Y
Y’
(AB)
A
X’
O
(YB – YA)
B’
- α
(XB – XA)
X
B
200c
TRIGONOMETRIA E COORDINATE
Angoli e sistemi di misura angolare
Funzioni trigonometriche
Risoluzione dei triangoli rettangoli
Risoluzione dei poligoni
Risoluzione dei triangoli non rettangoli e loro area
Risoluzione dei quadrilateri e loro area
Indice
Coordinate cartesiane e polari piane
Passaggio da coordinte polari a cartesiane e da cartesiane a polari
polari
Azimut
Azimut e distanza tra due punti di coordinate cartesiane note
Area con le coordinate cartesiane (Gauss)
Utilizzo delle coordinate cartesiane per la risoluzione dei poligoni
poligoni
A
BBŜ
ŜA
A
S
A
AŜ
ŜBB
B
Angoli
Si definisce angolo ciascuna delle due porzioni di piano
limitate da due semirette (lati) uscenti da uno stesso punto
(vertice). Gli angoli in topografia sono orientati in senso
orario. L’angolo
AŜB
si ottiene facendo ruotare il segmento
SA fino a farlo coincidere con il segmento SB
A B
A
AŜ
ŜBB
S
AŜB
è un angolo giro
AŜB
è un angolo retto
AŜB
è un angolo piatto
A
A
AŜ
ŜBB
Angoli
B
S
A
A
AŜ
ŜBB
S
B
360° 0°
90°
270°
P
I sistemi di misura
angolare
1°
60’
1’
60’’
1C
100’
1’
100’’
163° 27’ 48’’
180°
sessagesimale e
centesimale
400C
0C
100C
300C
P
200C
181c,6259
Per passare dai gradi sessagesimali ai centesimali è
necessario decimalizzare i gradi sessagesimali dividendo i
primi per 60 e i secondi per 3600
163° +
27' 48''
+
= 163°,4633
60 3600
I sistemi di misura
angolare
Passaggi da un sistema
ad un altro
successivamente dalla proporzione
C
α°
α
=
180° 200
C
si ottiene
C
163°,4633 × 200
C
α =
= 181 ,6259
180°
C
Le funzioni trigonometriche associano
0c = 400c
ad
ogni
angolo
Studieremo
funzioni
Xa
A’
Ya
300c
300
Le funzioni
trigonometriche
O
α
A
100c
un
numero
di
seguito
seno,
coseno,
le
puro.
quattro
tangente
e
cotangente.
Si
consideri
una
circonferenza
di
centro O e raggio OA, riferita ad un
sistema di assi cartesiani con origine
nel centro della circonferenza. Al
200c
variare della posizione del punto A
varia l’ampiezza dell’angolo α
0c = 400c
Xa
A’
Ya
300c
300
α
A
100c
O
Le funzioni
trigonometriche
100c
200c
seno e coseno
Si definisce seno
dell’angolo α (sen α) il
rapporto fra l’ascissa del
punto A, Xa, ed il raggio
della circonferenza OA
Si definisce coseno
dell’angolo α (cos α) il
rapporto fra l’ordinata del
punto A, Ya, ed il raggio
della circonferenza OA
Xa
sen α =
OA
Ya
cos α =
OA
0c = 400c
XA
A’
YA
A
α
300c
300
O
Le funzioni
trigonometriche
tangente e
cotangente
200c
Si definisce tangente
dell’angolo α (tan α) il
rapporto fra l’ascissa del
punto A, Xa, e la sua
ordinata Ya
Si definisce cotangente
dell’angolo α (cot α) il
rapporto fra l’ordinata del
punto A, Ya, e la sua
ascissa Xa
Xa
tan α =
Ya
Ya
cot α =
Xa
Funzioni
trigonometriche
Quadro generale
gradi
seno
coseno
tangente
cotangente
0c
0
1
0
+∞
100c
1
0
+∞
0
200c
0
-1
0
+∞
300c
-1
0
+∞
0
400c
0
1
0
+∞
B
B̂
Ĉ
C Le funzioni trigonometriche sono
utilizzate per risolvere i triangoli
rettangoli.
Nella
risoluzione
è
necessario conoscere almeno due
elementi. La sommatoria degli angoli
Â
Le funzioni
trigonometriche
utilizzate per la
risoluzione dei
triangoli rettangoli
interni (nel sistema centesimale) è di
A
200c
sen Â =
cos Â =
tan Â =
BC
AC
AB
AC
BC
AB
sen Ĉ =
cos Ĉ =
tan Ĉ =
AB
AC
BC
AC
AB
BC
Da uno dei qualsiasi rapporti precedentemente visti, che
definiscono le funzioni trigonometriche, si ottiene come
risultato un numero puro il cui valore numerico e il segno
dipendono dall’ampiezza dell’angolo e dalla funzione che
all’angolo risulta associata. Per conoscere l’angolo, nota la
funzione, è necessario utilizzare la “funzione inversa”. Sulle
Le funzioni inverse
calcolatrici le funzioni inverse sono indicate con sen-1, cos-1, tan-1
BC
sen Â =
AC
BC
Â = sen (
)
AC
B
-1
B̂
Â
A
Ĉ
C
A
B
C
Triangoli rettangoli
Risoluzione
Sono noti l' ipotenusa AC e l' angolo nel vertice A
Â + B̂ + Ĉ = 200
Â + Ĉ = 100
c
c
ma
B̂ = 100
Ĉ = 100
c
c
- Â
sen Â =
BC
AC
da cui risulta
BC = AC × sen Â
cos Â =
AB
AC
da cui risulta
AB = AC × cos Â
B
C
A
Sono noti i due cateti AB e BC
Triangoli rettangoli
Risoluzione
con il T. di Pitagora è possibile calcolare l' ipotenusa AC
(AB
AC =
sen Â =
BC
AC
+ BC
2
)
da cui Â = sen
Â + B̂ + Ĉ = 200
Â + Ĉ = 100
2
C
C
ma
-1
(
BC
)
AC
B̂ = 100
Ĉ = 100
C
- Â
C
A
α
c
B
b
γ
β
a
C
Triangoli rettangoli
Risoluzione
Sono noti il cateto AB (c) e l' angolo nel vertice C ( γ )
α + β + γ = 180
α + γ = 90 o
sen γ =
cos γ =
c
b
a
b
o
ma
β = 90 o
α = 90 o - γ
da cui risulta
da cui risulta
b =
c
sen γ
a = b × cos γ
elementi noti
incognite
due cateti
ipotenusa
due angoli
risoluzione
A
B
C
AB = √(AB2 + BC2)
A = sen- 1 (BC/AC)
C = 100C - A
A
ipotenusa
cateto
Triangoli rettangoli
Quadro generale
B
cateto
due angoli
C
BC = √(AC2 - AB2)
A = cos- 1 (AB/AC)
C = 100C - A
A
B
ipotenusa
angolo in C
angolo in A
due cateti
cateto
angolo in A
angolo in C
ipotenusa
cateto
C
A = 100C - C
AB = AC x sen C
BC = √(AC2 - AB2)
A
B
C
C = 100C - A
AC = AB / cos A
BC = √(AC2 - AB2)
Risolvere un poligono significa determinare tutti i suoi elementi a
partire da alcuni già noti. Per elementi si intendono in generale i
lati, gli angoli interni e l’area. I procedimenti risolutivi più
semplici si basano sulla divisione del poligono in triangoli,
mediante il tracciamento di diagonali. La risoluzione inizia
Risoluzione poligoni
di N lati
sempre dal triangolo di cui sono noti almeno tre elementi. Per un
poligono di N lati devono essere noti un numero tale di elementi
che si ottengono dalla formula
Ne = ( 2 x N – 3 )
Tra questi devono essere noti almeno ( N – 2 ) lati
La somma degli angoli interni in un poligono di N lati si ottiene
dalla formula:
Σα = 200c x ( N – 2 )
E
A
Somma degli angoli
interni in un
poligono di N lati
D
B
C
Σα = 200c x ( 5 – 2 ) = 600c
Per la risoluzione dei triangoli non rettangoli è necessario che siano
noti almeno tre elementi, combinazione di lati e angoli.
Per la risoluzione possono essere applicati, a seconda dei casi, due
teoremi:
Triangoli non
rettangoli
TEOREMA DI CARNOT
TEOREMA DEI SENI
La sommatoria degli angoli interni (nel sistema centesimale) è di 200C
Noti due lati del triangolo e l’angolo tra essi compreso, questo
teorema permette il calcolo del terzo lato incognito
B
C
Triangoli non rettangoli
Teorema di Carnot
A
AC =
(AB2 + BC2 − 2 × AB × BC × COS B̂)
“Il rapporto fra i lati e i seni dei rispettivi angoli opposti è costante
ed uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo”
B
C
Triangoli non
rettangoli
Teorema dei seni
A
AB
sen
Ĉ
=
BC
sen
Â
=
CA
sen
B̂
= 2 × r
Il T. dei seni permette di calcolare un lato quando siano noti il
rispettivo angolo opposto ed una coppia di elementi in relazione
tra loro. Se sono noti il lato AB e gli angoli nei vertici C e B, è
possibile calcolare AC
B
Triangoli non
rettangoli
C
Teorema dei seni
A
AB
sen Ĉ
=
AC
sen B̂
da cui
AC =
AB × sen B̂
sen Ĉ
Anche gli angoli possono essere calcolati. Se sono noti AB, BC e
l’angolo in A è possibile ottenere l’angolo nel vertice C
B
Triangoli non
rettangoli
C
Teorema dei seni
A
AB
sen Ĉ
=
BC
sen Â
da cui
Ĉ = sen
-1
AB × sen Â
(
)
BC
Noti due lati del triangolo e l’angolo tra essi compreso, l’area si
ottiene dalla formula
B
Triangoli non
rettangoli
C
Area
A
1
S = × AB × AC × sen Â
2
C
h
Â
A
b
Triangoli non
rettangoli
Area
Se nella formula: S =
B
B1
1
×b×h
2
Poniamo: b = AB, dal triangolo rettangolo ACB1 risulta:
sen Â =
h
AC
da cui
h = AC × sen Â
si ottiene la formula finale: S =
1
× AB × AC × sen Â
2
Se sono noti i tre lati del triangolo l’area si ottiene dalla formula
di Erone
C
B
Triangoli non
rettangoli
Area con la formula di
Erone
A
SABC = √ [ p x ( p – AB ) x ( p – BC ) x ( p – CA ) ]
in cui: p = ( AB + BC + CA ) / 2
è il semiperimetro
Se è noto un solo lato e tutti e tre gli angoli interni l’area si
ottiene dalla formula
C
B
Triangoli non
rettangoli
Area
A
S ABC
1
=
×
2
(
AC
2
× sen
Â × sen
sen B̂
Ĉ
)
B
C
A
Triangoli non
rettangoli
Risoluzione
Sono noti AB, AC e l' angolo nel vertice A
BC =
(AB
2
2
+ AC - 2 × AB × AC × cos Â
-1
Ĉ = sen (
AB × sen Â
)
BC
c
B̂ = 200 - (Â + Ĉ)
SABC =
1
× AB × AC × sen Â
2
)
B
A
Triangoli non
rettangoli
Sono noti il lato BC e gli angoli in B e C
Risoluzione
Â = 200 c - (B̂ + Ĉ)
AC =
AB =
BC × sen B̂
sen Â
( AC 2 + CB 2 - 2 × AC × CB × cos Ĉ)
SABC =
1
× AC × CB × sen Ĉ
2
C
Per la risoluzione dei quadrilateri è necessario conoscere almeno
cinque elementi (combinazione di lati, angoli, area).
I metodi di risoluzione più utilizzati, sono:
• divisione del quadrilatero con diagonali in due triangoli
Risoluzione dei
quadrilateri
• divisione del quadrilatero in figure semplici (triangoli rettangoli e
rettangoli)
• trasformazione del quadrilatero in un triangolo
La sommatoria degli angoli interni (nel sistema centesimale) è di
400C
D
ELEMENTI NOTI
DISTANZE
C
BC
B
C
CD
È questo il caso più semplice
perchè esistono due possibilità di
risoluzione sia con la diagonale AC
che con quella BD. Tracciata la
diagonale AC, si risolve come
segue:
A
B
Metodi per la
risoluzione dei
quadrilateri
ANGOLI
AB
Triangolo 1
diagonale AC con Carnot
angolo in C1 con i seni
D
Divisione in triangoli
D̂
Triangolo 2
Ĉ2
2
Â
A
C
Ĉ1
AC
1
angolo C2 per differenza C – C1
lato AD con Carnot
angolo in D con i seni
angolo in A per differenza a 400c
area totale come somma delle aree
parziali di due triangoli
B
D
ELEMENTI NOTI
DISTANZE
C
ANGOLI
AB
BC
A
C
AD
L’unica diagonale che permette di
risolvere il problema è la diagonale BD,
perchè nel triangolo 1 sono noti 3
elementi, mentre nel triangolo 2 gli
A
elementi noti sono insufficienti
B
Metodi per la
risoluzione dei
quadrilateri
Triangolo 1
diagonale BD con Carnot
angolo D1 con i seni
Divisione in triangoli
D
Triangolo 2
D̂2
angolo D2 con i seni
CD
D̂1
C
DB
angolo D somma di D1 + D2
angolo B per differenza a 400c
angolo B2 per differenza a 200c
2
lato CD con Carnot o seni
1
A
B̂
B̂2
B
area totale come somma delle aree parziali
di due triangoli
D
ELEMENTI NOTI
DISTANZE
C
ANGOLI
AB
BC
A
C
D
Anche se sono noti cinque elementi è
necessario, come prima cosa, calcolare per
differenza l’angolo nel vertice B. Si traccia
successivamente la diagonale AC
A
B
Metodi per la
risoluzione dei
quadrilateri
B = 400c – (A + C + D)
AC = √(AB2 + BC2 – 2 x AB x BC x cos B)
Divisione in triangoli
C1 = sen -1 (AB x sen B / AC)
D
C2 = C – C1
CD
AD = (AC / sen D) x sen C2
AD
2
A
A2 = 200c – (D + C2)
CD = (AC / sen D) x sen A2
Ĉ1
AC
Â2
C
Ĉ2
S1 = 0.5 x AB x BC x sen B
1
S2 = 0.5 x AD x DC x sen D
B̂
B
S1 + S2 = St
ELEMENTI NOTI
C
DISTANZE
BC
CD
ANGOLI
A
B
DA
In questo caso è necessario dividere il quadrilatero
D
in
più
triangoli
rettangoli,
utilizzando
nella
risoluzione le funzioni trigonometriche
triangolo 1
Metodi per la
risoluzione dei
quadrilateri
B
A
DE = AD x sen Â
AE = AD x cos Â
triangolo 2
CF = BC x sen B̂
Divisione in triangoli
rettangoli
Ĉ2
D
3
Ĉ1 = 100 C - B̂
C
BF = BC x cos B̂
CH = CF - DE
triangolo 3
Ĉ1
DH =
H
( CD 2 - CH 2 )
C2 = sen - 1 (
2
1
A
E
F
DH
)
CD
Ĉ = Ĉ1 + Ĉ2
B
D̂ = 400 C - ( Â + B̂ + Ĉ )
AB = AE + EF (DH) + FB
area
come somma di tre triangoli rettangoli e un rettangolo
ELEMENTI NOTI
DISTANZE
ANGOLI
E
Ê
AB
CD
A
B
C
Per risolvere questo caso è necessario prolungare i due
lati AD e BC trasformando il quadrilatero nel triangolo
ABE di cui sono noti il lato AB e gli angoli in A e B
D̂ = 400 C - ( Â + B̂ + Ĉ )
D
Metodi per la
risoluzione dei
quadrilateri
si prolungano AD e BC in E
D̂1
Ê = 200 C - ( Â + B̂ )
D̂
Ĉ1 = 200 C - Ĉ
Ĉ1
Trasformazione in un
triangolo
C
Ĉ
AE =
Â
A
DE =
B̂
B
D̂1 = 200 C - D̂
AB x sen B̂
BE =
sen Ê
CD x sen Ĉ1
CE =
sen Ê
AD = AE - DE
AB x sen Â
sen Ê
CD x sen D̂1
sen Ê
BC = BE - CE
SABE =
1
x AE x EB x sen Ê
2
SDEC =
1
x DE x EC x sen Ê
2
SABCD = SABE
-
SDEC
Il calcolo della superficie del quadrilatero può essere ricondotto al
calcolo della superficie di due triangoli
D
Area dei
quadrilateri
SABCD = S1 + S2
Divisione in due
triangoli
1
A
C
2
S1 = 0.5 x AD x DC x sen D
S2 = 0.5 x AB x BC x sen B
B
Se sono noti tre lati adiacenti e gli angoli fra essi compresi è
possibile applicare la formula di camminamento
D
C
Area dei
quadrilateri
Formula del
camminamento
A
B
SABCD = 0.5 x [ AB x BC x sen B + BC x CD x sen C –
+ AB x CD x sen ( B + C ) ]
Y
Q.4
Q.1
T (- ; +)
XP
P (+ ; +)
YP
X
0
Coordinate
cartesiane piane
R (+ ; -)
S (- ; -)
Q.3
Q.2
asse polare
N (0c)
A
(OA)
A
O
Coordinate polari
piane
O (polo)
Si consideri un punto del piano detto polo o origine, ed una retta
comunque orientata passante per tale punto, asse polare.
Rispetto a tale sistema di riferimento, si definiscono coordinate
polari del punto A, la distanza orizzontale OA e l’Azimut o
angolo di direzione orizzontale (OA)
asse polare
Y
N (0c)
XA
A’
YA
A
(OA)
A
O
Passaggio da
coordinate polari a
cartesiane
O (polo)
Il passaggio diretto da polari a cartesiane è possibile solo se:
le origini dei due sistemi coincidono
il semiasse positivo delle Y coincide con l’asse polare
X
Y
XA
A’
YA
A
(OA)
A
O
O (polo)
Passaggio da
coordinate polari a
cartesiane
X
Dal triangolo rettangolo OAA’ risulta:
XA
OA
Y
cos ( OA) = A
OA
sen ( OA) =
da
cui :
XA = OA × sen ( OA)
da
cui :
YA = OA × cos ( OA)
Al variare dell’azimut tra 0c e 400c, le coordinate calcolate
assumono il segno relativo ai quattro quadranti.
Y
N (0c)
XA
A’
A
(OA)
YA
A
O
Passaggio da
coordinate
cartesiane a polari
O (polo)
X
Anche il passaggio da coordinate cartesiane a polari è
possibile. Per la distanza basta applicare il T. di Pitagora
mentre per l’azimut, la funzione inversa della tangente.
OA =
2
2
( XA + YA )
( OA) = tan
-1
XA
( )
YA
L’inverso della tangente fornisce direttamente il valore dell’azimut
solo se l’angolo calcolato è inferiore a 100c. Nel II°, III° e IV°
quadrante per ottenere il valore dell’azimut (OA) si opera nella
seguente maniera
Y
Come si ottiene il
valore dell’azimut
(OA) nel II°
quadrante ?
(OA)
O
X
- α
YA
Nel II° quadrante risulta
A’
XA
200c
A
( OA) = tan -1 (
XA
) = - α + 200 c
YA
Y
(OA)
O
Come si ottiene il
valore dell’azimut
(OA) nel III°
quadrante ?
X
+ α
YA
A
XA
A’
200c
Nel III° quadrante risulta
( OA) = tan - 1 (
XA
) = + α + 200 c
YA
Y
A
400c
A’
XA
YA
- α
Come si ottiene il
valore dell’azimut
(OA) nel IV°
quadrante ?
X
O
(OA)
Nel IV° quadrante risulta
( OA) = tan
-1
XA
(
) = - α + 400 c
YA
A e B sono due punti di coordinate cartesiane note.
Si definisce azimut (AB), l’angolo orizzontale destrorso che
il segmento orizzontale AB forma con il sistema di
riferimento posto nel vertice A
Y’
Y
Azimut (AB) e
distanza AB tra due
punti di coordinate
cartesiane note
XB
B
(AB)
YB
XA
A
YA
O
X
L’azimut (BA) si ottiene nel momento in cui il sistema di
riferimento, origine e asse delle Y, invece di trovarsi nel
vertice A viene posto nell’altro estremo B. Il suo calcolo è
semplice nel caso in cui sia già noto l’azimut (AB). Infatti:
(BA) = (AB) ± 200c
Y’
E l’Azimut (BA) ?
(AB)
B
200c
(AB)
A
(BA)
Y’
Y
XB
A’
( XB – XA )
B
( YB – YA )
YB
AB
XA
Calcolo della
distanza orizzontale
tra due punti di
coordinate
cartesiane note
A
YA
X
O
La distanza orizzontale AB rappresenta l’ipotenusa del triangolo
rettangolo AA’B di cui si conoscono i due cateti A’B e AA’
A’B = XB – XA
AA’ = YB – YA
Applicando il T. di Pitagora si ottiene la “distanza tra due punti”
AB = √ [ ( XB – XA )2 + ( YB – YA )2 ]
Y’
Y
XB
( XB – XA )
A’
(AB)
( YB – YA )
YB
B
XA
A
YA
X
O
Applicando l’inverso della tangente all’interno del triangolo
rettangolo AA’B si ottiene per “l’azimut (AB)”
(AB ) = tan --11
[
[
Calcolo dell’Azimut
(AB) tra due punti
di coordinate
cartesiane note
(XBB - XAA )
( YBB - YAA )
Anche in questo caso la formula precedente fornisce
direttamente il valore dell’azimut (AB) solo se il punto B si trova
nel primo quadrante rispetto al sistema posto con origine nel
vertice A. Per gli altri tre quadranti risulta
Y
Y’
Con B nel II° quadrante
rispetto al sistema posto in A
Calcolo dell’Azimut
(AB) tra due punti di
coordinate
cartesiane note
risulta
(AB)
A
X’
(YB – YA)
B’
- α
(XB – XA)
X
B
[
tan --11
200c
(AB) = tan
[
O
(XBB - XAA)
( YBB - YAA)
= - α + 200 cc
Y
Y’
(AB)
A
X’
+α
X
O
Calcolo dell’Azimut
(AB) tra due punti di
coordinate
cartesiane note
(YB – YA)
B
(XB – XA)
B’
200c
Con B nel III° quadrante rispetto al
sistema posto in A risulta
(AB) = tan
[
[
tan --11
(XBB - XAA)
( YBB - YAA)
= + α + 200 cc
Y
Y’
(XB – XA)
B
B’
(YB – YA)
-α
Calcolo dell’Azimut
(AB) tra due punti di
coordinate
cartesiane note
X’
A
X
O
200c
Con B nel IV° quadrante rispetto al sistema posto
in A risulta
[
tan --11
(AB) = tan
[
(AB)
(XBB - XAA)
( YBB - YAA)
= - α + 400 cc
Se sono note le coordinate cartesiane dei vertici di un poligono
l’area si può calcolare applicando la “formula di Gauss”
B
C
A
Calcolo dell’area di
poligoni di cui sono
note le coordinate
cartesiane dei vertici
(formula di Gauss)
1
SABC = × [ YA × (XB - XC ) + YB × (XC - XA ) + YC × (XA - XB ) ]
2
B
L’area assume un segno
diverso
(+/-)
se
poligono
considerato
il
è
A
C
percorso in senso orario
o antiorario
D
1
SABCD = × [ YA × (XD - XB ) + YD × (XC - XA ) + YC × (XB - XD ) + YB × (XA - XC ) ]
2
Le coordinate cartesiane possono essere utilizzate per risolvere i
poligoni. I lati si ottengono con la distanza tra due punti, gli angoli
per differenza di azimut e l’area con la formula di Gauss
B
Utilizzo delle
cordinate cartesiane
per la risoluzione dei
poligoni
B̂ = (BA) - (BC )
AB = √ [(XB - XA)2 + (YB – YA)2]
(AC)
C
(AB)
Ĉ = (CB ) - (CA)
A
Â = (AC ) - (AB )