raggio Rs per poi restare costante col valore τsn. Il momento torcente è dato dalla somma di un
contributo elastico per 0 ≤ r ≤ Rs e un contributo plastico per Rs ≤ r ≤ R. Cioè
Mt = Mtel + Mtpl = τsnπ Rs3/2 + τsn2π(R3- Rs3)/3 = (2/3)τsnπR3[1 – ¼ (Rs/R)3].
Il termine (2/3)τsnπR3 rappresenta il momento torcente Mt” della sezione completamente
plasticizzata, cioè per Rs = 0., mentre quando Rs = R si ha il momento di prima plasticizzazione
Mt’= τsnπR3/2
Si può ricavare
Rs/R = [4(1- Mt/ Mt”]1/3
e quindi
θ = γsn/Rs = γsn/R/[4(1- Mt/ Mt”]1/3
Si può anche calcolare il coefficiente di collaborazione a torsione
Ct = Mt’/Mt” che risulta pari a 4/3.
7.3 Teoria della prova di flessione
La prova di flessione può servire a determinare la curva σ-ε di un materiale, al posto della prova di
trazione, che in alcuni casi è difficile da attuare.
59
Essa consiste, v. fig. 7.6, nel sottoporre un provino di forma in genere prismatica a sezione
rettangolare axb, appoggiato su 2 rulli cilindrici distanti 2L, a 2 forze uguali alle estremità. In
questo caso si parla di prova su 4 punti.
P
P
b
c
2L
c
Fig 7.6. Prova di flessione
Vengono misurate le forze P, da cui si ricava M = Pc nel tratto centrale, e inoltre o la deflessione in
mezzeria δ mediante un comparatore oppure la deformazione longitudinale εb sulla superficie della
barra nel tratto centrale mediante un estensimetro elettrico a resistenza. Queste grandezze sono
legate da una relazione abbastanza semplice. Infatti, con riferimento alla fig 7.7. dove sono
rappresentati a sinistra la deformazione
ε bdz
dz
b
δ
L
ρ
ρ
Fig 7.7. Deformazione della barra. ρ indica il raggio di curvatura della fibra centrale della barra nel
tratto centrale, εb la deformazione della superficie della barra in direzione longitudinale.
di un tratto infinitesimo di lunghezza 2dz e a destra la deformata della fibra centrale di lunghezza
2L, si ricava :
dz/ρ = εbdz/(b/2)
δ = ρ[1 - √(1-(L/ρ)2)]
da cui
δ = (2εb/b)[1 - √(1-(Lb/2εb)2)]
Pertanto si può pensare di avere rilevato la curva M-εb, del tipo di fig. 7.8 . La condizione di
equilibrio alla rotazione della sezione è
M = ∫AσydA
dove y è la coordinata verticale del punto generico della sezione rispetto all’asse neutro (che
coincide con l’asse orizzontale di mezzeria della sezione se si suppone che la curva σ-ε del
materiale sia simmetrica a trazione e compressione). Se si ammette che la sezione ruoti
mantenendosi piana, risulta anche ε = y/ρ. Sarà inoltre σ = σ(ε), dA = ady, e quindi
M = 2∫oεbσ(ε)ερ2adε = (a/2εb2) ∫oεbσ(ε)εdε
dove l’integrale s’intende esteso fra 0 e εb.
60
M
σb
εb
εb
Fig. 7.8
Curve M- εb e σb- εb da una prova di flessione
Sia il termine a sinistra M che l’integrale a destra possono considerarsi funzione di εb. E’ quindi
possibile effettuare la derivazione rispetto a εb.
Risulta, per il teorema fondamentale del calcolo integrale
d(M(εb)2εb2/a)dεb = σ(εb)εb
cioè
(2/a)[ εb2d(M(εb)/dεb + 2εbM] = σ(εb)εb
e quindi
(2/a)[ εbd(M(εb)/dεb + 2M] = σ(εb) = σb
I termini dM(εb)/dεb e M si ricavano dal diagramma di sinistra. Si può allora tracciare punto per
punto la curva σb – εb di destra della fig. 7.8 che fornisce la caratteristica del materiale.
7.4 Teoria della prova di torsione
La prova di torsione, su un provino cilindrico, consente di ricavare la curva τ-γ del materiale dalla
curva Mt-θ ottenuta sperimentalmente. Invece che θ, angolo di rotazione relativa tra due sezioni a
distanza unitaria, si può rilevare sulla superficie del provino la deformazione ε45, nella direzione a
45°, mediante un estensimetro.
1
Mt
ϑ
45°
Mt
R
Fig. 7.9 Tratto centrale di un provino per la prova di torsione
Infatti, ammettendo valida l’ipotesi di variazione lineare con il raggio dell’angolo γ, cioè γ = rθ, si
ha sulla superficie esterna (r=R)
61
θ = γ/R = 2 ε45/R (essendo ε45= ½ γ)
τ
Mt
τ
γ
θ
γ
Fig. 7.10 Diagrammi Mt-θ e τ-γ
Per la sezione si può scrivere
Mt = ∫oRτ(r)2πr2dr = ∫oγτ(γ)2πγ2/θ3dγ
Da cui
Mtγ3 /(2πR3) = ∫oγτ(γ)2πγ2dγ
E integrando a destra e a sinistra rispetto a γ si ottiene
(γdMt/dγ) +3M t) /(2πR3) = τ
Si ottiene quindi una coppia (γ, τ) per ogni punto della curva Mt – θ.
8. Strutture perfettamente plastiche
La condizione di plasticità perfetta (fig. 8.1) può essere considerata come caso limite per
semplificare le procedure di calcolo. Mentre infatti il calcolo elastoplastico, pur con ipotesi di
materiale elastico perfettamente plastico, é complicato nella maggioranza dei casi, il calcolo con
ipotesi di materiale perfettamente plastico risulta più semplice anche in alcuni casi bidimensionali. I
risultati indicano comunque una situazione limite non raggiungibile praticamente ma sicuramente
significativa per la sicurezza della struttura.
σy
σ
ε
−σ y
Fig. 8.1 Caratteristica rigida-perfettamente plastica simmetrica
8.1 Coefficiente di collaborazione a flessione
Proprio con riferimento al modello rigido-plastico è possibile calcolare i coefficienti di
collaborazione con particolare semplicità.
62
σy
A
2
asse neutro
d
A
2
−σ y
Fig. 8.2 Sezione doppiamente simmetrica
Per una sezione doppiamente simmetrica, come in fig. 8.2, soggetta a un momento flettente M” tale
da plasticizzare tutta la sezione di materiale perfettamente plastico l’asse neutro plastico è ancora
baricentrico e si può scrivere
M” = (σYA/2)d
dove d è la distanza fra i baricentri delle due semisezioni A/2. Siccome il momento di prima
plasticizzazione della sezione vale
M’ = σYWf = σYI/ymax
si ha per definizione di coefficiente di collaborazione a flessione
Cf = M”/M’ = Aymaxd/2I
Se la sezione è semplicemente simmetrica, rispetto all’asse di sollecitazione, è necessario prima di
tutto determinare la posizione dell’asse neutro plastico.
A
2
asse meutro plastico
asse neutro elastico
d
A
2
Fig. 8.3 Sezione semplicemente simmetrica
Questa si ottiene dalla relazione
0 = ∫AσdA = ∫A+σ+dA+ + ∫A-σ -dAdove A+ e A- sono le aree tesa e compressa e σ+ e σ- valgono rispettivamente σsn e - σsn. Se ne
deduce che A+ = A- = A/2 e che quindi l’asse neutro plastico divide la sezione in due parti di area
uguale. Inoltre da M” = ∫AσydA
Si ricava
M” = ∫A+σ+ydA+ + ∫A-σ-ydA- = σsn(yG+A+ - yG-A-) = σsn d A/2
avendo indicato con d la distanza fra i baricentri delle 2 semiaree.
8.2 Coefficiente di collaborazione a torsione
63
La condizione di plasticizzazione totale di una sezione soggetta a torsione con l’ipotesi di plasticità
perfetta, si esprime come
| τ | = τY
dove, introducendo la funzione di sforzo φ del cap. 6, si ha
| τ | = | gradφ | = τY 8.1)
La 8.1) stabilisce che il gradiente della funzione φ è costante in ogni punto della sezione. Ne deriva
per φ la distribuzione particolare a “superficie di natural declivio” tipica ad esempio dei mucchi di
sabbia o dei tetti delle abitazioni.
Ad esempio per la sezione circolare piena di raggio R la forma di φ è conica e il volume racchiuso
dalla funzione φ è V = ⅓πR2φ0. Ora essendo il momento torcente applicato Mt”, si ha
ϕO
ϕO
ϕO
R
b
b
Fig. 8.4 Forme della funzione φ per vari tipi di sezione: a) circolare piena b) circolare cava
c) rettangolare
Mt” = ⅔ πR2φ0
essendo il gradiente costante e pari a τY risulta inoltre φ0 /R = τY
per cui
Mt” = ⅔ πR3 τY
relazione che si può trovare direttamente dalla condizione di equilibrio alla rotazione della sezione
Mt” = ∫2πR2τYdr
Poiché il momento di prima plasticizzazione vale
Mt’ = τYWt = τY(πR3/2)
si ottiene il coefficiente di collaborazione a torsione
Ct = Mt / Mt’ = 4/3
Per la sezione circolare cava, con riferimento alla fig. 8.4b si ottiene
V = (πφo/3b)(b3 – a3) e quindi, essendo φo/b = τY, si ha
Mt” = ( 2π/3)(b3 – a3) τY
Il momento torcente di prima plasticizzazione vale Mt’ = τY Wt, con Wt = (π/2b)(b4 – a4).
Quindi
Ct = Mt”/ Mt’ = 4/3 (1-α3)/ (1-α4) con α = a/b.
Sezione rettangolare di lati 2a e 2b
Il volume del solido rappresentato in fig. 8.4c risulta V = (2b)2φo /3 + (bφo/2) (2a-2b) = φob/3 (6a2b). Da cui Mt” = [(2b)2/6](6a – 2b)τY
Nel caso elastico si ha invece
τmax = τA = Mtk2/(2b)2(2a) = τY, dove k2 è fornita dalla Tab. 6.1. Quindi
Ct = Mt”/ Mt’ = (3-b/a)k2/6
8.3 Analisi limite di disco in pressione
64
Per le strutture bidimensionali la condizione di plasticità perfetta deve tenere conto dello stato
doppio di tensione. A questo proposito i criteri di snervamento costituiscono la base di riferimento.
Ricordiamo che, nel piano delle tensioni principali, il criterio di Tresca è rappresentato da un
esagono
σϑ
σy
−σ y
-p
σy σr
Fig.8.5 Criterio di Tresca
L’Analisi limite con plasticità perfetta ipotizza che lo stato di sforzo di tutta la struttura stia
sull’esagono. Se si conosce il lato, o i lati, interessato dell’esagono, il problema può risolversi con
una semplice integrazione della condizione di equilibrio indefinito.
Per un corpo assialsimmetrico la condizione di equilibrio 4.18a) si riduce, come già visto a suo
tempo per il disco soggetto a pressione interna, alla
dσr/dr + (σr - σθ )/r = 0
8.1)
Nel caso in esame le tensioni principali coincidono con σr e σθ. Inoltre, in fase elastica, σr è sempre
< 0 e σθ è sempre > 0, interessando il 4° quadrante. Risulta logico aspettarsi che anche in fase
plastica sia interessato lo stesso quadrante, cioè il lato dell’esagono che ha equazione
σθ - σr = σY
Introducendo questa relazione nella 8.1) si ha
dr/r = dσr /σY
Integrando tra a e b, tenendo presente che σr(a) = -p e σr(b) = 0, si ottiene
ln(b/a) = p”/σY
Da cui p” = ln(b/a)σY
Qui p” rappresenta la pressione di plasticizzazione totale. Questa soluzione è valida fino a che σr(a)
= -p” > -σY cioè p” < σY. Quindi deve essere ln(b/a) < 1, cioè b/a < e = 2,718.
Per valori superiori la soluzione proposta va corretta tenendo conto anche di un secondo tratto
dell’esagono di Tresca.
La prima plasticizzazione si può derivare dalla soluzione elastica e corrisponde a una pressione
p’ = (1-α2)σY/2 con α = a/b
Si ottiene quindi una sorta di coefficiente di collaborazione
Cp = p”/p’ = 2ln(1/α)/(1-α2)
65
8.4 Analisi limite di disco rotante
Si cerca la velocità di rotazione che plasticizza tutta la sezione. L’equazione di equilibrio indefinito
si scrive in questo caso
dσr/dr + (σr - σθ )/r + R = 0
dove R è la forza radiale applicata per unità di volume e vale R = ρω2r. Il tratto di esagono
interessato nella fig. 8.6 è quello orizzontale superiore, dove sia σr che σθ sono > 0, come in fase
elastica.
σϑ
σy
−σ y
σy σr
Fig. 8.6 Dominio di snervamento per il disco rotante
Risulta σθ = σY e quindi l’equazione di equilibrio indefinito diventa
dσr/dr + (σr - σY )/r + ρω2r = 0
ovvero
d(σrr)/dr - σY + ρω2r2 = 0
e integrando
σrr = σY(r –a) - ρω2/3(r3 – a3) + C
La condizione σr(a) = 0 determina C = 0
La condizione σr(b) = 0 determina la velocità ω” di plasticizzazione totale
ω”2b2/σY = 3(1 –α)/(1 – α3) (α = a/b)
Da notare che la velocità di primo snervamento ω’ si ricava dalla soluzione elastica e corrisponde
alla condizione σθ(a) = σY
ρω’2/4[b2(3 + ν) + a2(1-ν)] = σY
con ν = coefficiente di Poisson.
Il coefficiente di collaborazione può essere dato dal quadrato del rapporto tra velocità di
snervamento totale ω” e di prima plasticizzazione ω’
Cω = (ω”/ω’)2 = 3[3 + ν + α2(1-ν)]/4(1 + α + α2)
66
9. Strutture soggette ad alta temperatura e tempo
9.1 Casi di viscoelasticità monodimensionale
̉
Flessione retta di travi
Partendo dalla constatazione che le relazioni della viscoelasticità tra sforzi e deformazioni sono
lineari, si possono utilizzare tutti i metodi e le semplificazioni adoperate per i casi elastici.
Così per una trave semplicemente inflessa, secondo un piano coincidente con un asse di simmetria
della sezione, la sezione generica soggetta al momento flettente M ruota mantenendosi piana.
2dz
y
dϕ
M
M
Fig. 9.1 Concio di trave inflessa
Si ha dφ= kdz, ε = ky, dove k è la curvatura della trave nella direzione dell’asse z. Nel
comportamento uniassiale a creep si può scrivere ε(t) = σC(t) con C(t) cedevolezza al creep.
Mentre nel caso di rilassamento si ha σ(t) = εR(t)
La posizione dell’asse neutro è sempre baricentrica. Infatti, dovendo essere verificata la condizione
di equilibrio assiale
0 = ∫Aσ da
nel caso di creep si ha
0 = ∫Aσ dA = ∫A ε/C(t) dA = k/C(t)∫Ay dA
ma anche nel caso di rilassamento
0 = ∫Aσ dA = ∫A εR(t) dA = kR(t)∫Ay dA
da cui si deduce che l’asse neutro deve passare per il baricentro in entrambi i casi.
La condizione di equilibrio alla rotazione implica l’introduzione del momento d’inerzia della
sezione rispetto all’asse neutro. Infatti
M = ∫Aσy dA = ∫A εy/C(t) dA = k/C(t)∫Ay2 dA = kI/C(t)
nel caso di creep e
M = ∫Aσy dA = ∫A εyR(t) dA = kR(t)∫Ay2 dA = kIR(t) nel caso di rilassamento. da cui
k = M C(t)/I e k = M/R(t)I rispettivamente nei due casi e quindi dφ = kdz, ε = ky. Da cui
σ = My/I
Si noti che la cedevolezza a creep C(t) oppure la funzione di rilassamento R(t) possono essere dati o
per via sperimentale da prove di identificazione, oppure dai parametri di modelli viscoelastici adatti
a descrivere il solido in esame e preliminarmente noti.
Esempi con il modello di Maxwell
Con tale modello si sa che C(t) = 1/E + t/η e R(t) = E e-E/η t
Problema di creep
67
Data la trave a mensola di fig. determinare la freccia d’estremità dopo il tempo t.
l
Fig. 9.2 Trave a mensola soggetta a creep
Se il carico si mantiene costante, siamo in un caso di creep. Pertanto applicando il PLV con la
rotazione reale dφ = kdz = M C(t)/I dz, dove M = Pz , e il momento virtuale M’ = z si ottiene
f(t) = Pl3/3I (1/E + t/η)
Problema di rilassamento
α
Mo
Fig. 9.3 Trave con angolo α imposto e tenuto costante
Una trave di lunghezza l, incastrata a un estremo, viene forzata, mediante l’applicazione di una
rotazione d’estremità α ad assumere una configurazione inflessa con curvatura ko cui corrisponde un
momento applicato elasticamente Mo = EI ko. Si vuole conoscere l’evoluzione del momento nel
tempo, tenendo costante la rotazione impressa α e quindi la curvatura.
Risulta
M(t) = ∫Aσ(t)y dA = ∫A εyR(t) dA = koR(t)∫Ay2 dA = koIR(t) = koI E e-E/η t = Mo e-E/η t
Carico critico
Se una trave incernierata a un estremo e vincolata da un carrello all’altro è soggetta a carico di
punta, una stima del carico che può produrre uno sbandamento laterale è fornita in campo elastico
dal carico critico euleriano Pcr = π2EI/l2
Considerando la situazione vicina al creep, la relazione precedente si può adoperare come
previsione evolutiva del carico critico nel tempo semplicemente sostituendo E con 1/C(t). Cioè
Pcr (t) = π2I/l2C(t)
Si noti che in generale C(t) aumenta nel tempo, come appare anche dal modello di Maxwell C(t) =
1/E + t/η, e quindi Pcr (t) diminuisce progressivamente.
9.2 Casi di viscoelasticità bidimensionale
Relazioni costitutive
Generalizzando la relazione costitutiva del modello di Maxwell έ = 1/E dσ/dt + σ/η al caso
tridimensionale si può scrivere
έx = 1/E (dσx/dt - ν dσy/dt - ν dσz/dt) +1/η (σx – 1/2 σy – 1/2 σz)
έy = 1/E (dσy/dt - ν dσx/dt - ν dσz/dt) +1/η (σy – 1/2 σx – 1/2 σz)
έz = 1/E (dσz/dt - ν dσy/dt - ν dσx/dt) +1/η (σz – 1/2 σy – 1/2 σx)
dγxy/dt = 1/G dτxy/dt + 3/η τxy
9.1)
68
dγyz/dt = 1/G dτyz/dt + 3/η τyz
dγzx/dt = 1/G dτzx/dt + 3/η τzx
Il fattore 3 si giustifica adoperando le prime tre relazioni per il caso di una torsione semplice con
solo effetto viscoso dove è presente una sola τ. Rispetto alle direzioni principali si ha (dai cerchi di
Mohr)
σ1 = -τ σ3 = -τ σ2 = 0
introducendo questi valori nella prima delle 9.1) si ha
έ1 = 1/η (σ1 – 1/2 σ3) = - 3τ/2η
ed essendo dγ/dt = -2 έ1 (ancora dai cerchi di Mohr)
si trova dγ/dt = 3τ/η
Disco in pressione
L’insieme delle equazioni che reggono il problema, anche in presenza di forza di volume R, è (v.
esempi del par.4.4):
b
a
p
Fig. 9.4 Disco premuto dall’interno
dσr/dr + (σr - σθ )/r + R = 0
έθ = ủ /r έr = d ủ /dr
σr = 4η/3 (έr + 1/2έθ ) σθ = 4η/3 (έθ + 1/2έr )
Da questo si ottiene un’unica equazione differenziale in ủ
4η/3 [(ủ r),r/r],r + R = 0
che nel caso omogeneo (R = 0) integrata fornisce
equilibrio indefinito
relazioni deformazioni-spostamento. Si è
posto ủ = du/dt
relazioni viscose
ủ = C1r/2 + C2/r
Le costanti si ricavano dalle condizioni al contorno σr (r = a) = -p ; σr (r = b) = 0
Da cui C1 = k C2 = 3/2 kb2 dove k = p/η a2/(b2-a2) e quindi
σr = k’(1- b2/r2 ) : σθ = k’(1+ b2/r2 ) dove
k’ = p a2/(b2-a2)
Si noti che la soluzione in termini di tensioni è la stessa che nel caso elastico, mentre in termini di ủ
differisce da quella valida per u del caso elastico solo perché il coefficiente di contrazione ν ha il
valore ½ e perché il modulo elastico E è sostituito dal coefficiente di viscosità η.
Disco rotante
Le equazioni che reggono il problema sono le stesse del caso precedente con in più la forza
centrifuga R = ρω2r. Pertanto la soluzione in termini di velocità di spostamento radiale è
ủ = C1r/2 + C2/r - ρω23r3/32E
Le costanti si determinano con le condizioni al contorno σr (r = a) = 0 ; σr (r = b) = 0 e valgono
69
C1 = k (b2+a2) C2 = k (3/2)b2a2
con k = ρω27/16η. Si ottiene per le tensioni
σr = k’(b2+a2- a2b2/r2 - r2) : σθ = k’(b2+a2+ a2b2/r2 – 5/7 r2) con k’= 7/16 ρω2
9.3 Casi di comportamento a creep non lineare
Flessione
Si può partire da una relazione costitutiva o solo di tipo viscoso secondario o elasto-viscoso. In
quest’ultimo caso si ha ε’ = σ’/E+ Bσn e si può osservare che per t = 0 prevale il primo termine
(elastico) mentre per t > 0 prevale il secondo, essendo σ’ = 0.
Se ci si limita a considerare solo la fase secondaria del creep si ottengono procedimenti abbastanza
semplici per determinare sforzi e deformazioni nelle strutture.
y
n
n
Fig. 9.5 Sezione con asse di simmetria verticale. L’asse neutro non è in generale baricentrico
Per una trave soggetta a flessione con asse di sollecitazione coincidente con un asse di simmetria
della sezione, l’asse neutro risulta normale a tale asse e per la sua determinazione si può scrivere
∫σdA = 0. Inoltre, ammettendo valida l’ipotesi di conservazione della planarità della sezione, si ha
ε’ = k’y dove k’ = dk/dt è la derivata rispetto al tempo della curvatura nella direzione dell’asse della
trave. Quindi la condizione per determinare la posizione dell’asse neutro è
(k’/B)1/n ∫y1/n dA = 0
Mentre dalla condizione ∫σydA = M si ha
(k’/B)1/n ∫y1+1/n dA = M, cioè indicando ∫y1+1/n dA con In (si noti che In coincide col momento
d’inerzia per n=1) si ottiene
(k’/B)1/n = M/In σ = M/In y1/n dφ’/dt = k’dz = B(M/In)n dz
9.2)
Quindi i passi per risolvere problemi di flessione con creep nei metalli sono i seguenti:
Determinazione dell’asse neutro viscoso con la ∫y1/n dA = 0
1) Calcolo del momento di ordine 1/n +1 della sezione cioè In= ∫y1+1/n dA
2) Applicazione delle espressioni 9.2) laddove necessario
Per sezioni con parti rettangolari come in fig. 9.6)
a
b
ye
yi
Fig. 9.6
70
si ha ∫y1/n dA = a(ye1/n+1 – yi1/n+1)/(1/n+1) e ∫y1/n+1 dA = a(ye1/n+2 – yi1/n+2)/(1/n+2), per
cui per imporre le condizioni di equilibrio complessivo della sezione si procede sommando i
contributi delle diverse parti.
Flessione di travi soggette a rilassamento
αo
αo
Fig. 9.7 Trave cui viene impressa una rotazione agli estremi, tenuta costante nel tempo.
Nel rilassamento la legge costitutiva έ = 1/E dσ/dt + Bσn diventa έ = 1/E dσ/dt + Bσn = 0. Questo è
vero per ogni singola fibra per cui è possibile prevedere l’evoluzione nel tempo integrando. Si
ottiene
σ-(n-1) - σo-(n-1) = (n-1)EBt
dove σo è il valore iniziale di σ. Per sezioni con asse neutro già individuato, per es. per simmetria, si
può calcolare l’evoluzione nel tempo del momento flettente
M = ∫σydA = ∫ (σo-(n-1) + (n-1)Ebt)-1/(n-1) ydA
La posizione dell’asse neutro, nel caso non sia nota, si determina con la relazione
0 = ∫σdA = ∫ (σo-(n-1) + (n-1)Ebt)-1/(n-1) dA
che rivela la sua dipendenza dal tempo.
Stati complessi di sollecitazione a creep
Si fa riferimento in questi casi a grandezze equivalenti sia per quanto riguarda gli sforzi che le
deformazioni. Per i primi si può assumere una σ equivalente secondo Von Mises
σeq = √(I12 – 3I2) = √2√(τ12 + τ22 + τ32)
dove τ1 = (σ3 – σ2)/2, etc. sono le τ massime.
Analogamente si può introdurre
εeq = k√(γ12 + γ22 + γ32) dove γ1 = (ε3 – ε2), etc.
con k scelto in modo tale che, in campo elastico, σeq / εeq = E. Risulta k = √2/2(1+ν). Operando in
campo viscoso si può assumere k = √2/2(1+1/2) = √2/3. Abbiamo quindi
σeq = √(I12 – 3I2) = √2√(τ12 + τ22 + τ32)
έeq = (√2/3) √(γ’12 + γ’22 + γ’32)
Le ipotesi ulteriori sono:
1) La deformazione di scorrimento viscoso avviene senza variazione di volume, cioè con έ1 + έ2 + έ3
= 0.
2) La velocità γ’i é proporzionale alla tensione corrispondente τi cioè γ’i = 2ψτi , con ψ non
dipendente da i ma funzione in generale dello stato di sforzo.
In questo modo si perviene alle così dette relazioni di Prandtl-Reuss
έ1 = (έeq/σeq)(σ1 – ½ σ2 – ½ σ3), etc.
Si noti che έeq/σeq = B σeqn-1
con B e n costanti ricavate da prove di creep monoasssiale.
71
Travi con sezione circolare soggette a torsione e creep
I risultati principali per la torsione circolare sono deducibili da quelli della prova di trazione. Il
caso è trattabile come un caso di stato di sforzo complesso. Abbiamo, con riferimento ai cerchi di
Mohr della fig.9.9, τ3= τ, τ1= τ2= ½ τ, quindi σeq = √2√(τ12 + τ22 + τ32) = √3τ, γ’3 = γ’, γ’1 = γ’2 = ½ γ’,
ε’eq = (√2/3) √(γ’12 + γ’22 + γ’32) = γ’/√3, per cui dalla relazione di Norton έeq = B σeqn
si ricava
τ
1
τ3
τ1
.
M,ϑ
Fig. 9.8 Torsione circolare a creep
σ2
σ3
τ2
σ1
σ
Fig. 9.9 Cerchi di Mohr per le tensioni
si ricava
γ’ = B 3(n+1)/2 τn
Ammettendo una distribuzione lineare di γ’ lungo il raggio, cioè γ’ = rθ’, occorre preliminarmente
ricavare θ’. Questo si può fare con la relazione M = ∫τ r dA. Considerando che γ’ = B*τn , con B* =
B3(n+1)/2, e che dA = 2πrdr, si ha
M = ∫τ r dA = ∫oγ’max 2πγ’(2+1/n)/(θ’3B*1/n)dγ’ = 2πθ’1/n R 1/n+3/[B*1/n(1/n+3)]
avendo posto γ’max = θ’R. Dalla relazione precedente è possibile ricavare
θ’ = Mn(1/n+3)nB*/[(2π)nR1+3n)]. e quindi τ al variare di r
τ = M(1/n+3) r1/n/(2π).
Così è possibile risolvere i problemi di verifica a rottura e di deformazione, tenendo presente che
l’angolo infinitesimo di rotazione relativa di due sezioni poste a distanza dz è dα’ = θ’dz. Si
consideri inoltre che τr = σr/√3.
Serbatoio di piccolo spessore in pressione
In questo caso, con la teoria membranale si ha per il mantello cilindrico in direzione tangenziale e
assiale:
σθ = pR/h, σz = pR/2h, σr = -p (in corrispondenza della superficie interna mentre σr = 0 sulla sup.
esterna), dove R è il raggio medio del mantello e h lo spessore.
Si ottiene quindi, trascurando la σr , σeq = √2√(τ12 + τ22 + τ32) = √3σθ/2. Applicando le relazioni di
Prandtl-Reuss si ha
έθ = (έeq/σeq)(σθ – ½ σz ) = (έeq/σeq)3/4σθ
έz = (έeq/σeq)(σz – ½ σθ ) = - (έeq/σeq)3/4σθ
Si tenga presente che έeq/σeq = B σeqn-1 = B(√3σθ/2)n-1
72
La verifica a rottura si esegue quindi confrontando la σeq = √3σθ/2 con la σ di rottura monoassiale
dopo il tempo t, σR,t. L’eventuale verifica a deformazione massima andrà fatta o sulla έθ o sulla έz a
seconda che sia imposto un vincolo alla dilatazione radiale u’= Rέθ oppure assiale.
10. Bibliografia
S. Timoshenko and J.N. Goodier: Theory of elasticity, McGraw Hill
J. Lemaitre, J.L. Chaboche: Mécanique dès Matériaux Solides, Dunod
J.G. Williams: Stress Analysis of polymers, Longman
73