Teoria della relatività-4
19 dicembre 2014
Nuova definizione della quantità di moto
Teorema dell’energia cinetica
Espressione dell’energia cinetica
Energia relativistica, energia a riposo
Relazione tra energia e QM
Conservazione dell’energia relativistica
Relazione tra forza e accelerazione
Forza parallela alla velocità
Forza perpendicolare alla velocità
Quantità di moto
• Si puo` dimostrare che in relatività bisogna introdurre
una nuove definizione di quantità di moto (di un punto
materiale di massa m), affinche’ il principio di
conservazione di questa grandezza continui a valere


• La definizione classica p  mu viene ora sostituita
da


p  m u u
2
Energia cinetica
• Vogliamo trovare l’espressione dell’energia cinetica
per una particella che viene accelerata da una forza
F da velocità iniziale uA fino ad una velocità uB
F
u
3
Energia cinetica
• Partiamo dal lavoro elementare

  dp 
 ds
 
dW  F  ds 
 ds  dp   dp  u
dt
dt
• Esplicitiamo il differenziale della QM




dp  d m u u   mdu  mdu
• Il lavoro finito è
W 
B
B
B
B
A
A
A
A
 dW   mdu  mdu u   mu ud   mu du 
B

B
 mu d   mudu
2
A
A
4
Energia cinetica
• Esprimiamo u in funzione di 
 1 
2
2
u  c 1  2 
  
c2
du  3 d
u
• Otteniamo
2
B
B
B
1
c


2
2
2
W   mc 1  2 d   m 2 d  mc  d  mc  B   A 
 
A
A
  
A
• Il lavoro della forza esterna si ritrova come
variazione di energia cinetica del corpo (th.
dell’energia cinetica) W  K  K
B
A
5
Energia cinetica
• E quindi l’energia cinetica si puo` scrivere come
K  mc2  const .
• Per determinare la costante poniamo uA=0, in tal
2
caso =1 e K=0, ne segue const .  mc
2
• L’energia cinetica è dunque K  mc   1
• Si introduce anche l’energia relativistica
E  K  mc 2  mc 2
• Tale relazione stabilisce l’equivalenza tra massa ed
energia
2
• Il termine mc è la cosiddetta energia a riposo, cioè
quella posseduta dal corpo fermo
6
Relazione tra K e p in
meccanica classica
• Possiamo esprimere K in funzione di p
eliminando v dalle equazioni classiche
1 2
p  mv
K  mv
2
• Troviamo le relazioni
p2
K
2m



p  2mK
7
Relazione tra E e p in relatività
• Similmente in relatività eliminiamo v dalle eqq.
E  mc 2
p  mu
• Dividendo membro a membro otteniamo
• Reintroducendo u in 
pc 2
u
E
E

E 2  p 2c 2
• e sostituendo in E abbiamo

E 2  p 2c 2  m2c 4
8
Particelle senza massa
• Un’onda em puo` essere considerata, in meccanica
quantistica, come un insieme di fotoni, particelle
senza massa che viaggiano alla velocita` fissa c
• Molte delle relazioni che abbiamo trovato perdono di
significato per particelle di massa nulla
2
• Esempi ne sono E  mc , p  mu ove la massa è
nulla e  è infinita
2
2 2
2 4
• La relazione E  p c  m c continua invece a
valere e diviene semplicemente E  pc
9
Casi limite di E e p in relatività
1
1 u2

 1
2
2
2
2
c
1 u c
• Caso u<<c ,  diventa
• QM ed energia diventano, all’ordine piu` basso in u
2
1
u
1 2

2
2
p  mu
E  mc 1 
  mc  mu
2
2
 2c 
2
• L’energia cinetica diventa
1
p
K  E  mc 2  mu 2 
2
2m
• Cioè ritroviamo le espressioni newtoniane per p e K
• Caso ultrarelativistico u~c , QM ed energia
diventano
E  pc
p  mc
10
Conservazione di E
• Si puo` dimostrare che l’energia relativistica E
di un sistema isolato si conserva
E  K  mc 2
• Poiche’ E è somma di energia cinetica K e
energia a riposo, ne segue che, in generale,
ne’ K ne’ l’energia a riposo (la ‘massa’) si
conservano separatamente
• Vediamo un esempio semplice
11
Conservazione di E
• Supponiamo di avere due corpi di massa m
che si urtano centralmente con velocità uguali
e contrarie
• Inizialmente abbiamo una massa, un’energia
cinetica e un’energia relativistica pari a
M i  m  m  2m
K i  mc 2   1  mc 2   1  2mc 2   1
Ei  mc  mc  2mc
2
2
2
12
Conservazione di E
• Supponiamo che l’urto sia totalmente
anelastico, nello stato finale avremo un unico
oggetto fermo di massa M
• Dopo l’urto abbiamo una massa, un’energia
cinetica e un’energia relativistica pari a
Mf M
Kf 0
E f  Mc 2
13
Conservazione di E
• Applichiamo ora la conservazione di E: E f  Ei
2
2
• Ne segue che Mc  2mc  cioè la massa
finale è maggiore della massa iniziale
M f  M i  2m  2m  2m  1
• Poiche’ l’urto è totalmente anelastico, c’è
perdita di energia cinetica
K f  Ki  0  2mc   1
2
14
Conservazione di E
• Per il primo principio della termodinamica ci
dev’essere una produzione di calore Q (<0) pari alla
perdita di energia cinetica
Q  K f  Ki  2mc 2   1
• Dal punto di vista relativistico, a questo calore
corrisponde l’aumento di massa del sistema
Q
M f  Mi  2  0
c
• Questo è un’esempio di equivalenza tra massa ed
energia
15
Conservazione di E
• In realtà il concetto di massa va pensato non come
somma delle sole masse dei singoli costituenti il
sistema, ma anche dell’energia interna del sistema
K1  K 2
2mc2   1
M i  mm
 2m 
 2m  M
2
2
c
c
• In tal modo la ‘massa relativistica’ si conserva, è
infatti un’altro modo di scrivere la conservazione
dell’energia relativistica
f
Ei  2mc  Mc  E f
2
2
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Relazione tra accelerazione e forza
dp d
d
du
• Partiamo dall’eq. F 
 mu  m u  m
dt dt
dt
dt
• Ricordando che K  E  mc 2  mc 2  mc 2
• Abbiamo dK dE
d 2
 dt

dt
m
dt
c
• Sostituendo nell’espressione della forza e ricordando
 

du
che
dK dW dp  u dp  
a
dt

• otteniamo

dt

dt


dt
dt

u  F u
  

d 
du u


F  m u  m
 2 F  u  ma
dt
dt c


17
Relazione tra accelerazione e forza
• Risolvendo per l’accelerazione


u  
 F
a

F u
2
m mc


• Questa eq. ci dice che in generale
l’accelerazione non è parallela alla forza
• Ci sono due casi in cui accelerazione e forza
sono parallele
– Quando la forza è parallela alla velocità
– Quando è perpendicolare alla velocità
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F parallela a u
• In questo caso particolare
• E l’accelerazione diviene
 2
   
u F  u  u Fu  Fu


F
F u2
F  u2  F
a

1  2 
2 
m m c
m  c  m 3
• Accelerazione e forza sono proporzionali tramite
3
m

il fattore
detto “massa longitudinale”


19
F parallela a u (esempio)
• Consideriamo una particella di massa m e carica q,
inizialmente ferma, soggetta ad un campo elettrico E
diretto lungo x
F
F
qE
a

m
m
• Passando alla proiezione lungo x
dv qE

a

3
3 
dt m
 v 
• E separando le variabili
3 
 v  dv  dt
• La soluzione è

v
t
0
0
3
3
3



v
  dv   dt  t
20
F parallela a u (esempio)
c 2
• Per risolvere l’integrale cambiamo variabile w    1
v 
w
  v  dv  
v
3
0
• Quindi
v
0
dv
 v 
1  c 2 


2
32
c  dw
 1 
  3 2  c


2ww
 w 
v
v 
1
2
v
c2
 t

v
v
1 2
c
qE
t
t
m
v t  

 2t 2
qEt 2
1 2
1  
c
mc 
• Risolvendo per v
2
 v
21
F parallela a u (esempio)
• Per la posizione moltiplichiamo per v l’eq. del moto
v v  dv  vdt  dx
3
• Ricordando che vale la relazione
• otteniamo v v  dv  c d  dx


x
• e integrando
2
3
2
1 c d  0 dx

d v 3
 2
dv c
c 2  1  x
• Sostituendo il valore trovato per la velocità otteniamo

qE 2 
c 2 t  mc 2 

x t    1
1
t
1



 
 qE


  v
mc
22


F parallela a u (esempio)
• Il limite per t 0 dà i risultati classici
• Il limite per t   dà il limite relativistico

23
F perpendicolare a u
• In questo caso particolare F  u  0
• E l’accelerazione diviene
F
a
m

• Accelerazione e forza sono proporzionali tramite
il fattore m detto “massa trasversale”


24
F perp. a u (esempio)
• Consideriamo una particella di massa m e carica
q(<0), soggetta ad un campo magnetico B uniforme
diretto lungo z e con velocità iniziale contenuta nel B
piano perpendicolare a z
u
• La forza agente sulla particella è

 
F
F  qu  B
• ed è contenuta nel piano perpendicolare a z
• Da cio` segue che la velocità è sempre contenuta in
tale piano
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F perp. a u (esempio)
• Dette t e n le direzioni tangente e normale alla
traiettoria, l’accelerazione diviene
   du ˆ u 2
a  at  an  t  nˆ
dt
R
• e l’eq. del moto
2

du
u

 ˆ

F   q uBnˆ  ma  m  t  nˆ 
R 
 dt
B
u
F
• Poiche’ la forza di Lorentz è sempre perpendicolare
alla velocità quest’ultima dev’essere costante in
modulo e quindi du/dt=0, esattamente come in
meccanica classica
26
F perp. a u (esempio)
• L’eq. del moto diviene allora
u2
q uB  m
R
• Da cui ricaviamo il raggio (locale) della traiettoria
m
R
u
qB
• Siccome u è costante, ne segue che, se B è
uniforme, anche R è costante, cioè la traiettoria è
una circonferenza
B
u
F
27
F perp. a u (esempio)
• Noto R possiamo esprimere la velocità, la QM e la
velocità angolare come segue
qB
u
R
m
p  q BR
u qB
 
R m
28
a caso generale
• L’accelerazione può essere espressa come


F||
   F
a  a  a|| 

3
m m
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