Introduzione al Metodo agli Elementi Finiti
Finite Element Method, FEM
Finite Element Analysis, FEA
Finite Element, FE
Applicazione all’analisi strutturale
Prof. Ciro Santus
Dip. di Ingegneria Civile e Industriale (DICI), Università di Pisa
Tel.: 050-2218007
email: [email protected]
http://www.dimnp.unipi.it/santus/
Metodo agli Elementi Finiti
E’ un metodo per risolvere numericamente equazioni alle derivate
parziali, su un dominio complesso.
E’ particolarmente adatto all’implementazione su calcolatore.
Esistono altri metodi alternativi (numerici):
- Metodo alle Differenze Finite,
- Metodo degli elementi al contorno BEM,
tuttavia hanno delle limitazioni rispetto al FEM.
E’ diventato il metodo standard per risolvere problemi strutturali,
ma anche termici, fluidodinamici, elettromagnetici ecc.
Evoluzione del metodo a partire dagli anni ’50.
Attualmente esistono importanti SW commerciali,
es.: ANSYS, ABAQUS
Soluzione approssima "piecewise solution"
y
y  f ( x)
f ( x)  ?equazione differenziale
x
Soluzione approssima "piecewise solution"
y
Si impongono equazioni di bilancio,
si arriva ad un sistema di equazioni (lineare)
le cui incognite sono le altezze hi
h1
h2
hi
x
Soluzione approssima "piecewise solution"
Si ottiene la migliore approssimazione della funzione,
con una certa discretizzazione
y
hi
h2
h1
x
Soluzione approssima "piecewise solution"
y
Migliore rappresentazione
all'aumentare della discretizzazione
x
Nodi & Elementi
Geometria
“discretizzata”
Elemento,
i-esimo
Nodo, j-esimo
Possibilità di gestire
modelli da poche
migliaia di elementi,
fino a 106 elementi
Calcolo deformazioni
e tensioni, in ogni
punto a partire dagli
spost. nodali
(Funzioni di Forma)
Gradi di libertà del singolo nodo:
Spostamenti nelle direzioni x,y,z
Funzioni di forma (Shape Functions)
Funzioni di spostamento
sul dominio dell’elemento
Spostamenti
nodali
Vincoli e carichi
Vincoli
Forze esterne
applicate, su
alcuni nodi
Soluzione:
Calcolo degli
spostamenti nodali:
(deformata, prima
incognita)
Soluzione del modello agli Elementi Finiti
Il sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali,
si “riduce” ad un sistema (lineare),
in cui le incognite sono gli spostamenti nodali.
K 
u  f
Numero molto elevato di incognite,
comunque finito, ok per calcolatore
La soluzione del modello consiste nella risoluzione di questo sistema.
Tensioni e deformazioni vengono trovate, successivamente,
mediante le funzioni di forma.
Problema reale
Modello FEM
Tipo di Elemento
Analisi statica / dinamica: transitoria, armonica
Modalità di applicazione vincoli/carichi
Comportamento unilaterale/bilaterale del contatto
Comportamento del materiale (modelli costitutivi)
etc.
Scelta del tipo di elemento
Elementi Trave (Beam)
Il nodo rappresenta una sezione
Elementi Guscio (Shell)
Il nodo rappresenta uno spessore
Elementi Solidi (Brick)
Il nodo rappresenta un punto solido
Scelta del tipo di elemento
Geometria
2D
3D
Linee
Elemento
Elemento
Trave 2D
Trave 3D
Elemento solido piano
Elemento
(plane strain/stress)
Guscio (shell)
---
Elem. solido
(brick)
Aree
Volume
ANSYS Wb
INTRODUZIONE AL CODICE
ANSYS
ANSYS
ANSYS
ANSYS
APDL “Classic”
Workbench
BEGIN Level
PREP7
SOLUTION
POST1
Workbench
Classic
ANSYS Classic
• definizione ELEMENT TYPE
• definizione REAL CONSTANTS
PREP7
• definizione MATERIAL PROPERTIES
• definizione GEOMETRIA MODELLO
• definizione MESH del modello
• applicazione VINCOLI E CARICHI
SOLUTION
POST1
Soluzione FEM
• PLOT visualizzazione grafica dei risultati
• LIST risultati in forma numerica
ANSYS Classic
CREAZIONE DEL MODELLO
Generazione diretta
Specificare direttamente
la posizione dei nodi
Definire gli elementi
tramite le connessioni
fra i nodi
Modellazione solida
Uso di primitive geometriche
(rettangoli, cerchi, poligoni,
prismi, cilindri, sfere)
Operazioni booleane sulle
geometrie (somma,
sottrazione, intersezione, ecc.)
Ansys genera automaticamente
i nodi e gli elementi
ANSYS Classic
CREAZIONE DEL MODELLO
modellazione solida
Geometria
Mesh
Nodi ed
elementi
Esempio: Modellazione solida con ANSYS Classic
Anello elastico (plane stress)
F
b  4 mm
D  25 mm
s  2 mm
Rigidezza = ?
Stato di tensione = ?
Definizione elementi
Introduzione di un tipo
di elemento
Elemento solido piano
es. Plane 182
Definizione elementi
Definizione
keyoptions
es.: plane stress
plane strain
axisymmetric
Definizione elementi
spessore, sezione, mom. inerzia, ecc.
Eventuale spessore
plane stress with thickness
Definizione proprietà di materiale
Materiale:
Elastico Lineare Isotropo Omogeneo
Moduli di Young e Poisson
Modellazione solida,
anello elastico, plane stress
Y
Z
X
Definizione “Mesh”
Preprocessor
Meshing-Size Cntrls
Global-Size
Dimensione
elemento
N° suddivisioni
dei lati
Free Meshing (elementi misti triangolari e quadrilateri)
Mapped Meshing (solo elementi quadrilateri)
È necessario rispettare opportune condizioni
Meshing Clear: per cancellare elementi e nodi
(non si può cancellare una geometria se contiene elementi)
“Mesh”: nodi ed elementi
Y
Z
Y
X
Z
‘Infittimento della Mesh’
X
Condizioni di vincolo e di carico
Si possono applicare:
1) alle entità del modello solido
(vengono trasferiti automaticamente ai nodi)
2) ai nodi o agli elementi del modello
Loads-Apply
Structural-Displacement
on Keypoints
Loads-Apply
Structural-Pressures
on lines (surfaces)
Condizioni di vincolo (1/2)
Y
Z
X
Condizioni di vincolo (2/2)
Spostamento imposto su tutti i gradi di libertà = incastro.
Condizioni di carico: pressione sulla linea
Y
Z
X
Condizioni di carico: pressione sulla linea uniforme
F  p b s  16 N
p  2 MPa
Alternativamente si può
dare come input la forza F
Condizione di vincolo: incastro
Condizioni di carico: pressione
U
PRES-NORM
2
Y
Z
X
Solution
Calcola la soluzione
Postprocessing
Rappresentazione deformata
Listato numerico dei risultati
Plot grafico dei risultati
(tensioni eqv., tensioni principali, ecc.)
Grafici dell’andamento dei risultati su path definiti sul modello
Postprocessing: Plot results - Nodal Solution
Componenti di spostamento
Componenti di tensione
Postprocessing: Spostamento secondo Y
Y
MN
-.045165
-.014785
Z
.015595
.045975
.076356
MX
X
.106736
.137116
.167496
.197876
.228256
Postprocessing: Tensione eq. von Mises
Y
Z
MX
X
MN
.385453
10.9938
21.6022
32.2106
42.819
53.4274
64.0358
74.6441
85.2525
95.8609
Postprocessing: sigma_Y
Calcolo flessione, trave a forte curvatura (anello seeger)
D_I, mm
25
D_E, mm Spessore radiale, mm
33
4
D_m, mm
29
p, MPa
2
Spessore assiale
2
F, N
M_f, Nmm
464
16
A, mm^2
W, mm^3
5.33
sigma_0, MPa
87
sigma_I,B, MPa
95.77
sigma_E,B, MPa
-79.58
sigma_I, MPa
-77.6
r_I, mm
r_E, mm
12.5
16.5
r_G, mm r_N, mm e, mm
14.5
14.41
0.092
c_I, mm c_E, mm
1.91
2.09
8
Th.travi curve:
 E  97.8 MPa Y
Z
MX
MN
X
sigma_t, MPa
2
sigma_E, MPa
97.8
Th.travi curve:
 I  77.6 MPa
-77.3366
-57.7594
-38.1822
-18.605
.972269
20.5495
40.1267
59.704
79.2812
98.8584
Postprocessing: sigma_Y, utilizzo del ‘path’
98.858
81.243
63.623
46.003
28.383
10.763
-6.857
-24.477
-42.097
-59.717
-77.337
0
Th.travi curve:
 I  77.6 MPa
Th.travi curve:
 E  97.8 MPa
.8
.4
1.6
1.2
2.4
2
DIST
3.2
2.8
4
3.6
ANALISI DI CONVERGENZA
Tensione Max
5.65
5.6
MPa
5.55
5.5
5.45
FEM
Valore teorico
5.4
5.35
0
10
20
30
N° Nodi
40
50
60
Elementi “strutturali”
Trave a doppio T - appoggiata agli estremi
Trave a doppio T - Modello con elementi trave
Costanti reali da inserire: Area,
Momento d’inerzia, Altezza, Larghezza
Element Table (beam, shell)
ETABLE, NX1, SMISC,1
ETABLE, TY1, SMISC,2
ETABLE, TZ1, SMISC,3
Y
ETABLE, MX1, SMISC,4
ETABLE, MY1, SMISC,5
X
ETABLE, MZ1, SMISC,6
Z
ETABLE, NX2, SMISC,7
ETABLE, TY2, SMISC,8
ETABLE, TZ2, SMISC,9
ETABLE, MX2, SMISC,10
ETABLE, MY2, SMISC,11
ETABLE, MZ2, SMISC,12
i
j
Trave ad doppio T - Modello con elementi trave
ETABLE, MZ1, SMISC, 6
! Memorizza il momento nel nodo I dell’elemento
ETABLE, MZ2, SMISC, 12 ! Memorizza il momento nel nodo J dell’elemento
PLLS,MZ1,MZ2
! Visualizza l’andamento del momento flettente
Trave a doppio T – Modello con elementi
Guscio (Shell 63 – Shell 93)
Trave a doppio T – Modello con elementi
Guscio (Shell 63 – Shell 93)
Costanti reali:
Spessore
Trave a doppio T – Modello con elementi
Guscio (Shell 63 – Shell 93)
Tipi di elemento
Tipi di elemento
Tipi di elemento
Tipi di elemento
ANSYS Workbench
Workbench, soluzione integrata CAD - FEM:
- Possibilità di importare modelli 3D da tutti i CAD:
Pro/E, OneSpace, SolidWorks, CATIA, Unigraphics
- Applicazioni vincoli/carichi semplificata (alcune limitazioni)
- Integrazione con altri moduli di calcolo (AUTODYN, CFX) …
ANSYS Workbench
Corpi diversi
Superficie di interfaccia
Atomatica identificazione delle interfacce di contatto
Modellazione semplice/veloce – alcune limitazioni
ANSYS Workbench – Versione attuale 16.2
Tipi di analisi
Statica strutturale:
- La struttura deve essere equilibrata
(schema di vincolo iso- o più frequentemente iper- statica).
- In caso di soluzione labile =>
errore modello ‘unconstrained’.
- Può tollerare modello labile ma carico non applicato
secondo la direzione di labilità.
- Analisi non lineari:
- non linearità di contatto,
- non linearità di materiale.
- Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell.
- Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello.
- Input: materiali, geometria, vincoli e carichi.
- Output: spostamenti, tensioni, forze, momenti di reazione.
Tipi di analisi
Analisi modale:
- La struttura può essere vincolata, parzialmente vincolata o
completamente libera (a seconda delle condizioni di vincolo
da riprodurre del sistema.
- Analisi lineare, non sono ammesse non linearità né di
contatto né di materiale, in caso di non linearità di contatto,
viene congelata la configurazione di contatto iniziale.
- Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell.
- Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello, ma si
introducono dei limiti sui modi possibili visualizzabili.
- Input: materiali, geometria, vincoli (no carichi).
- Output:
- Lista della frequenze proprie (o naturali), si può
scegliere se mostrare le prime o quelle all’interno di un
intervallo di frequenze;
- Modo di oscillazione associato a ciascuna
frequenza propria;
- Lo stato di tensione e la distribuzione degli
spostamenti è definita a meno di uno scalare.
Tipi di analisi
Risposta armonica:
- La struttura può essere vincolata, parzialmente vincolata o
completamente libera (a seconda delle condizioni di vincolo
da riprodurre del sistema
- Analisi lineare, non sono ammesse non linearità né di
contatto né di materiale, in caso di non linearità di contatto,
viene congelata la configurazione di contatto iniziale
- Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell
- Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello, ma solo
se i carichi hanno le stesse simmetrie della geometria.
- Input: materiali, geometria, vincoli, carichi ma soltanto di
natura armonica (frequenza ampiezza e fase)
- Output:
- risposta armonica alla frequenza di eccitazione
dei carichi applicati (spostamenti, tensioni, reazioni vincolari)
Tipi di analisi
Transitorio dinamico (solutore implicito):
- La struttura può essere vincolata, parzialmente vincolata o
completamente libera (a seconda delle condizioni di vincolo
da riprodurre del sistema.
- Analisi non lineare (es. di contatto o di materiale)
- Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell
- Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello.
- Input: materiali, geometria, vincoli, carichi (legge oraria),
spesso anche velocità iniziali.
- Output:
- evoluzione del transitorio sia spostamenti, sia
tensioni e reazioni vincolari.
Implicito: transitori lenti (tempi dell’ordine di 1 secondo o
molto maggiore).
Tipi di analisi
Transitorio dinamico (solutore esplicito):
- La struttura può essere vincolata, parzialmente vincolata o
completamente libera (a seconda delle condizioni di vincolo
da riprodurre del sistema.
- Analisi non lineare (es. di contatto o di materiale)
- Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell
- Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello.
- Input: materiali, geometria, vincoli, carichi (legge oraria),
spesso anche velocità iniziali.
- Output:
- evoluzione del transitorio sia spostamenti, sia
tensioni e reazioni vincolari.
Esplicito: transitori molto veloci (tempi inferiori o molto
inferiori a 1 secondo).
Tipicamente urti e analisi di crash.
Tipi di analisi
Altre tipi di analisi:
- Buckling (instabilità).
- Fluidodinamica.
- Termico (transiente / a regime).
Analisi consecutive (one way coupling)
Es.: (1) analisi termica, (2) analisi deformativa tensionale.
Analisi accoppiate (two way coupling)
Es.: accoppiamento fluido struttura.
Analisi Euleriana: volume di controllo, prima incognita sono
le velocità.
Tutte le altre analisi meccaniche (anche problema termomeccanico) sono Lagrangiane:
viene seguita la particella materiale, prima incognità gli
spostamenti (anche nelle analisi dinamiche, es. di
transitorio).
Analisi con fenomeni fisici accoppiati
Es. one way coupling: (1) analisi termica, (2) analisi tensionale