Il laboratorio di matematica per costruire un
ambiente di insegnamento apprendimento volto alla
costruzione di significati degli oggetti matematici:
i casi dell'algebra e della geometria
Domingo Paola
Liceo Issel di Finale Ligure
G.R.E.M.G. Dipartimento di Matematica Università di Genova
Gli studenti della scuola secondaria generalmente
sembrano avere una certa conoscenza dei concetti e delle
abilità basilari in algebra e geometria. Però, i risultati di
diverse indagini valutative indicano che spesso gli studenti
non sono capaci di applicare tali conoscenze in situazioni
di problem solving, né sembrano comprendere molte delle
strutture che stanno sotto tali concetti e abilità. Gli allievi
colmano tale loro incapacità a comprendere,
memorizzando regole e procedure e finiscono così
inevitabilmente col credere che queste rappresentino
l'essenza dell'algebra: una grossa maggioranza degli
allievi ritiene infatti che la matematica sia un elenco di
regole e molti giudicano che l'apprendimento della
matematica consista sostanzialmente nel mandarle a
memoria.
Una didattica sensata dell’algebra:
l’algebra come strumento di pensiero
Il problema è quello di sviluppare una opportuna didattica
in cui gli allievi imparino a diventare padroni del senso
dei simboli che usano, evitando quell'addestramento per
memorizzazione di regole e meccanismi formali, il quale
favorisce invece l'idea che il senso di una formula e delle
trasformazioni su di essa consista soltanto nella sua
struttura sintattica
Il problema va studiato:
•
da un punto di vista epistemologico
•
da un punto di vista cognitivo
•
da un punto di vista didattico
Epistemologicamente: distinzione tra processi computazionali e
oggetti astratti
Cognitivamente: dialettica tra aspetti operativi e strutturali della stessa
nozione; attenzione alle fasi di interiorizzazione del processo, di
condensazione (quando ci si può riferire al processo come scatola
nera) e reificazione (che dà come prodotto l’oggetto matematico);
deissi e metafore come funzioni del linguaggio che producono la
generalizzazione
Didatticamente: l’apprendistato cognitivo e il laboratorio di
matematica
Un elenco di abilità che sono indice di una buona padronanza
dell’algebra come strumento di pensiero e alcuni esempi che illustrano
tali abilità.
1. Chiamare in causa i simboli al momento e nel modo giusto
Esempio 1: i quadrati magici
Somma = 21
Facile!
7
4
5
Somma 10
Ma è
possibile?
5
4
2
S-a-b (3)
(2) S-b-c
Somma S
-b+a+c (6)
b
(5) b+c-a
a
a+b-c (4)
c
S-a-c (1)
Poiché la condizione di possibilità è che S = 3b, ne segue che
il secondo quadrato è impossibile … si tratta di una vera e
propria dimostrazione.
Esempio 2. Il rettangolo di Arcavi
Si consideri un rettangolo; che cosa capita alla sua area se un
lato diminuisce del 10% e l'altro aumenta del 10%?
10 cm
9 cm
20 cm
22 cm
È solo con il ricorso al linguaggio algebrico che la situazione può
essere interpretata in forma chiara e incontrovertibile: se il
rettangolo di partenza ha lati di lunghezza a e b, l'area del secondo
rettangolo vale 1,1a . 0,9b = 0,99ab cioè l'area diminuisce dell'1%.
Generalizzazione del problema: i lati di un rettangolo vengono
incrementati, l’uno secondo un fattore h e l’altro secondo un fattore k.
Come varia l’area del rettangolo?
a
b
ha
b(1+k)
kb
a(1+h)
a(1+h)b(1+k)
Esplorazioni grafiche,
esplorazioni
numeriche, anche con
l’ausilio degli
strumenti di calcolo
automatico
h
k
h 1
Un elenco di abilità che sono indice di una buona padronanza
dell’algebra come strumento di pensiero e alcuni esempi che illustrano
tali abilità.
2. Prevedere quando utilizzare la funzione algoritmica
(sintattica) e la funzione simbolica (semantica) del
linguaggio dell'algebra.
Esempio:
Ipotesi:
1. a, b, c sono numeri naturali non nulli
2. MCD(a, b, c) = 1
3. a2 + b2 + c2 = k2
Tesi: uno solo tra i tre numeri è dispari
Il frame è quello dei numeri pari – numeri dispari; ossia considero numeri
del tipo 2n e 2n+1 (funzione simbolica)
(2n)2 = 4n2
(2n+1) 2 = 4n2 + 4n + 1 = 4(n 2 +n) +1 (funzione algoritmica)
P: il quadrato di un numero naturale n è un multiplo di 4 (se n è pari), oppure
diviso per 4 dà come resto 1 (se n è dispari) (funzione simbolica)
Relativamente ai numeri a, b, c possiamo considerare i seguenti casi:
1. a, b, c, sono tutti pari. Tale caso contrasta con l’ipotesi 2 (se tutti i numeri
sono pari, allora non sono primi fra loro) e deve quindi essere rifiutato
(funzione simbolica).
2. a, b, c, sono tutti dispari. Allora, per la proposizione P, a2 , b2, c2 divisi per 4
danno come resto 1 (funzione simbolica) ; 4g +1, 4j + 1, 4u + 1 = 4(g + j + u) +
3 (funzione algoritmica) che, per la proposizione P non può essere un quadrato
perfetto. Allora tale caso contrasta con l’ipotesi 3 e deve quindi essere rifiutato
(funzione simbolica).
3)
Due fra a, b, c sono dispari e il terzo è pari. Supponiamo, senza
perdere in generalità, che a e b siano dispari, ossia a= 2m +1 e b = 2n +
1, mentre c sia pari, ossia c = 2x (funzione simbolica).
a2 + b 2 + c2 = 4m2 + 4m + 1 + 4n2 + 4n + 1+ 4x2 = 4(m2 + m + n2 + n) + 2,
(funzione algoritmica) divisa per 4 dà come resto 2, quindi, per la proposizione
P non può essere un quadrato perfetto. Allora tale caso contrasta con l’ipotesi 3
e deve quindi essere rifiutato (funzione simbolica).
4). Due fra a, b, c sono pari e il terzo è dispari. Supponiamo, senza perdere in
generalità, che a e b siano pari, ossia a= 2m e b = 2n, mentre c sia dispari, ossia
c = 2x + 1 (funzione simbolica).
a2 + b 2 + c2 = 4m2 + 4n2 + 4x2 + 4x + 1 = 4(m2 + n2 + x2 + x) +1 (funzione
algoritmica). Tale numero, diviso per 4 dà come resto 1, quindi, per la
proposizione P, è un quadrato perfetto. Allora quest’ultimo caso
considerato non contrasta con alcuna delle ipotesi del problema ed è quindi
l’unico accettabile. (funzione simbolica).
Un elenco di abilità che sono indice di una buona padronanza
dell’algebra come strumento di pensiero e alcuni esempi che illustrano
tali abilità.
3. Trasformare formule in altre di significato
equivalente, ma di sensi non equivalenti
Esempio.
Considera il predecessore del quadrato di un numero dispari. Che
cosa si può dire?
Che cosa ci dicono le seguenti formule fra loro equivalenti?
(2n+1)2 – 1 Formule equivalenti relativamente al significato,
2
4n + 4n
4n(n + 1)
ma non equivalenti relativamente al senso.
L’ultima suggerisce che si può dire che si ottiene
sempre un multiplo di 8
Un elenco di abilità che sono indice di una buona padronanza
dell’algebra come strumento di pensiero e alcuni esempi che illustrano
tali abilità.
4. Scegliere opportunamente i simboli (“mettere in
formula”)
Esempio. Un numero di due cifre viene addizionato al numero
che si ottiene invertendo le sue cifre. Si divide la somma ottenuta
per la somma delle cifre del numero dato e si eleva al quadrato il
risultato. Che tipo di regolarità si osserva? Sai spiegare perché?
ab + ba = 2ba
[2ba/(b+a)]2
= ….????
10a + b
10b + a
10a + b + 10b + a = 11(a+b)
11(a+b)/(a+b) = 11
112 = 121
Un elenco di abilità che sono indice di una buona padronanza
dell’algebra come strumento di pensiero e alcuni esempi che illustrano
tali abilità.
5. Controllare ed esercitare la manipolazione formale
in modo flessibile, finalizzandola all’obiettivo da
raggiungere
Esempio. Un pavimento rettangolare è piastrellato con grandi
mattonelle quadrate (diciamo 7 x 5 mattonelle, tanto per fissare le
idee).
Le mattonelle del bordo (nel nostro caso sono 20) hanno un colore
diverso da quelle interne (nel nostro caso sono 15). Trovare tutti i
casi in cui il numero dei due tipi di mattonelle è uguale.
b
a
Indicando con a e b, rispettivamente, i numeri di mattonelle del
bordo orizzontale e di quello verticale, imponiamo un'equazione che
porti a primo membro il numero di mattonelle interne (ottenuto
come differenza tra il numero totale di mattonelle e quelle del
bordo) e a secondo membro il numero di mattonelle del bordo.
ab  [2a + 2(b  2)] = 2a + 2(b2)
Eseguiamo i calcoli (lasciamo libera la "bestia del calcolo") e
otteniamo:
ab  4a  4b + 8 = 0 ossia a(b  4)  4(b  2) = 0
Recuperiamo il significato di quello che stiamo facendo. Se vogliamo
rispondere al problema dobbiamo trovare condizioni su a e su b, ossia
sui numeri di mattonelle del bordo orizzontale e di quello verticale. Se
nella seconda parentesi avessimo b4 in luogo di b  2 potremmo
raccogliere ed ottenere un'equazione del tipo xy = c (capacità
anticipatoria).
Possiamo addizionare 8 ad entrambi i membri dell'equazione
ab  4a  4b + 8 = 0. Otteniamo ab  4a  4b + 16 = 8, ossia
a(b  4)  4(b  4) = 8 e, infine (a  4)(b  4) = 8 (capacità di
manipolazione flessibile: utilizziamo le scomposizioni in modo non
standard, almeno in modo diverso da quello che si utilizza di solito nella
pratica didattica).
Un elenco di abilità che sono indice di una buona padronanza
dell’algebra come strumento di pensiero e alcuni esempi che illustrano
tali abilità.
6. Riconoscere il diverso statuto delle lettere in una
formula
Esempio. È noto che l'espressione y = mx + n rappresenta una funzione
affine in forma (quasi) generale. Nessuno ha difficoltà a spiegare il senso
di quello che si ottiene sostituendo ad esempio i numeri 2,3 alle lettere
m, n. L'espressione risultante y = 2x + 3 rappresenta una certa retta fra
tutte quelle rappresentate dall'espressione di partenza, precisamente
quella di pendenza 2 che incontra l'asse y nel punto di ordinata 3.
Facciamo ora nell'espressione di partenza la sostituzione x = 2, y = 3; si
ottiene l'espressione 3 = 2m + n: che cosa rappresenta? Quale il senso
delle lettere m e n in essa?
Riassumendo, l’insegnamento dell’algebra dovrebbe …
• essere finalizzato all’acquisizione del senso dei simboli
• sfruttare la tecnologia, per potenziare la capacità di esplorare una
situazione, osservare regolarità, produrre congetture
• assecondare i processi genetici di transizione al simbolo a partire
dai campi di esperienza degli allievi, dando tempo e spazio a tutte
quelle attività che favoriscono tali processi (interazione sociale,
mediazione del linguaggio naturale parlato e scritto, esplorazioni,...)
• proporre diversi esempi di problemi stimolanti nell'ambito di vari
campi di esperienza, che possono essere sia interni, sia esterni alla
matematica (combinatoria; modelli fisici, medico-biologici,
economici; probabilità e statistica; aritmetica; geometria; …)
• avviare alla generalizzazione, alla dimostrazione, al sapere teorico
Esempi di attività nel campo di esperienza dell’aritmetica
Che cosa si può dire della somma di due numeri dispari consecutivi?
Che cosa si può dire della somma di tre numeri consecutivi?
Che cosa i può dire della somma di cinque numeri consecutivi?
Che cosa si può dire della somma di quattro numeri consecutivi?
Che cosa si può dire della somma di m numeri consecutivi?
Che cosa si può dire del prodotto di tre numeri consecutivi?
Che cosa si può dire del prodotto di quattro numeri consecutivi?
Che cosa si può dire del prodotto di m numeri consecutivi?
Che cosa si può dire del prodotto (p - 1)(q2 - 1) se p e q sono dispari?
Esempi di attività nel campo di esperienza dell’aritmetica
È vero che se ab è divisibile per n e a non è divisibile per n, allora b
è divisibile per n? Giustifica la risposta e, in caso negativo,
determina, se possibile, le condizioni su a e b affinché la risposta sia
positiva.
La dimostrazione dell’infinità dei numeri primi … ma il prodotto di
un numero finito di primi consecutivi + 1 è sempre primo?
Le formule che generano numeri primi: n2+n +11 ; n2- n +41 …
È vero che n e n+1 sono primi fra loro?
Come eseguono i manipolatori simbolici i test di primalità? Quale è
la condizione di uscita per un programma che provi a dividere per
numeri minori di quello di cui si vuole testare la primalità?
Primo esempio di utilizzazione di Cabri
Terza media – primo anno di scuola superiore
Introduzione di un argomento di geometria: i criteri di
congruenza dei triangoli
Liberamente tratto da Dreyfus, T. & Hadas, N. 1996 Proof as answer to
the question why, ZDM.
Due triangoli sono congruenti se …
Un triangolo è determinato da …
Sono formulazioni logicamente, ma non cognitivamente equivalenti
Noi useremo Cabri per esplorare le relazioni tra le informazioni
disponibili su lati e angoli di un triangolo e la possibilità o meno di
individuare il triangolo.
Nei file che ora esamineremo ho utilizzato tre differenti colori:
il blu per i dati, ossia angoli e lati noti del triangolo (parametri)
il rosso per i “dati trasportati” o, meglio, per evidenziare, nei
triangoli costruiti, lati e angoli dati (parametri fissati nel
particolare problema)
il verde per gli oggetti che è possibile muovere per compiere le
esplorazioni (variabili indipendenti)
il nero per gli oggetti dei triangoli costruiti che si muovono al
variare degli oggetti verdi (variabili dipendenti)
L’azzurro – verde pastello, tratteggiandoli, per gli oggetti non
essenziali (artifici retorici per spiegare meglio).
Come è stato utilizzato Cabri in questo esempio?
Presentazione dei criteri di congruenza dei triangoli.
Attività di esplorazione su costruzioni realizzate dall’insegnante.
Modalità di esplorazione: guidata dall’insegnante (è l’insegnante
che dice che cosa muovere e che cosa non muovere o che cosa
muovere prima o dopo).
L’obiettivo è quello di fondare i criteri di congruenza su un vasto
campo di esperienze e osservazioni e poi prendere questi criteri come
ipotesi di partenza per lo sviluppo di attività geometriche, anche di
piccole catene deduttive a partire dai criteri di congruenza. Il fatto
che sia possibile dimostrare il secondo e il terzo a partire dal primo,
sarà oggetto di studi successivi, se e quando verrà presentata
un’impostazione assiomatica della geometria.
Secondo esempio di utilizzazione di Cabri
Scuola secondaria superiore (studenti “esperti”)
I problemi aperti in Cabri per un avvio al pensiero
teorico e al concetto di dimostrazione.
Problema
Sia dato un quadrilatero ABCD. Tracciate gli assi a del lato AB, b del
lato BC, c del lato CD, d del lato DA. Sia A' il punto di incontro degli
assi a e b, B' il punto di incontro di b e c, C' il punto di incontro di c e d,
D' il punto di incontro di a e d. Studiare come varia A'B'C'D' al variare
di ABCD. Dimostrate le congetture prodotte durante l'esplorazione fatta
in Cabri.
Per una descrizione dell’attività svolta da un gruppo di alunne di
quarta liceo scientifico PNI vedere Paola, D.: 2004, Dimostrazioni e
ambienti di geometria dinamica. Quali relazioni? Didattica delle Scienze,
n.229, 5 - 10
Un altro esempio
Costruire un quadrato esternamente a ogni lato di un quadrilatero. Considerare
il quadrilatero che si ottiene congiungendo i centri dei quattro quadrati così
ottenuti.
Le diagonali del quadrilatero che si ottiene congiungendo i centri dei
quattro quadrati risultano fra loro perpendicolari. Ora Cabri mi
convince che questa osservazione corrisponde al vero, ma perché è
così?
1. le diagonali continuano a essere perpendicolari anche se invece di
quattro quadrati ho quattro rettangoli fra loro simili. Perché?
2. Se in luogo di quattro quadrati costruisco quattro rombi simili le
diagonali sono uguali. Perché?
Situazione: ... troverai un melo M, un pino P e una quercia Q. Da M dirigiti in linea
retta fino a raggiungere P. Qui gira verso la tua destra di 90 gradi e percorri un
segmento uguale a MP. Pianta in questa posizione un paletto P1. Quindi ritorna in M e
dirigiti verso Q in linea retta. Giunto in Q gira a sinistra di 90 gradi e percorri un
segmento uguale a MQ. Pianta, in questa posizione un paletto P2. Il tesoro T si trova
nel punto medio del segmento P1P2.
M
Q
P
P2
T
P1
Problema: Ariele giunge sull’isola e non trova più il melo M. Potrà trovare ugualmente
il tesoro? Come e perché?
L a dimostrazione di Vittorio, Valentina, Gabriele
Considero P2P2’T e P1P1’T: se
sono congruenti T è punto medio
sia di P1P2, sia di P1’P2’
Considero MM’Q e QP2P2’
M’Q=QP2’
MQ=QP2
MQM’ = P2’QP2 perché
complementari di uno stesso
angolo. Quindi MM’=P2P2’
Analogamente P1P1’=MM’
Quindi P1P1’ = P2P2’. Inoltre P2TP2’=P1TP1’. Infine P2 e P2’ sono
i corrispondenti di M e M’ in una rotazione di 90°. Quindi P2P2’ è
perpendicolare a MM’. Analogamente lo è P1P1’. Quindi P2P2’ e
P1P1’ sono paralleli …
Qualche riflessione conclusiva sull’uso di Cabri
nell’avvio al pensiero e al sapere teorico
Cabri sembra creare una sorta di spazio per la comunicazione,
aiutando gli studenti, impegnati nella risoluzione di problemi, a
comunicare idee e strategie risolutive
L’uso di Cabri e la proposta di problemi aperti favoriscono attività
di osservazione, scoperte e produzione di congetture, dando luogo
alla necessaria continuità cognitiva tra le fasi di produzione di una
congettura, costruzione e sistemazione della dimostrazione
È necessaria una genesi strumentale, sulla quale l’insegnante ha forti
responsabilità. A questo proposito diventano assai importanti le
osservazioni sulle metafore, sulle parole, sui gesti utilizzati dagli
studenti, soprattutto se si condivide che la conoscenza sia
profondamente embodied, situata.