Dai dati sperimentali alle relazioni matematiche
Consideriamo una tabella con i risultati delle misure di due grandezze fisiche
Tra le quali vogliamo stabilire l’esistenza di un legame matematico:
X
Y
x1
x2
x3
x4
x5
1
2
3
4
5
y1
y2
y3
y4
y5
1,9
4
6,1
7,9
9,9
Due grandezze si dicono direttamente proporzionali se il rapporto fra
le loro misure corrispondenti è costante;
Due grandezze si dicono inversamente proporzionali se il prodotto
fra le loro misure corrispondenti è costante
Le grandezze in tabella sono direttamente proporzionali?
Ma siamo sicuri che la nostra eventuale risposta affermativa sia la più corretta
tra le molte possibilità offerte dalla matematica?
Proporzionalità diretta ed inversa, loro grafici
Due grandezze si dicono direttamente proporzionali se il loro rapporto
è costante;
y
k
x
y1 y2 y3 y4 y5




k
x1 x2 x3 x4 x5
Due grandezze si dicono inversamente proporzionali in se il loro
prodotto è costante;
xy  k
x1 y1  x2 y2  x3 y3  x4 y4  x5 y5  k
La notazione sintetica per le proporzionalità
y
Y X  k
x
1
Y   xy  k
X
diretta
inversa
Quale relazione? E come definirne le caratteristiche?
I dati della tabella si possono pensare legati da una proporzionalità diretta?
E se sì, come calcolare la costante di proporzionalità?
Calcoliamo il rapporto tra le due grandezze Y e X e vediamo come si comporta:
Y/X
1,900 2,000 2,033 1,975 1,980
Dobbiamo trovare la risposta ad una domanda fondamentale:
La differenza fra i cinque rapporti Y/X è significativa o è dovuta
alla presenza degli errori casuali che rendono la misura non un
numero ma un intervallo?
In altre parole: i numeri che rappresentano i rapporti non sono uguali perché
la legge che collega Y a X non è una proporzionalità diretta o perché la legge è
una proporzionalità diretta ma vi sono delle inevitabili “piccole” diversità?
Un metodo elementare per decidere la relazione
matematica tra i dati (tra quelle note)
Consideriamo i dati della precedente tabella e supponiamo che la relazione sia
una proporzionalità diretta quadratica o cubica, vale a dire che sia:
y
k
2
x
y
k
3
x
Oppure consideriamo i dati della precedente tabella e supponiamo che la
relazione sia una proporzionalità diretta quadratica o cubica della y rispetto la
x, vale a dire che sia:
y2
y
 k equivalente a
k
x
x
y3
y
 k equivalente a 3  k
x
x
Prepariamo le tabelle in un foglio elettronico con i rapporti mostrati
nelle formule ed esaminiamoli attentamente:
Un metodo elementare per decidere la relazione
matematica tra i dati (tra quelle note)
x
y
y/x
y/x2
y/x3
y/x4
y2/x
y3/x
y4/x
(U. M.)
(U. M.)
(U. M.)
(U. M.)
(U. M.)
(U. M.)
(U. M.)
(U. M.)
(U. M.)
dato 1
1,00
1,90
1,90
1,90
1,90
1,90
3,61
6,86
13,03
dato 2
2,00
4,00
2,00
1,00
0,50
0,25
8,00
32,00
128,00
dato 3
3,00
6,10
2,03
0,68
0,23
0,08
12,40
75,66
461,53
dato 4
4,00
7,90
1,98
0,49
0,12
0,03
15,60
123,26
973,75
dato 5
5,00
9,90
1,98
0,40
0,08
0,02
19,60
194,06
1921,19
Un metodo elementare per decidere la relazione
matematica tra i dati (tra quelle note)
x
y
yx
yx2
yx3
yx4
y2x
y3x
y4x
(U. M.)
(U. M.)
(U. M.)
(U. M.)
(U. M.)
(U. M.)
(U. M.)
(U. M.)
(U. M.)
dato 1
1
1,9
1,9
1,9
3,61
dato 2
2
4,0
8
16
32
dato 3
3
6,1
18,3
54,9
111,63
dato 4
4
7,9
31,6
126,4
249,64
dato 5
5
9,9
49,5
247,5
490,05
Un metodo elementare per decidere la relazione
matematica tra i dati (tra quelle note)
L’analisi delle precedente tabelle mostra che:
 solo in corrispondenza della colonna y/x si ottengono valori
molto vicini fra loro;
 solo in corrispondenza della colonna y/x i valori oscillano
attorno ad un valore medio e non sono in continuo aumento,
come nella colonna y2/x, o in continua diminuzione come
nella colonna y/x2;
 le osservazioni del punto precedente si applicano anche al caso
della proporzionalità inversa, osservare la tabella.
ESERCIZIO
x
y
y/x
y/x2
y/x3
y2/x
y3/x
y4/x
(U. M.)
(U. M.)
(U. M.)
(U. M.)
(U. M.)
(U. M.)
(U. M.)
(U. M.)
dato 1
27,90
3,30
0,12
0,0042
0,000152
0,39
1,29
4,25
dato 2
33,20
3,56
0,11
0,0032
0,000097
0,38
1,36
4,84
dato 3
53,20
4,40
0,08
0,0016
0,000029
0,36
1,60
7,05
dato 4
77,20
5,31
0,07
0,0009
0,000012
0,37
1,94
10,30
dato 5
88,00
5,66
0,06
0,0007
0,000008
0,36
2,06
11,66
Qual è la relazione?
(i dati della tabella provengono da un reale esperimento)
Esercizio: procurarsi i dati relativi alla distanza media dei pianeti dal Sole e i relativi periodi di
rivoluzione (espressi in anni), quale relazione susssiste fra queste due grandezze fisiche? La relazione
costituisce la terza legge di J. Kepler (Keplero)
Le rette interpolatrici
Decidiamo che la relazione sia una proporzionalità diretta;
Qual è la costante di proporzionalità, visto che i 5 numeri, diciamoli k1, k2, k3, k4,
k5 sono leggermente diversi?
Rappresentiamo graficamente i dati della diapositiva 6:
Grafico X-Y
12
10
Y
8
Y
6
4
Non vi è una retta
che passa per tutti
i punti, se vi fosse
i 5 numeri k
sarebbero tutti
uguali.
2
0
0
1
2
3
4
5
6
X
Si definisce retta interpolatrice una retta che passa tra i punti del
grafico, detti poli.
Rette interpolatrici
Quante rette interpolatrici vi sono?
Rappresentiamo i dati sperimentali come veramente sono, non
coppie di numeri ma coppie di intervalli, quindi segmenti centrati
sul valore medio:
Grafico X-Y con rettangoli d'errore
12
10
8
6
Y
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
Le interpolatrici sono in numero infinito e possono passare in modo
arbitrario tra i dati:
Rette interpolatrici e retta interpolatrice ai minimi quadrati
Grafico X-Y con rettangoli d'errore ed alcune interpolatrici
14
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Ci serve un criterio per determinare una retta tra tutte le possibili
La retta dei minimi quadrati
Il criterio è quello dei minimi quadrati.
Vediamo in cosa consiste:
La retta
interpolatrice ai
minimi quadrati è
quella che rende
minima la somma
dei quadrati delle
distanze dei
punti sperimentali
da essa.
Come si determina la retta dei minimi quadrati
m e q della retta ai minimi quadrati rendono minima la somma :
d12  d22  ........  dn2
Nelle prossime diapositive vedremo le formule matematiche per i due
casi possibili che corrispondono a rette passanti per l’origine
e a rette non passanti per l’origine:
• proporzionalità diretta
• dipendenza lineare
Caso delle grandezze direttamente proporzionali
Cerchiamo il valore della m nella y = m x.
Si dimostra che si ha:
x y
m
x
i
i
i
2
i
x1 y1  x2 y2  x3 y3  ..........  xn yn

x12  x2 2  x32  ...........  xn 2
i
Dove
xi
e
yi sono i valori misurati in laboratorio.
Caso della dipendenza lineare
La matematica dimostra che:
n
m
n
n
n xi yi   xi  yi
i 1
i 1
i 1
n
n
i 1
i 1
n xi 2  ( xi ) 2
n
q
n
n
n
 y x x x y
i 1
i
i 1
n
2
i
i 1
n
i
i 1
i
i
n xi  ( xi ) 2
i 1
2
i 1
Rimane aperta la questione di come decidere che la migliore
legge che esprime la relazione tra i dati sperimentali è una
proporzionalità diretta.
A tal proposito si ha a disposizione un parametro, che si calcola a
partire dai dati sperimentali, detto coefficiente R di Pearson, che
misura il grado di attendibilità della relazione cercata.
Il coefficiente R di Pearson
Si dimostra che se tale coefficiente vale:
•R=1 si ha una relazione di proporzionalità diretta perfetta tra x e y con costante
di proporzionalità positiva;
•R=0 non vi è alcuna relazione tra x e y riconducibile ad una relazione lineare;
•R=-1 si ha una relazione lineare perfetta con costante di proporzionalità
negativa;
L’espressione matematica di R è la seguente:
R
n
n
n
i 1
i 1
i 1
n xi yi   xi  yi
n
n
n
n
[n xi  ( xi ) ]  [n yi  ( yi ) 2 ]
i 1
2
2
i 1
i 1
2
i 1
Perché è importante la proporzionalità diretta?
Con una opportuna manipolazione matematica è possibile
ricondurre tutte le altre relazioni esaminate ad una
proporzionalità diretta, analizzarne e calcolarne i
parametri e quindi ritornare alla relazione matematica
originale che resta così determinata.
Vedremo in seguito un esempio con trattazione matematica
ora eseguiremo invece una trattazione grafica semplificata.