ONDE
Esaminiamo la modalità con la quale una perturbazione dallo stato di equilibrio di un punto
materiale che fa parte di un mezzo esteso elastico viene trasmessa ad altri punti
dell’insieme.
ESEMPIO - un sassolino (goccia) cade sulla superficie di un liquido in quiete.
- Una particella del fluido è spostata verso il basso ricevendo energia meccanica
- La particella è legata ad altre particelle del mezzo con cui scambia interazioni: la risultante di
tali interazioni è una forza elastica di richiamo
- Sotto l’azione della forza elastica, la particella torna indietro e supera la posizione originaria,
perché vi arriva con una certa energia cinetica: la particella inizia ad oscillare intorno alla
posizione di equilibrio (essa si muove di moto armonico)
- Poiché la particella è legata ad altre particelle del mezzo, sulle particelle contigue agiranno
delle forze variabili con modalità dipendenti dal moto della prima particella
- Le particelle contigue si muoveranno con un moto avente le stesse caratteristiche del moto
della prima particella: esso è però sfasato in ritardo rispetto al moto della prima particella ed
ha ampiezza generalmente ridotta
- Il processo di trasmissione si ripete e ben presto la perturbazione si è estesa ad una notevole
regione: l’aspetto della superficie del fluido mostra la presenza di onde.
Caratteristiche della propagazione per onde:
1. I singoli punti interessati nella perturbazione hanno moti su traiettorie chiuse e limitate
rispetto all’estensione delle onde
2. La propagazione della perturbazione è dovuta ai legami esistenti fra i vari punti materiali,
così che la perturbazione di un punto è trasmessa ai punti contigui
3. I moti di due punti vicini investiti dalla perturbazione sono oscillatori e simili tra loro,
diversificandosi in genere solamente per l’ampiezza e per uno sfasamento
4. La propagazione della perturbazione è accompagnata da trasmissione di energia sotto
forma ordinata
La velocità di un’onda che si propaga in una fune è uguale alla
velocità delle singole particelle della fune?
NO – le velocità sono differenti sia in modulo che direzione !!!
ONDA IMPULSIVA
ONDA SINUSOIDALE
ONDE TRASVERSALI E ONDE LONGITUDINALI
Le onde che si propagano in un mezzo elastico possono essere trasversali o
longitudinali, a seconda che le oscillazioni delle particelle del mezzo avvengano
nella direzione perpendicolare a quella di propagazione o nella stessa direzione.
Onde trasversali
Onde longitudinali
ONDE MECCANICHE
Sono le onde che si propagano in mezzi materiali elastici. Caratteristica delle onde meccaniche
è che esse seguono le leggi di Newton e per esistere richiedono la presenza di un mezzo
materiale (acqua, corda, aria, roccia,…).
Esempi: onde del mare, onde sonore, onde sismiche,...
Le onde meccaniche possono essere trasversali o longitudinali.
ONDE ELETTROMAGNETICHE
Le onde elettromagnetiche non richiedono di un mezzo materiale per esistere. Tutte le onde
elettromagnetiche viaggiano alla stessa velocità nel vuoto, pari alla velocità della luce:
c = 299 792 458 m/s
Esempi: luce visibile, raggi ultravioletti, onde radio e televisive, raggi X, microonde,…
Le onde elettromagnetiche sono onde trasversali.
ONDE DI MATERIA
Elettroni, protoni, le altre particelle fondamentali e perfino atomi e molecole si muovono come
onde. Dato che comunemente pensiamo a queste entità come ai costituenti della materia, esse
sono chiamate onde di materia.
Se la vibrazione che dà origine all’onda è sinusoidale (moto armonico), l’onda stessa (se il
mezzo è elastico) è sinusoidale.
Nello spazio: una “fotografia” dell’onda che si sta propagando nello spazio in un dato istante
avrà la forma di seno o coseno.
λ
y
cresta o picco
Periodo T
A
x
A
valle
A – Ampiezza: massima altezza di una cresta o profondità di una valle
λ – Lunghezza d’onda: distanza tra due creste successive
(distanza tra due qualsiasi punti identici successivi dell’onda)
f – Frequenza: numero di cicli completi compiuti da un determinato punto nell’unità di tempo
v – Velocità: velocità della propagazione v =
λ
T
v=fλ
RAPPRESENTAZIONE MATEMATICA DI UN’ONDA SINUSOIDALE
y
∆x
Onda al tempo t = 0
x
Onda al tempo t
All’istante t = 0
y = A sin( 2π x) = A sin(kx)
λ
k = 2π numero d’onda ([rad/m])
λ
Se l’onda si muove verso destra a velocità v, dopo un tempo t ogni punto dell’onda si è
spostato verso destra di una distanza ∆x = vt.
Per descrivere il punto all’istante t, l’argomento della funzione seno deve avere lo stesso valore
numerico che aveva a t = 0. Se per t = 0 l’argomento è kx, al tempo t deve essere k(x-vt)
y = A sin[k(x-vt)) = A sin( 2πx – 2πvt) = A sin(kx – 2πf t) = A sin(kx – ωt)
λ
λ
y(x,t) = A sin(kx – ωt)
Caratteristiche di un moto ondoso
Le linee di propagazione di un moto ondoso vengono chiamate raggi. I punti di uno
stesso raggio che sono a distanza λ, o multipli interi di λ oscillano in concordanza di fase.
Il luogo dei punti contigui del mezzo che oscillano in fase tra loro si chiama superficie
d’onda.
Il fronte d’onda è formato dal luogo dei punti che sono raggiunti per la prima volta dal
moto ondoso: il fronte d’onda è la superficie d’onda più avanzata nel verso della
propagazione.
a)
Onde piane: le superfici d’onda sono piani paralleli e i raggi sono rette perpendicolari ai
piani.
b)
Onde circolari: le superfici d’onda sono circonferenze concentriche attraversate
ortogonalmente dai raggi.
c)
Onde sferiche: le superfici d’onda sono superfici sferiche concentriche attraversate
ortogonalmente dai raggi.
ENERGIA TRASPORTATA DALLE ONDE
Le onde trasportano energia: per un’onda sinusoidale di frequenza f, le particelle si muovono di
moto armonico semplice mentre passa l’onda, quindi ciascuna particella ha un’energia
meccanica: E = ½ k A 2
L’ENERGIA TRASPORTATA DALL’ONDA E’ PROPORZIONALE AL QUADRATO
DELL’AMPIEZZA
INTENSITA’
I=
energia/tempo
area
=
potenza
area
Potenza trasportata attraverso l’unità di superficie
perpendicolare alla direzione di propagazione
Nel SI l’unità di misura dell’intensità è il Watt su metro quadro [W/m2]
r1
Se l’onda è sferica:
I=
P
4πr2
r2
Se l’emissione della potenza della sorgente è costante, l’intensità decresce con il quadrato della
distanza. Poiché l’intensità è proporzionale al quadrato della distanza, l’ampiezza A decresce
come 1/r.
Per un’onda monodimensionale (onda trasversale su una corda), l’area rimane costante, così
che l’ampiezza A (ignorando l’attrito!) rimane costante. Perciò ampiezza e intensità non
diminuiscono con la distanza.
In realtà, lo smorzamento dovuto all’attrito è sempre presente e parte dell’energia viene
trasformata in energia termica, con una conseguente diminuzione di ampiezza e intensità.
Velocità di propagazione
La velocità di propagazione delle onde elastiche dipende
dalle proprietà del mezzo nel quale le onde si propagano:
v=
fattore di compressio ne
=
fattore di inerzia
K
ρ
Normalmente K dipende fortemente dalla densità del
mezzo, per cui complessivamente i corpi con densità
maggiore sono caratterizzati da una velocità delle onde
elastiche maggiore.
PROPAGAZIONE DI UN’ONDA SU UNA CORDA
v
Consideriamo un singolo impulso simmetrico che si
propaga su una corda tesa con velocità v (rosso).
In un sistema di riferimento che si muove con
l’impulso sembrerà che la corda si muova da destra
verso sinistra con velocità v (azzurro).
Applichiamo le leggi di Newton ad un elemento ∆l di corda
2τy = ma
2
2τy = m v
R
2τy = 2τ sinθ =~ 2τ θ = τ ∆l
R
2
τ ∆l = m v
R
R
τ
v=
m/ ∆l
2θ
μ
massa per unità di lunghezza [kg/m]
v=
τ
μ
PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE PER LE ONDE
Due o più onde possono attraversare contemporaneamente la stessa regione.
Le onde sovrapposte non si disturbano vicendevolmente in alcun modo.
ONDE SOVRAPPOSTE SI SOMMANO ALGEBRICAMENTE A FORMARE
UN’ONDA RISULTANTE
Se consideriamo 2 onde y1(x,t) e y2(x,t), l’onda risultante è y1(x,t) + y2(x,t)
La sovrapposizione di onde dà luogo a fenomeni di INTERFERENZA
Il termine “differenza di fase” esprime quantitativamente la posizione relativa delle creste delle
due onde
y1(x,t) = A sin(kx - ωt)
Interferenza costruttiva
φ=0
y
y2(x,t) = A sin(kx – ωt + φ)
Interferenza distruttiva
φ=π
y
x
y
y
x
x
y
y
x
Interferenza parzialmente
distruttiva
φ = π/3
x
x
ONDE STAZIONARIE
Ogni punto della corda, muovendosi a causa di una percussione, induce quelli vicini a fare altrettanto,
generando un’onda che si propaga lungo tutta la corda fino ad uno dei due estremi fissi, dove si riflette
generando una seconda onda che si propaga in verso opposto.
Il moto di un punto della corda è quindi il risultato della sovrapposizione di due onde: una progressiva ed
una regressiva.
Per alcune particolari frequenze di vibrazione, la
sovrapposizione dell’onda progressiva e quella
regressiva fa sì che ciascun punto si trovi sempre
nella stessa condizione (vibrazione massima,
intermedia, minima).
Poiché tutti i punti della corda sono o in fase
(salgono e scendono insieme) o in opposizione di
fase, apparentemente l’onda non si propaga più:
ecco perché viene chiamata stazionaria.
NODI – i punti dell’onda stazionaria dove c’è
interferenza distruttiva
VENTRI – i punti dell’onda stazionaria dove c’è
interferenza costruttiva
Le frequenze alle quali vengono prodotte le onde stazionarie vengono dette FREQUENZE NATURALI o
FREQUENZE RISONANTI
ONDE STAZIONARIE
Ogni punto della corda, muovendosi a causa di una percussione, induce quelli vicini a fare
altrettanto, generando un’onda che si propaga lungo tutta la corda fino ad uno dei due estremi
fissi, dove si riflette generando una seconda onda che si propaga in verso opposto.
Il moto di un punto della corda è quindi il risultato della sovrapposizione di due onde: una
progressiva ed una regressiva.
Per alcune particolari frequenze di vibrazione, la sovrapposizione dell’onda progressiva e
quella regressiva fa sì che ciascun punto si trovi sempre nella stessa condizione
(vibrazione massima, intermedia, minima).
Poiché tutti i punti della corda sono o in fase (salgono e scendono insieme) o in
opposizione di fase, apparentemente l’onda non si propaga più: ecco perché viene
chiamata stazionaria.
NODI – i punti dell’onda stazionaria dove c’è interferenza distruttiva
VENTRI – i punti dell’onda stazionaria dove c’è interferenza costruttiva
Le frequenze alle quali vengono prodotte le onde stazionarie vengono dette FREQUENZE
NATURALI o FREQUENZE RISONANTI
ONDE STAZIONARIE
Ventre
L=
λ
2
L=
L=
2λ
n λn
2
n = 1,2,3,…
2
n è il numero di
ventri
Nodo
L=
3λ
2
Se una corda tesa viene pizzicata, onde con una grande varietà di frequenze viaggiano lungo
la corda in entrambe le direzioni.
Le onde vengono riflesse alle estremità e tornano indietro generando fenomeni di interferenza.
Molte onde si smorzeranno velocemente e sopravvivono solo le onde che corrispondono alle
frequenze risonanti della corda: le estremità della corda, essendo fisse, saranno dei nodi.
Il moto sarà una combinazione di questi modi risonanti, corrispondenti a diverse frequenze
risonanti:
Frequenza fondamentale
(prima armonica)
Seconda armonica
Terza armonica
Armonica di ordine n
λ1 = 2 L
f1 =
λ2 = L
f2 =
λ3 =
λn =
2L
3
2L
n
f3 =
fn =
v
λ1
v
λ2
v
λ3
v
λn
=
=2
=3
=n
v
2L
v
2L
v
2L
v
2L
= 2 f1
= 3 f1
= n f1
Ciascuna delle frequenze risonanti (armoniche) è multiplo
intero della frequenza fondamentale.
Le onde stazionarie possono essere prodotte non solo sulle corde tese in vibrazione, ma in
qualsiasi oggetto in vibrazione (esempio: membrana di tamburro, colonna d’aria in un tubo o
una canna).
Le frequenze risonanti dipendono dalle dimensioni dell’oggetto: oggetti grandi hanno frequenze
risonanti più basse di quelli piccoli.
Tutti gli strumenti musicali producono suoni grazie alle onde stazionarie.
violino
pianoforte
IL SUONO
Il suono che noi percepiamo con il nostro senso dell’udito è dovuto ad una
vibrazione delle molecole dell’aria.
Questa vibrazione si propaga nell’aria sotto forma di un’onda di pressione (onda
elastica).
L’orecchio umano è capace di percepire suoni con frequenze nell’intervallo di
circa 20 Hz e 20000 Hz. Essendo la velocità del suono nell’aria pari a circa 340
m/s si ottiene:
a 20 Hz
λ = v / f = 340 m/s / 20 Hz = 17 m
a 20 kHz
λ = v / f = 340 m/s / 20 kHz = 17 mm
Nei diversi materiali il suono si propaga con velocità diversa:
Aria
Anidride Carbonica
Alcool Etilico
Acqua
Rame
Ferro
Vetro
343
259
1207
1498
3750
5120
5170
m/s
m/s
m/s
m/s
m/s
m/s
m/s
Onda armonica a 220 Hz
Onda armonica a 440 Hz
Onda armonica a 880 Hz
Onda armonica a 1760 Hz
Suono
Frequenza (Hz)
La nota più bassa di un pianoforte
La nota più bassa di un cantante basso
La nota più bassa di un clarinetto
Il do centrale del pianoforte
Il la oltre il do centrale
L’estensione superiore di un soprano
La nota più alta di un pianoforte
L’armonica superiore degli strumenti
musicali
Il limite dell’udito nelle persone
anziane
27,5
100
104,8
261,6
440
1000
4180
Il limite dell’udito
10000
12000
16000-20000
Intensità del suono
L’intensità del suono β (SIL, Sound Intensity Level) viene comunemente espressa
in decibel (dB).
β = 10 log ( I / I0 )
dove I0 è l’intensità di un certo livello di riferimento. Di solito si considera come I0
la minima intensità udibile da un orecchio medio, pari a I0 = 10-12 W/m2.
Per questo valore di intensità β = 0 dB.
Alternativamente l’intensità del suono può essere espressa secondo la pressione
esercitata dall’onda (SPL, Sound Pressure Level).
β = 20 log ( p / p0 )
dove p0 = 20 µPa è l’intensità della pressione di riferimento.
Intensità del suono
Anche se la potenza emessa da una sorgente
sonora è costante, la superficie sulla quale l’onda
si distribuisce aumenta con il quadrato della
distanza.
Ipercepita = Iemessa / 4 π r2
Per questo motivo l’intensità percepita di un suono
emesso da una sorgente lontana è minore di
quello emesso da una sorgente vicina.
Attenuazione del suono
Nelle situazioni reali parte dell’energia sonora viene convertita in calore a
causa di forze di tipo viscoso che si oppongono allo scorrimento delle
molecole del fluido nella direzione di propagazione dell'onda. Questa
attenuazione è legata a:
• l’umidità e la temperatura dell'aria;
• la frequenza dell'onda sonora. Le onde a più elevata frequenza
vengono assorbite con maggiore facilità. Un conseguenza di tale
fatto è la modifica timbro dell'onda sonora emessa da un tuono
quando viene percepito da lontano: la sua intensità sonora è debole
a causa dell'attenuazione prodotta dalla distanza, ma soprattutto il
suono è simile ad un "rombo" poiché l’onda è costituita da frequenze
molto basse, le uniche sopravvissute all'assorbimento atmosferico.
Sensibilità dell’orecchio
L’orecchio umano ha una sensibilità che varia con la frequenza. Il suono
percepito meglio è quello a frequenza f = 3 kHz, frequenza di risonanza
dell’orecchio esterno.
Curve isofoniche
Sensibilità dell’orecchio
dB
SPL
Condizione ambientale
140
Soglia del dolore
120
Clacson potente ad un metro
100
Interno della metropolitana
80
Strada a circolazione media
60
Ufficio commerciale
40
Biblioteca
20
Studio di radiodiffusione
0
Soglia di udibilità