Capitolo 8
APPLICAZIONI
Allo sviluppo teorico del modello è seguito l’inserimento nel programma 3dMacro, sviluppato per supportare i modelli piano e spaziale. L’implementazione è stata effettuata in ambiente C++, in modo tale da integrarsi con l’impostazione esistente e mantenere inalterata
la filosofia di programmazione precedente. Grazie a questo approccio
si è potuto sfruttare il solutore già esistente, che consente di suppo rtare analisi non lineari sia in campo statico che dinamico.
Le applicazioni contenute nel presente capitolo rappresentano le
prime significative modellazioni col macro-modello per geometrie
curve. Al fine di verificare la correttezza delle procedure eseguite sono stati inoltre effettuati dei confronti. In particolare in alcuni casi il
termine di confronto è stato rappresentato dai risultati conosciuti
dalla letteratura, in altri i termini di paragone sono stati modelli re alizzati mediante programmi che sfruttano il tradizionale e collaudato
metodo degli elementi finiti.
Ci si è confrontati inizialmente con i meccanismi di collasso tipici
degli archi, verificando, per diverse condizioni di carico, che i mecc anismi di crisi aderissero a quelli riscontrati in letteratura.
Si è poi passati ad un modello più complesso, una cupola semisferica a sezione costante, che rappresenta un problema assialsimmetrico, di cui si è studiato il comportamento mediante analisi
statiche non lineari, confrontandosi con il programma agli elementi
finiti ADINA.
274
La terza applicazione ha riguardato un’analisi dinamica nonlineare su una volta a botte, cui è stato assegnato come input sismico
un’accelerogramma lungo una sola direzione.
L’ultima applicazione ha riguardato un caso applicativo di interesse reale, per dimostrare l’applicabilità del macro -modello proposto
ad interi edifici. Si è valutata la vulnerabilità sismica della cupola
della cattedrale di Noto, attraverso analisi statiche non lineari.
1. Il software 3dMacro
Il software, sin dall’inizio della ricerca è stato impostato come uno
strumento unitario, capace di fornire risultati attendibili e completi
ad un utente che volesse studiare una struttura in muratura. In particolare, alla luce delle recenti normative, che suggeriscono l’impiego
di analisi non lineari, statiche e dinamiche, per la verifica sismica degli edifici, lo sviluppo del software ha richiesto una particolare atte nzione verso questi aspetti numerici.
Il percorso che ha condotto alla versione del software ha richiesto
diversi tentativi, sia in termini di ambiente di programmazione, che
di passaggi obbligati per rendere il programma sempre più rivolto a
casi di studio reali.
Allo stato attuale, per il modello spaziale e piano, il software co nsente l’utilizzo di analisi statiche non lineari a controllo di forze e analisi dinamiche non lineari, mentre è ancora in fase di sviluppo la
procedura che consente analisi statiche a controllo di spostamento,
che appare indispensabile per poter cogliere il comportamento dutt ile di una struttura quando si vogliano considerare le rotture nel modello discreto.
Il software è inoltre dotato di un’interfaccia grafica che contiene
già un elevato numero di funzioni sia in ambito di pre -processing che
di post-processing.
Il software è ormai notevolmente collaudato, e ha consentito lo
studio di diverse strutture reali, anche di grosse dimensioni (fig. 8.2).
Nell’ambito della presente tesi il modello sviluppato è stato int egrato nel programma di calcolo e ha consentito di sviluppare le appl i-
Capitolo 8 – Applicazioni
275
cazioni riportate nel presente capitolo. Si è pertanto ottenuto un ambiente unico, in grado di supportare modelli numerici che sfruttano il
modello curvo, quello spaziale e quello curvo. Ulteriori integrazioni
consentiranno l’interazione del modello curvo con gli altri elementi
implementati nel software (oltre al modello piano e spaziale, sono
implementati nel programma elementi diaframma ed elementi ‘asta’
non lineari), così da rendere lo strumento completo al punto da poter
studiare con un solo strumento qualsiasi edificio in muratura.
Figura 8.1 – Due esempi di modelli di strutture realizzati mediante il software
3dMacro
Inoltre non si è ancora introdotto il modello curvo nell’ambiente
dell’interfaccia grafica. Le immagini riportate nel presente capitolo
sono infatti ricavate creando dei file di estensione *.dxf, e visualizzate pertanto mediante AUTOCAD.
2. Studio dei meccanismi di collasso di una volta a botte
La volte a botte incastrate alla base presenta un comportamento analogo a quello dell’arco, del quale rappresenta solo un’estensione nel
senso della profondità (fig. 8.2). Lo studio degli archi è il più semplice
per le strutture a geometria curva, in quanto puramente bidimensionale. Per questo motivo è stato il primo con cui si è deciso di
confrontarsi.
L’intento di queste prime analisi è stato quello di comprendere se
il modello ideato riuscisse a cogliere i meccanismi di collasso tipici
delle strutture in muratura a geometria curva.
276
Il modello è quello di una volta a botte a spessore costante pari a
s=0.2 m, con raggio r=2 m e lunghezza l=5 m. Il materiale impiegato
(avente caratteristiche credibili per una muratura) è elastico perfe ttamente plastico sia a trazione che a compressione, e non sono state
previste rotture delle molle. Le caratteristiche meccaniche del mat eriale sono riportate nella tabella 1.
Figura 8.2 – Schema geometrico di una volta a botte.
Tabella 1 – Parametri meccanici utilizzati per la modellazione della volta a botte
E
90000 N/cm 2
G
37500 N/cm 2
t
3 N/cm 2
c
71.6 N/cm 2
Capitolo 8 – Applicazioni
277
Si è valutato il meccanismo di collasso per due combinazioni di
carico: ai pesi propri si è aggiunto un carico verticale uniformemente
distribuito. Nel primo caso esso è stato distribuito su tutta la superficie, nel secondo solo sulla parte destra della volta, come mostrato in
figura 8.3.
Figura 8.3 – Combinazioni di carico simulate
Pur non avendo impiegato una mesh particolarmente fitta, i risultati ottenuti hanno evidenziato la formazione di cerniere plastiche c ilindriche, fino all’attivarsi del cinematismo che rende labile la struttura. Il modello utilizzato e la sua mesh sono rappresentati in fig. 8.4.
Figura 8.4 – Modello di una volta a botte in 3dMacro
278
Nel caso del carico distribuito su tutta la superficie la volta collassa con formazione di cinque cerniere plastiche: due agli incastri,
due lungo l’arco e una in chiave, come mostrato in fig. 8.5.
(a)
(b)
Figura 8.5 – Meccanismo di collasso della volta simmetricamente caricata: vista
assonometria (a) e vista frontale (b) con formazione di cerniere plastiche
Per la volta caricata asimettricamente il collasso avviene con
formazione di quattro cerniere plastiche: due agli incastri e due in
posizione intermedia, una delle quali collassa all’estradosso, l’altra
lungo l’intradosso, come mostrato in fig. 8.6.
Con un’elaborazione grafica dell’output è stato rappresentata la
configurazione dello stato delle molle all’insorgere del meccanismo di
collasso. Nella rappresentazione che segue, ad ogni molla può essere
associata l’area della fibra che modella in corrispondenza
dell’interfaccia. Associando un colore ad ogni possibile stato della
molla si può sommariamente comprendere lo stato tensionale della
struttura nell’istante considerato.
(a)
(b)
Capitolo 8 – Applicazioni
279
Figura 8.6 – Meccanismo di collasso della volta caricata asimettricamente: vista
assonometria (a) e vista frontale (b) con formazione di cerniere plastiche
Si può inoltre avere un’idea dell’andamento dell’asse neutro, e in
generale delle tensioni, anche lungo lo spessore della muratura. In
fig. 8.7 viene riportata questa rappresentazione per i due casi appena
esaminati. E’ facile osservare le direttrici lungo cui si aprono le ce rniere plastiche che portano la struttura al collasso. Il colore rosso,
indicando il superamento della tensione massima di trazione, segnala
in pratica l’apertura delle fessure. Si può inoltre facilmente intuire
quando l’apertura della fessura interessi l’intradosso o l’estradosso
della volta. La legenda sotto la figura consente di comprendere con
maggiore chiarezza quanto appena spiegato.
Per completezza si riportano le curve di capacità, ottenute mediante analisi statiche non lineari, relative alle due combinazioni di
carico (fig. 8.8), riportando il carico verticale totale nelle ordinate, e
lo spostamento verticale di un punto di controllo, fissato in entrambi i
casi in un punto in chiave dell’arcata.
(a)
(b)
280
Figura 8.7 – Rappresentazione dello stato tensionale all’interno della volta: volta
simmetricamente caricata (a) e volta caricata asimmetricamente (b).
La stessa volta, sottoposta a combinazioni di carico differenti,
manifesta un comportamento ben diverso. La volta caricata simmetricamente riesce ad attingere maggiormente alle proprie risorse plastiche, resistendo così ad un carico ultimo di gran lunga maggiore.
Volta a botte caricata asimmetricamente
Volta a botte caricata simmetricamente
120000
700000
Carico applicato [N]
Carico applicato [N]
800000
600000
500000
400000
300000
200000
100000
100000
80000
60000
40000
20000
0
0
0
0.1
0.2
Spostamento [cm]
(a)
0.3
0.4
0
0.1
0.2
0.3
Spostamento [cm]
(b)
Figura 8.8 – Curve di capacità per le volte a botte: volta simmetricamente caricata (a) e volta caricata asimmetricamente (b).
3. Studio di una cupola sferica: confronto con ADINA
Affinché un modello numerico possa essere convalidato risulta indispensabile il confronto con altre modellazioni. Si è pertanto scelto di
modellare una cupola semi-sferica incastrata alla base, di spessore
costante pari a s=0.2 m con raggio r=2 m, confrontando i risultati ottenuti mediante una modellazione agli elementi finiti col programma
ADINA.
Questo studio ha anche rappresentato l’occasione per valutare alcuni aspetti della macro-modellazione: l’influenza di un legame costitutivo elasto-fragile sull’andamento della curva di capacità, e
l’influenza della mesh nella risposta del modello numerico.
La combinazione di carico assegnata è stata in questo caso unica:
ai pesi propri viene sommato un carico verticale uniformemente d i-
Capitolo 8 – Applicazioni
281
stribuito, disposto su un cerchio, attorno al concio di chiave, di raggio
rc=22.5 cm (fig. 8.9).
Figura 8.9 – Modello di una cupola sferica in ADINA
Le analisi sono state svolte per diversi valori di resistenza a tr azione, confrontando i risultati ottenuti dall’ADINA con quelli ricavate
dalle analisi statiche non lineari ottenute mediante 3dMacro, sia in
termini di curva di capacità che in termini di meccanismi di collasso.
Le caratteristiche meccaniche dei materiali sono riportate in tabella
2.
Tabella 2 – Parametri meccanici utilizzati per la modellazione della cupola
E
90000 N/cm 2
G
37500 N/cm 2
3 N/cm 2
t
6 N/cm 2
10 N/cm 2
c
71.6 N/cm 2
282
Il software ADINA, distribuito da ADINA R&D, consente di utilizzare, in campo tridimensionale, materiali con caratteristiche non
lineari mediante elementi solidi. Il legame costitutivo utilizzato per
la muratura è di tipo “concrete”: esso è sintetizzabile dalla curva parametrica che rispetta le condizioni imposte dalle caratteristiche del
materiale. La curva che ne rappresenta l’andamento è riportata in figura 8.10 e più dettagliatamente descritto in [1]. L’elemento adottato
per la modellazione della cupola è il tetraedro ad 11 nodi, che consente un’adeguata aderenza della mesh alla geometria, ed un’alta prec isione di integrazione. Il ramo di softening è stato assegnato sufficientemente lungo da poter approssimare il comportamento a trazione
come infinitamente duttile.
Figura 8.10 – Legame costitutivo di tipo “concrete”
(a)
(b)
Figura 8.11 – Modelli della cupola in 3dMacro: mesh rada (a) e mesh fitta (b)
Capitolo 8 – Applicazioni
283
In 3dMacro sono stati utilizzati due modelli (fig. 8.11): uno con
mesh fitta, dotato di 16 fusi, e uno con la mesh rada (accorpando quattro elementi del primo modello per volta, così da ottenere due modelli il cui numero totale degli elementi stanno in rapporto 1:4), dotato
quindi si 8 soli fusi. L’impiego di due modelli con mesh differenti ha
consentito di valutare l’efficacia della macro-modellazione anche per
una discretizzazione ampia della struttura. Per il legame costitutivo
non sono state previste rotture delle molle, così da simulare un comportamento duttile anche a trazione.
Il primo confronto che si riporta è quello delle curve di capacità,
ottenute da analisi statiche non lineari condotte mediante analisi a
controllo di forze. Nella figura 8.12 qui di seguito viene riportato il
confronto tra le curve di capacità ottenute al variare della resistenza
a trazione. Il modello 3dMacro utilizzato è quello con la mesh fitta. Si
riportano il carico verticale totale nelle ordinate, e lo spostamento
verticale di un punto di controllo, fissato in entrambi i casi in chiave
della cupola.
Confronto ADINA
100000
90000
80000
70000
Carico [N]
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
Spostamento [cm]
ADINA ft=0.3 MPa
3dMacro ft=1 MPa
3dMacro ft=0.3 MPa
ADINA ft=0.6 MPa
3dMacro ft=0.6 MPa
ADINA ft=1 MPa
Figura 8.12 – Confronto delle curve di capacità ottenute con ADINA e 3dMacro al
variare della resistenza a trazione
0.80
284
Le curve, a meno di una leggera differenza di rigidezza iniziale ,
seguono lo stesso andamento. Tuttavia la modellazione agli elementi
finiti non riesce a seguire adeguatamente il comportamento non lineare, mentre quella mediante 3dMacro coglie ampiamente il ramo plastico incrudente. In termini di meccanismo di collasso l’aderenza delle modellazioni è ancora più evidente. In figura 8.13 viene riportato
un confronto tra i meccanismi di collasso rilevati.
Mediante l’elaborazione grafica dell’output, già vista per il caso
della volta a botte, è possibile valutare il quadro fessurativo al collasso della cupola (fig. 8.14). Vengono riportati i quadri fessurativi al co llasso, sia nel caso di mesh rada che in quello di mesh fitta, per un valore della resistenza a trazione t=3 N/cm2.
(a)
(b)
(c)
Figura 8.13 – Meccanismi di collasso ottenuti dalle diverse modellazioni: ADINA
(a), 3dMacro con mesh fitta (b), 3dMacro con mesh rada (c).
Capitolo 8 – Applicazioni
285
Figura 8.14– Quadro fessurativo a collasso con i due modelli 3dMacro: mesh fitta
(a) e mesh rada (b).
Il quadro fessurativo, nei due diversi modelli, indicano un analogo meccanismo di collasso: formazione di tensione di trazione eccessive lungo i paralleli e apertura delle fessure lungo i meridiani. Tuttavia il quadro fessurativo nei due casi è sensibilmente diverso: il modello con mesh rada, dotato di una cinematica potenzialmente attivabile più ridotta, attinge maggiormente alle proprie risorse plastiche,
prima di pervenire al collasso.
Confrontando infatti le curve di push-over per i modelli a mesh
rada e per quello a mesh fitta si rileva che, a parte il caso in cui la resistenza a trazione del materiale sia particolarmente bassa, il modello
con mesh rada presenta curve di capacità che si mantengono legge rmente più alte di quelle ottenute dal modello con mesh fitta, come
mostrato in figura 8.15. Tuttavia è evidente come anche un modello
con mesh grossolana riesca a cogliere efficacemente il comportamento
della struttura, in termini di rigidezza iniziale, di curva di capacità e
di meccanismo di collasso.
286
Confronto tra mesh rada e mesh fitta
120000
100000
Carico [N]
80000
60000
40000
20000
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Spostamento [cm]
Mesh 8 ft=0.3 MPa
Mesh 16 ft=0.3 MPa
Mesh 8 ft=0.6 MPa
Mesh 16 ft=0.6 MPa
Mesh 8 ft=1 MPa
Mesh 16 ft=1 MPa
Figura 8.15 – Confronto delle curve di capacità ottenute con i modelli 3dMacro con
mesh rada e mesh fitta al variare della resistenza a trazione.
Si è infine introdotto, limitatamente al modello con mesh fitta, il
legame costitutivo con comportamento fragile per le molle flessionali
(fig. 8.16). L’introduzione delle rotture delle molle flessionali conse nte di cogliere il comportamento fratturante della muratura.
Fc
urc
uyc
uyt
urt
Fc
Figura 8.16 - Legame costitutivo utilizzato per le molle flessionali di interfaccia
Dal confronto con le corrispondenti curve di capacità (fig. 8.17)
del modello duttile, risulta che il comportamento con rotture segue la
curva duttile fino a quando le rotture delle molle non insorgono conferendo alla struttura un comportamento decisamente fragile. Ancora
una volta i confronti vengono fatti per diversi valori di resistenza a
trazione della muratura.
0.8
Capitolo 8 – Applicazioni
287
Confronto tra modelli con legame duttile e modelli con legame fragile
100000
90000
80000
Carico [N]
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Spostamento [cm]
Mesh 16 ft=0.3 MPa
Mesh 16 ft=1 MPa
Mesh 16 ft=0.3 MPa fragile
Mesh 16 ft=0.6 MPa
Mesh 16 ft=1 MPa fragile
Mesh 16 ft=0.6 MPa fragile
Figura 8.17 – Confronto delle curve di capacità ottenute con i modelli 3dMacro con
comportamento duttile e fragile al variare della resistenza a trazione.
Risulta tuttavia evidente come il comportamento fragile del materiale non sia ancora adeguatamente supportato dalle procedure
numeriche consentite dal software. Affinché il comportamento del
modello numerico possa essere colto con efficacia, anche dopo un co nsistente numero di rotture dei suoi elementi, occorre
l’implementazione di procedure numeriche che consentano analisi
statiche a controllo di spostamento.
4. Analisi dinamica non lineare di una volta a botte
L’analisi dinamica non lineare sfrutta l’integrazione, nel dominio del
tempo, delle equazioni del moto, utilizzando accelerogrammi naturali,
simulati o artificiali. E’ una simulazione del comportamento reale di
una struttura sottoposta ad un evento sismico. Si sfruttano le risorse
non lineari della struttura ed è quindi un adeguato metodo di valutazione del livello prestazionale della struttura. I limiti di quest’analisi
sono connessi all’onere computazionale richiesto e alla scelta degli
0.8
288
accelerogrammi, che possono talvolta non essere rappresentativi delle condizioni a cui può essere sottoposta la struttura.
L’applicazione qui di seguito descritta, è stata eseguita sul mode llo di volta a botte descritto nel secondo paragrafo di questo capitolo
(fig. 8.18).
Figura 8.18 – Modello di una volta a botte in 3dMacro
L’input sismico è stato assegnato in direzione trasversale (parallelo alle curve generatrici). L’accelerogramma scelto è compatibile
con lo spettro di progetto di normativa per un’accelerazione di anc oraggio pari a ag0=0.35 g (fig. 8.19).
Accelerogramma di input
ag [cm/sec^2]
400
300
200
100
0
-100 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-200
-300
-400
t [s]
Figura 8.19 – Accelerogramma applicato al modello
La matrice di smorzamento è alla Rayleigh, e calcolata assegnando uno smorzamento modale del 5% in corrispondenza dei primi due
periodi fondamentali della struttura. Il metodo di integrazione appli-
Capitolo 8 – Applicazioni
289
cato è quello di Newmark, in cui i parametri esono posti rispettivamente pari a 0.5 e 0.25, ricadendo così nel caso del metodo
dell’accelerazione media nel passo.
L’analisi è stata condotta applicando l’accelerogramma fino
all’istante tf=10 sec. Le caratteristiche del materiale impiegato sono
quelle riportate in tabella 3.
Tabella 3 – Parametri meccanici utilizzati per la modellazione della volta a botte
E
90000 N/cm 2
G
37500 N/cm 2
t
3 N/cm 2
c
71.6 N/cm 2
Il comportamento è infinitamente duttile a trazione. Ciò consente
di portare avanti l’analisi anche dopo l’insorgere di un cinematismo, e
osservare il meccanismo di collasso della struttura, che nel nostro caso sembra insorgere dopo circa 4 secondi (fig. 8.20). Viene riportato lo
spostamento di un punto di controllo, fissato in chiave della volta,
nella direzione dell’input sismico.
0.4
Spostamento [cm]
0.2
0
-0.2
0
2
4
6
8
-0.4
-0.6
-0.8
-1
t [s]
Figura 8.20 – Spostamento del punto di controllo nel tempo
10
290
Taglio alla base [N]
Viene riportato anche il grafico del ciclo isteretico della struttura
in figura 8.21. Ad esso vengono sovrapposte le curve di push-over della struttura, ottenute mediante un carico orizzontale nella direzione
dell’input sismico proporzionale alla massa della struttura. Vengono
riportati, in ascissa lo spostamento
del punto di controllo, e in ordiCiclo isteretico
nata il taglio alla base della struttura.
40000
20000
0
-1
-0.5
0
0.5
1
-20000
-40000
Spostamento [cm]
Figura 8.21 – Cicli di isteresi della struttura
E’ evidente che, dopo il quarto secondo, lo spostamento residuo è
tale da denunziare un probabile collasso della volta, non evidenziato
nelle analisi a causa dei limiti del modello, rappresentato in questo
caso dal comportamento infinitamente duttile assegnato al materiale.
Tuttavia, il legame costitutivo senza rotture delle molle flessionali,
ha consentito di apprezzare l’apertura delle cerniere plastiche e val utare il probabile meccanismo di collasso della struttura.
5. Analisi di vulnerabilità applicata ad un caso reale: la c upola della cattedrale di Noto
L’approccio ai macro-elementi, garantendo un ridotto numero di gradi di libertà per la schematizzazione delle strutture, assicura la po ssibilità di modellazione in tempi ragionevoli anche per strutture particolarmente complesse.
Capitolo 8 – Applicazioni
291
Figura 8.22 – Veduta della cupola della cattedrale di Noto
Un caso di studio reale appare dunque come un naturale passaggio per apprezzare le potenzialità del macro-elemento ideato. Il caso
di studio scelto è la cupola della cattedrale di Noto (fig. 8.22). Pur
presentando una simmetria radiale, le difficoltà di modellazione legate alla geometria della struttura sono molteplici.
292
Figura 8.23 – Proiezione ortogonale della cupola della cattedrale di Noto
La cupola è parte della Cattedrale di Noto (ex Chiesa Madre),
cominciata a costruire a partire dal 1694, in seguito al catastrofico
evento sismico occorso l’anno prima. Nel corso degli anni la chiesa è
stata più volte soggetta a crolli parziali e ricostruzioni; in particolare
per la modellazione strutturale oggetto di questo studio si è fatto r iferimento alla configurazione della chiesa riscontrata dal 1862, anno
di inaugurazione della cupola, così come la si poteva ammirare prima
del recente crollo. Nell’ambito di questa applicazione sono stati modellati il tamburo, la cupola e la lanterna (fig. 8.23).
Come ampiamente descritto in [2] da R. De Benedictis e S. Tringali, nell’ambito della ricostruzione seguita al crollo parziale della
chiesa, avvenuto il 13 marzo 1996, sia il tamburo che la cupola della
chiesa sono stati costruiti con una buona concezione strutturale, con
blocchi lapidei squadrati ben disposti e sagomati. In particolare si r iconosce la presenza della caratteristica pietra giuggiolena, caratterizzata da notevole leggerezza e porosità ma anche sufficiente resi-
Capitolo 8 – Applicazioni
293
stenza. Si riconoscono inoltre buone ammorsature sia lungo le direttrici della superficie cilindrica che trasversalmente.
Osservando la sezione geometrica della cupola (fig. 8.24) si può
notare la rastremazione in corrispondenza della connessione tra il
tamburo e la cupola. La geometrica della cupola è quella classica di
una cupola di rotazione a sesto rialzato, in cui per l’estradosso si r iconosce una curva policentrica a tre centri, mentre per l’intradosso la
curva policentrica è a due centri (fig.8.25); per la modellazione in
3dMacro, non avendo a disposizione ulteriori dati si è optato per una
variazione dello spessore lineare lungo la curva generatrice . Si riconoscono anche otto larghe costolature (fig. 8.23), che però, per il loro
modesto spessore (8 cm) vengono trascurate ai fini della modellazione
strutturale.
Figura 8.24 – Sezione verticale della cupola
294
Figura 8.25 – Disegno geometrico della cupola del Cassone
Infine, sia nel tamburo che nella lanterna si riconoscono delle aperture (figg. 8.26a-b). In particolare le aperture della lanterna hanno
ampiezza doppia rispetto a quelle del tamburo, e rappresentano pe rtanto un punto di notevole debolezza.
(a)
(b)
Figura 8.26 – Sezioni orizzontali del tamburo (a) e della lanterna (b)
Nessuna cerchiatura metallica è stata riscontrata presente nella
cupola, come nel tamburo. All’interno delle colonnine della lanterna
Capitolo 8 – Applicazioni
295
era disposta una struttura di rinforzo in ferro composta da otto aste
verticali a sezione circolare, collegate alla base ed in testa (fig. 8.27).
Questi elementi metallici impediscono l’attivarsi di un meccanismo
parziale di rottura che coinvolgerebbe solo la lanterna. Nel modello
strutturale proposto questo fatto è tenuto in conto, considerando in
modo approssimato elastiche, le interfacce che coinvolgono le colonnine della lanterna.
Figura 8.27 – Sezione verticale della lanterna
Le caratteristiche dei materiali sono state ricavate da un lavoro
sulla caratterizzazione dei materiali della cattedrale di Noto di Binda
et al. [3]. Vengono riportate di seguito le caratteristiche dei materiali,
utilizzate per la modellazione (tabella 4).
Tabella 4 – Parametri meccanici utilizzati per la modellazione della cupola della
cattedrale di Noto
E
90000 N/cm 2
G
37500 N/cm 2
t
5 N/cm 2
296
c
71.6 N/cm 2
La modellazione è stata eseguita facendo attenzione che la mesh
aderisse il più possibile alla reale geometria della struttura. La meshatura è infatti condizionata da un lato dalla posizione delle aperture, sia in altezza che radialmente, e dall’altro dalla ricerca di una discretizzazione che eviti elementi con geometria troppo distorta. Il
macro-modello proposto consente di aderire alla geometria reale, sia
in termini di curvatura, sia in termini di spessori, punto per punto.
La generazione del modello è stata possibile mediante procedure
semi-automatiche di meshatura, hanno consentito di generare un file
dati, successivamente letto ed interpretato dal software. Una rappr esentazione geometrica del modello è riportata in figura 8.28.
Figura 8.28 – Modellazione della cupola mediante 3dMacro
Per quanto riguarda i materiali si è scelto di adottarne uno con
comportamento duttile a trazione; inoltre è attivo lo snervamento
delle molle diagonali.
Dopo aver caricato la struttura con i pesi propri è stata condotta
un’analisi statica non lineare a controllo di forze, con distribuzione di
Capitolo 8 – Applicazioni
297
forze orizzontali proporzionali alla massa. Dalla curva di capacità o ttenuta (fig. 8.29), è stato ottenuto un sistema ‘equivalente’ ad un grado di libertà, per mezzo del quale è stato possibile valutare la vulnerabilità sismica della cupola. Il punto di controllo scelto è quello più
in alto della struttura, in cima alla lanterna, per il quale è stato co nsiderato lo spostamento orizzontale nella direzione di carico.
Curva di capacità in termini di Cb
6000000
0.6
5000000
0.5
4000000
0.4
Cb
Taglio alla base [N]
Curva di capacità in termini di tagliante alla base
3000000
0.3
2000000
0.2
1000000
0.1
0
0
0
2
4
6
Spostamento [cm]
8
10
0
2
4
6
8
10
Spostamento [cm]
(a)
(b)
Figura 8.29 – Curve di capacità della cupola in termini di tagliante alla base (a) e
coefficiente di taglio alla base (b)
Il meccanismo di collasso è di tipo combinato e comporta la rottura della lanterna, la fessurazione della cupola lungo i meridiani della
cupola, e la rottura per fessurazione diagonale dei maschi murari in
corrispondenza del tamburo. Queste considerazioni risultano ancora
più evidenti osservando il meccanismo di collasso (fig. 8.30) e il quadro fessurativo a collasso della cupola (fig. 8.31).
298
Figura 8.30 – Viste della deformata della cupola a collasso
Capitolo 8 – Applicazioni
299
Figura 8.31 – Quadro fessurativo della cupola a collasso
Per la valutazione della vulnerabilità della cupola si farà rifer imento agli spettri di progetto di normativa [4]. Un approccio di questo tipo prevede il passaggio ad un sistema ad un solo grado di libertà
(SDOF) rappresentativo dell’intera struttura, sul quale verrà succe ssivamente eseguita la stima dell’accelerazione di collasso. In letter atura e nelle normative antisismiche sono presenti diverse proposte
per la definizione del sistema equivalente [5,6,7,8]. Nel seguito invece
viene fatto riferimento ad un criterio energetico per il calcolo del sistema equivalente ad un solo grado di libertà.
La curva ottenuta dall’analisi push-over viene infatti approssimata ad una bilatera imponendo che la bilatera sia tangente alla curva di
push-over in corrispondenza del suo ultimo punto, lasciando quindi
invariato il livello di forza ultimo, e determinando la rigidezza iniziale in modo da ottenere l’equivalenza delle aree sottese (fig. 8.32).
6
6
x 10
0.5
0.45
5
0.4
0.35
0.3
3
Cb
Tagliante alla base [N]
4
0.25
0.2
2
0.15
0.1
1
0.05
0
0
1
2
3
4
5
Spostamento [cm]
6
7
8
9
0
0
1
2
(a)
3
4
5
Spostamento [cm]
6
7
8
9
(b)
Figura 8.32 – Curve bilatere relative alla cupola in termini di tagliante alla base
(a) e coefficiente di taglio alla base (b)
La massa della struttura è stata stimata in 1088,63 t.
Le caratteristiche del sistema ad un grado di libertà (SDOF) così
ricavato sono riportate di seguito in tabella 5. In particolare, il periodo efficace è ottenuto dalla seguente relazione:
T
2

 2
m
P
10886322.651810
 2
 2
 0.5495sec
k
gk
9.811.4511 108
(8.2)
300
Tabella 5 – Caratteristiche del sistema SDOF equivalente
Fy*
(KN)
5029
dy*
(cm)
K*
(KN/cm)
T*
(s)
1451.1
0.5495
3.466
m*
(KNs2/cm
)
11.07645
du*
(cm)

8.82381 2.5420
Con riferimento allo spettro di progetto inelastico , in cui la duttilità viene fissata pari a quella disponibile del sistema equivalente, e
imponendo che la sua ordinata spettrale in corrispondenza di T* eguagli il livello ultimo di forza del sistema equivalente, si ricava la
massima PGA sopportabile dal sistema.
Sd (ag , T *, *) 
Fy *
 ag
m * g
(8.2)
Ipotizzando che la categoria del suolo sia di tipo D, il coefficiente
di suolo S e i periodi Tb, Tc e Td sono ricavati da una tabella apposita
dell’OPCM 3431 [5], e qui riportata in tabella 6.
Tabella 6 – Valori dei parametri necessari per il calcolo della pseudo-accelerazione
spettrale secondo la nuova ordinanza [4,5].
Categoria suolo
S
TB
TC
TD
A
1,0
0,15
0,40
2,0
B, C, E
1,25
0,15
0,50
2,0
D
1,35
0,20
0,80
2,0
Poiché il periodo di vibrazione efficace risulta essere compreso
tra
TB  0, 20sec  T   0.5495sec  TC  0,80sec
(8.3)
l’espressione dell’ordinata spettrale dovrà essere calcolata c ome segue
S d  T   ag S
2.5
q
(8.4)
Capitolo 8 – Applicazioni
301
Eguagliando il C b,ultimo con il valore dell’ordinata spettrale relativa al periodo T* del sistema equivalente, è possibile ottenere la PGA
di collasso della struttura
S d  T   ag S
2.5
 Cb,ultimo
q

a g ,u 
Cb,ultimo q *
S 2.5
(8.5)
Il fattore di struttura del sistema equivalente viene valutato direttamente dalla duttilità disponibile (*) con le formule ottenute
dallo spettro rappresentato nel diagramma tetralogaritmico :
(8.6)
q*  2 * 1  2.02
Sostituendo nella (8.5) si ottiene :
a g ,u 
Cb,ultimo q * 0.5 2.02



 0.2993
S
2.5 1.35 2.5
(8.7)
Si ottiene quindi un’accelerazione al suolo di collasso pari a circa
0.30 g, che può essere confrontata con l’accelerazione massima attesa
per il sito, che è ubicato in zona sismica di II categoria (0.25 g), ottenendo pertanto un coefficiente di sicurezza della struttura pari a:
s
0.29
 1.198
0.25
(8.8)
Il coefficiente di sicurezza, essendo superiore all’unità, indica
un’accettabile margine di resistenza della struttura, rispetto alle r isorse di resistenza e duttilità richieste dal sisma atteso p er il sito
considerato.
Le maggiori incertezze e fonti di errore nell’applicare tale metodo
risiedono essenzialmente nel passaggio all’oscillatore equivalente e
alla valutazione della duttilità disponibile del sistema. In particolare,
proprio al fine di una stima più accurata delle riserve di duttilità del
sistema sarebbe auspicabile il ricorso ad analisi a controllo di spostamenti, capaci di cogliere il ramo discendente che segue il picco
massimo della curva di capacità.
L’applicazione proposta non pretende di essere uno studio esaustivo sull’edificio considerato, sia perché le caratteristiche dei mat eriali si riferiscono a studi condotti su quelli presenti in un periodo
antecedente la ricostruzione della cupola, sia per la mancata introduzione della rottura delle molle flessionali e diagonali che appaiono
302
indispensabili per una modellazione accurata, sia infine per la nece ssità di far riferimento a modelli globali per studi di vulnerabilità s ismica attendibili.
Pur non rappresentando questa applicazione uno studio su un intero edificio, rimangono comunque estremamente significativi i risultati ottenuti, poiché la struttura indagata, la cupola della cattedrale
di Noto, caratterizzata da grosse dimensioni e notevole complessità
geometrica, è stata modellata con una buona precisione impegnando
circa 6000 gradi di libertà, dimostrando così la possibilità di applicare
il modello proposto su edifici completi.
Capitolo 8 – Applicazioni
303
Bibliografia
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
ADINA R&D, Inc., “Theory and modelling guide” vol.1: ADINA,
Report ARD 03-7, June 2003
R. De Benedictis, S. Tringali, “La ricostruzione della Cattedrale
di Noto”, L.C.T. Edizioni
L. Binda, G. Baronio, C. Tedeschi, C. Tiraboschi, “Characterisa-
tion of the materials used in the construction of the Noto
Cathedral”, Construction and Building Materials 17
(2003), pagg. 557-571.
Ordinanza n. 3274 della Presidenza del Consiglio dei Ministri
Ordinanza n. 3431 della Presidenza del Consiglio dei Ministri
(Suppl. Ord. 72 alla G. U. 3 maggio 2005 n.105).
NEHRP recommended provisions for seismic regulations for
new buildings and other structures (FEMA 450).
ATC 40, The Seismic Evaluation and retrofit of concrete buildings, Applied Technology Council, Redwood City, CA.
G. Oliveto, I. Caliò & M. Marletta: “Seismic resistance and vul-
nerability of reinforced concrete buildings not designed
for earthquake action” In G. Oliveto (editor) “Innovative
Approaches to Earthquake Engineering”, WIT Press,
ISBN: 1-85312-885-6, ISSN: 1361-617X,2002.