Risoluzione di una trave soggetta ad un carico triangolare
Nella figura riportata è indicata una trave sottoposta ad un carico continuo ad andamento triangolare dove il
valore massimo sia qmax
qmax
y
x
B
A
LAB
Come prima cosa si calcola il carico localizzato Q, equivalente al carico continuo applicato, e la sua
posizione; sia LA1 la sua distanza dalla sezione A.
LA1
y
Q
x
A
B
1
LAB
Il modulo di Q si ricava valutando l'area del carico continuo applicato, avendo questo andamento triangolare
si ha:
q max⋅L AB
Q=
2
Questo carico passerà per il baricentro dell'area che rappresenta il carico applicato, ,e quindi:
L A1=
2
L
3 AB
Calcolo delle reazioni vincolari.
Si disegna il corpo libero associato ottenuto sostituendo i vincoli con le relative reazioni vincolari
L A1
y
Q
B
x
1
A
RAy
RBx
RBy
LAB
Si applicano quindi a detto corpo le equazioni cardinali della statica:
ottenendo:
∑ F x=0
R Bx =0
∑ F y =0
R Ay −QR By =0
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∑ M z=0
Q⋅L A1 − R By⋅L AB = 0
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Risolvendo si ha:
Q⋅L A1
R By =
LA
2
Q⋅ L AB
3
RBy =
L AB

ricordando il valore di Q
R By =

R By =
2
Q
3
2 q max⋅L AB q max⋅L AB
=
3
2
3
e
R Ay = Q −R By =
q max⋅L AB q max⋅L AB q max⋅L Ab
−
=
2
3
6
Diagramma caratteristiche azioni esterne
Si analizza la trave con il carico continuo applicato e
con le reazioni vincolari appena calcolate.
qmax
y
A
x
LAB
Si consideri una sezione C posta ad una distanza x dalla sezione A ( estremità sinistra della trave) e si
ipotizza di tagliare la trave in due tratti AC ed AB.
Se si vuole che i due tratti inizialmente fermi rimangano fermi anche dopo il taglio si devono applicare su
ognuno delle forze e dei momenti pari a quelli che sono stati eliminati con la separazione.
T
x/3
Qx
N
qx
A
RAy
qmax
+
Mf
B
RBy
C
T
x
In pratica se si vuole che il tratto CB non abbia alcuna traslazione si deve applicare in C una forza T
equivalente al carico continuo Qx ed alla reazioni RAy eliminati al moneto del taglio
T = R Ay −Q x
analizzando il carico triangolare è facile rilevare che
q x=
x
q
L AB max
da cui
Qx =
q x⋅x
q ⋅x 2
= max
2
2⋅L AB
infine si ha:
T=
q max⋅L AB q max⋅x 2
−
6
2⋅L AB
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che rappresenta una parabola, come riportata in figura.
y
D
x
B
A
LAD
si ricava la sezione dove il taglio è nullo
q max⋅L AB q max⋅x 2
−
=0
6
2⋅L AB
L AB
x2
=
6
2⋅L AB
2
x =
L2AB
3
L AB
3
L AD =
Per il momento flettente si ha:
qmax
Qx
qx
C
A
RAy
x
x/3
B
RBy
Mf
Il momento Mf agente nella sezione C, della parte destra della trave, sarà dato dalla somma algebrica tra il
momento generato da RAy (positivo) e quello generato da Qx ( negativo)
M R = R Ay⋅x
M Q = −Q x⋅
M f = M R M Q = R Ay⋅x −Q x⋅
Mf =
x
3
x
3
q max⋅L AB
q ⋅x 2 x q ⋅L
q
3
⋅x − max ⋅ = max AB⋅x − max ⋅x
6
2⋅L AB 3
6
6⋅L AB
anch'esso ha un andamento parabolico, come riportato in figura (il diagramma è riportato sul lato fibre tese)
x
A
D
B
y
Mfmax
esso assume il valore massimo nella sezione dove il taglio è nullo
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Si calcola infine l'intensità del momento flettente massima.
M max =
q max⋅L AB L AB
q
L 3
⋅
− max ⋅ AB 
6
 3 6⋅L AB  3
q max⋅L 2AB
q max⋅L3AB
q max⋅L 2AB
1
M max =
−
=
⋅1− 
3
6⋅ 3
6⋅3⋅ 3⋅L AB
6⋅ 3
q max⋅L 2AB  3
2
M max =
= ⋅q max⋅L AB
27
93
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