Tutto è nato quando la nostra prof. di
matematica mi ha permesso di
prendere un libro dalla biblioteca della
scuola. Ho scelto un libro dove sullo
sfondo vi era una piccola immagine di
una carta francese. Incuriosito da
tutti i segreti che vi si potevano
nascondere, decisi di leggerlo
Da qui è nato il mio interesse per
la simmetria
Il mondo dello specchio
Se noi mettiamo davanti ad uno specchio
un oggetto, potremo vedere nello specchio
il suo “riflesso” ovvero un altro oggetto
opposto a quello dato.
Questo non è altro che un tipo di
simmetria nello spazio: la riflessione
La simmetria
In natura possiamo vedere oggetti
simmetrici!
Ad esempio, se noi prendiamo un fiore e
lo tagliamo: è simmetrico se le parti
tagliate sono tra loro congruenti
Lo stesso vale per una farfalla, un
fiocco di neve, ecc
Definizione e Tipi di simmetrie
Un oggetto ha una simmetria quando la sua mediana lo
taglia in due parti congruenti
Alcuni tipi di simmetrie sono le seguenti
Simmetria assiale: avendo un asse r ad ogni punto P
del piano corrisponde un punto Q in modo tale che P e
Q siano equidistanti rispetto a r e il segmento PQ sia
perpendicolare alla retta r.
Simmetria centrale: fissato un punto O, la simmetria
centrale di centro O è la trasformazione geometrica
che ad ogni punto P fa corrispondere il punto Q tale
che PQ abbia O come punto medio
Quanto è simmetrico un oggetto?
Ma è possibile quantificare quanto un
oggetto sia simmetrico?
Misuriamo quante rotazioni è possibile
applicare all’oggetto lasciandolo invariato e
quanti assi di riflessione ha.
L’insieme delle simmetrie di un oggetto è
appunto l’unione delle rotazioni e riflessioni
possibili per esso.
Triangolo equilatero
Se ruotiamo il triangolo
di 120° rispetto al
baricentro, oppure di
240° o di 360°, il
triangolo rimane
invariato.
Le rotazioni saranno
rispettivamente le
simmetrie “g1”, “g2” e
“g3”.
Se riflettiamo il nostro
triangolo attorno agli
assi che passano per i
vertici e i punti medi dei
lati opposti otteniamo
tre nuove simmetrie (e1,
e2, e3) che lasciano il
triangolo invariato
Simmetrie triangolo
L’insieme delle simmetrie del triangolo
equilatero è composto da 6 elementi, le 3
rotazioni e le 3 riflessioni
precedentemente viste.
Combinando tra loro 2 delle simmetrie (ad
es. una rotazione e una riflessione) il
triangolo equilatero risulterà ancora
invariato.
Tabella dei movimenti
Questa è la tabella delle varie simmetrie nel triangolo
●
Posizione
iniziale
g1
g2
e1
e2
e3
Posizione
iniziale
Posizione
iniziale
g1
g2
e1
e2
e3
g1
g1
g2
Posizione
iniziale
e3
e1
e2
g2
g2
Posizione
iniziale
g1
e2
e3
e1
e1
e1
e2
e3
Posizione
iniziale
g1
g2
e2
e2
e3
e1
g2
Posizione
iniziale
g1
e3
e3
e1
e2
g1
g2
Posizione
iniziale
Quadrato
Se ruotiamo un quadrato
a 90° otteniamo la
simmetria “g1”, se lo
ruotiamo a 180°
otteniamo “g2”, se lo
ruotiamo a 270°
otteniamo “g3”, se lo
ruotiamo a 360°
otteniamo lo stesso
quadrato da cui siamo
partiti.
In tutte le rotazioni il
quadrato rimane invariato.
Se ruotiamo il quadrato
attorno agli assi che
passano per i vertici ed i
punti medi otteniamo
nuove quattro simmetrie
(e1,e2,e3,e4) che lasciano il
quadrato invariato.
Simmetria Quadrato
L’insieme delle simmetrie del quadrato è composto
da 8 elementi, le 4 rotazioni e le 4 riflessioni
precedentemente viste.
Rispetto al triangolo equilatero, il quadrato ha un
insieme delle simmetrie più numeroso.
Possiamo quindi dedurne che è «più simmetrico»
rispetto al triangolo equilatero.
Anche per il quadrato possiamo combinare tra loro
delle simmetrie (es. una riflessione e una rotazione)
lasciando ancora invariato il quadrato.
Tabella dei movimenti
Questa è la tabella delle varie simmetrie nel
quadrato.
●
fermo
g1
g2
g3
e1
e2
e3
e4
fermo
fermo
g1
g2
g3
e1
e2
e3
e4
g1
g1
g2
g3
fermo
e4
e3
e1
e2
g2
g2
g3
fermo
g1
e2
e1
e4
e3
g3
g3
fermo
g1
g2
e3
e4
e2
e1
e1
e1
e4
e2
e3
fermo
g2
g3
g1
e2
e2
e3
e1
e4
g2
fermo
g1
g3
e3
e3
e1
e4
e2
g1
g3
fermo
g2
e4
e4
e2
e3
e1
g3
g1
g2
fermo
Circonferenza
La figura piana che presenta maggiori simmetrie (infinite,
per la precisione…) è la circonferenza.
Infatti ci sono infinite rotazioni rispetto al centro che la
lasciano invariata e infinite possibili riflessioni rispetto ai
suoi diametri.
Per capire meglio le riflessioni in una circonferenza
consideriamo solo un parte di esse: il gruppo orario delle
12 ore.
Gruppo delle 12 ore
In qualsiasi orologio che usiamo
nella nostra vita quotidiana vi è
nascosta una complessità
algebrica notevole.
Come sappiamo le 5 del pomeriggio
si possono anche dire 17, questo è
perché le lancette hanno compiuto
un giro completo (è come se la
circonferenza avesse compiuto
una rotazione). Se la rotazione
avvenisse in senso antiorario
potremmo far corrispondere alle
5 anche -7.
Infatti per ogni numero
dell’orologio possono
corrispondere infiniti numeri
quindi infinite rotazioni della
circonferenza
Simmetrie nello spazio
Gli stessi concetti (rotazioni, riflessioni, etc.) applicati
alla geometria piana si possono verificare nello spazio.
Ad esempio proviamo a definire l’insieme delle simmetrie
di un cubo.
Tetraedro
Sfera
Cubo
Trovare le simmetrie di un
cubo e molto semplice, il cubo
si tratta di un poliedro meglio
“visualizzabile”.
Presenta 24 rotazioni proprie
attorno agli assi (4 ad
ampiezza 120°, 3 di ampiezza
90°, 6 di ampiezza 180°.
Con le riflessioni e le
fotoriflessioni arriviamo ad
un ammontare di 48
simmetrie.
Per chiudere…
I concetti di rotazioni applicati
a un cubo (sebbene non
propriamente attinenti alle
rotazioni viste
precedentemente) sono alla
base del gioco matematico di
maggior successo nella storia….
Il cubo di Rubik non è altro che
un oggetto che permette di
vedere tutte le simmetrie in un
cubo.Esse
sono:43.252.003.274.489.856.0
00 ma esistono algoritmi che
permettono di risolverlo molto
velocemente.