Condizione necessaria di derivabilità
f : D  R R se f è derivabile in x0 allora f è continua in x0
Dimostrazione
f x   f x 0 
 f x 0  R
se f è derivabile in x0 allora: Lim
x  x0
x  x0
 f x   f x 

0
Lim f x   f x 0   Lim 
 x  x 0 
x  x0
x  x 0 
 x  x 0

 

 f x   f x 
0
 Lim x  x 0   f x 0  Limx  x 0   0
Lim 
x  x0
x  x 0 

 x  x 0
 x  x0





Lim f x   f x 0   0  Lim f x  f x 0 
x  x0
x  x0



1
Continuità e derivabilità
f è derivabile nel punto x0  f è continua nel punto x0
la derivabilità è condizione sufficiente per la continuità

f è non continua nel punto x0  f è non derivabile nel punto x0
la continuità è condizione necessaria per la derivabilità

2
esempio

f x  x

f x   f 0  0
x  0 Lim
x 0
f è continua nel punto x  0
f x   f 0
Lim

x0
x
x  0
Lim
 1

x0
x


f x   f 0
Lim

x0
x
x  0
Lim
 1
x0
x
f 0  f 0


f non è derivabile nel
punto x  0


3
esempio

f x   f 0  0
f x   3 x x  0 Lim
x 0



f è continua nel punto x  0
f x   f 0
Lim

x0
x
3
x 0

Lim
 
x0
x
f x   f 0
Lim

x0
x
3
x 0
Lim
 
x0
x
f 0  f 0 ma  R


f non è derivabile nel
punto x  0


4
Punti di non derivabilità
f : D  R R
se f è continua in x0 non è detto che f sia derivabile in x0
f x 0  h  f x 0 
x0 è un punto di flesso
se Lim
   a tangenza verticale
h0
h
f x  h  f x 
f x  h  f x 
Lim
 
Lim
h0
0
0
h
0
 
h0
0
h


x0
flesso a tangenza verticale
discendente

x0
flesso a tangenza verticale
ascendente
5
Punti di non derivabilità
f : D  R R
se f è continua in x0 non è detto che f sia derivabile in x0
f x 0  h  f x 0 
f x 0  h  f x 0 
se Lim
  e Lim
 
h0
h0
h
h
x0 è una cuspide (punto di massimo)

Cuspide (punto di massimo)
x0
6
Punti di non derivabilità
f : D  R R
se f è continua in x0 non è detto che f sia derivabile in x0
f x 0  h  f x 0 
f x 0  h  f x 0 
se Lim
  e Lim
 
h0
h0
h
h
x0 è un punto di cuspide (punto di minimo)

Cuspide (punto di minimo)
x0
7
Punti di non derivabilità
f : D  R R
se f è continua in x0 non è detto che f sia derivabile in x0
f x 0  h  f x 0 
f x 0  h  f x 0 
se Lim
 L1 e Lim
 L2 L1  L2
h0
h0
h
h
ed almeno uno dei due limiti sia finito, allora x0 è un punto
angoloso
x0
x0
x0
8
esercizio
ffa,
a
b
ax  b x  0 Determinare a e b in modo che f sia
  x
x
1 x  0 continua e derivabile su tutto R. Per tali
e 1
valori disegnare la funzione e
disegnare inoltre: f x ; f  x ; f  x 

continuità in 0
Lim f x   f 0  Lim f x 
x0
x0
x 
Lim ax  b  b  f 0 Lim e 1  0  b  0
x0
x0
f continua
 in 0
a x  0
f a   x
e x  0

se
b  0  a

derivabilità in 0
se
f 0  f 0  f 0  R
9
esercizio
a
x0
f a, b   x
e x  0
f 0  a
f 0  f 0  f 0  R
f 0  e0  1  a  1

f 
derivabile in 0 se
b  0  a  1


x0
x
f x   x
e 1 x  0

10
x0
x
f x    x
e 1 x  0
fffxx



11
Importante osservazione
ricordiamo che
Lim f x   L  R 
xx
Limf x  L
x  x0
f x   L

0
 0 Lim
f x  L  o1
0
x  x0
1
per x x 0
se f è derivabile
ricava che:
 in x0 allora si 
f x 
 f x 0 
f x   f x 0 


 f x 0  o1
Lim
 f x 0 
x  x0
x

x
x  x0
0
per x  x 0
da cui si ricava:
f x  f x 0 
 f 
x 0 x  x 0  ox  x 0 
per x  x 0
se f è derivabile in x0 allora la variazione assoluta f x   f x 0 
è un infinitesimo di ordine maggiore o uguale al primo
rispetto a x  x 0 per x x 0
12
Esempi
f x   3 x
in x  0 f x   f 0  3 x  0  x1/ 3
f x   f 0 per x 0 è un infinitesimo di ordine 1/3 rispetto a x
 che f non è derivabile
dacui si ricava
in x  0
in x  1 gx  g1  x 1  0   x 1

gx   g0 per x 1 è un infinitesimo di ordine 1/2 rispetto a x 1
gx  
1/ 2
x 1


da cui si ricava che g non è derivabile in x  1


13
Teorema: derivazione della funzione inversa
f : I  R R f continua e strettamente monotona in I
Se f è derivabile in x0 appartenente ad I e f x 0   0


1
1 

allora esiste f  f x 0  e si ha: f  f x 0  
f x 0 

f
1



f 1 
y  mx  q
1
m
m
x
0
y  mx  q

14
Esercizio


f x  e x  2 in I  0; 2
Calcolare la derivata della funzione inversa in f 1  e  2
f x  è un monotona in senso stretto in I
e x1  2  e x2  2  e x1  e x2  x1  x 2
1
f x   e x  f 1  e  0
in f 1  e  2
da cui si
ricava che la funzione inversa è derivabile
1


f  f 1  e
1

15
Esercizio


f x  e x  2 in I  0; 2


Im f  1; e 2  2
y  e x  2  e x  y  2  ln ex  ln y  2  x  ln y  2
Scambio
di variabili:  y  ln x  2



f 1x  lnx 
 2


in I  1; e 2
2
1
1
1

1 

f  x  x  2  f  e  2  e  2  2  e

1

16