Anno 2
Potenze di un radicale
e razionalizzazione
1
Introduzione
In questa lezione imparerai a utilizzare le ultime due tipologie di operazioni sui radicali, cioè la
potenza di un radicale e la radice di un radicale.
Successivamente vedremo un metodo per rendere razionali i denominatori di frazioni in cui
compaiono i radicali.
Al termine della lezione sarai in grado di:


risolvere la potenza e la radice di un radicale
risolvere la razionalizzazione del
denominatore di una frazione
In questa lezione imparerai dapprima a utilizzare le ultime due tipologie di operazioni sui
radicali, cioè la potenza di un radicale e la radice di un radicale; successivamente
vedremo un metodo per rendere razionali i denominatori di frazioni in cui compaiono i
radicali.
Al termine della lezione sarai in grado di operare con la potenza e la radice di un radicale
e di operare la razionalizzazione del denominatore di una frazione.
2
La potenza di una radice
Come si procede nel caso di elevamento a potenza di un radicale?
La potenza indica la moltiplicazione di un fattore per se stesso ripetuta tante volte quante
indicato dall’esponente.
n
m
e
t
l
o
v
n
m
n
n
 n an a 
 a   a a 
a  a
e
t
l
o
v
 a
m
m
Per elevare a una determinata potenza un radicale basta elevare a quella potenza il
radicando.
Allo stesso risultato si giunge considerando la radice come una potenza a esponente razionale,
infatti:
m
 a
n
m
m
 1
  a n   a n  n a m
 
Esempio:
Nel seguente esempio vediamo come la potenza esterna si distribuisce su tutti i fattori interni al radicale:
 2x yz  
5
3
2
4
5
16 x12 y 4 z 8
Come si procede nel caso di elevamento a potenza di un radicale? Come ben sai, la
potenza indica la moltiplicazione di un fattore per se stesso ripetuta tante volte quante
indicato dall’esponente. Inoltre, dovresti ricordare come si esegue il prodotto tra radicali
con lo stesso indice.
Per calcolare la potenza m-esima di na bissona scrivere il prodotto di n fattori uguali a
n
a.
Ma, poiché l’indice è uguale, si può fare un’unica radice con il solo radicando a moltiplicato
per se stesso m volte. Quindi si ha (na)m=nam.
In conclusione, per elevare a una determinata potenza un radicale basta elevare a quella
potenza il radicando.
In effetti, potevamo giungere allo stesso risultato considerando la radice come una
potenza a esponente razionale, infatti (na)m =(a1/n)m=(am)1/n=nam.
Nell’esempio vediamo come la potenza esterna si distribuisce su tutti i fattori interni al
radicale.
3
La radice di una radice
Sempre sfruttando le proprietà delle potenze possiamo capire come si effettua la radice di una
radice:
n m
1
n
1
m
1 1

1
a  a m  a n  a m n  a m n  m  n a
La radice di una radice è un radicale con lo stesso radicando e con indice pari al
prodotto degli indici delle radici.
Esempi:
Un esempio immediato:
3 5
2 x 2 y  15 2 x 2 y
Un esempio in cui bisogna prima trasportare tutto nel radicando più interno:
3
x 5 34 x 2 y  3
5
3x 5 4 x 2 y  3
5 4
81x 20  x 2 y  60 81x 22 y
Sempre sfruttando le proprietà delle potenze possiamo capire come si effettua la radice di
una radice:
 a si può trasformare come potenza di potenza, infatti nma= na1/m=(a1/m)1/n.
n m
Sfruttando le proprietà delle potenze si ottiene a1/nm e quindi, riscrivendo questa potenza
ad esponente razionale come radice, a1/nm=nma.
Proponiamo un esempio immediato: 352x2y = 152x2y
Vediamo poi un secondo esempio, meno immediato, in cui per poter operare la radice di
radice bisogna prima trasportare ogni fattore dentro il segno di radice più interno:
3 5
2 x 2 y  15 2 x 2 y .
4
Razionalizzazione del denominatore: radici quadrate
Analizziamo ora un nuovo problema: quando al denominatore di una frazione compaiono uno
o più radicali, è possibile scrivere una frazione equivalente con al denominatore
un’espressione senza radicali?
È possibile grazie alla razionalizzazione del denominatore.
Radici quadrate:
Se al denominatore compare un solo termine ed è una radice quadrata, per razionalizzare
basta moltiplicare numeratore e denominatore per la stessa radice.
Esempi:
•
3
3
5 3 5 3 5




5
5
5 5
25
2a
2a
(a  1)
2a (a  1)

• 3 ( a  1)  3 (a  1)  (a  1) 
3 (a  1) 2
2a (a  1)
3( a  1)
Analizziamo ora un nuovo problema: quando al denominatore di una frazione compaiono
uno o più radicali, è possibile scrivere una frazione equivalente con al denominatore
un’espressione senza radicali?
La risposta è affermativa e il procedimento si chiama razionalizzazione del denominatore.
Da qui e nelle prossime pagine affronteremo varie tipologie di razionalizzazione.
Iniziamo con il caso delle radici quadrate. Se al denominatore compare un solo termine ed
è una radice quadrata, per razionalizzare basta moltiplicare numeratore e denominatore
per la stessa radice.
Nel primo esempio abbiamo 5 al denominatore. Moltiplicando numeratore e
denominatore per 5, al denominatore otteniamo 5.
Nel secondo esempio al denominatore compare un fattore fuori dal segno di radice e il
radicando è un binomio. Non cambia nulla: dobbiamo solo moltiplicare numeratore e
denominatore per il radicale, in modo da ottenere la radice del binomio al quadrato che si
può semplificare.
5
Razionalizzazione del denominatore: radici n-esime
Le radici quadrate non sono le uniche radici. Proviamo a trattare un caso più generale:
Radici n-esime di un fattore elevato a potenza:
Se al denominatore compare un solo termine e si tratta di una radice n-esima di un fattore
elevato alla m, con m<n, per razionalizzare basta moltiplicare numeratore e denominatore
per la radice n-esima di quel fattore elevato a n-m.
Esempi:
•
•
•
2
5

32
2
5
2
7
3
3x y
5
3
2
7

2
32

5
35 2
5
5 2
3
2

7

3
3x y
2

7
7
25 33
5
3
23

6
3 x4 y5
6
4
3 x y
5
25 33
3

27 36 x 4 y 5
3 xy
5
5 3 2 2 53 2 2 53 2 2




4 2
8
2 2  3 2 43 2 3 2 2
Come ben sai le radici quadrate non sono le uniche radici. Proviamo a trattare un caso più
generale: vediamo il caso delle radici n-esime di un fattore elevato a potenza.
Se al denominatore compare una solo termine e si tratta di una radice n-esima di un
fattore elevato alla m, con m<n, per razionalizzare basta moltiplicare numeratore e
denominatore per la radice n-esima di quel fattore elevato a n-m.
Affrontiamo tre esempi: nel primo troviamo al denominatore 532. Moltiplichiamo
numeratore e denominatore per 533 in modo da ottenere al denominatore 535, che è
proprio 3.
Nel secondo esempio la differenza è che il radicando è un monomio composto da tre
fattori. Per ogni fattore bisogna ripetere il ragionamento della differenza tra indice ed
esponente e si costruisce il radicale da usare per il prodotto.
Infine, nel terzo esempio, l’esponente del radicando è maggiore dell’indice del radicale. In
questo caso, per poter procedere alla razionalizzazione, è necessario operare prima il
trasporto di un fattore fuori dalla radice.
6
Razionalizzazione del denominatore: somma per differenza
Un ulteriore caso riguarda la presenza al denominatore di una somma o una differenza di radici
quadrate. In questo caso si sfrutta il prodotto notevole somma per differenza.
Somma o differenza di radici quadrate:
Se al denominatore compare una somma (differenza) di due termini dei quali almeno uno
è una radice quadrata, per razionalizzare il denominatore basta moltiplicare per la
differenza (somma) degli stessi termini.
Esempi:
•
•
2
2
5 3
2( 5  3 ) 2( 5  3 ) 2( 5  3 )





 5 3
2
2
53
2
5 3
5 3 5 3
5  3
   
14
14 3  2 14(3  2 ) 14(3  2 )




 2(3  2 )
92
7
3 2 3 2 3 2
Un caso ulteriore riguarda la presenza al denominatore di una somma o una differenza di
radici quadrate. In questo caso si sfrutta il prodotto (a+b)(a-b)=a2-b2.
In pratica, se al denominatore compare una somma di due termini dei quali almeno uno è
una radice quadrata, per razionalizzare il denominatore basta moltiplicare per la differenza
degli stessi termini. Se è presente una differenza moltiplicheremo per la somma.
Vediamo due esempi.

Nel primo caso abbiamo la somma di due radici quadrate, 5 e 3. Moltiplichiamo
per la loro differenza e, sfruttando il prodotto notevole opportuno, otteniamo la
differenza dei quadrati delle due radici. A questo punto possiamo eliminare le radici
al denominatore.

Nel secondo esempio abbiamo solo un radicale, l’altro termine è un intero.
Operiamo però allo stesso modo, moltiplicando per lo stesso binomio con il segno
di operazione inverso e sfruttiamo la somma per differenza.
7
Razionalizzazione del denominatore: somma o differenza di cubi
L’ultimo caso riguarda la presenza al denominatore di una somma o una differenza di radici
cubiche. In questo caso si sfrutta il prodotto notevole somma o differenza di due cubi.
Somma o differenza di cubi:
Se al denominatore compare una somma (differenza) di due termini che sono due radici
cubiche, o un intero e una radice cubica, per razionalizzare il denominatore bisogna
moltiplicare per il trinomio falso quadrato dei due termini.
Esempi:
•
3
3
1
1
a 2  3 ab  3 b 2 3 a 2  3 ab  3 b 2 3 a 2  3 ab  3 b 2
3



3
3
3
3
a b
a b
a  b a 2  3 ab  3 b 2
a3  3 b3
3
3
4  23 x  3 x 2 12  63 x  33 x 2



3
3
• 2  x 2  x 4  23 x  3 x 2
8 x
L’ultimo caso riguarda la presenza al denominatore di una somma o una differenza di
radici cubiche. In questo caso, si sfrutta la formula per la scomposizione di una somma o
differenza di due cubi.
Se al denominatore compare una somma o una differenza di due termini a, b di cui
almeno uno sia una radice cubica, per razionalizzare il denominatore bisogna moltiplicare
per il trinomio a2ab+b2.
Per esempio, se al denominatore 3a -3b, bisogna moltiplicare numeratore e
denominatore per il trinomio 3a2 + 3ab + 3b2. In questo modo si ottiene la differenza dei
cubi delle due radici (3a)3 – (3b)3 = a-b.
Il secondo esempio propone il caso di una somma tra un numero e una radice cubica:
2+3x. La procedura, comunque, è del tutto analoga: si moltiplica per 22 - 23x + 3x2 e si
ottiene una somma di cubi 23 – (3x)3 che permetto di eliminare la radice.
8
Conclusione
Operazioni con i
Radicali
Potenza di radice
Radice quadrata
Razionalizzazione
Radice n-esima
Somma per
differenza
Radice di radice
Somma o
differenza di cubi
Ricapitoliamo quanto visto in questa lezione sulle operazioni con i radicali.
Dapprima abbiamo imparato a sviluppare la potenza di una radice e la radice di radice.
Succesivamente siamo passati ad affrontare la questione della razionalizzazione dei
denominatori, affrontando quattro casi diversi: la presenza di una sola radice quadrata, il
caso più generale della presenza di una radice n-esima di un radicando elevato a una
determinata potenza, la possibilità di usare il prodotto notevole somma per differenza e il
caso in cui ci si può riportare alla somma o differenza di cubi.
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