Università degli studi di Bologna
D.I.E.M.
Dipartimento di Ingegneria delle Costruzioni Meccaniche,
Nucleari, Aeronautiche e di Metallurgia
6a Efflusso
ugelli e diffusori
rev. Nov. 2008
1
Entalpia di ristagno
Si voglia arrestare isoentropicamente un fluido in moto con velocità c ed entalpia h
2
c
cdc = −dh ⇒ 0 − = h − h finale =c p (t − t1 )
2
L’entalpia del fluido in quiete hfinale si chiama entalpia totale o di ristagno h0
h finale
c2
= h + = h0
2
kR
cp =
k −1
Sia il fluido un gas perfetto risulta pertanto:
2
kR
kR
c
0
0
0
h = c pT =
T =
T+
k −1
k −1
2
2
Temperatura di ristagno
Si può ricavare la temperatura finale raggiunta dal fluido
2
(
k
−
1
)
c
T0 =T +
2kR
0
2
T
(k − 1) c
(k − 1)
2
= 1+
= 1+
Ma
T
2 kRT
2
Numero di Mach
Ricordando il legame temperatura pressione
T 0  p0 
=  
T  p 
k −1
k
c
c
Ma = =
cs
kRT
la pressione di ristagno vale…
3
Pressione di ristagno
pressione finale raggiunta dal fluido
T 
p
=  
p T 
0
0
k
k −1
 (k − 1)
2
= 1 +
Ma 
2


k
k −1
densità finale raggiunta dal fluido
1
k
0

ρ
p 
 (k − 1)
2
=   = 1 +
Ma 
ρ  p 
2

0
1
k −1
4
Velocità del suono (1)
Velocità del suono
Per una trasformazione adiabatica
reversibile di un gas perfetto si ha:
 dp 
= c s2


 dρ  s = cost
p = ρRT
pv k = pρ − k = cost
(
)
d pρ − k = 0
dp
dρ
−k
=0
ρ
p
 dp 
p


= k = kRT = cs2
ρ
 dρ  s =cost
Numero di Mach
2
c
  = Ma 2
 cs 
5
Velocità del suono (2)
Osservatore fisso
All’istante t = 0 il pistone si
mette in moto con velocità
du e si genera un’onda di
pressione che si propaga
con velocità c
Teroema della quantità di moto per l’osservatore mobile;:
∑ F = m& (c
uscita − cingresso )
A[ p − ( p + dp )] = m& ((c − du ) − c )
m&
dp = du =ρcdu
A
L’osservatore mobile vede
entrare da destra un flusso
con velocità c che esce
rallentato e compresso
6
Velocità del suono (3)
ρAc = (ρ + dρ )A(c − du )
ρc = ρc + cdρ − ρdu − dρdu
cd ρ = ρdu
Eq. continuità
Osservatore mobile
Dividendo membro a
membro l’eq della q.d.m. e
quella di continuità si ottiene:
dp
ρcdu
=
cd ρ
ρdu
dp
2
c =
= cs
dρ
2
7
Trasformazioni
non iso-entropiche
10
dQ
s1 − s0 = s − s = ∫
T
00
0
1
0
0
dp
RT
dQ = dh −
=c p dT −
dp
ρ
p
10
10
0
0
kR
dT
dp
kR
T
p
s10 − s00 = ∫
− ∫R
=
ln 10 − R ln 10
k − 1 T 00 p k − 1 T0
p0
00
0
p
essendo T10 = T00 ⇒ s10 − s00 = − R ln 10
p0
Aumento di entropia
Diminuzione della pressione di ristagno
s10 > s00 ⇒ p10 < p00
8
Ugello fisso
condotto accelerante per espandere un fluido
dalla pressione po alla pressione p1 assegnate
c12t c02
− = h0 − h1t
cdc + dh = 0 ⇒
2 2
c12t
c02
0
= h0 + − h1t = h0 − h1t
2
2
Velocità teorica di efflusso:
Velocità reale di efflusso:
2
1
2
0
c
c
0
= h0 + − h1 = h0 − h1
2
2
(
(
c1t = 2 h − h1t
)
(
0
0
c1 = ϕ 2 h − h1t = 2 h − h1
0
0
0
0
)
)
9
Fattori di perdita
(
)
2
c
R0−1 = h1 − h1t = 1 − ϕ 2 1t
2
Fattore di perdita energetica
Riferito alla velocità teorica
R0−1
h1 − h1t h1 − h1t
ζ = 0
= 2
= 1−ϕ 2
h0 − h1t
c1t / 2
Fattore di perdita energetica
Riferito alla velocità reale
h1 − h1t h1 − h1t ζ
1
ζ′= 0
= 2
= 2 = 2 −1
h0 − h1
c1 / 2 ϕ
ϕ
10
Fattori di perdita (2)
ϕ
ϕ= ϕ
ζ = 1−ϕ
1
ζ ′ = ϕ −1
2
ζ
1− ζ
2
ζ′
1
1+ ζ ′
ζ
ζ′
2
=ϕ ζ ′
1+ ζ ′
ζ
ζ′
1− ζ
11
Rendimento dell’ugello
Rendimento fluidodinamico:
1
h − h1 c / 2
2
=
= ϕ = 1− ζ =
η=
1+ ζ ′
h − h1t c / 2
0
0
0
0
2
1
2
1t
Rendimento isoentropico
riferito alla quota di entalpia traformata
rispetto alla sola quota trasformabile
h0 − h1 c − c
ηis =
=
<η
h0 − h1t c − c
2
1
2
1t
2
0
2
0
12
Diffusore fisso
condotto decelerante per comprimere un fluido
dalla pressione po alla pressione p1 assegnate
Incremento della entalpia statica
2
1
2
0
c c
cdc + dh = 0 ⇒ − = h0 − h1
2 2
2
0
2
1
2
1
c c
c
0
h1 = h0 + − = h0 −
2 2
2
2
0
2
1t
2
1t
c c
c
0
h1t = h0 + −
= h0 −
2 2
2
h1t > h1
c1t > c1
Nel caso di condotto decelerante reale con perdite energetiche, per
comprimere un fluido dalla pressione po alla pressione p1 occorre rallentarare
la corrente in misura maggiore di quanto richiesto nel caso isoentropico
13
Fattori di perdita nei diffusori
Perdita energetica
R0−1 = h1 − h1t
Fattore di perdita energetica
Riferito alla energia cinetica
iniziale
h1 − h1t h1 − h1t
ζ = 2
= 0
c0 / 2 h0 − h0
Fattore di perdita
di pressione totale
p −p
Y=
p − p0
0
0
0
0
0
1
14
Rendimento del diffusore
(
R0−1 = h1 − h1t = ζ h − h0
0
0
)
Rendimento isoentropico
h1t − h0 h1 − h0 − R
R
ηis =
=
= 1−
h1 − h0
h1 − h0
h1 − h0
ηis = 1 −
ζ (h00 − h0 )
h1 − h0
c02
= 1− ζ 2 2
c0 − c1
h1t − h0 + c / 2 h − h0 h − h0
ηD =
=
= 2
0
h0 − h0
h − h0
c0 / 2
2
1
0
1t
0
0
0
1t
Rendimento di diffusione
L’energia cinetica di
scarico è conteggiata come
“effetto utile”
15
Rendimento del diffusore (2)
(
R0−1 = h1 − h1t = ζ h00 − h0
)
Rendimento di diffusione *(def. 2)
*Mette in relazione il solo incremento
di pressione statica all’energia
cinetica iniziale disponibile
h1t − h0 h1t − h0
η D′ = 0
= 2
h0 − h0
c0 / 2
Rendimento di diffusione
h1t − h0 + c12 / 2 h1 + c12 / 2 − R − h0
R
= 1− 0
ηD =
=
0
0
h0 − h0
h0 − h0
h0 − h0
R
ηD = 1 − 0
= 1− ζ
h0 − h0
16
Efflusso da un ugello
Si voglia determinare la forma di un ugello (condotto fisso accelerante) per espandere
adiabaticamente un fluido comprimibile dalla pressione po alla pressione p1 assegnate
Sia il fluido un gas perfetto risulta pertanto:
c12 c02
cdc = −dh ⇒ − = h0 − h1 =c p (t0 − t1 )
2 2
La velocità finale allo scarico dell’ugello vale quindi:
(
c1 = 2 h − h1
0
0
Nel caso in cui il fluido sia inizialmente in quiete si ha:
)
c1 = 2(h0 − h1 )
17
Eq. continuità
m& = ρ c A
dm& = 0
Portata massica costante§
dρ
dc dA
+
+
=0
ρ
c
A
§
d log m& = d log(ρ c A)
0 = d log ρ + d log c + d log A
dρ
dc dA
+
+
=0
ρ
c
A
18
Eq. moto
cdc + gdz +
dp
ρ
+ dR + dL = 0
ipotesi :
z = cost
moto isoentropico ⇒ dr = 0
condotto adiabatico fisso ⇒ ds = dL = 0,
cdc
dc c 2
cdc +
=0⇒ =−
=−
ρ
ρ
dp
c dp
dc
dp 1
dp dρ 1
1 dρ
=−
=−
=−
2
2
ρ c
c
dρ ρ c
Ma 2 ρ
dp
1
19
Eq. Hugoniot
Combinando l’equazione di continuità e quella del moto si ha:
dA
dρ dc
dA dc
c2
dc
=−
−
⇒
=
−
A
c
A
c  dp 
c
ρ


 dρ  s =cost
Velocità del suono
Raccogliendo il fattore
comune dc/c si ottiene la
equazione di Hugoniot:
(
)
dA dc
2
=
Ma − 1
A
c
20
Ugelli fissi
Andamento dell’area durante l’espansione
dp
dρ
=k
p
ρ
1 dρ
1 1 dp
dc
=−
=
−
2
2
c
Ma ρ
Ma k p
(
dA
dc 1 − Ma
2
= Ma − 1
=
2
A
c
kMa
(
)
2
) dp
p
21
Andamento delle aree (2)
22
Velocità di efflusso
c2
= h00 − h
2
kR
h = c pT =
T
k −1
c2
kR 0
kR 0 
T 
=
T0 − T =
T0 1 − 0 
2 k −1
k − 1  T0 
(
)
T  p 
RT = 0 ;
=  0 
0
ρ 0 T0  p0 
0
0
p00
k −1
k
Velocità di efflusso
k −1


0
k
k p0   p  
c= 2
1 −  0 
0 
k − 1 ρ0
p0  



23
Velocità massica
k −1


0
k
k p0   p  
c= 2
1 −  0 
0 
k − 1 ρ0
p0  



 p 
ρ = ρ  0 
 p0 
0
0
1
k
2
k +1


k
k
 p  
m&
k
0 0  p 
= ρc = 2
p0 ρ 0  0  −  0 
 p0   p0  
A
k −1


24
Rapporto critico di espansione
Velocità massica massima
d (ρc )
2 p 
=  0 
0
d p p0
k  p0 
(
2−k
k
)
 p 
2 

 0  = 

 p0  crit  k + 1 
 ρ 
2 
 0  = 

 ρ 0  crit  k + 1 
1
k
k +1  p 
 0  = 0
−
k  p0 
k
k −1
1
k −1
T 
2
 0  =
 T0  crit k + 1
25
Velocità critica
k −1


0
k p0   p  k 
1 −  0 
c= 2
0 

k − 1 ρ0
p
0 



k +1
= RT =
RTcrit
0
ρ0
2
p00
 p 
2 
 0  = 

p
k
+
1

 0  crit 
k
k −1
T 
2
k +1
 0  =
⇒ T00 =
Tcrit
2
 T0  crit k + 1
0
0
ccrit = kRTcrit
 p
= k   = cs
 ρ  crit
26
Area di passaggio di un ugello
Siano noti: m& ;
m&
A0 =
ρ 0 c0
m&
=
A1 =
ρ1c1
m&
Ag =
ρ crit ccrit
p0 ; ρ 0 ; c0 ;
p1
m&
2
k +1


k
k
 p1  
k
0 0  p1 
2
p0 ρ 0  0  −  0 
 p0   p0  
k −1


m&
m&
=
=
1
k +1
0
k
−
1
k p0
k −1
0 2 
0 0 2 
2
ρ0 

2kp0 ρ 0 

0
+
1
k
1
k
+
ρ


0
 k +1
27
Portata di efflusso
Si consideri una
progressiva diminuzione
delle pressione p1
Ugello convergente
Comportamento fuori progetto
m& =
m& crit =
A1 p00
p00 ρ 00
A1 p
0
0
p00 ρ 00
2
k +1


k
k
k  p1   p1  
 0  −  0 
2

k − 1  p0   p0  


 2 
k

 k +1
k +1
k −1
blocco
della
portata
28
Portata di efflusso adimensionale
2
k +1


k
k
m& p ρ
k  p1   p1  
*
 0  −  0 
m =
= 2
0
A1 p0
k − 1  p0   p0  


0
0
Ugello convergente
*
m& crit
0
0
m& crit p ρ
 2 
=
= k

Ap
 k +1
0
0
0
1 0
0
0
k +1
k −1
29
Alimentazione con
pressione a monte variabile
30
Comportamento fuori progetto
convergente - divergente
31
Comportamento fuori progetto
convergente - divergente
Il blocco della
portata si raggiunge
per un valore
superiore alla
pressione critica
32
Ugello per vapore
A 1 v
=
= = f ( p)
m& ρc c
33
Forme degli ugelli
34
bibliografia
Morandi G., “Macchine ed apparecchiature a vapore e frigorifere”, Pitagora, BO.
Sandrolini S., Naldi G.,“Macchine 3: Gli impianti motori termici e i loro
componenti”, Pitagora BO, 2003, ISBN 88-371-1317-X
Sandrolini S., Naldi G., “ Macchine 1: Fluidodinamica e termodinamica delle
turbomacchine”,Pitagora BO, 1996,ISBN 88-371-0827-3
Sandrolini S., Naldi G., “ Macchine 2: Le turbomacchine motrici e operatrici”,
Pitagora BO, 1997,ISBN 88-371-0862-1
Cavallini, Sovrano, “Gasdinamica”, Patron
35