Le Galassie
Lezione 4
Fotometria delle ellittiche
Le galassie ellittiche
presentano isofote ben
approssimabili con
ellissi.
In generale la formula
di Sersic fornisce un fit
migliore al profilo di
brillanza a tutte le
luminosità
(L ~ 3×109 -- 1013 L☉).
I(R) = I(Re ) exp{−bn [(R/Re )1/n − 1]}
!
0
Re
1
I(R)2πR dR =
2
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!
0
∞
Formula è stata scritta usando Re
(half-light radius) come raggio scala.
Per n>1, bn≈1.999n-0.327
I(R)2πR dR per n=1, disco esponenziale
per n=0.5, gaussiana
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Fotometria delle ellittiche
L’indice di Sersic n
cresce con
luminosità.
Le ellittiche luminose
hanno n~4 (ma può
essere anche
maggiore) mentre
nelle ellittiche dE si
può arrivare anche a
n~1 (come disco
esponenziale di una
spirale).
Il profilo con n=4 ha più luce a grandi raggi ma ha anche
un picco più pronunciato rispetto all’esponenziale.
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Fotometria delle ellittiche
ellittiche e bulge
delle spirali
cD
dE
dE
cD
Brillanza sup. centrale è strettamente legata a L (al contrario delle
spirali dove quella di disco è ~costante).
I(0) ed il raggio del core Rc [dove I(Rc) = 1/2 I(0)] in funzione di MB (L).
cD hanno I(0) bassa quasi come le spirali.
Ellittiche e dSph/dE hanno struttura distinta.
M32 ha L tipica di una dE ma è come le ellittiche più grandi.
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“Cores” e “Cusps”
Alle piccole scale
accessibili con HST
(risoluzione spaziale~0.1”)
si è osservata una
dicotomia nei profili di
brillanza nella regione
nucleare.
Galassie luminose hanno
“flat cores” mentre
galassie di piccola
luminosità hanno “power
law cores”.
I(R) ~ R-γ; γ≤0.2 flat core.
Power law core
Flat core
Significa che le galassie di luminosità più piccola hanno una densità di stelle
che cresce maggiormente verso il centro rispetto a quelle più luminose.
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De-proiezione della brillanza
Dalle osservazioni si ricava I(R), brillanza sul piano del cielo (corretta per
seeing), ma fisicamente siamo interessati a ρ(R) densità di massa in stelle
(per ottenere il potenziale gravitazionale).
Come passiamo da I(R) a ρ(R)?
Vogliamo ottenere un’informazione tri-dimensionale da dati bi-dimensionali,
ma NON sappiamo cosa accade lungo la linea di vista.
Assunzione di simmetria sferica (Υ rapporto M/L):
1
I(R) =
4πΥ
!
+∞
−∞
1
ρ(s) ds =
2πΥ
!
+∞
R
ρ(r)r
√
dr
r 2 − R2
è una equazione di Abel con soluzione:
ρ(r) = −4Υ
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!
r
+∞
R
s
r
dI(R)
dR
√
dR
R2 − r 2
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De-proiezione della brillanza
Esistono espressioni analoghe nel caso di
ellissoidi oblati o prolati.
z
c
Oblato: a = b > c
y
b=a
x2+y2+(z/q)2=m2
a
x
y′
b′
isofota
x′
a′
Piano del cielo
q′ = b′/a′
x′2+(y′/q′)2=m′2
1 q
!
I(m ) = −
4πΥ q !
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!
+∞
m! 2
ρ(m2 )dm2
"
2
2
!
m −m
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Il potenziale gravitazionale
Dalla brillanza superficiale (con alcune assunzioni) si può determinare la
densità di massa (a meno del fattore Υ, ovvero il rapporto M/L).
In generale, dalla densità di massa ρ(x) si può ottenere il potenziale
gravitazionale risolvendo l’equazione di Poisson:
∇2 φ("x) = 4πGρ("x)
Nel caso di simmetria sferica ρ=ρ(r) l’equazione si semplifica a
!
1 d
r2 dr
r
2 dφ(r)
dr
"
= 4πGρ(r)
In generale, da ϕ si ricava l’energia potenziale gravitazionale del sistema
1
W =−
8πG
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!
V
1
"
|∇φ|
d"x =
2
2
3
!
ρ("x)φ("x)d"x
3
V
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Caso particolare: simmetria sferica
1o teorema di Gauss: una particella test all’interno di una “shell” sferica di
materia non risente di alcuna forza gravitazionale.
2o teorema di Gauss: la forza gravitazionale esercitata su un corpo fuori da
una shell sferica è la stessa che si avrebbe se tutta la massa della shell fosse
concentrata nel centro della sfera.
Consideriamo una distribuzione di massa a simmetria sferica con ρ = ρ(r).
La massa racchiusa nella sfera di raggio r è:
M (r) =
!
r
!2
ρ(r )4πr dr!
!
0
Consideriamo una particella test al raggio r:
per il 1o teorema di Gauss la massa “esterna” M(r’>r) non esercita alcuna
attrazione gravitazionale;
per il 2o teorema di Gauss l’attrazione della massa “interna” M(r’<r) è la
stessa di quella che si avrebbe se la massa fosse concentrata a r=0 per cui
GM
(r)m
dφ(r)
!
F! (r) = −
!
u
=
−m
∇φ(r)
= −m
!ur
r
2
r
dr
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Caso particolare: simmetria sferica
GM (r)m
dφ(r)
!
!
F (r) = −
!
u
=
−m
∇φ(r)
=
−m
!
u
r
r
2
r
dr
dφ(r)
GM (r)
=
dr
r2
integrando membro a membro tra r e ∞, con ϕ(∞)=0 si ricava che
GM (r)
− 4πG
φ(r) = −
r
!
∞
ρ(r" )r" dr"
r
GMtot
φ(r → ∞) ∼
→0
r
Quindi, nota ρ nel caso di simmetria sferica si può facilmente ricavare ϕ.
Se viceversa è noto ϕ e si vuole ricavare ρ si usa l’equazione di Poisson
che in simmetria sferica è
1 d
r2 dr
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!
r
2 dφ(r)
dr
"
= 4πGρ(r)
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Velocità circolare e di fuga
Noto il potenziale ϕ(r) ci sono due quantità importanti che si possono
ricavare: la velocità circolare e la velocità di fuga
Vc
dφ
GM (r)
a(r) =
=−
=−
r
dr
r2
2
1
2
E = mV + mφ(r)
2
! " "
" dφ "
Vc = r "" ""
dr
!
GM (r)
Vc =
r
La particella è “legata” se E<0, per cui la velocità di fuga si ha per E=0
Vf =
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!
2|φ(r)|
Vf =
!
GM (r)
2
r
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Alcuni semplici potenziali
1) Massa puntiforme M
GM
φ(r) = −
r
!
GM
Vc =
r
Velocità “Kepleriana” V~r -1/2
2) Sfera omogenea densità costante ρ
!
4π
Vc =
Gρ r
3
!
2πr
3π
T =
=
Vc
Gρ
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periodo orbitale indipendente dal raggio
(rotazione di corpo “rigido”, V~r)
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Alcuni semplici potenziali
3) Sfera isoterma (Singular isothermal sphere)
ρ(r0 )
ρ(r) =
(r/r0 )2
φ(r) = VH2 ln(r/r0 )
VH2 = 4πGr02 ρ(r0 )
Vc = VH = costante!
4) Potenziale dell’alone oscuro
1
VH2
ρ(r) =
4πG r2 + a2H
1 VH2
ρ(r >> aH ) ∼
4πG r2
V 2 (r) = VH2 [1 − (aH /r) arctan(r/aH )]
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V 2 (r >> aH ) ∼ VH2
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Alcuni semplici potenziali
5) Potenziale di Plummer
Massa totale? Ricordare che:
GMtot
GM
φ(r → ∞) ∼
→0
φ(r) = − √
r
a2 + r2
!
"
2
1 1 d
M
dφ
3a
2
ρ(r) =
r
=
2
4πG r dr
dr
4π (a2 + r2 )5/2
"
!
GM (r)
GM
Vc =
=
3/2
2
2
log I(R)
r
r (1 + a /r )
~ cost. (core)
E’ possibile ottenere una formula analitica per la
brillanza superficiale
1
I(R) =
4πΥ
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!
+∞
−∞
M
a2
ρ(s)ds =
4π 2 Υ (a2 + R2 )2
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~ R-4
a
log R
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