SISTEMI
di
RIFERIMENTO PIANI
DEFINIZIONE
Un sistema di riferimento è un insieme di parametri (presi a
coppie o a terne), detti coordinate, che individuano la posizione
dei punti (nel piano o nello spazio).
Le coordinate sono grandezze, omogenee o eterogenee, con la
funzione di individuare la posizione dei punti (nel piano o nello
spazio).
PER DEFINIRE UN PUNTO :
SISTEMI DI RIFERIMENTO CARTESIANI
SISTEMI DI RIFERIMENTO POLARI
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DEFINIZIONE DEL PUNTO SUL PIANO
il sistema cartesiano obliquo
Consideriamo nel piano
due rette (dette assi
coordinati) formanti un
angolo .
Y
+
O
-

X
Su ciascuna di esse viene
fissato un sistema di ascisse
in modo che i rispettivi punti
origine O coincidano.
+
-
Si dice che è stato fissato nel piano un
sistema cartesiano obliquo OXY.
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DEFINIZIONE DEL PUNTO SUL PIANO
il sistema cartesiano obliquo
Y
xP
yP
O
yP

xP
Ad ogni punto P del piano
P viene associata in modo
biunivoco una coppia (xP;yP)
di numeri reali omogenei,
detti coordinate cartesiane
oblique di P.
X
Esse indicano la distanza
relativa di P da ciascuna
delle rette, rispetto al sistema
di ascisse fissato su ciascun
asse coordinato.
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DEFINIZIONE DEL PUNTO SUL PIANO
il sistema cartesiano ortogonale
Y
xP
yP
P
Quando l’angolo formato tra i due
assi è retto ( = 90°), siamo nella
situazione semplificata detta sistema
cartesiano ortogonale.
yP
La coppia di numeri xP;yP è detta
coordinate cartesiane ortogonali
di P (xP si dice ascissa di P e yP si dice
ordinata di P).
90°
O
xP
X
In questo ambito siamo di una situazione
semplificata e di più frequente impiego.
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DEFINIZIONE DEL PUNTO SUL PIANO
il sistema polare
N
Consideriamo una semiretta
orientata ON nel piano (asse
polare).
Consideriamo l’estremo O
come origine della semiretta
(polo).
+
O
Consideriamo come positivo il
senso orario (destrogiro) per
la rotazione dei segmenti.
Si è così definito un sistema di riferimento polare.
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DEFINIZIONE DEL PUNTO SUL PIANO
il sistema polare
+
N
P
OP
O
Ad ogni punto P viene associata in
modo biunivoco una coppia (OP;P) di
numeri reali eterogenei, detti coordinate polari di P.
La prima coordinata polare (detta
modulo) è la distanza tra il polo O
del sistema e il punto P.
La seconda coordinata polare (detta
azimut) è l’angolo OP descritto
dall’asse polare per sovrapporsi,
ruotando in senso orario, alla
direzione OP.
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DEFINIZIONE DEL PUNTO SUL PIANO
il sistema polare
N
P
OP
K
OK
OQ
O
OT
Q
T
L’azimut OP è sempre
compreso tra 0C e 400C.
I punti che hanno lo stesso
azimut giacciono tutti su una
retta.
Il modulo può variare tra 0
(O  P) e valori grandissimi (P
lontanissimo da O).
I punti che hanno lo stesso
modulo giacciono su un
cerchio.
La notazione OP può essere sostituita
con l’analoga: (OP).
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trasformazione
SISTEMA POLARE

SISTEMA CARTESIANO
TRASFORMAZIONE tra Sistemi di Riferimento
La traduzione delle coordinate espresse in un SR in coordinate espresse in
un altro SR è sempre possibile in qualsiasi situazione.
Y N
Tuttavia, per semplicità e
per opportunità, imporremo le seguenti limitazioni
e semplificazioni:
le origini dei due
sistemi devono coincidere;
O
X
l’asse polare deve
coincidere con l’asse delle
ordinate del sistema
cartesiano.
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trasformazione POLARI  CARTESIANE
YN
XP
H
YP
O
DATI
INCOGNITE
OP; (OP)
XP ; YP
P
Proiettando il punto P
sull’asse delle ascisse, rimane
definito il triangolo retto OPH.
(OP)
I cateti di questo triangolo
retto sono le coordinate
cartesiane di P (XP ; YP).
X
X P  OP  sin( OP )
YP  OP  cos(OP )
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trasformazione
SISTEMA CARTESIANO

SISTEMA POLARE
trasformazione CARTESIANE  POLARI
YN
XP
H
YP
O
DATI
INCOGNITE
XP ; YP
OP; (OP)
Proiettando il punto P sull’asse
delle ascisse, rimane definito il
triangolo retto OPH.
P
L’ipotenusa e l’angolo POH di
questo triangolo retto sono le
coordinate polari di P (OP;(OP)).
(OP)
X
XP
(OP )  arctg ( )
YP
XP
YP
OP 

sin( OP ) cos(OP )
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trasformazione CARTESIANE  POLARI
RIFLESSIONE !!
Il valore di fornito dalla relazione
YN
XP
YP
O
P
XP
(OP )  arctg (
)
YP
è l’azimut (OP) solo se le coordinate
cartesiane di P sono entrambe positive
(P nel I° quadrante).
(OP)
X
In ogni altro caso (sono 3) l’angolo
fornito dalla funzione inversa arctg non è
l’azimut cercato, ma un angolo acuto .
Tuttavia, partendo da questo, sarà poi
possibile risalire rapidamente all’azimut
(OP) corretto.
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RICERCA AZIMUT: X pos. Y neg. (+/-)
Proiettando il punto P sull’asse delle ascisse
rimane ANCORA definito il triangolo retto OPH
(ma nel II°Q.).
YN
(OP)
O
–YP
X

P
H
+XP
Tuttavia, l’angolo POH di questo triangolo non
è più l’azimut (OP). Esso, però, può essere
calcolato con la seguente procedura composta di
due fasi:
1° si calcola  usando i cateti del triangolo
OPH, dunque i valori assoluti delle coordinate
di P:
  arctg
2° si calcola l’azimut (OP)
supplementare di :
XP
YP
(OP )  200C  
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RICERCA AZIMUT: X neg. Y neg. (-/-)
YN
Ripetendo il ragionamento, si applica la
procedura composta di due fasi:
1° si calcola l’angolo acuto  usando i cateti del
triangolo OPH, dunque i valori assoluti delle
coordinate di P:
O
X
  arctg

–YP
(OP)
XP
YP
2° si calcola l’azimut (OP) che differisce da 
per un angolo piatto:
P
H
–XP
(OP )  200C  
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RICERCA AZIMUT: X neg. Y pos. (-/+)
YN
Ripetendo ancora il ragionamento, si applica
ulteriormente la procedura composta di due
fasi:
–XP
P
1° si calcola l’angolo acuto  usando i cateti del
triangolo OPH, dunque i valori assoluti delle
coordinate di P:
H
+YP
(OP)

X
O
  arctg
XP
YP
2° si calcola l’azimut (OP) esplementare di :
(OP )  400C  
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RICERCA AZIMUT: TABELLA RIASSUNTIVA
GENERALIZZANDO
1° si calcola l’angolo acuto  usando i valori
assoluti delle coordinate di P:
YN


  arctg




YP
2° si calcola l’azimut (OP) secondo lo schema
della seguente tabella:
O


XP
X
Quad. Segni
Azimut
I
II
III
+/+
+/–
–/–

200C – 
200C + 
IV
–/+
400C – 
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ANGOLO di DIREZIONE
di UN LATO
DEFINIZIONE
L’angolo di direzione (o azimut) del lato AB, è l’azimut del secondo
estremo B del lato, rispetto a un sistema polare con polo nel primo estremo
A del lato e asse polare parallelo all’asse coordinato Y; per indicarlo useremo la
notazione (AB).
N
Y
N
B
(AB)
(BA)
A
O
X
Analogamente, l’angolo di direzione (o
azimut del lato BA) sarà l’azimut del
punto A rispetto a un sistema polare con
polo in B e asse polare parallelo all’asse
Y; per indicarlo useremo la notazione
(BA).
Gli angoli di direzione (AB) e (BA) si
dicono RECIPROCI. Essi differiscono tra
loro sempre di 200C: (BA) – (AB) = 200C:
(BA) = (AB) + 200C
(BA) = (AB) – 200C
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oppure
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COORDINATE TOTALI
&
COORDINATE PARZIALI
Un sistema di riferimento principale è un sistema cartesiano ortogonale OXY,
unico in un certo ambito.
Le relative coordinate sono dette totali e indicate in maiuscolo.
Y
Assumiamo poi un altro sistema di
riferimento cartesiano con origine in un punto
A di coordinate totali XA, YA note, e assi
coordinati paralleli a quelli del sistema
principale. Chiameremo tale sistema di
riferimento sistema secondario Axy, e le
coordinate relative di un punto P sono dette
in modo sintetico: coordinate parziali di P
rispetto ad A, e sono indicate con la
notazione (xP)A; (yP)A
y
XA
x
A
YA
y
X
O
YB
YC
y
XB
x
B
XC
C
x
A differenza del sistema principale, i
sistemi
secondari
possono
essere
numerosi: la loro origine coincide sempre
con punti di coordinate totali note (per es.
Bxy, Cxy, Dxy…).
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relazione tra coordinate
TOTALI  PARZIALI
Y
y
Tra le coordinate totali dei punti A
e B, e quelle parziali di B rispetto al
sistema secondario con origine in A
[indicate con la notazione (xB)A; (yB)A],
si possono scrivere le seguenti
relazioni, ovvie e immediate:
XB
B
(yB)A
(xB)A
(xB)A = XB  XA
(yB)A = YB  YA
YB
XA
A
O
x
YA
quindi:
X
XB = XA + (xB)A
YB = YA + (yB)A
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relazione tra coordinate
TOTALI  PARZIALI
Y
yN
Assumiamo ora un sistema polare
con polo sul punto A ed asse polare
coincidente con l’asse secondario
delle ordinate y, e perciò parallelo a Y;
allora l’azimut (AB) e la distanza AB
sono le coordinate polari di B rispetto
a questo sistema.
XB
B
(yB)A
(xB)A
(AB)
XA
A
O
Esse possono essere utilizzate per
definire le coordinate parziali di B:
YB
x
YA
X
(xB)A= AB  sen(AB)
(yB)A = AB  cos(AB)
e ricordando le precedenti:
XB = XA + AB  sen(AB)
YB = YA + AB  cos(AB)
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