ALTERNATA V A = AMPIEZZA = Proiezione di V lunghezza di V velocità angolare o pulsazione (gradi /s oppure rad/s) (angolo percorso da V in un intervallo di tempo) A DEVE ESSERE COSTANTE X 0 t ISTANTE Angolo tra V e asse x: t=0 = 0° 1 ALTERNATA V A = AMPIEZZA = Proiezione di V lunghezza di V X =30° 0 t t1 ISTANTE Angolo tra V e asse x : t1 t = t1 = 30° 2 ALTERNATA V A = AMPIEZZA = Proiezione di V lunghezza di V X =60° 0 t t1 t2 ISTANTE Angolo tra V e asse x : t2 t = t2 = 60° 3 ALTERNATA V Proiezione di V A = AMPIEZZA = A = AMPIEZZA = lunghezza di V lunghezza di V X =90° 0 t t1 t2 t3 = T/4 ISTANTE Angolo tra V e asse x : t = t3 = T/4 = 90° t3= 90°/(T/4)=360°/T= /T 4 ALTERNATA V A = AMPIEZZA = Proiezione di V lunghezza di V X =120° 0 t t1 t2 t3 = T/4 t4 ISTANTE Angolo tra V e asse x : t4 t = t4 = 120° 5 ALTERNATA V Proiezione di V A = AMPIEZZA = lunghezza di V =150° X 0 t t1 Angolo tra V e asse x : t5 t2 t3 = T/4 t4 t5 ISTANTE t = t5 = 150° 6 ALTERNATA V A = AMPIEZZA = Proiezione di V Semionda positiva lunghezza di V =180° X 0 t t1 t2 t3 = T/4 t4 ISTANTE Angolo tra V e asse x : t5 t6 = T/2 t = t6 = T/2 = 180° t1=180°/(T/2)=360°/T= /T 7 ALTERNATA V A = AMPIEZZA = Proiezione di V lunghezza di V =210° X t7 t t6 ISTANTE Angolo tra V e asse x : t7 t = t7 = 210° 8 ALTERNATA V A = AMPIEZZA = Proiezione di V lunghezza di V =240° t7 X t8 t t6 ISTANTE Angolo tra V e asse x : t8 t = t8 = 240° 9 ALTERNATA V A = AMPIEZZA = Proiezione di V lunghezza di V AMPIEZZA = lunghezza di V =270° t7 X t8 t9 = 3T/4 t t6 ISTANTE Angolo tra V e asse x : t = t9 = 3T/4 = 270° t9=270°/(3T/4)=360°/T = 10 ALTERNATA V A = AMPIEZZA = Proiezione di V lunghezza di V =300° t7 X t8 t9 = 3T/4 t10 t t6 ISTANTE Angolo tra V e asse x : t10 t = t10 = 300° 11 ALTERNATA V A = AMPIEZZA = Proiezione di V lunghezza di V =330° t7 X t8 t9 = 3T/4 t10 t11 t t6 ISTANTE Angolo tra V e asse x : t11 t = t11 = 330° 12 ALTERNATA V A = AMPIEZZA = Proiezione di V lunghezza di V t7 X t8 t9 = 3T/4 ISTANTE t10 t11 t = t12= T t12 = T t t6 =360° Angolo tra V e asse x : T = 360° =2 Semionda negativa 13 Proiezione di V RIEPILOGO t9 = 3T/4 t7 t1 t2 t3 = T/4 t4 LE DUE SEMIONDE (POSITIVA E NEGATIVA) INSIEME FORMANO UNA ALTERNANZA t5 t8 t12 = T t10 t11 t6 = T/2 T T = PERIODO T = è l’intervallo di tempo che occorre al vettore V per effettuare un giro completo (2 del cerchio trigonometrico T = è anche l’intervallo di tempo che occorre per descrivere le semionde 14 LA FREQUENZA T t ESEMPIO: Supponiamo che questo intervallo di tempo duri 1 secondo; Domanda: quante alternanze vi sono contenute? Risposta: 8 DEFINIZIONE DI FREQUENZA: è il numero di alternanze contenute in 1 secondo UNITA’ DI MISURA DELLA FREQUENZA: HERTZ (Hz) Nell’esempio precedente la frequenza è 8 Hz. 15 ESERCIZI 1. Una sinusoide presenta un periodo T = 1 ms. Quante alternanze ci sono in un secondo (cioè la frequenza)? Soluzione: siccome un secondo è formato da 1000 ms, vuol dire che in un secondo entrano 1000 alternanze. Quindi la frequenza vale f = 1000 Hz. 2. Una sinusoide presenta una frequenza di 50 Hz. Quanto vale il suo periodo T? Soluzione: 50 Hz significa che la sinusoide presenta 50 alternanze in 1 secondo. Quindi per conoscere il periodo T occorre dividere l’intervallo di 1 secondo in 50 parti. T = 1/50 = 0,02 s = 0,02*1000 ms = 20 ms. 16 FORMULE TRA PERIODO E FREQUENZA Nel secondo esercizio appena eseguito abbiamo ricavato con un semplice ragionamento una relazione tra periodo “T” e frequenza “f”. Possiamo generalizzarla. • T = 1/f • f = 1/T • ATTENZIONE: se T è in secondi f è in Hertz 17 FORMULE TRA PERIODO, FREQUENZA E PULSAZIONE Troviamo ora un’ultima formula. =2 / T (rad/s) Siccome abbiamo ricavato che: T = 1/f, possiamo Sappiamo già che: sostituire questa formula in quella della pulsazione. Otteniamo quindi: 2 T 2 1 f f 2 1 2 f 18 FASE INIZIALE: (il vettore V è disegnato nella sua posizione all’istante t = 0) X = 30° X = 60° X = 90° In queste tre figure abbiamo il vettore V in posizioni angolari diversi all’istante t=0. Nella prima figura il vettore V forma un angolo iniziale di 30°, nella seconda un angolo di 60°, nella terza un angolo di 90°. Le tre sinusoidi iniziano da un valore che non è zero, ma deve essere calcolato con la trigonometria. 19 FASE INIZIALE: (il vettore V è disegnato nella sua posizione all’istante t=0) X = 180° In queste ultime due figure abbiamo il vettore V che forma un angolo iniziale di 180° ed uno di 270°. X = 270° DEFINIZIONE: l’angolo che il vettore V forma con l’asse x all’istante t =0, è chiamato FASE INIZIALE 20 FORMULA DELLE SINUSOIDI In questi ragionamenti supponiamo che V abbia una lunghezza A = 1 0,5 0,866 X X Consideriamo ora alcune situazioni. 1. Quando il vettore V ha una fase iniziale la sua proiezione sull’asse y è zero. = 0° , = 30° 2. Quando il vettore V ha una fase iniziale = 30° , la sua proiezione sull’asse y è sen(30°) = 0,5. = 60° 3. Quando il vettore V ha una fase iniziale = 60° , la sua proiezione sull’asse y è sen(60°) = 0,866. 4. Quando il vettore V ha una fase iniziale = 90° , la sua proiezione sull’asse y è sen(90°) = 1. 21 FORMULA DELLE SINUSOIDI t=0 Per ricavare la formula supponiamo che la 0,5 = 30° X fase iniziale sia = 30°. Supponiamo che il vettore V abbia una pulsazione 10°/s. Ciò significa che il vettore percorre un angolo di 10° al secondo. Ci possiamo ora chiedere quale sia l’angolo che forma il vettore V (con l’asse x) ad un istante qualsiasi. 0,64 X = 40° 1. All’istante t=1 s l’angolo sarà 30° + 10° * 1 = 40°. Quindi possiamo calcolare la proiezione di V sull’asse y: sen(40°) = 0,64 Continua ./. 22 FORMULA DELLE SINUSOIDI 0,77 X = 50° 2. All’istante t=2 s l’angolo 0,866 X = 60° 3. All’istante t=3 s l’angolo sarà 30° + 10° * 2 = 50°. Quindi possiamo calcolare la proiezione di V sull’asse y: sen(50°) = 0,77 sarà 30° + 10° * 3 = 60°. Quindi possiamo calcolare la proiezione di V sull’asse y: sen(50°) = 0,866. Possiamo trarre alcune conclusioni generali: 1. dopo un intervallo di tempo “t” l’angolo calcola con la formula: =( + che forma il vettore V con l’asse X si * t) 2. Il valore della proiezione di V sull’asse y si calcola con la formula conosciuta dalla trigonometria: sen ( ) = sen ( + * t) 23 FORMULA DELLE SINUSOIDI I ragionamenti precedenti sono stati fatti considerando che la lunghezza del vettore V sia di valore A = 1. Adesso consideriamo che il vettore abbia una lunghezza qualsiasi, cioè A. La formula che abbiamo trovato per rappresentare una sinusoide si può scrivere nella forma più generale possibile: y = A * sen ( + * t) Ricordiamo le altre formule: T = 1/f f = 1/T 2 T 2 f 24 Unità di misura degli angoli Il radiante (simbolo rad) è l'unità di misura degli angoli del Sistema internazionale di unità di misura. Tale misura rappresenta il rapporto tra la lunghezza di un arco di circonferenza spazzato dall'angolo, diviso per la lunghezza del raggio di tale circonferenza. 25 Unità di misura degli angoli Utilità della scelta del radiante La misura del radiante consente di avere formule trigonometriche molto più semplici di quelle che si avrebbero adottando come unità di misura per gli angoli i gradi sessagesimali. Formule di conversione: 1 rad = 57,29 gradi 1 grado = 0,0174 rad gradi radianti 0 0 15 (1/12) π 30 (1/6) π 45 (1/4) π 60 (1/3) π 90 (1/2) π 120 (2/3) π 135 (3/4) π 150 (5/6) π 180 π 210 (7/6) π 225 (5/4) π 240 (4/3) π 270 (3/2) π 300 (5/3) π 315 (7/4) π 330 (11/6) π 360 2π 26 ESERCIZI SULLE SINUSOIDI 1. Una sinusoide ha la frequenza di 100 Hz, l’ampiezza A=5, la fase iniziale =15°. a) Quanto vale T b) Quanto vale c)Quale angolo è formato dal vettore V con l’asse “x” dopo un intervallo t = 1 ms? d) Quale valore assume la sinusoide dopo che è trascorso intervallo t = 1 ms? RISPOSTA: a)T = 1/f = 1/100 = 0,01 s = 10 ms. b) f= 6,28*100 = 628 rad/s. c) = + t (occorre trasformare i gradi in radianti = 15° = (1/12) π), = (1/12) π + 628*0,001 = 0,2617+0,628 = 0,8897 rad = 0,8897 * 57,29 = 50,97 °. d) y = A * sen ( + * t) = 5*sen (0,8897) = 5*sen(50,97) = 5*0,7768 = 3,884 27 VALORE MEDIO DELLE SINUSOIDI +2 +1 +3 +2 +1 T -1 -2 -1 -3 -2 Quando si parla di valore medio si intende una operazione matematica del tipo: (A+B) / 2. Nel caso di una sinusoide si deve considerare un intervallo di tempo pari al periodo T e al suo interno si deve fare l’operazione precedente ripetuta per tutti i valori che la sinusoide stessa assume. Infatti si tratta di sommare i numeri che sono rappresentati nel grafico aventi lo stesso colore e poi dividere per 2. È evidente che le somme risulteranno tutte uguali a zero. Infatti: (+1-1)/2 =0; (+2-2)/2 =0; (+3-3)/2 =0; ecc. La conclusione di questo ragionamento è che una sinusoide ha VALORE MEDIO = 0 28 SINUSOIDI CON VALORE MEDIO DIVERSO DA ZERO +3 +2 +4 +3 +2 +1 +1 +1 0 0 0 -1 -2 -1 In questo secondo caso la sinusoide è stata traslata verso l’alto (di +1). Il risultato del calcolo del valore medio ora non è più zero. Un calcolo approssimativo ci fornisce il seguente risultato: (+1+1)/2=+1; (+2+0)/2=+1; (+3-1)/2=+1; (+4-2)/2=+1; (+3-1)/2=+1; (+2+0)/2=+1; In effetti un calcolo matematico più rigoroso (che però va oltre le conoscenze di questo corso) ci fornisce lo stesso risultato, cioè +1. Si può concludere che il valore medio di una sinusoide è pari al valore “n”(positivo o negativo) di cui è stata traslata verso l’alto o verso il basso. 29 T SINUSOIDI CON VALORE MEDIO DIVERSO DA ZERO Un calcolo più preciso del valore medio si può fare graficamente. Occorre calcolare la superficie colorata. Per evitare calcoli troppo complicati si ricorre ad operazioni grafiche controllabili visivamente. 30 SINUSOIDI CON VALORE MEDIO DIVERSO DA ZERO 1 2 In questa diapositiva le zone colorate di verde sono uguali ma di segno opposto e quindi la loro media è zero:quindi possiamo cancellarle. Le zone colorate di giallo invece sono entrambe positive e di uguale superficie. Possiamo quindi “tagliare” la zona 1 “incollarla” nella zona 2. Si ottiene quindi la figura successiva. 31 SINUSOIDI CON VALORE MEDIO DIVERSO DA ZERO Come si nota dalla figura, dopo avere eliminato le parti positive e negative, ma di uguale valore, resta una parte del grafico originale che è costante. La conclusione di tutto il ragionamento grafico è che una sinusoide traslata verso l’alto o verso il basso di “n” ha valore medio proprio uguale ad “n”. Nel nostro 32 esempio quindi il valore medio è +1. VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE Il valore medio appena discusso ha poca importanza pratica. Si studia poiché è necessario per comprendere il nuovo valore chiamato “EFFICACE”. Questo nuovo parametro è invece fondamentale nello studio delle grandezze elettriche alternate che inizieremo tra poco. La sua importanza sarà chiara più avanti nel corso. Possiamo anticipare che con questo “valore efficace” potremo trattare l’alternata come se fosse una “continua”, con una facilitazione dei calcoli e dei ragionamenti. Anche in questo caso tratteremo l’argomento in modo grafico, poiché matematicamente risulterebbe al di fuori della portata delle cognizioni attuali della classe. Supporremo di avere una sinusoide come quella utilizzata per il calcolo del valore medio. La sinusoide ha la seguente espressione: Y = 3*sen(2* * f * t) La cosa importante è il valore di ampiezza che vale 3. Si tratta ovviamente di un esempio, quindi in seguito il valore numerico 3 sarà sostituito dal valore generico A. 33 VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE Per determinare il “valore efficace” di una sinusoide occorre procede come indicato di seguito. 1. Calcolare il quadrato di una sinusoide; 2. Calcolare il valore medio del quadrato appena calcolato. 3. Fare la radice quadrata del valore medio calcolato al punto 2. Consideriamo il punto 1. Cosa significa calcolare il quadrato di una sinusoide? Supponiamo di considerare l’espressione precedente: Y = 3*sen(2* * f * t) Il suo quadrato si calcola matematicamente in questo modo: Y2 = [3*sen(2* * f * t)]2 = 9*[sen(2* * f * t)]2 Invece di effettuare il calcolo matematicamente, lo effettueremo graficamente. Il grafico risultante dovrà avere un valore massimo uguale a 9 e dovrà essere sempre di valore positivo (per effetto dell’operazione di elevazione al quadrato) Vediamo graficamente il risultato dell’operazione di elevazione al quadrato di una sinusoide. 34 VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE 4 3 2 1 0 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Questa è la sinusoide originale (di ampiezza = 3) -2 -3 -4 Questo è il risultato della operazione di elevazione al quadrato (notare ampiezza = 9 e valori tutti positivi, cioè la curva sta tutta sopra l’asse x). 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 Infine si nota anche un raddoppio della frequenza. 35 VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE 10 9 8 4,5 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 Passiamo adesso a considerare il punto 2. Una prima osservazione su questo grafico ci dice che il valore medio è pari a 4,5 (la metà dell’ampiezza che è 9). Questa osservazione si può verificare come è stato già fatto in precedenza, quando abbiamo parlato del valore medio di una sinusoide. 36 VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE Anche in questo caso possiamo ripetere le stesse considerazioni fatte in precedenza sul valore medio e troveremo che esso è proprio 4,5. Successivamente vedremo come calcolare la superficie colorata in blu in modo semplice e quindi calcolare il valore efficace. 37 VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE Da questa figura si comprende perché il valore medio è 4,5. Basta spostare le parti di colore uguale come indicato e avremo il risultato della figura successiva. Inoltre si nota facilmente che la superficie della curva originale (in blu) non cambia. 38 VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE Abbiamo dimostrato che il valore medio del quadrato di una sinusoide è pari alla metà della sua ampiezza. In questo caso l’ampiezza è (3)2 = 9 e quindi il valore medio è 4,5. Più in generale possiamo stabilire la seguente formula: Dato che A è l’ampiezza della sinusoide, il valore medio del quadrato di una sinusoide è (A)2 / 2. Notiamo da questa figura che la superficie è rimasta inalterata. Adesso però si tratta 39 di calcolare l’area di un rettangolo, molto più semplice rispetto a prima. VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE Infine consideriamo il punto 3. Ricordiamo che abbiamo fatto il quadrato di una sinusoide, poi abbiamo calcolato il valore medio della nuova funzione, ora dobbiamo fare la radice quadrata di questo valore medio, per ritornare alla sinusoide iniziale. Quindi il valore efficace di una sinusoide è ottenuta con la formula seguente: V EFF A2 A 2 2 A 1,414 0,707 A 40 VALORE EFFICACE DI UNA SINUSOIDE Applichiamo la formula appena trovata alla sinusoide da cui eravamo partiti. Y = 3*sen(2* * f * t) L’ampiezza è A = 3. Il valore efficace si calcola: VEFF = 0,707*A = 0,707*3 = 2,121 2,121 3 2,7 2,4 2,1 1,8 1,5 1,2 0,9 0,6 0,3 0 -0,3 -0,6 0 -0,9 -1,2 -1,5 -1,8 -2,1 -2,4 -2,7 -3 1 2 3 4 5 6 7 41 SOMME E DIFFERENZE CON LE SINUSOIDI In elettrotecnica è frequente effettuare somme e differenze tra sinusoidi avente la stessa frequenza “f”. Il calcolo con le regole della trigonometria è lungo e spesso complesso, quindi occorre trovare una tecnica rapida e semplice. Facciamo un esempio: 1. Y1 = 3*sen(2* * f * t) = 3*sen(2* * 50 * t) 2. Y2 = 4*sen(2* * f * t) = 4*sen(2* * 50 * t) Abbiamo due sinusoidi con la stessa frequenza f = 50 Hz (deve essere sempre così !!), la stessa fase iniziale = 0, ampiezze diverse A1 = 3 ed A2 = 4. Calcoliamo ora la somma e la differenza delle due sinusoidi: YS = Y1 + Y2 YD = Y1 - Y2 Nella prossima diapositiva visualizzeremo i risultati ottenuti con EXCEL, senza calcolare matematicamente in modo diretto le formule. Vedremo nello stesso istante ( t = 0,005 s) l’ampiezza della nuova curva e trarremo conclusioni. 42 SOMMA TRA SINUSOIDI Y1 3 Y2 4 4 6 3 4 2 2 1 t 0 -1 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 t 0 -2 0 -2 -4 -3 -6 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 -4 Ys 7=3+4 8 6 4 2 0 -2 0 -4 -6 -8 t 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 La somma è ancora una sinusoide, avente la stessa frequenza e avente come ampiezza la somma delle ampiezze. 43 DIFFERENZA TRA SINUSOIDI +1 = - 3 - (-4) Yd 1,5 1 0,5 t 0 -0,5 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 -1 -1,5 -1=3 - 4 La differenza è ancora una sinusoide, avente la stessa frequenza e avente come ampiezza la differenza delle ampiezze. 44 RIEPILOGO DELLA SOMMA E DIFFERENZA TRA SINUSOIDI Ys 8 Y2 6 Y1 4 2 t 0 -2 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 -4 -6 -8 Yd = Y1 – Y2 Conclusioni: somme e differenze tra sinusoidi isofrequenziali, sono ancora sinusoidi di stessa frequenza, ma con ampiezze diverse (o somma o differenze tra le ampiezze originarie). La fase iniziale, supposta zero, resta ancora zero. NOTA: la differenza Yd si poteva ottenere anche facendo Yd = Y2 – Y1, ma la sinusoide risultante sarebbe stata ribaltata (sfasata di 180°). 45 SOMMA E DIFFERENZA TRA SINUSOIDI: METODO VETTORIALE La tecnica grafica non è utilizzabile praticamente in elettrotecnica. Il metodo vettoriale è invece molto più facile e veloce. Vediamo in cosa consiste. VETTORI IN FASE Y1 = 3 Y2 = 4 Come già descritto in precedenza, ogni vettore rotante descrive una sinusoide. Quindi utilizziamo i vettori sommandoli o sottraendoli tra loro per ottenere le sinusoidi corrispondenti. Di conseguenza possiamo sostituire le operazioni trigonometriche con operazioni vettoriali. YS = 3+4 = 7 YD = -1 46 ESEMPI DI CALCOLO VETTORIALE Nei seguenti esempi tratteremo alcuni casi notevoli di somma o differenza tra vettori e successivamente tracceremo le sinusoidi corrispondenti. VETTORI IN QUADRATURA (1° caso) Y2=1 YS = ? Y1 ed Y2 sono due vettori sfasati di 90° (si dicono in quadratura), e la loro somma YS avrà un modulo ed una fase calcolati di seguito. Y1=2 y S y y 1 2 modulo della somma fase della somma y y1 2 S y2 arctg ( ) y1 y2 2 12 1 arctg ( ) 2 22 5 2,236 arctg (0,5) 26,56 47 CORRISPONDENZA TRA VETTORI E SINUSOIDI Y2=1 Y1 YS = 2,236 3 2 =26,56° 1 t Y1=2 0 -1 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 -2 -3 Ys 2,236 3 2 Y2 1 1,5 t 0 1 -1 0 0,5 t 0 -0,5 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 -2 -3 -1 -1,5 Confrontare i vettori con le rispettive sinusoidi e riconoscere la corrispondenza tra ampiezze e tra le fasi iniziali. 48 ESEMPI DI CALCOLO VETTORIALE VETTORI IN QUADRATURA (2° caso) Y1 2,5 2 1,5 1 0,5 0 -0,5 0 -1 -1,5 -2 -2,5 Y1=2 = - 26,56° t 0,005 0,01 0,015 0,02 Y2=1 0,025 YS = 2,236 Ys Y2 3 1,5 2 1 1 0,5 t 0 -0,5 0 -1 -1,5 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 t 0 -1 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 -2 -3 Anche ora confrontare i vettori con le rispettive sinusoidi e riconoscere la corrispondenza tra ampiezze e tra le fasi iniziali. 49 ESEMPI DI CALCOLO VETTORIALE VETTORI IN OPPOSIZIONE DI FASE Y2= 1 Y1 = 180° 2,5 2 1,5 1 0,5 0 -0,5 0 -1 -1,5 -2 -2,5 Y1=2 YS = Y1 - Y2 YS = 1 t 0,005 0,01 Ys 0,02 0,025 Y2 1,5 1,5 1 1 0,5 0,5 t 0 -0,5 0 0,015 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 t 0 -0,5 0 -1 -1 -1,5 -1,5 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 50 CONCLUSIONI Al calcolo tra sinusoidi aventi la stessa frequenza (isofrequenziali), si sostituisce il calcolo tra vettori, più facile e veloce. Per il calcolo tra vettori si utilizzano le tecniche già studiate con i numeri complessi. 51