UNITÀ I2 - 1
LE POLIGONAZIONI
IL PRINCIPIO DELLE POLIGONALI
Le poligonali costituiscono una procedura topografica di inquadramento usata per:
1. il raffittimento finale dei punti di appoggio ottenuti per triangolazione, quando la
rappresentazione deve essere a grande scala (es. mappa catastale);
2. l’inquadramento autonomo dei rilievi di piccole estensioni di territorio.
Le poligonali seguono uno schema geometrico che ha il grande vantaggio di
adattarsi benissimo alla morfologia del terreno, eludendo facilmente gli ostacoli
e agevolando sia la progettazione sia l’esecuzione del rilievo. Tuttavia, in esso, è
molto rapida la propagazione degli errori di misura.
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LA FUNZIONE DELLE POLIGONALI
Le poligonali costituiscono la fase di inquadramento che precede
immediatamente il rilievo dei dettagli del terreno. A esse è
assegnato il compito di raggiungere la necessaria densità di punti noti,
dai quali poi partire per rilevare i particolari topografici.
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CLASSIFICAZIONE DELLE POLIGONALI
Criteri
Geometria
Estensione
Tipi
Connotati generali
Chiuse
Il vertice finale coincide con quello iniziale dando luogo a una figura chiusa.
Aperte
Il vertice finale non coincide con quello iniziale.
Topografiche
Geodetiche
Riferimento
Si sviluppano nel campo sferico, con lati lunghi mediamente 1-5 km.
Principali
Costituiscono il lavoro d’inquadramento che interessa l’area da rilevare nel
suo complesso.
Secondarie
Costituiscono l’integrazione delle poligonali principali per raggiungere tutte le
parti del territorio da rilevare.
Grande
precisione
Realizzate con apparati di misura sofisticati in grado di ottenere nelle misure
i seguenti errori medi: = 1”-2” e D=10–5-10–6.
Ordinaria
precisione
Realizzate con apparati di misura ordinari in grado di ottenere nelle misure i
seguenti errori medi: = 10”-60” e D=10–4-10–5.
Speditive
Realizzate con apparati di misura grossolani in grado unicamente di
assegnare un posizionamento di massima dei vertici.
Orientate
Riferite a un sistema di riferimento assegnato (es. Catasto, IGM).
Gerarchia
Precisione
Si sviluppano nel campo topografico (piano), con lati lunghi mediamente da
50 a 300 m.
Non orientate
Riferite a un sistema di riferimento arbitrario (locale).
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LA GEOMETRIA DELLE POLIGONALI
Poligonali APERTE: hanno i due
estremi distinti. Esse sono controllabili
e compensabili solo a determinate
condizioni.
D
Poligonali CHIUSE: hanno i due
estremi coincidenti. Esse sono
intrinsecamente
controllabili
e
compensabili, dunque di più semplice
realizzazione.
D
E
E
C
C
B
A
A≡F
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B
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L’ORIENTAMENTO DELLE POLIGONALI
Poligonali ORIENTATE: sono riferite a un
sistema di riferimento globale (es. GaussBoaga). Il vertice noto appartiene a una rete
di inquadramento o è determinato con
metodi di intersezione.
D
Poligonali LOCALI: sono riferite a un
sistema arbitrario (LOCALE). Sono
utilizzate nel conteso di rilievi che non
devono essere inquadrati in altri
sistemi.
E
E
D
C
P2
C
A
B
P1
A
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B
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LA GERARCHIA DELLE POLIGONALI
Quando l’estensione del territorio da rilevare richiede un numero significativo di punti di
appoggio, occorre disporre i punti di inquadramento su più livelli, con lo stesso principio che
viene seguito nelle triangolazioni.
Si realizzano, allora,
poligonali che interessano la globalità del
territorio dette principali.
Da esse, successivamente, si svilupperanno
le poligonali secondarie, i cui vertici
dovranno essere distribuiti su tutto il terreno
realizzando la necessaria
densità.
principale
secondarie
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LA GEOMETRIA DELLE
POLIGONALI
DEFINIZIONI
Si definiscono angoli al vertice [,  ,  ecc.], gli
angoli di cui si dovrà far ruotare in senso orario
ciascun lato, affinché questi si vada a sovrapporre a
quello seguente.
A, B, C, D… vertici spezzata
AB, BC, CD… lati spezzata
A, B, C, D… senso spezzata
E
Y

y N
B
 D
(AB)

A
XA
C
YA
O
X
DATI
INCOGNITE
XA; YA - (AB)
AB, BC, CD…, ,  , …
XB; YB - XC; YC
XD; YD - XE; YE …
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IL PROBLEMA GEOMETRICO
Assumiamo, in ciascun vertice, un sistema cartesiano secondario xy e un sistema
polare con asse polare coincidente con l'asse y del sistema secondario (y = N)
y N
Y
E
y N

y N
(BC)
B
y N
(AB)
A
 (CD)

D
(DE)
XA
YA
X
O
C
FASI DI SVILUPPO DELLE SPEZZATE
1 – Calcolo degli azimut dei lati.
2 – Calcolo delle coordinate parziali dei vertici.
3 – Calcolo delle coordinate totali dei vertici.
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1 – CALCOLO DEGLI AZIMUT
(BC)=(AB)+200C
y N
(CD)=(BC)+200C
E
y N
(DE)=(CD)++200C
Y

y N
=
(AB)
A
(BC)
B
y N

(CD)
(AB)
=

(CD)
D
(DE)
XA
YA
X
O
C
LEGGE: l’azimut di un lato è uguale all’azimut del
lato precedente, sommato all’angolo al vertice
formato tra i due lati, a cui si aggiunge o sottrae
200c, secondo che la somma dei primi due angoli
sia minore o maggiore di 200c.
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2 – LE COORDINATE PARZIALI
(yB)A=AB cos (AB)
(yC)B=BC cos (BC)
(yD)C=CD cos (CD)
(yE)D=DE cos (DE)
(xB)A
(xE)D
y N

(BC)
(xD)C
(AB)
(yD)C
B
(yC)B
(yB)A
E
y N
y N
Y
y N
(yE)D
(xB)A=AB sen (AB)
(xC)B=BC sen (BC)
(xD)C=CD sen (CD)
(xE)D=DE sen (DE)
A

(CD)

D
(DE)
XA
(xC)B
YA
X
O
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C
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3 – LE COORDINATE TOTALI
XB= XA +(xB)A
XC= XB +(xC)B
XD= XC +(xD)C
XE= XD +(xE)D
YB= YA +(yB)A
YC= YB +(yC)B
YD= YC +(yD)C
YE= YD +(yE)D
y N
yN

(yB)A
Y
(AB)
XA
A
(xB)A
y N
(BC)
B
YB
XB
y N


D
(DE)
(CD)
C
YA
O
E
X
E
X E  X A   xi
A
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E
YE  YA   yi
A
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IL REGISTRO DI RESTITUZIONE
Il calcolo di una poligonale è ripetitivo, dunque è conveniente eseguire il lavoro con
l’ausilio di un registro di restituzione, che suggerisce esso stesso il calcolo da eseguire,
limitando anche la possibilità di commettere errori.
Il registro di restituzione non è univoco, ma in esso si riconoscono sempre una
struttura a righe e colonne; le righe sono riferite ai vertici della poligonale, le
colonne sono riferite agli elementi misurati e calcolati.
Coordinate parziali
Vertici
Angoli
Lati
Azimut
i–1+i200
xi
Li–1  sen i–1
yi
Li–1  cos i–1
Coordinate totali
Xi
Xi–1+xi
Yi
Yi–1+yi
A
B
C
D
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IL REGISTRO DI RESTITUZIONE
Un esempio pratico
Coordinate parziali
Vertici
Angoli
A
--
Lati
108,70
B
D
E
F
--
Yi
Yi–1+yi
--
--
147,32
+90,46
+91,34
58,93
55,98
+31,53
+90,48
+77,60
+34,50
+109,13
+130,66
54,97
+165,16
+54,16
38,27
+122,46
+126,89
+176,62
+74,08
+88,90
+200,97
+265,52
380c,715
263c,510
115,72
Xi
Xi–1+xi
125c,351
55c,364
128,30
yi
Li–1  cos i–1
54c,871
270c,480
141,75
xi
Li–1  sen i–1
136c,480
118c,391
119,20
C
Azimut
i-1+i200
Coordinate totali
44c,225
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LA MISURA DIRETTA DEGLI AZIMUT
Gli azimut dei lati della poligonale si ottengono dalla legge di propagazione degli
azimut dopo aver misurato gli angoli al vertice , , ,…
Tuttavia, talvolta può essere conveniente misurare direttamente in campagna
gli azimut di ciascun lato della poligonale, con la tecnica detta “a punto indietro”.
y N
Y
B
y N
(BC)
Si ripete la procedura in C per
misurare direttamente (CD)…
y N
A
(BA)=(AB)200C
XA
O
YA
D
Si impone, collimando A,
l’azimut reciproco (BA):
(AB)
X
In questo modo il C. O. è
orientato in modo corretto
(0° lungo una direzione parallela all’asse Y), dunque è possibile misurare in modo diretto
l’azimut (BC).
C
(CD)
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RIFLESSIONI SULLO SCHEMA DELLE POLIGONALI
Lo schema geometrico delle poligonali è caratterizzato da una RAPIDA
propagazione degli errori, dunque assai temibile. Basta considerare che le
coordinate di ciascun vertice dipendono dalle coordinate di tutti i punti che lo
precedono e ciò rende inevitabile la propagazione e l’accumularsi degli errori
commessi nella misura degli angoli e delle distanze.
È importante capire quali sono le modalità con cui gli errori commessi nella misura
dei lati e quelli commessi nella misura degli angoli al vertice, condizionano il
calcolo delle coordinate dei vertici della poligonale.
errori nella misura dei lati
Errore lineare
sul primo lato
errori nella misura degli angoli
Errore sul
primo angolo
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RIFLESSIONI SULLO SCHEMA DELLE POLIGONALI
Dunque è necessario controllare l’entità degli errori presenti nelle coordinate dei
vertici della poligonale causati dalle imprecisioni delle misure angolari e lineari.
Ciò è possibile con la misura di un numero di elementi geometrici
sovrabbondanti rispetto a quelli strettamente necessari alla risoluzione puramente
analitica del problema. Ciò può avvenire con:
1. POLIGONALI CHIUSE;
2. POLIGONALI APERTE CON ESTREMI VINCOLATI.
La presenza di misure sovrabbondanti consente anche di
COMPENSARE le stesse misure eseguite.
La compensazione è una procedura di calcolo con la quale si ottiene un
miglioramento globale della precisione della poligonale, nel senso che i valori delle
coordinate, ottenuti dopo aver corretto le misure eseguite in campagna, hanno una
maggior probabilità di essere vicini a quelli veri. Tali procedure possono essere:
• RIGOROSE (usate per grandi reti di poligonali);
• EMPIRICHE (usate per poligonali isolate).
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