Elementi
di
Geometria
Lezione 03
I triangoli
I triangoli sono i poligoni con tre lati e tre angoli.
Nelle rappresentazioni grafiche (Figura 32) i vertici di un triangolo sono normalmente
contrassegnati da tre lettere maiuscole A, B, C per cui i tre lati sono contraddistinti da
AB, AC, BC ed i tre angoli con ABC , ACB, e CAB o anche con a, b, g.
Ogni vertice si dice “opposto” al lato a cui il vertice non appartiene, A è opposto a BC,
B è opposto a AC, C è opposto a AB. Lo stesso si dice anche degli angoli che si trovano
in quel vertice.
In uno stesso triangolo esiste una corrispondenza fra gli angoli e i lati opposti ad essi.
Più precisamente se due lati di un triangolo sono uguali anche gli angoli ad essi opposti
sono uguali, se sono diversi a lato maggiore si oppone angolo maggiore, al lato minore
si oppone l’angolo minore.
Elementi dei triangoli
Oltre ai lati ed agli angoli in un triangolo si definiscono altri elementi evidenziati nella
Figura 33. Essi sono le “altezze”, le “mediane” e le “bisettrici”. Non a caso questi nomi
sono al plurale perché in ogni triangolo di ognuno di questi elementi ce ne sono tre.
Si definisce altezza di un triangolo il segmento perpendicolare da un vertice al lato opposto. Poiché in ogni triangolo ci sono tre vertici si hanno anche tre altezze indicate nella figura con AH1, BH2, CH3. Si può dimostrare, ma noi ci limiteremo ad affermarlo,
che le tre altezze passano tutte per uno stesso punto O interno al triangolo che si chiama
“ortocentro”.
Il segmento che unisce un vertice con il punto medio del lato opposto si chiama “mediana” e anche in questo caso in ogni triangolo ci sono tre mediane, indicate in figura
con AM1, BM2, BM3. Esse sono generalmente diverse dalle altezze, tranne in qualche
caso che vedremo in seguito. Anche le tre mediane si incontrano in un unico punto G
interno al triangolo che si chiama “baricentro”.
Già sappiamo che la bisettrice di un angolo è una semiretta con origine nel vertice che
divide l’angolo in due parti uguali. Ciascuno dei tre angoli del triangolo ha dunque una
bisettrice, indicate in figura con le lettere b1, b2 b3, e anch’esse si incontrano in un unico
punto I che prende il nome di “incentro”. Anche le bisettrici sono generalmente diverse
dalle altezze e dalle mediane.
Classificazione secondo i lati
A seconda delle relazioni fra i suoi lati un triangolo può essere (Figura 34):
•
“equilatero” se ha tutti e tre i lati uguali
•
“isoscele” se ha due lati uguali
•
“scaleno” se ha tutti i lati disuguali
A seconda del tipo un triangolo gode di alcune proprietà, come riassunto in Figura 35:
•
Un triangolo equilatero, oltre ai lati, ha uguali fra loro anche gli angoli. Inoltre
sono uguali e coincidono le altezze, le mediane e i segmenti di bisettrice interni
al triangolo e, pertanto, anche l’ortocentro, il baricentro e l’incentro coincidono.
•
Un triangolo isoscele , oltre a due lati, ha uguali fra loro i due angoli opposti a
tali lati. Inoltre l’altezza, la mediana e la bisettrice che partono dal vertice comune ai due lati uguali coincidono, ma le altre relative agli altri vertici sono diverse
e i loro punti di incontro non coincidono.
•
Il triangolo scaleno non presenta alcuna peculiarità.
Classificazione secondo gli angoli
A seconda del tipo di angoli un triangolo può essere (Figura 36):
•
“acutangolo”, quando tutti i suoi angoli sono acuti
•
“ottusangolo”, quando uno dei suoi angoli è ottuso
•
“rettangolo”, quando uno dei suoi angoli è retto
In particolare nel triangolo rettangolo i lati assumono una denominazione particolare e,
più precisamente, i due lati che formano l’angolo retto si chiamano “cateti” e il lato opposto all’angolo retto si chiama “ipotenusa”.
Da come abbiamo esposto questa classificazione si deduce che in un triangolo non ci
possono essere due angoli ottusi o due angoli retti. Infatti, come dimostreremo subito, la
somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180° e due angoli ottusi hanno già
da soli una somma superiore a 180°, mentre due angoli retti hanno una somma proprio
uguale a 180° per cui in entrambi i casi il terzo angolo non potrebbe esistere.
Per dimostrare che la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale 180° facciamo
riferimento alla Figura 37.
Sia ABC un triangolo qualsiasi di cui indichiamo con a l’angolo nel vertice A, con b
l’angolo nel vertice B e con g l’angolo con vertice in C.
Portiamo una retta r parallela al lato BC passante per il punto A e notiamo che le due
rette parallele (r e la retta su cui giace il lato BC) sono tagliate da due trasversali di cui
una è il lato AB e l’altra il lato AC del triangolo. I due angoli in A consecutivi a a, cioè
i due angoli b’ e g’ sono rispettivamente alterni interni di b e di g e quindi sono uguali ad essi. Perciò la somma degli angoli interni del triangolo è uguale alla somma dei tre
angoli consecutivi a, b’ e g’ situati nel vertice A, la cui somma è 180° perché il primo
e l’ultimo lato dei tre angoli consecutivi giacciono sulla stessa retta r.
Relazioni fra i lati
Un’importante relazione che lega i lati di un triangolo è che un lato è sempre minore
della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.
Per dimostrare questo teorema, dobbiamo ricordare alcune nozioni già viste in precedenza e cioè:
•
come si effettua la somma e la differenza di due segmenti
•
che in un triangolo ad angolo maggiore si oppone lato maggiore
•
che in un triangolo isoscele gli angoli opposti ai lati uguali sono uguali
Con riferimento quindi alla Figura 38, sia ABC un triangolo qualsiasi.
Dimostriamo, per primo, che uno dei suoi lati13, per esempio AB, è minore di AC+BC.
Portiamo sul prolungamento di AC un segmento CB’ uguale BC. Il segmento AB’ è
dunque uguale alla somma di AC+BC. Dimostreremo quindi che AB è minore di AB’.
Congiungiamo B con B’ e notiamo che il triangolo BCB’, per come è stato costruito, ha
i lati BC e CB’ uguali, quindi è un triangolo isoscele in cui gli angoli a adiacenti ai lati
uguali sono uguali. Inoltre, il lato BB’ è esterno al triangolo ABC perché congiunge il
vertice B con un punto B’ esterno al triangolo, per cui l’angolo a nel vertice B (e quindi anche quello nel vertice B’) è minore di b+a. Poiché nel triangolo ABB’ all’angolo
a nel vertice B’ si oppone il lato AB mentre all’angolo a+b nel vertice B si oppone il
lato AB’ e all’angolo minore si oppone lato minore, deve essere AB minore di AB’, ossia minore di AC+BC, come volevasi dimostrare.
Questo teorema è un esempio di una dimostrazione razionale di un fatto che sembra ovvio. Infatti è nel subconscio di tutti che, dovendosi spostare da un punto A ad un punto
B, la via più breve è quella diretta AB e nessuno si sognerebbe di seguire il percorso AC
e poi CB, ma se si dovesse spiegare perché bisognerebbe ricorrere alla razionalità della
geometria per farlo.
13
Per maggiore validità della dimostrazione scegliamo il lato maggiore.
Vertici: A − B − C
A
Lati: AB − BC − AC
a
Angoli: CÂB − AB̂C − BĈA
BC opposto a A
g
AC opposto a B
b
C
B
AB opposto a C
A lato maggiore si oppone angolo maggiore
A lati uguali si oppongono angoli uguali Figura 32 ‐ Triangolo A
M2
H2
C
O
H1
A
A
b2
M3
G
H3
B
O = Ortocentro
C
M1
G = Baricentro
B
C
b3
I
b1
I = Incentro
Figura 33 – Altezze – Mediane ‐ Bisettrici B
A
A
A
C
B
C
B
C
B
Equilatero
q
Isoscele
Scaleno
AB = BC = AC
AB = AC ≠ BC
AB ≠ BC ≠ AC
Figura 34 – Classificazione secondo i lati Equilateri
Isosceli
Scaleni
•
•
•
•
Tutti i lati uguali
Tutti gli angoli uguali
Altezze mediane e bisettrici uguali
Altezze mediane e bisettrici coincidenti
• Due lati uguali
• Due angoli uguali
• Un’altezza coincidente con mediana e bisettrice • Tutti i lati diversi
Tutti i lati diversi
• Tutti gli angoli diversi
• Altezze, mediane, bisettrici diverse, non coincidenti
Figura 35 – Proprietà dei triangoli A
A
C
Cateto
A
C
B
C
B
Tutti g
gli angoli
g acuti
Un angolo
g
ottuso
Acutangolo
Ottusangolo
C
Cateto
Un angolo
g
retto
Triangolo Rettangolo
Figura 36 – Classificazione secondo gli angoli r // BC
r
A
g’
g
b’
b
a
AB trasversale
b b’ alterni interni
b=b’
AC trasversale
g
C
g=g’ alterni interni
b
B
B
a+b+g=a+b’+g’
b
b’ ’
a+b’+g’=180°
Figura 37 – Somma degli angoli interni BC=CB’ AB’=AC+BC
B’
a
C
AB<AB’
BCB’ iisoscele
l a=a
B’ esterno a<a+b
b
A
a
AB’ opposto a a+b
B
AB opposto a a
AB<AB’ AB<AC+BC
Figura 38 – Relazione fra i lati AB < AC + BC