Il lavoro meccanico
Il lavoro di una forza costante
Per spostare oggetti, produrre deformazioni, e più in generale per modificare i sistemi fisici
occorrono le forze. Se però consideriamo, per esempio, un pezzo di legno che galleggia nelle acque
ferme di uno stagno vediamo che sono presenti delle forze (il peso e la spinta di Archimede) ma il
sistema non cambia configurazione perché non vi sono spostamenti. Nel caso invece di una valanga
che rotola a valle lungo un pendio innevato abbiamo sia forze che spostamenti. Dunque, affinché
una forza possa modificare un sistema fisico, bisogna che il corpo a cui è applicata sia soggetto ad
uno spostamento. Inoltre tale spostamento deve essere parallelo alla forza applicata, altrimenti
significa che non è stato causato da quella forza. Nel caso in cui forza e spostamento non siano
paralleli solo la componente della forza parallela allo spostamento sarà responsabile del
cambiamento nel sistema.
In base a queste considerazioni introduciamo una nuova grandezza fisica: il lavoro meccanico
definita nella seguente maniera: il lavoro compiuto da una forza che sposta il proprio punto di
applicazione di un certo tratto è dato dal prodotto della componente della forza parallela allo
spostamento per lo spostamento stesso. Se la forza e lo spostamento formano un angolo maggiore
di 90˚ la componente parallela della forza e lo spostamento hanno versi opposti e il lavoro è
negativo (lavoro resistente). Il lavoro meccanico si indica con la lettera L; se indichiamo con s lo
spostamento del punto di applicazione della forza e con F║ la componente della forza parallela a
tale spostamento avremo: L = F║·s. L’unità di misura del lavoro nel SI è il newton × metro, a cui si
è dato il nome di joule (J), in onore del grande fisico inglese James Prescott Joule (1818 – 1889).
Il lavoro di più forze
Quando sullo stesso corpo agiscono più forze il lavoro compiuto da una singola forza non è
influenzato dalle altre forze agenti. Il lavoro totale eseguito sul corpo si può quindi ottenere in due
modi equivalenti:
1)
si calcola dapprima la risultante e poi il lavoro della risultante
2)
si calcolano separatamente i lavori di tutte le forze agenti sul corpo e poi si sommano
Il lavoro di una forza non costante
Finora abbiamo considerato forze costanti durante lo spostamento del corpo. Nel caso della molla
questo non accade: quando una molla compressa si distende, man mano che la sua lunghezza si
avvicina al valore di equilibrio l’intensità della forza diminuisce. Per calcolare il lavoro in questo
caso prendiamo dunque un sistema di assi cartesiani in cui sulle ascisse poniamo lo spostamento e
sulle ordinate la forza.
Il caso di forza costante è rappresentato da un segmento orizzontale e il lavoro è dato dal prodotto
forza × spostamento, cioè dall’area compresa tra tale segmento e l’asse delle ascisse. Questa
osservazione ci permette di generalizzare la definizione di lavoro al caso di una forza non costante:
nel caso di forza non costante il lavoro è dato dall’area compresa tra la curva della forza e
l’asse degli spostamenti in un grafico spostamento – forza. Nel caso della molla l’intensità della
forza è direttamente proporzionale allo spostamento: F = k·s. La forza è rappresentata da una retta
passante per l’origine e l’area sottesa da questa curva è l’area del triangolo rettangolo avente per
1
1
cateti lungo s e k·s: L = s × ks = ks 2 .
2
2
Il lavoro meccanico nel quotidiano
La parola lavoro (come forza, velocità… e a differenza di quantità di moto, velocità angolare…) è un
termine della fisica che è adoperato anche nella vita di tutti i giorni, ma il significato con cui viene
solitamente usato è quello corretto dal punto di vista della meccanica? Consideriamo il “lavoro” fatto per
trasportare una pesante valigia: a giudicare dalla nostra stanchezza diremmo di aver fatto un gran lavoro, ma
la fisica ci dice che tale lavoro è esattamente zero. Infatti la forza che il braccio esercita per sostenere la
valigia è diretta verticalmente verso l’alto mentre lo spostamento avviene in direzione orizzontale. [Tuttavia
la sensazione di fatica che sperimentiamo ha una ben precisa origine. Infatti per sostenere la valigia le fibre
muscolari del braccio si contraggono e si rilasciano periodicamente dando luogo a numerosi e impercettibili
spostamenti nella stessa direzione delle forze prodotte. Il lavoro delle fibre è quindi dato dalla somma dei
prodotti delle forze da esse sviluppate per i piccolissimi spostamenti: da qui la fatica che proviamo nel
sostenere la valigia.
Un altro caso abbastanza sorprendente è quello della forza centripeta necessaria per mantenere un peso
legato ad un filo su una traiettoria circolare, come nel lancio del martello. Anche in questo caso il lavoro
compiuto è nullo, infatti la forza è diretta lungo il raggio della circonferenza ed è perciò perpendicolare allo
spostamento in ogni punto (naturalmente questo non significa che un atleta possa lanciare il martello a 80
metri senza compiere lavoro, il lavoro in questo caso viene compiuto per fare acquisire all’attrezzo
inizialmente fermo la velocità angolare che possiede prima di essere lasciato!)
Verifiche di comprensione
1.
2.
3.
4.
5.
Che cosa occorre, oltre a delle forze, per modificare un sistema fisico?
Come è definito il lavoro meccanico?
Quali sono le unità di misura nel SI del lavoro?
Quanto vale il lavoro di una forza che sia perpendicolare allo spostamento del corpo a cui è applicata?
Come dipende il lavoro di una forza applicata ad un certo corpo dalla presenza di altre forze sullo stesso
corpo?
6. Come si può calcolare il lavoro totale eseguito su un corpo quando su di esso agiscono più forze?
7. Come si può rappresentare graficamente il lavoro di una forza costante?
8. Come si può rappresentare graficamente il lavoro di una forza non costante?
9. Come si rappresenta graficamente la forza di una molla?
10. Come si calcola il lavoro di una molla?
11. Quanto vale il lavoro di una molla?
12. Fai un esempio di situazione in cui nella vita quotidiana si parla di ‘lavoro’ ma l’effettivo lavoro
meccanico è zero.
Verifiche di conoscenza
1. Indica in quali tra i seguenti casi il lavoro compiuto da una forza F agente su un corpo non è
necessariamente nullo:
a. la risultante delle forze che agiscono sul corpo è zero
b. la forza forma con lo spostamento un angolo di 270˚
c. il corpo si muove con velocità costante
d. nessuna delle forze che agiscono sul corpo è parallela allo spostamento
e. tutte le forze che agiscono sul corpo sono perpendicolari allo spostamento
2. Quali tra le seguenti unità sono equivalenti al joule?
N m
N
a.
c. m 3 ⋅ 2
⋅
s s
m
2
m
m
d. kg ⋅ 2
b. N ⋅ 2
s
s
3. Una forza F diretta lungo l’orizzontale agisce su un corpo di massa m appoggiato su un piano
orizzontale senza attrito spostandolo orizzontalmente di un tratto s e compiendo un certo lavoro.
In quali tra le seguenti situazioni il lavoro compiuto è lo stesso?
a. la forza viene raddoppiata in intensità e inclinata di 60˚ rispetto all’orizzontale mentre lo
spostamento resta invariato
b. la forza viene raddoppiata, la massa dimezzata, lo spostamento rimane invariato
c. tanto la forza quanto lo spostamento vengono raddoppiati
d. la forza viene inclinata di 60˚ rispetto all’orizzontale e lo spostamento viene raddoppiato
r r r
r
4. Un corpo, sotto l’azione di tre forze: F1 , F2 , F3 , compie uno spostamento s . Quali tra i
seguenti sono procedimenti corretti per calcolare il lavoro totale eseguito sul corpo?
a. si calcolano i moduli delle tre forze, si sommano tra loro, si moltiplicano per lo spostamento
r
r
r
b. si suddivide s in tre parti uguali, si calcola il lavoro di F1 sulla prima parte, il lavoro di F2
r
sulla seconda, il lavoro di F3 sulla terza e poi si sommano i tre contributi
c. si calcolano le componenti delle tre forze parallele allo spostamento, si sommano tra loro e
si moltiplica il risultato per lo spostamento
r
r
r
d. si calcola dapprima il lavoro della risultante tra F1 e F2 , poi il lavoro di F3 e infine si
sommano i due contributi
5. La rappresentazione grafica del lavoro di una forza è:
a. la lunghezza del segmento che rappresenta lo spostamento in un grafico in cui sull’asse x è
riportata la forza e sull’asse y lo spostamento
b. l’area compresa tra il grafico della legge oraria e l’asse dei tempi
c. l’area compresa tra la curva della forza e l’asse delle ascisse in un grafico in cui sull’asse x è
riportato lo spostamento e sull’asse y la forza
d. il prodotto della massa per l’accelerazione in un grafico accelerazione – tempo
6. Una molla, allungata di 10,0 cm compie un certo lavoro. Di quanto deve essere allungata per
compiere un lavoro doppio?
a. 20 cm
b. 5 cm
c. 40 cm
d. 14,1 cm
Problema svolto 1 – Dipendenza del lavoro compiuto da una forza dalla sua componente parallela allo
spostamento
r
Confronta il lavoro compiuto da una forza F1 di 1500 N inclinata di 20˚ rispetto all’orizzontale che produce,
su un corpo appoggiato su un piano orizzontale senza attrito, uno spostamento di 2,510 m in direzione
r
orizzontale, con il lavoro compiuto da una forza F2 di 1550 N inclinata di 25˚ rispetto all’orizzontale che,
applicata allo stesso corpo, produce lo stesso spostamento.]
Scriviamo i dati del problema
Modulo della prima forza: F1 = 1500 N
Direzione della prima forza: θ1 = 20˚ con l’orizzontale
Modulo della seconda forza: F2 = 1520 N
Direzione della seconda forza: θ2 = 25˚ con l’orizzontale
Spostamento (in entrambi i casi): s = 2,510 m in orizzontale
Incognite
Lavoro L1 della prima forza
Lavoro L2 della seconda forza
Analisi e soluzione
Forza parallela allo spostamento nel primo caso: F1║ = F1·cos(θ1) = 1500 N · cos(20˚) = 1409 N
lavoro nel primo caso: L1 = F1║·s = 1409 N · 2,510 m = 3537 J
forza parallela allo spostamento nel secondo caso: F2║ = F2·cos(θ2) = 1550 N · cos(25˚) = 1405 N
Lavoro nel secondo caso: L2 = F2║·s = 1405 N · 2,510 m = 3527 J
Quindi la prima forza, sebbene di minore intensità compie un lavoro maggiore.
Problema svolto 2 – Confronto del lavoro di più forze calcolato come somma dei
lavori di ciascuna forza e del lavoro calcolato con la risultante delle forze
Un corpo di massa 12,0 kg scivola senza attrito lungo un piano inclinato di 30˚ rispetto
all’orizzontale per un tratto di 5,00 m. Calcola il lavoro totale eseguito sul corpo
dapprima come lavoro della risultante e poi come somma dei lavori di tutte le forze agenti sul corpo.
Scriviamo i dati del problema
Massa del corpo: m = 12,0 kg
Inclinazione del piano: θ = 30˚ sull’orizzontale
Lunghezza del piano: s = 5,00 m
Incognita
Lavoro totale L eseguito sul corpo (calcolato in due modi)
Analisi e soluzione
Le forze che agiscono sul corpo sono la forza peso FP = m ⋅ g = 12,0 kg ⋅ 9,8
N
= 118 N diretta
kg
verticalmente verso il basso e la reazione R diretta perpendicolarmente al piano. La componente F┴ del peso
e la reazione R si annullano tra loro; la risultante è quindi la componente del peso parallela al piano: F║ =
FP · sin(θ) = 118 N · sin(30˚) = 59,0 N. Il lavoro della risultante è L = F║ · s = 59,0 N · 5,00 m = 295 J.
Passiamo a calcolare il lavoro totale come somma dei contributi delle forze agenti su di esso. Il contributo LR
della reazione è zero (forza e spostamento perpendicolari). Poiché la forza peso forma un angolo di 60˚ con
lo spostamento LP=FP·cos(60˚)·s=118 N·0,500·5,00 m=295 J. Quindi L=LR+LP=0+295 J=295 J.
Problemi
1. Calcola il lavoro compiuto dalla forza peso su un corpo di massa 8,00 kg che cade per un tratto di 6,20 m
2. Un pallone di massa 0,400 kg viene calciato verso l’alto, raggiunge una altezza di 8,68 m e poi ricade a
terra. Quanto vale il lavoro eseguito dalla forza peso sul pallone durante la fase di salita? E durante la
fase di discesa?
3. Un ragazzo trascina una slitta sulla neve con una funicella che forma un angolo di 34˚ con l’orizzontale.
È presente una forza di attrito di 3,1 N e la slitta si muove di moto rettilineo uniforme con una velocità di
0,8
m
. Quanto vale il lavoro compiuto dal ragazzo in 2,5 s? (Suggerimento: se la slitta si muove di moto
s
rettilineo uniforme significa che… quindi la componente della forza in direzione orizzontale deve
essere…. Lo spostamento, poi, conoscendo tempo e velocità si calcola…)
4. Un corpo appoggiato su un piano orizzontale viene trascinato per 4,5 m da una forza di 6,7 N; tra corpo e
piano è presente una forza di attrito di 4,7 N. Quanto vale il lavoro totale eseguito sul corpo?
5. Un corpo di 5,0 kg di massa scivola su un piano inclinato di un angolo di 40˚ rispetto all’orizzontale per
1,0m. Se il coefficiente di attrito dinamico tra il corpo e il piano è 0,25 quanto vale il lavoro totale
compiuto sul corpo?
6. Un sistema di ammortizzatori è formato da due molle uguali di costante elastica k = 400
N
disposte
m
parallelamente. Che lavoro viene compiuto quando le molle si comprimono di 12,0 cm?
7. Un corpo di massa 22,5 kg è fissato alla sommità di un piano inclinato di 52˚ rispetto all’orizzontale
tramite una molla di costante elastica k = 112
N
. Tra il corpo e il piano di appoggio non vi sono attriti.
m
Inizialmente la molla è nella sua posizione di equilibrio. Che lavoro viene compiuto sul corpo quando è
sceso di 0,680 m?
8. Un corpo appoggiato su un piano orizzontale privo di attrito è fissato all’estremità di una molla
inizialmente a riposo di costante elastica k = 48,0
N
. Il corpo viene trascinato per 16 cm da una forza
m
costante di 20 N. Che lavoro viene compiuto sul corpo? (Suggerimento: dato che la forza della molla
non è costante in questo caso calcolare il lavoro della risultante non è certo la strada più veloce…)
9. Un corpo è collegato a due molle di costanti elastiche 95 e 65 N/m e rispettivamente Se si sposta il
corpo dalla posizione di riposo di 50 cm verso destra quanto vale il lavoro compiuto dalle molle?
Energia cinetica
L’energia cinetica
Un corpo di massa m che si muove con una certa velocità v urtando contro una molla bloccata ad
una estremità e inizialmente a riposo la comprime, cioè provoca un lavoro meccanico da parte della
molla. Descriviamo questa proprietà del movimento dei corpi mediante una nuova grandezza fisica
che chiamiamo energia cinetica. Essa dipende sia dalla massa che dalla velocità del corpo, ed è
1
definita dalla relazione: E c = mv 2
2
m2
L’energia cinetica è una quantità scalare sempre positiva. La sua unità di misura nel SI è il kg ⋅ 2
s
2
m

 m
che equivale al joule. Infatti 1 J = 1 N ⋅ 1 m = 1 kg ⋅ 1 2  ⋅ 1 m = 1 kg ⋅ 1 
s 

 s
Energia cinetica di un sistema di corpi
L’energia cinetica di un sistema di due o più corpi è definita come la somma delle energie cinetiche
dei corpi costituenti il sistema: per ottenere l’energia cinetica di un sistema di più corpi si
calcolano dapprima le energie cinetiche di ognuno dei corpi del sistema presi singolarmente e
poi si sommano tutti i contributi.
Il teorema delle forze vive
Per trovare la relazione tra il lavoro eseguito su un corpo e l’energia cinetica che acquista
consideriamo un corpo di massa m inizialmente a riposo su cui agisce una forza costante F. Esso si
F
1
muove con una accelerazione costante a = . Dopo un tempo t ha percorso il tratto s = at 2 e ha
m
2
raggiunto la velocità v = a·t. Il lavoro eseguito sul corpo è quindi dato da:
1
1
1
 1
2
L = F ⋅ s = (m ⋅ a ) ⋅  at 2  = ma 2 t 2 = m(at ) = mv 2 = E c .
2
2
2
 2
Cioè l’energia cinetica acquisita da un corpo è uguale al lavoro compiuto su di esso. Questo
risultato costituisce il teorema delle forze vive (o teorema dell’energia cinetica), che nella sua
forma più generale si enuncia così: il lavoro compiuto su un corpo dalla risultante delle forze
agenti su di esso è uguale alla variazione della sua energia cinetica.
Osserviamo che il lavoro compiuto su un corpo può essere positivo, negativo o nullo. Quest’ultimo
è il caso del moto circolare uniforme, in cui la forza centripeta è perpendicolare allo spostamento; in
accordo con il teorema delle forze vive nel moto circolare uniforme l’energia cinetica non varia.
Esempio 1 – Applicazione del teorema delle forze vive per il calcolo della velocità finale di un mobile
Su un corpo di massa 3,0 kg appoggiato su un piano orizzontale senza attrito agisce una forza orizzontale di
13 N per un tratto di 1,8 m. Quanto vale la velocità finale del corpo?
Scriviamo i dati del problema
Massa del corpo: m = 3,0 kg
Forza applicata: F = 13 N
Lunghezza del tratto di applicazione: s = 1,8 m
Incognita
Velocità finale v del corpo
Analisi e soluzione
Il lavoro compiuto sul corpo è L = 13 N · 1,8 m = 23 J. Per il teorema delle forze vive questo lavoro è uguale
all’energia cinetica acquistata dal corpo. Quindi possiamo scrivere:
23 J =
1
⋅ 3,0 kg ⋅ v 2 , da cui v =
2
2 ⋅ 23 J
m
= 3,9
3,0 kg
s
L’energia cinetica nel quotidiano
Come abbiamo visto l’energia cinetica dipende tanto dalla massa del corpo in movimento che dalla sua
velocità. Questo fa sì che si possano avere situazioni in cui l’energia in gioco è molto alta anche per corpi di
piccola massa; basta che la velocità sia sufficientemente elevata. Consideriamo ad esempio un piccolo pezzo
meccanico (per esempio una vite) della massa di 1 g staccatosi durante una manovra che orbita alla stessa
quota dello Space Shuttle: esso si muove con una velocità di 7,7 ⋅ 10 3
m
. La sua energia cinetica vale
s
2
m
1

quindi: E c (frammento) = ⋅ 10 −3 kg ⋅  7,7 ⋅ 10 3  = 3,0 ⋅ 10 4 J . Per farci un’idea della grandezza di
2
s

questa energia confrontiamola con quella di una lavatrice di 250 kg che cade dal terzo piano (h = 10 m). La
velocità con cui arriva a terra è data dalla formula v =
2 gh = 2 ⋅ 9,8
m
m
⋅ 10 m = 14 a cui corrisponde
2
s
s
2
1
 m
una energia cinetica E c (lavatrice) = ⋅ 250 kg ⋅ 14  = 2,5 ⋅ 10 4 J : cioè minore di quella del
2
 s
frammento! Questo è il motivo per cui le principali agenzie spaziali prestano estrema attenzione al problema
dei detriti spaziali, o Space Debris, vera e propria “spazzatura” lasciata su orbite incontrollate durante le
missioni che ormai si susseguono da vari decenni, che possono rappresentare seri rischi per le attività umane
nello spazio.
Verifiche di comprensione
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Come è definita l’energia cinetica di un corpo?
Quale è l’unità di misura dell’energia cinetica nel SI?
Dimostra che l’unità di misura dell’energia cinetica e quella del lavoro meccanico sono equivalenti.
Come è definita l’energia cinetica di un sistema di corpi?
Come si calcola l’energia cinetica di un sistema di corpi?
Che cosa accade ad un corpo inizialmente in quiete sul quale agisce una forza costante per un certo
intervallo di tempo?
7. Che relazione passa tra l’energia cinetica acquisita dal corpo e il lavoro eseguito su di esso?
8. Enuncia e dimostra il teorema delle forze vive.
9. Che cosa accade se il lavoro compiuto su un corpo è negativo?
10. Che cosa accade se la forza che agisce su un corpo è perpendicolare alla sua traiettoria?
Verifiche di conoscenza
1. Per raddoppiare l’energia cinetica di un corpo devo:
a. raddoppiarne tanto al massa quanto la velocità
b. raddoppiarne la velocità
c. dimezzarne la massa e raddoppiarne la velocità
d. raddoppiarne la massa e dimezzarne la velocità
2. Disponi in ordine di energia cinetica crescente i seguenti corpi in movimento:
a. un uomo che corre
b. una locomotiva ferma
m
)
c. una automobile che fa marcia indietro molto lentamente ( v < 1
s
d. una pallottola di pistola
3. Indica tra le seguenti le affermazioni corrette. In un sistema di corpi:
a. Se l’energia cinetica è zero anche la quantità di moto è zero
b. Se la quantità di moto è zero anche l’energia cinetica è zero
c. Affinché l’energia cinetica sia zero bisogna che la somma vettoriale di tutte le velocità sia
zero
d. Affinché l’energia cinetica sia zero bisogna che la somma dei moduli di tutte le velocità sia
zero
4. Indica tra le seguenti la procedura corretta per il calcolo dell’energia cinetica di un sistema di
corpi:
a. per ognuno dei corpi calcolare il modulo del vettore velocità, elevarlo al quadrato,
moltiplicare per la massa e dividere per due; poi sommare tutti i contributi
b. per ognuno dei corpi moltiplicare il vettore velocità per la massa e dividere per due; poi fare
la somma vettoriale di tutti i contributi e infine calcolare il modulo del vettore così ottenuto
ed elevarlo al quadrato
c. fare la somma dei moduli di tutte le velocità ed elevarla al quadrato; poi moltiplicare il
risultato per la somma di tutte le masse e dividere per due
d. fare la somma vettoriale di tutte le velocità, calcolare il modulo ed elevarlo al quadrato; poi
moltiplicare il risultato per la somma di tutte le masse e dividere per due
5. Sostituisci al posto dei puntini il vocabolo o l’espressione adeguata scelto tra alcuni di quelli
indicati: La differenza tra … e quella … di un corpo è pari … della … delle … agenti sul corpo.
(forze, la velocità, la massa, al lavoro, l’energia cinetica, l’energia cinetica iniziale, risultante,
l’accelerazione, finale, quantità di moto)
6. Indica tra le seguenti le affermazioni corrette:
a. se il lavoro compiuto sul corpo è zero il vettore velocità rimane costante
b. se il vettore velocità rimane costante il lavoro compiuto sul corpo è zero
c. se il lavoro compiuto sul corpo è zero la traiettoria può essere non rettilinea
d. se il lavoro compiuto sul corpo non è zero la traiettoria non può essere rettilinea
Problema svolto 1 – Confronto dell’energia cinetica di un sistema prima e dopo un urto
anelastico
m
Un vagoncino di massa 12,0 kg si sta muovendo con una velocità costante di 5,00
quando urta un altro
s
vagone avente la stessa massa fermo sul binario. Dopo l’urto i due vagoni restano attaccati. Calcola l’energia
cinetica del sistema prima e dopo l’urto.
Scriviamo i dati del problema
Massa comune dei due vagoni: m = 12,0 kg
Velocità del primo vagone prima dell’urto: vi = 5,00
m
s
Incognite
Energia cinetica del sistema prima e dopo l’urto
Analisi e soluzione
Prima dell’urto l’energia cinetica totale Ec è uguale a quella del primo vagone:
2
1
1
m

2
E c1 = mvi = ⋅ 12,0 kg ⋅  5,00  = 150 J poiché quella del secondo vagone è Ec2 = 0. Otteniamo la
2
2
s

velocità finale comune dalla conservazione della quantità di moto: m ⋅ vi = (m + m ) ⋅ v f cioè:
12,0 kg ⋅ 5,00
12,0 kg
m
m
m
= 24,0 kg ⋅ v f ; da cui: v f =
⋅ 5,00 = 2,50 . Le energie cinetiche finali dei
s
24,0 kg
s
s
2
due corpi che sono uguali e pari a: E c1 = E c 2
1
1
m

2
= mv f = ⋅ 12,0 kg ⋅  2,50  = 37,5 J ; quindi
2
2
s

l’energia cinetica finale Ec = Ec1 + Ec2 = 37,5 J + 37,5 J = 75,0 J è metà di quella iniziale.
Problema svolto 2 – Applicazione del teorema delle forze vive per il calcolo dello spazio di
frenata di un’automobile
Calcola quanto spazio occorre per fermarsi completamente da quando inizia a frenare, ad un’auto di massa
920 kg che ha una velocità di 90
km
sapendo che il coefficiente di attrito dinamico tra strada e pneumatici è
h
0,85.
Scriviamo i dati del problema
Massa dell’auto: m = 920 kg
Velocità iniziale: v = 90
km
m
= 25
h
s
Coefficiente di attrito dinamico: kd = 0,85
Incognita
Spazio s necessario all’auto per fermarsi completamente.
Analisi e soluzione
Utilizziamo il teorema delle forze vive per ricavare il tratto s durante il quale la forza di attrito ha prodotto
2
1
1
 m
lavoro resistente. L’energia cinetica iniziale è E c = mv 2 = ⋅ 920 kg ⋅  25  = 2,9 ⋅ 10 5 J e l’energia
2
2
 s
m
cinetica finale è zero. La forza di attrito vale: F = mg ⋅ k d = 920 kg ⋅ 9,8 2 ⋅ 0,85 = 7,7 ⋅ 10 3 N . La
s
variazione di energia cinetica dell’automobile è 0 – 2,9·105 J = – 2,9·105 J mentre il lavoro della forza di
attrito nel tratto s è dato da: L = – F·s = – 7,7·103 N · s (il segno meno è dovuto al fatto che la forza di attrito
ha direzione opposta rispetto allo spostamento). Dal teorema delle forze vive abbiamo:
– 2,9·105 J = – 7,7·103 N · s da cui: s =
− 2,9 ⋅ 10 5 J
= 38 m
− 7,7 ⋅ 10 3 J
Problemi
1. Calcola l’energia cinetica di un sasso di 0,253 kg scagliato con una velocità di 8,11
m
.
s
2. Calcola l’energia cinetica di un corpo di massa 2,50 kg che cade liberamente partendo da fermo per un
tratto di 1,00 m
3. Un sasso di massa 2,10 kg è legato all’estremità di un filo lungo 85,0 cm e viene fatto roteare con un
periodo di 2,76 s. Quanto vale la sua energia cinetica?
4. Tre uccelli uguali di massa 1,8 kg volano con velocità rispettive di: 12
direzione est, 14
m
m
in direzione nord, 10
in
s
s
m
in direzione nord – est. Quanto vale l’energia cinetica del sistema?
s
5. In seguito ad una esplosione un corpo di massa 8,0 kg si spezza in due frammenti, dei quali il primo ha
una massa di 3,6 kg ed acquista una velocità di 22
m
. Quanto vale l’energia cinetica del sistema?
s
6. Un ragazzo di massa 42 kg sta scivolando su uno slittino di massa 4 kg in un tratto orizzontale ad una
velocità di 8,2
m
, quando un altro ragazzo di massa 40 kg inizialmente fermo salta sullo slittino.
s
Quanto vale la variazione di energia cinetica del sistema? (Suggerimento: per calcolare la velocità finale
devi far ricorso alla conservazione della quantità di moto…)
7. Una pallina di gomma di massa 80 g cade da un’altezza di 1,0 m, rimbalza e risale fino ad una altezza di
0,83 m. Quanta energia ha perso durante l’urto con il pavimento? (Suggerimento: Dall’altezza iniziale
puoi calcolare con quale velocità la pallina tocca il pavimento, e dall’altezza finale puoi calcolare con
quale velocità riparte dopo il rimbalzo…)
8. Un corpo di massa 2,5 kg scivola giù per un piano con attrito inclinato di 30˚ rispetto all’orizzontale
lungo 6,0 m. Inizialmente il corpo è fermo. Quanto vale la velocità finale acquisita dal corpo?
9. Un corpo di massa 2,5 kg scivola giù per un piano con attrito inclinato di 30˚ rispetto all’orizzontale
lungo 6,0 m. Inizialmente il corpo è fermo e alla fine ha una velocità di 5,2
m
. Quanto vale la forza di
s
attrito tra il corpo e il piano? (Suggerimento: scrivi il lavoro risultante sul corpo e poi applica il teorema
delle forze vive…)
10. Calcola il lavoro fatto dalla forza peso su un corpo di massa 2,50 kg che cade liberamente per un tratto di
1,00 m. Confronta il risultato con quello del problema 1.
11. Un corpo di massa 1,6 kg è, sopra un piano orizzontale senza attrito, appoggiato all’estremità libera di
una molla di costante elastica k = 120
la molla viene lasciata libera?
N
compressa di 20 cm. Quale velocità acquista il corpo quando
m
L’energia potenziale
Il lavoro della forza peso
Due libri uguali sono appoggiati su due scaffali ad altezza diversa di una libreria. Se cadono,
arrivano sul pavimento con energie cinetiche diverse. Il libro posto più in alto, anche se non
possiede di fatto una maggiore energia rispetto all’altro (sono infatti entrambi fermi),
potenzialmente la possiede, infatti cadendo acquisirà una maggiore energia cinetica..
Potenzialmente significa che tale energia si manifesta solo a patto che si verifichino certe particolari
condizioni (il fatto che il libro cada giù dallo scaffale). Ci domandiamo allora se a partire dalla
posizione iniziale del libro sia possibile calcolarne l’energia cinetica finale.
Esempio 1 – Applicazione del teorema delle forze vive per il confronto dell’energia cinetica
finale di un corpo quando scende lungo un piano inclinato rispetto a quando cade liberamente
Un corpo di massa 3,25 kg si trova alla sommità di un piano inclinato senza attrito alto 40,0 cm e lungo 80,0
cm. Prima il corpo viene fatto scivolare lungo il piano inclinato, poi viene riportato nella posizione iniziale e
fatto cadere liberamente. Calcola l’energia cinetica posseduta dal corpo quando tocca terra nei due casi.
Scriviamo i dati del problema
Massa del corpo: m = 3,25 kg
Altezza del piano inclinato: h = 40,0 cm = 0,400 m
Lunghezza del piano inclinato: l = 80,0 cm = 0,800 m
Incognite
Energia cinetica finale nei due casi (moto lungo il piano e caduta libera)
Analisi e soluzione
In entrambi i casi applichiamo il teorema delle forze vive: poiché il corpo parte da fermo la sua energia
cinetica finale è data dal lavoro della risultante delle forze agenti su di esso.
Primo caso (moto lungo il piano).
La forza risultante agente sul corpo è la componente del peso parallela al piano:
F = mg ⋅
h
m 0,400 m
= 3,25 kg ⋅ 9,81 2 ⋅
= 15,9 N . Il lavoro è quindi: L = F·s = 15,9 N · 0,800 m = 12,7 J.
l
s 0,800 m
Secondo caso (caduta libera). In questo caso la forza che agisce sul corpo è solo il suo peso:
L = (mg ) ⋅ h = 3,25 kg ⋅ 9,81
m
⋅ 0,400 m = 12,7 J . Le due energie cinetiche sono uguali.
s2
Nell’esempio 1 vediamo che l’energia cinetica acquistata dal corpo alla fine della discesa non
dipende dal percorso seguito dal corpo. Ciò è vero anche se noi scegliamo una diversa inclinazione
per il piano e anche se facciamo scendere il corpo lungo uno scivolo dal profilo non rettilineo. In
generale: il lavoro eseguito dalla forza peso su un corpo che compie un qualsiasi spostamento
non dipende dal percorso seguito per andare dalla posizione iniziale a quella finale, ma solo
dal dislivello tra le due posizioni.
Forze conservative e forze dissipative
Non tutte le forze godono della proprietà che il lavoro non dipende dal percorso; la forza peso gode
di questa proprietà, altre forze no. Le forze che, come il peso, godono di questa proprietà si dicono
conservative, le altre dissipative. L’attrito è una forza dissipativa. Se un corpo percorre una
qualsiasi traiettoria in cui il punto iniziale e quello finale coincidono sotto l’azione di sole forze
conservative, la sua energia cinetica finale sarà uguale a quella che aveva all’inizio, se invece sono
presenti forze dissipative, l’energia cinetica finale sarà minore di quella iniziale.
Energia potenziale
Per una forza conservativa è possibile scrivere il lavoro eseguito durante lo spostamento di un corpo
in una forma che non dipende dai dettagli di tale spostamento. Poiché, per il teorema delle forze
vive, tale lavoro si trasforma interamente in energia cinetica, esso è una forma di energia chiamata
energia potenziale. Più precisamente: la differenza di energia potenziale tra due posizioni è il
lavoro della forza conservativa lungo un qualsiasi percorso che unisce le due posizioni.
L’energia potenziale di solito si indica con il simbolo Ep ed essendo omogenea all’energia cinetica e
al lavoro si misura in joule. Poiché esistono diversi tipi di forze conservative vi sono anche varie
forme di energia potenziale.
Energia potenziale gravitazionale
L’energia potenziale gravitazionale è quella relativa alla forza peso. Consideriamo un corpo di
massa m che passa da un’altezza h1 a h2. In base a quanto abbiamo visto nell’esempio 1 possiamo
considerare uno spostamento verticale (h1 – h2) parallelo alla forza m·g. L’energia potenziale
rispetto alla quota h2 è quindi data da: E p = mg ⋅ (h1 − h2 ) .
Energia potenziale elastica
Il lavoro compiuto da una molla di costante elastica k quando si allunga o si accorcia di un tratto s
1
rispetto alla propria posizione di equilibrio è L = ks 2 . Questa espressione rappresenta quindi
2
anche l’energia potenziale della molla. Inoltre, conoscendo la costante della molla e la sua energia
2E p
2E p
1
⇒s=
.
potenziale possiamo ricavare l’allungamento: E p = ks 2 ⇒ 2 E p = ks 2 ⇒ s 2 =
k
k
2
L’energia potenziale nel quotidiano
L’energia potenziale gravitazionale immagazzinata in una grande quantità di acqua posta ad una certa altezza
h trasforma in energia cinetica quando questa precipita a valle formando una cascata. Su questo semplice
principio si basa uno dei metodi comunemente usati per la produzione di elettricità. Se infatti alla base della
cascata mettiamo una turbina le cui pale sono messe in rotazione dall’acqua e a questa turbina colleghiamo
una speciale apparecchiatura in grado di trasformare l’energia cinetica in energia di tipo elettrico, avremo
realizzato una centrale idroelettrica.
Esempio 2 – Calcolo della variazione di energia potenziale di un corpo quando varia la sua
altezza rispetto a un livello di riferimento
Su un terrazzo posto a 4,00 m rispetto alla strada c’è un tavolo alto 80,0 cm. Quanto vale la variazione di
energia potenziale di un libro di massa 1,80 kg che cade giù dal tavolo?
Scriviamo i dati del problema
Massa del libro: m = 1,80 kg
Altezza del tavolo: h = 80,0 cm = 0,800 m
Altezza del terrazzo: H = 4,00 m
Incognita
Differenza di energia potenziale del libro nelle due posizioni
Analisi e soluzione
L’altezza iniziale del libro è: h1 = H + h = 4,00 m + 0,800 m = 4,80 m
L’altezza finale del libro è: h2 = H = 4,00 m
Applichiamo la formula: E p = mg ⋅ (h1 − h2 ) = 1,80 kg ⋅ 9,8
m
⋅ (4,80 m - 4,00 m ) = 14,1 J
s2
Notiamo che avremmo ottenuto esattamente lo stesso risultato anche considerando come livello di
riferimento il terrazzo anziché la strada; in tal caso sarebbe stato h1 = 0,800 m e h2 = 0.
Verifiche di comprensione
1. Se due oggetti sono in quiete ad altezze diverse, quale dei due ha maggior energia cinetica?
2. Se due oggetti inizialmente in quiete ad altezze diverse vengono fatti cadere liberamente fine a terra,
quale dei due avrà maggior energia cinetica alla fine della caduta?
3. Cosa significa che un corpo in quiete ad una certa altezza possiede potenzialmente una determinata
energia cinetica?
4. Se uno stesso corpo viene fatto scivolare da una certa altezza prima lungo un piano inclinato e poi lungo
un secondo piano inclinato più ripido del primo, entrambi senza attrito, in quale dei due casi acquisterà
maggior energia cinetica?
5. Come dipende l’energia cinetica acquisita da un corpo che scivola lungo un piano inclinato privo di
attrito dal profilo del piano?
6. Da che cosa dipende il lavoro della forza peso nello spostamento di un corpo tra due posizioni?
7. Che cosa significa che una forza è conservativa?
8. Che cosa significa che una forza è dissipativa?
9. Fai un esempio di forza conservativa ed uno di forza dissipativa.
10. Di quanto varia l’energia cinetica di un corpo che si muove su un percorso chiuso (punto di partenza
coincidente con il punto di arrivo) in presenza di sole forze conservative?
11. Che cos’è l’energia potenziale?
12. In quale unità nel SI viene misurata l’energia potenziale?
13. Come si definisce la differenza di energia potenziale tra due posizioni?
14. Come si calcola l’energia potenziale gravitazionale?
15. Come si calcola l’energia potenziale elastica?
Verifiche di conoscenza
1. Un corpo che inizialmente si trova sulla sommità di un piano inclinato senza attrito viene fatto
scivolare e alla fine della discesa ha una certa energia cinetica. Si vuole ripetere l’esperimento
in modo che acquisti una maggiore energia cinetica. Quali operazioni si possono fare a tal fine?
a. aumentare la massa del corpo
b. aumentare l’inclinazione del piano
c. aumentare l’altezza del piano diminuendo l’inclinazione
d. diminuire la massa del corpo
2. Su un corpo agiscono forze di diverso tipo. In presenza di quali forze il lavoro per spostarsi da
una posizione iniziale ad una finale non dipende dal percorso seguito?
a. peso e attrito
d. forza elastica, peso e attrito
b. forza elastica
e. forza elastica e attrito
c. forza elastica e peso
3. Sostituisci al posto dei puntini il vocabolo o l’espressione adeguata scelto tra alcuni di quelli
indicati: … della forza peso su un corpo che compie un qualsiasi … non dipende … per andare
dalla … iniziale a quella finale, ma solo dal … tra le due posizioni. (la forza, il lavoro, la massa,
al lavoro, dislivello, l’energia cinetica, posizione, dal percorso, velocità, dall’accelerazione,
finale, spostamento)
4. Scegli le risposte corrette. Un corpo percorre una traiettoria chiusa. La sua energia cinetica
finale:
a. è sempre minore di quella iniziale
b. se sul corpo agiscono forze conservative è sicuramente uguale a quella iniziale
c. se sul corpo agiscono solo forze conservative è sicuramente uguale a quella iniziale
d. è minore di quella iniziale solo se tra le forze agenti sul corpo ce ne è almeno una dissipativa
5. L’energia potenziale:
a. si può scrivere solo per le forze conservative
b. si può scrivere per qualsiasi tipo di forza
c. si può scrivere per qualsiasi tipo di forza, ma nelle forze dissipative dipende dal percorso
d. non si può scrivere per tutte le forze conservative
6. La formula per il calcolo dell’energia potenziale è:
a. mgh
b. F·s
1 2
mv
2
d. dipende dal tipo di forza
c.
7. L’unità di misura dell’energia potenziale nel SI è:
a. N·m2
m
d. kg ⋅
b. J
s
N
c.
m
8. Un corpo di massa m passa da una quota h1 ad una h2. In quale tra i seguenti casi è massima la
variazione della sua energia potenziale gravitazionale?
a. m = 1,02 kg; h1 = 118 m; h2 = 115 m
c. m = 0,840 kg; h1 = 7,0 m; h2 = 6,5 m
b. m = 0,520 kg; h1 = 0; h2 = 16,8 m
d. m = 2,22 kg; h1 = 1,58 m; h2 = 1,56 m
9. Una pallina di cartapesta viene sparata da un fucilino a molla. Se si raddoppia la compressione
della molla la velocità finale della pallina:
a. raddoppia
c. quadruplica
b. resta invariata
d. aumenta di un fattore √2
10. Un corpo di massa m è attaccato all’estremità libera di una molla fissata verticalmente al
soffitto. Si lascia poi scendere il corpo fino alla sua posizione di equilibrio. Nella configurazione
finale rispetto a quella iniziale:
a. l’energia potenziale elastica della molla è diminuita mentre quella potenziale gravitazionale
è aumentata
b. l’energia potenziale elastica della molla è aumentata mentre quella potenziale gravitazionale
è diminuita
c. sono diminuite entrambe le energie potenziali
d. sono aumentate entrambe le energie potenziali
Problema svolto 1 – Calcolo dell’energia cinetica iniziale e finale di un corpo che sale e poi ridiscende
lungo un piano inclinato nei casi con e senza attrito
Un corpo di massa 4,00 kg viene lanciato dalla base di una salita inclinata di 45˚ verso l’alto con una velocità
di 15,0
m
. Calcola l’energia cinetica all’inizio e quando ripassa per la posizione iniziale se tra il blocco e il
s
piano: 1) non c’è attrito; 2) c’è un coefficiente di attrito pari a 0,66.
Scriviamo i dati del problema
Massa del corpo: m = 4,00 kg
Forza di attrito nel primo caso: assente
Inclinazione del piano: θ = 45˚
Coefficiente di attrito nel secondo caso: kd = 0,66
Velocità iniziale del corpo: v = 15,0
m
s
Incognite
L’energia cinetica iniziale e finale nei due casi
Analisi e soluzione
2
1
1
m

L’energia cinetica iniziale è: E c = mv 2 = ⋅ 4,00 kg ⋅ 15,0  = 450 J
2
2
s

Primo caso (senza attrito). La risultante delle forze agenti sul corpo è la componente parallela al piano del
peso mg ⋅ sin (θ ) = 4,00 kg ⋅ 9,81
27,7 N
m
m
⋅ sin (45° ) = 27,7 N ; quindi: a =
= 6,93 2 . Il tempo
2
4,00 kg
s
s
m
v
s = 2,16 s durante il quale percorre la distanza
necessario al corpo per fermarsi è dato da: t = =
m
a
6,93 2
s
1
1
m
2
s = at 2 = ⋅ 6,93 2 ⋅ (2,16 s ) = 16,2 m e acquista la velocità finale:
2
2
s
m
m
vfin = 2as = 2 ⋅ 6,93 2 ⋅ 16,2 m = 15,0 , esattamente uguale alla velocità iniziale, pertanto anche
s
s
15,0
l’energia cinetica finale sarà uguale a quella iniziale.
Secondo caso (con attrito). In questo caso oltre alla componente del peso lungo il piano c’è anche la forza di
attrito, data dal prodotto della componente del peso perpendicolare al piano per il coefficiente di attrito
dinamico: FA = mg ⋅ cos(θ ) ⋅ k d = 4,00 kg ⋅ 9,8
m
⋅ cos(45°) ⋅ 0,66 = 18,3 N . Mentre il corpo sale tanto
s2
l’attrito che la componente del peso parallela al piano sono dirette verso il basso, quindi la risultante è: Fsalita
= 27,7 N + 18,3 N = 46,0 N e l’accelerazione è: a salita =
Fsalita
46,0 N
m
=
= 11,5 2 . Il tempo di salita vale:
m
4,00 kg
s
m
v
s = 1,30 s e lo spazio percorso: s = 1 at 2 = 1 ⋅ 11,5 m ⋅ (1,30 s )2 = 9,72 m . Nella fase di
t= =
m
a
2
2
s2
11,5 2
s
15,0
discesa l’attrito (che è opposto alla direzione del moto) è verso l’alto, quindi la risultante è data da: Fdiscesa =
27,7 N – 18,3 N = 9,4 N. L’accelerazione vale adesso: a discsa =
finale: vfin =
2as = 2 ⋅ 2,4
Fdiscesa
9,4 N
m
=
= 2,4 2 e la velocità
m
4,00 kg
s
m
m
⋅ 9,72 m = 6,8 . Da cui l’energia cinetica:
2
s
s
2
Ec =
1
1
 m
2
mvfin = ⋅ 4,00 kg ⋅  6,8  = 92 J
2
2
s

Problemi
1. Calcola l’energia potenziale rispetto a terra di un ragazzo di 54 kg seduto su un muretto alto 1,5 m.
2. Calcola la variazione di energia potenziale di un ascensore con due persone a bordo (massa complessiva
ascensore + passeggeri: 326 kg) quando scende di un piano (dislivello: 4,00 m)
3. Un ascensore (massa a vuoto 200 kg) è inizialmente vuoto al piano terreno. Montano due persone, una di
massa 52,0 kg e l’altra di massa 81,0 kg. La prima si ferma al secondo piano, l’altra sale fino al quarto.
L’ascensore viene poi chiamato al quinto piano dove montano due persone, una di massa 64,5 kg che si
ferma al primo piano, l’altra di massa 48,0 kg che prosegue fino al piano terreno. Se l’altezza di ciascun
piano è 4,00 m, quanto vale la variazione totale di energia potenziale durante queste operazioni?
(Suggerimento: attenzione ai segni!...)
4. Una molla di costante elastica k = 182
N
è disposta verticalmente con una estremità fissata a terra.
m
Sull’estremità libera si appoggia un corpo di massa m = 2,24 kg e si lascia che il sistema si porti nella sua
posizione di equilibrio. Quanto vale la variazione totale (cioè elastica + gravitazionale) di energia
potenziale?
5. Uno slittino di massa 5,1 kg con sopra un ragazzo di massa 42,5 kg scivola, partendo da fermo, giù per
un pendio alto 18,2 m. Quanto vale la variazione di energia potenziale gravitazionale a metà e alla fine
della discesa?
6. Una molla di costante elastica k = 108
N
è disposta orizzontalmente con una estremità fissata a una
m
parete verticale. La molla viene compressa di 12,0 cm e un corpo di massa 35 g viene appoggiato
sull’estremità libera. Quanto vale l’energia potenziale del sistema?
7. Una molla di costante elastica k = 368
N
e lunghezza a riposo l0 = 50,0 cm ha inizialmente una
m
lunghezza l1 = 71,8 cm ridotta poi a l2 = 68,3 cm. Quanto vale la variazione di energia potenziale?
Conservazione dell’energia per un corpo soggetto alla forza peso
Una palla viene lasciata cadere dall’ultimo piano di un palazzo. Nell’istante
iniziale la palla si trova a una certa altezza rispetto alla strada e possiede
energia potenziale; durante la caduta, diminuendo l’altezza, diminuisce
anche l’energia potenziale della palla, mentre aumenta la sua velocità e di
conseguenza la sua energia cinetica. Alla fine della caduta l’altezza dal
terreno è nulla e nulla è l’energia potenziale, mentre è massima l’energia
cinetica dovuta alla velocità con cui la palla giunge al suolo. Analizziamo il
lavoro compiuto dalla forza peso Fp nella caduta dal livello A al livello B.
In A la palla si trova all’altezza hA rispetto alla strada, possiede quindi
l’energia potenziale EpA = m g hA e ha velocità vA, pertanto la sua energia
1
cinetica vale EcA= m v A2 . Quando la palla passa per il punto B, la sua energia potenziale è EpB = m
2
1
g hB, mentre l’energia cinetica è data da EcB = m vB2 . Durante la caduta la forza peso Fp compie il
2
lavoro:
L AB = FP ⋅ (hA − hB ) = FP ⋅ hA − FP ⋅ hB = mghA − mghB
che possiamo scrivere anche nella forma: LAB = EpA− EpB.
Il lavoro compiuto dalla forza peso è quindi uguale alla differenza tra l’energia potenziale al livello
iniziale (A) e l’energia potenziale al livello finale (B).
D’altra parte, per il teorema delle forze vive, il lavoro della forza peso è anche uguale alla
1
1
variazione dell’energia cinetica della palla: LAB = m vB2 − m v A2 = EcB − EcA.
2
2
Uguagliamo le due espressioni che rappresentano il lavoro della forza peso:
EcB − EcA (Teorema delle forze vive) = EpA− EpB (Definizione di energia potenziale)
Spostiamo nel primo membro i termini che riguardano la posizione B e al secondo membro quelli
relativi alla posizione A: EcB + EpB = EcA + EpA.
Alla somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale possedute dalla palla a un certo livello si
dà il nome di energia meccanica; essa è indicata dal simbolo Em = Ec + Ep e misurata in joule (J).
L’equazione EcB + EpB = EcA + EpA mostra che l’energia meccanica della palla al livello B è uguale
all’energia meccanica al livello A.
In generale possiamo dire che durante il moto di un corpo su cui agisce solo la forza peso,
l’energia meccanica si conserva.
Pertanto l’energia meccanica della palla durante la caduta è sempre la stessa a qualunque altezza
dalla strada, anche se la sua energia potenziale diminuisce e l’energia cinetica aumenta.
Il principio di conservazione dell’energia meccanica permette di risolvere agevolmente problemi di
dinamica riguardanti la caduta dei gravi.
Esempio 1 – Applicazione del principio di conservazione dell’energia meccanica per calcolare la
velocità di un corpo in caduta libera
Una palla di massa 0,20 kg cade dall’ottavo piano di un palazzo, posto a 24 m dal livello stradale. Vogliamo
calcolare la velocità della palla quando passa per il quinto piano, posto a 15 m d’altezza, e la velocità con cui
giunge al suolo.
Scriviamo i dati del problema
Massa della palla che cade m = 0,20 kg. Altezza iniziale di caduta della palla hi = 24 m.
Altezza intermedia del 5° piano hA = 15 m. Altezza finale hf = 0. Velocità iniziale della palla vi = 0.
Incognite
Velocità vA della palla al 5° piano. Velocità vf al suolo .
Analisi e soluzione
Per risolvere il problema applichiamo il principio di conservazione dell’energia meccanica. Calcoliamo
l’energia meccanica della palla all’istante iniziale, assumendo come riferimento per l’energia potenziale il
suolo: Em = Eci + Epi =
1
N
m vi2 + m g hi = 0 + 0,20 kg · 9,8
· 24 m = 47 J.
2
kg
L’energia cinetica posseduta dalla palla al 5° piano si calcola mediante il principio di conservazione
dell’energia meccanica: Em = EcA + EpA, pertanto essa è data dalla differenza tra l’energia meccanica e
l’energia potenziale a quel piano: EcA = Em − EpA = Em − m g hA = 47 J − 0,20 kg · 9,8
Dall’espressione dell’energia cinetica E cA =
1
m v A2 si ha il valore della velocità: v A =
2
N
· 15 m = 18 J.
kg
2 ⋅18 J
m
= 13 .
0,20 kg
s
In modo analogo calcoliamo la velocità della palla quando arriva al suolo. Qui l’energia potenziale è nulla
poiché l’altezza è 0: l’energia meccanica è tutta sotto forma di energia cinetica. La velocità pertanto è data
da:
vf =
2 ⋅ 47 J
m
= 22 .
0,20 kg
s
Conservazione dell’energia meccanica lungo un percorso qualunque
Il principio di conservazione dell’energia meccanica può essere applicato anche nella risoluzione di
problemi riguardanti la forza peso nei quali la traiettoria seguita dal mobile non è verticale.
Esempio 2 – Calcolo della velocità finale mediante il principio di conservazione dell’energia
Consideriamo uno sciatore di 70 kg che, partendo da fermo, scende lungo un pendio innevato dall’altezza h
= 20 m, senza attrito. Vogliamo calcolare la velocità con cui giunge in fondo alla pista.
Scriviamo i dati del problema
Massa dello sciatore m = 70 kg. Velocità iniziale dello sciatore vi = 0.
Altezza da cui parte lo sciatore h = 20 m.
Incognita
Velocità finale vf in fondo al pendio
Analisi e soluzione
L’unica forza che compie lavoro sullo sciatore è la forza peso (la reazione del terreno è infatti perpendicolare
allo spostamento), per cui possiamo applicare il principio di conservazione dell’energia meccanica.
Consideriamo il fondo del pendio come livello di riferimento per il calcolo dell’energia potenziale e
determiniamo l’energia meccanica al momento della partenza, cioè in cima al pendio, dove la velocità dello
sciatore è nulla: Em= Eci+ Epi =
1
N
m vi2 + m g hi = 0 + 70 kg · 9,8
· 20 m = 1,4 · 103 J.
2
kg
Calcoliamo ora l’energia meccanica Em in fondo al pendio, dove l’altezza è nulla:
1
1
2
m v 2f + m g hf = · 70 kg · v 2f + 0 = 35 v f .
2
2
2
Uguagliamo le due espressioni dell’energia finale: 35 v f = 1,4 · 103 J;
Em = Ecf+ Epf =
da cui otteniamo la velocità finale: vf = 20
m
.
s
Non avremmo potuto risolvere il problema utilizzando il secondo principio della dinamica per calcolare
l’accelerazione e con essa la velocità finale, perché non conoscendo l’inclinazione del pendio in ogni suo
punto, è impossibile determinare la forza parallela al pendio stesso che provoca l’accelerazione. Il principio
di conservazione dell’energia permette di determinare la velocità finale di un moto anche senza conoscere
l’accelerazione durante il moto stesso.
Verifiche di comprensione
1. Quale tipo di energia possiede un corpo di massa m che si trova all’altezza h dal suolo? Come
si calcola?
2. Quale tipo dei energia possiede un corpo di massa m che si muove con velocità v? Come si
calcola?
3. Che relazione c’è tra il lavoro compiuto dalla forza peso e l’energia potenziale di un corpo
quando esso passa da una quota hA a una quota hB?
4. Che relazione c’è tra il lavoro compiuto dalla forza peso e l’energia cinetica di un corpo che
cade dal livello A al livello B?
5. Quale conseguenza si trae considerando il lavoro compiuto dalla forza peso in relazione
rispettivamente all’energia potenziale e all’energia cinetica di un corpo?
6. Che cosa si intende per energia meccanica posseduta da un corpo?
7. Che cosa afferma il principio ci conservazione dell’energia meccanica di un corpo soggetto
soltanto alla forza peso?
8. Il principio di conservazione dell’energia meccanica è valido solamente per traiettorie di caduta
rettilinee?
9. Quale vantaggio si ottiene nell’utilizzare il principio di conservazione dell’energia meccanica
nella risoluzione di problemi di dinamica?
10. Descrivi le forme in cui si manifesta l’energia meccanica nel moto di oscillazione del pendolo.
Verifiche di conoscenza
1. Una palla cade da un’altezza h; trascurando la resistenza dell’aria quale delle seguenti
affermazioni è vera?
a. L’energia cinetica finale è maggiore dell’energia potenziale iniziale perché la forza peso ha
accelerato la palla
b. In ogni posizione della palla durante la caduta, l’energia cinetica è sempre uguale ed opposta
all’energia potenziale, in modo che la loro somma sia costante e uguale a 0
c. Durante la caduta l’aumento di energia cinetica è uguale alla diminuzione di energia
potenziale
2. Una palla cade dall’ottavo piano di un palazzo. A metà caduta si ha che:
a. l’energia cinetica è minore dell’energia potenziale
b. l’energia cinetica è uguale all’energia potenziale
c. l’energia cinetica è maggiore dell’energia potenziale
3. Due casse cadono da ferme e dalla stessa altezza; la prima cade in verticale, la seconda lungo
uno scivolo inclinato di 30° rispetto all’orizzontale e senza attrito. Quale delle seguenti
affermazioni è vera?
a. La velocità finale della cassa che cade in verticale è maggiore dell’altra perché
l’accelerazione è maggiore
b. La velocità finale della cassa che cade lungo lo scivolo è maggiore dell’altra perché il
percorso è più lungo e quindi la cassa ha il tempo di prendere più velocità
c. Le due velocità sono uguali per il principio di conservazione dell’energia meccanica
d. Non è possibile rispondere perché non si hanno dati iniziali sufficienti
4. Un corpo cade al livello B dal livello A posto all’altezza h da B.
Applicando il principio di conservazione dell’energia ai tre percorsi
indicati, come sono le velocità finali?
a. v1 < v2 < v3
b. v1 > v2 < v3
c. v1 = v2 = v3
5. Due palline aventi la stessa massa vengono lanciate verso l’alto, la
prima con velocità doppia della seconda. Quale delle seguenti
affermazioni è corretta?
6.
7.
8.
9.
a. Le altezze raggiunte dalle due palline sono uguali
b. L’altezza raggiunta dalla prima pallina è quadrupla di quella della seconda pallina
c. L’altezza raggiunta dalla prima pallina è doppia di quella della seconda
d. Non si può risolvere il quesito perché non si conosce la massa delle palline
Un pendolo nel punto più alto di un’oscillazione raggiunge la quota di 0,46 m rispetto al punto
più basso. La sua velocità nel punto più basso vale:
m
a. 9,0 s
m
b. 3,0 s
m
c. 2,1 s
d. non è possibile calcolarla perché non si conosce la massa del pendolo
Se raddoppiamo la massa di un pendolo che oscilla, la velocità della massa nel punto più basso
dell’oscillazione:
a. non cambia
b. raddoppia
c. quadruplica
Se si raddoppia la massa di un pendolo che oscilla, l’energia cinetica posseduta dalla massa nel
punto più basso:
a. resta la stessa per il principio di conservazione dell’energia
b. raddoppia perché l’energia cinetica è direttamente proporzionale alla massa
c. quadruplica perché l’energia cinetica dipende dal quadrato della velocità
Sulla Luna, dove l’accelerazione di gravità è un sesto del valore che ha sulla Terra, una palla
viene lanciata verso l’alto con velocità iniziale v. L’altezza raggiunta dalla palla è:
a. uguale all’altezza raggiunta sulla Terra, perché l’energia di partenza è la stessa
b. minore dell’altezza raggiunta sulla Terra, perché sulla Luna non c’è aria che fornisce la
spinta di Archimede
c. maggiore dell’altezza raggiunta sulla Terra, perché a parità di energia meccanica l’altezza è
inversamente proporzionale a g
Problema svolto – Calcolo della velocità di un’altalena mediante il principio di conservazione
dell’energia
Consideriamo un’altalena di lunghezza 3,0 m, sulla quale è seduto un bambino; la massa altalena-bambino
vale 40 kg. All’istante iniziale l’altalena è spostata verso l’alto di 1,0 m rispetto al punto più basso e poi
viene lasciata libera di oscillare. Vogliamo calcolare la velocità v nel punto più basso dell’oscillazione.
Scriviamo i dati del problema
Lunghezza della fune dell’altalena l = 3,0 m
massa che oscilla, formata dall’altalena e dal bambino m = 40 kg
posizione del punto di partenza dell’altalena rispetto al punto più basso h = 1,0 m
velocità iniziale dell’altalena nel punto più alto vi = 0
Incognita
velocità v dell’altalena nel punto più basso
Analisi e soluzione
L’unica forza che compie lavoro sull’altalena è la forza peso (la tensione della fune è infatti perpendicolare
allo spostamento), per cui possiamo applicare il principio di conservazione dell’energia meccanica.
L’energia potenziale dell’altalena rispetto al punto più basso e all’istante iniziale è data da mgh; l’energia
cinetica iniziale è nulla perché è nulla la velocità iniziale. Pertanto l’energia meccanica calcolata nella
posizione iniziale vale mgh.
Nella posizione più bassa l’altezza è nulla, per cui è nulla anche l’energia potenziale. L’energia cinetica vale
1
1
m v2. L’energia meccanica pertanto è data da m v2.
2
2
1
m v2= mgh
2
N
1
Inseriamo i dati nell’equazione:
· 40 kg ·v2 = 40 kg · 9,8
· 1,0 m
2
kg
Poiché l’energia meccanica si conserva, possiamo scrivere:
N
⋅1 m
kg
m
= 4,4
.
20 kg
s
40 kg ⋅ 9,8
Eseguendo le operazioni: v =
Osserviamo che per poter applicare il principio di conservazione dell’energia al problema del pendolo non è
necessario che le oscillazioni siano piccole.
Problemi
1. La palla dell’esempio 1, di massa 0,200 kg cade partendo da ferma dall’ottavo piano posto a
24,0 m d’altezza. Calcola l’energia potenziale, l’energia meccanica e quella cinetica all’inizio
della caduta e per ogni piano fino al suolo. Il dislivello tra due piani è di 3,00 m. Riporta in un
unico grafico cartesiano i valori determinati, ponendo sull’asse delle ascisse l’altezza dal suolo e
sull’asse delle ordinate le energie. In quale punto l’energia cinetica uguaglia l’energia potenziale
gravitazionale?
2. Una palla di massa 0,25 kg cade da un palazzo e giunge al suolo con un’energia cinetica di 44,1
J. Da che altezza è caduta? A che distanza da terra l’energia cinetica è uguale all’energia
potenziale?
3. Un vaso di fiori di 0,500 kg cade da un balcone posto a 6,00 m d’altezza rispetto al terreno.
Quant’è la sua energia cinetica quando arriva al livello del suolo? A livello del suolo si trova la
scala esterna che scende in cantina posta a 2,50 m sotto il livello del suolo. Quant’è l’energia
cinetica del vaso a livello della cantina? Quant’è la sua velocità a tale livello?
4. Una tegola di 0,400 kg cade dalla sommità di una torre; a una certa altezza la sua energia
potenziale gravitazionale vale 16,0 J e la sua energia cinetica vale 62,4 J. Calcola quanto è alta
la torre e la velocità che possiede la tegola quando cade a terra.
5. Uno sciatore di massa totale 90,0 kg scende lungo un pendio senza attrito. Calcola la velocità
che possiede nel punto più basso posto a 50,0 m sotto il livello di partenza. La pista risale fino a
30,0 m dal punto più basso. Quanto valgono l’energia potenziale e quella cinetica alla sommità
del secondo livello? Quanto vale la velocità nel punto finale?
6. Uno sciatore di 80 kg possiede un’energia cinetica di 18000 J e si lancia lungo una salita senza
attrito. Calcola l’altezza che raggiunge prima di fermarsi.
7. Un pendolo di massa 0,200 kg durante le oscillazioni raggiunge l’altezza di 1,24 m dal
pavimento. Il livello più basso delle oscillazioni si trova a 1,0 m dal pavimento. Quanto vale la
velocità del pendolo nel livello più basso?