LICEO CLASSICO LORENZO COSTA
UN GIOIELLO DEL MARE:
IL NAUTILUS
Classe IV C anno scolastico 12/13 – Materia: matematica
Docente: Emanuela Corsaro
INTRODUZIONE
Nell’ambito della realizzazione dell’Unità di Apprendimento “IL MARE”
abbiamo sviluppato con l’insegnante di matematica la presente unità
didattica “Un gioiello del mare: il Nautilus”.
Riassumiamo di seguito le fasi del nostro lavoro:
• Le conchiglie a spirale
• …anche il nome di un sottomarino
• Il Nautilus e la matematica: la successione di Fibonacci
• La successione di Fibonacci e il numero aureo
• La sezione aurea
• Qualche curiosità
• Fibonacci e la potenza n-esima del binomio
LE CONCHIGLIE A SPIRALE
In natura diversi tipi di conchiglie hanno una forma fatta a spirale, una di
queste è il Nautilus (in alto a sinistra)
 Il Nautilus è un mollusco sopravvissuto relativamente
senza alcun cambiamento per 450 milioni di anni
 è una delle poche conchiglie che esiste dall'era dei
dinosauri, per questo chiamato "fossile vivente“
 è una creatura notturna che passa la maggior parte
della sua vita nelle profondità dell'oceano
…ANCHE IL NOME DI UN SOTTOMARINO
Nautilus, che in greco significa ‘marinaio’ è anche il nome del
primo sommergibile funzionante. Venne commissionato da
Napoleone e progettato dall'inventore americano Robert
Fulton. Varato nel 1800 era costituito da fogli di rame con una
struttura in ferro, usava timoni per il controllo del movimento
verticale e orizzontale e dei serbatoi di aria compressa per dare
all'equipaggio di quattro persone un'autonomia di sei ore.
Sott'acqua il Nautilus veniva spinto da un propulsore a quattro
pale fatto girare a mano.
Il Nautilus è anche il sottomarino fantastico ideato e comandato dal Capitano Nemo nei romanzi
Ventimila leghe sotto i mari (1870) e L'isola misteriosa (1874), frutto del mirabile ingegno visionario di
Jules Verne, popolare scrittore francese anticipatore della moderna fantascienza.
Nautilus vennero chiamati anche altri sottomarini:
 il Regio sommergibile Nautilus, assegnato alla III Squadriglia Sommergibili di Brindisi nel 1913; durante
la prima guerra mondiale operò in funzione offensiva lungo le coste della Dalmazia
 sei navi della marina degli Stati Uniti, incluso lo USS Nautilus SSN-571, che fu il primo sottomarino
militare a propulsione nucleare costruito nel 1952 presso i cantieri navali della General Electric nel
Connecticut.
IL NAUTILUS E LA MATEMATICA
In MATEMATICA il Nautilus è particolarmente interessante perché
l’accrescimento biologico del suo guscio, fatto a forma di spirale, segue
una particolare successione di numeri chiamata successione di Fibonacci.
La successione di Fibonacci è una successione di numeri
interi naturali in cui ciascun numero (a parte i primi due)
è il risultato della somma dei due precedenti.
Matematicamente si ottiene assegnando i valori dei primi due termini, 1 e 1 e
calcolando via via i successivi; si ottiene così la successione infinita di numeri:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, …..
ATTIVITA’ 1: In una pagina del nostro quaderno a quadretti abbiamo
disegnato il guscio del Nautilus seguendo le indicazioni sotto riportate:
1.
2.
3.
Abbiamo preso come unità di misura il lato del quadretto
Procedendo in senso orario abbiamo disegnato due quadrati contigui di
lato 1, poi un quadrato di lato 2, seguito da un quadrato di lato 3, poi
di lato 5, poi di lato 8 e così via..
Abbiamo congiunto con un arco di circonferenza i vertici di questi
quadrati, ottenendo una spirale, detta spirale logaritmica, che descrive
la struttura del Nautilus
ATTIVITA’ 2:
Alcuni di noi hanno svolto una ricerca sul web sulla vita
del matematico pisano Leonardo Fibonacci
ATTIVITA’ 3:
In laboratorio di informatica abbiamo scritto
con Excel i primi 40 numeri (… e oltre) della
successione
formule
di
Fibonacci
utilizzando
le
studiate. Riportiamo a fianco il
nostro foglio di lavoro di Excel.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
A
SUCCESSIONE DI FIBONACCI
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
987
1597
2584
4181
6765
10946
17711
28657
46368
75025
121393
196418
317811
514229
832040
1346269
2178309
3524578
5702887
9227465
LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI E IL NUMERO AUREO
La successione di Fibonacci è legata ad un numero
irrazionale (decimale infinito non periodico) chiamato
numero Aureo il cui valore è circa
Ф = 1.61803398874…
…INFATTI
una delle più importanti proprietà della successione di Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ...
è la seguente:
il rapporto di ogni termine con il precedente si avvicina
molto rapidamente al numero aureo
Ф = 1.618033988874…
più precisamente i valori decimali approssimati di:
1/1; 2/1; 3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; 34/21; 55/34, 89/55; 144/89 ecc.
sono
1; 2; 1,5; 1, 666; 1,6; 1,625; 1,615; 1, 619; 1, 617; 1, 6181; 1, 6180 ecc.
ATTIVITA’ 4:
Utilizzando le formule opportune,
abbiamo
realizzato
con
Excel
la
successione dei rapporti dei termini della
successione di Fibonacci e abbiamo
verificato che il loro valore tende al
numero aureo
Ф = 1.61803398874…
SUCCESSIONE DI FIBONACCI
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
987
1597
2584
4181
6765
10946
17711
28657
46368
75025
121393
196418
317811
514229
832040
1346269
2178309
3524578
5702887
RAPPORTI An/An-1
1,00000000000000
2,00000000000000
1,50000000000000
1,66666666666667
1,60000000000000
1,62500000000000
1,61538461538462
1,61904761904762
1,61764705882353
1,61818181818182
1,61797752808989
1,61805555555556
1,61802575107296
1,61803713527851
1,61803278688525
1,61803444782168
1,61803381340013
1,61803405572755
1,61803396316671
1,61803399852180
1,61803398501736
1,61803399017560
1,61803398820532
1,61803398895790
1,61803398867044
1,61803398878024
1,61803398873830
1,61803398875432
1,61803398874820
1,61803398875054
1,61803398874965
1,61803398874999
1,61803398874986
LA SEZIONE AUREA
DEFINIZIONE La sezione aurea di un segmento di lunghezza l è la misura
del segmento medio proporzionale fra la lunghezza di tutto il segmento e
la parte rimanente.
Prendiamo per comodità l=1 e indichiamo con x la misura della sezione aurea, (1-x) è allora la
misura del segmento rimanente.
1
Dalla definizione deve essere:
x
1-x
1 : x = x : (1-x)
da cui, per la proprietà fondamentale delle proporzioni,
cioè
x2=1-x
x2-(1-x)=0
e
x2+x-1=0
Si dimostra che tale numero x (che è la soluzione positiva dell’equazione di secondo grado scritta sopra), vale
Il rapporto fra la misura di un segmento e la sua sezione aurea viene
chiamato numero aureo e indicato con la lettera Ф
pertanto
Di seguito viene riportato il valore di Ф fino alla 1000 cifra decimale:
1,618033 9887498 9484820 4586834 3656381 1772030 9179805 7628621 3544862 2705260 4628189
7207204 1893911 3748475 4088075 3868917 5212663 3862223 5369317 9318006 0766726 3544333
5939582 9056383 2266131 9928290 2678806 7520876 6892501 7116962 0703222 1043216 2695486
3614438 1497587 0122034 0805887 9544547 4924618 5695364 8644492 4104432 0771344 9470495
8509874 3394422 1254487 7066478 0915884 6074998 8712400 7652170 5751797 8834166 2562494
9704000 2812104 2762177 1117778 0531531 7141011 7046665 9914669 7987317 6135600 6708748
7952368 9427521 9484353 0567830 0228785 6997829 7783478 4587822 8911097 6250030 2696156
4643382 4377648 6102838 3126833 0372429 2675263 1165339 2473167 1112115 8818638 5133162
2221657 9128667 5294654 9068113 1715993 4323597 3494985 0904094 7621322 2981017 2610705
6299098 1629055 5208524 7903524 0602017 2799747 1753427 7759277 8625619 4320827 5051312
5512224 8093947 1234145 1702237 3580577 2786160 0868838 2952304 5926478 7801788 9921990
0389532 1968198 6151437 8031499 7411069 2608867 4296226 7575605 2317277 7520353 6139362...
0244970
8908659
2629631
6584678
0758906
0710131
1700250
0384005
9611645
1815628
2707769
Il numero aureo Ф è l’unico numero non naturale il cui reciproco e il cui
quadrato mantengono inalterata la propria parte decimale:
La successione di Fibonacci possiede molte altre proprietà
interessanti e ha legami in diversi settori: la chimica,
l’economia, l’informatica, l’arte, la geometria dei frattali, la
natura…
In molte specie vegetali il numero dei petali di ogni fiore è di solito un numero di
Fibonacci, come 5, 13, 55 o perfino 377, come nel caso della diaccola. Le squame
delle pigne e i semi del girasole sono disposte con andamenti spiraliformi secondo la
serie di Fibonacci, in modo da essere uniformemente sparsi su tutta la corolla e non
troppo ammassati al centro. Le scaglie degli ananas presentano un'aderenza ancora più
costante ai fenomeni di Fibonacci: non una sola eccezione è stata trovata in un test
compiuto su 2000 ananas.
I numeri di Fibonacci si trovano anche nei cavolfiori e nella fillotassi, ossia
l'ordinamento delle foglie su un gambo. Fu Keplero a rilevare che su molti tipi di alberi
le foglie sono allineate secondo uno schema che segue i numeri di Fibonacci.
I numeri di Fibonacci sono anche presenti nell’installazione luminosa
denominata Il volo dei numeri (di M. Merzi) su una delle facciate della
Mole Antonelliana di Torino.
FIBONACCI E LA POTENZA N-ESIMA DEL BINOMIO
Nel secondo quadrimestre, quando studieremo i prodotti notevoli e la
potenza n-esima del binomio
(A+B)n
vedremo che i numeri della successione di Fibonacci si ottengono
sommando le diagonali del triangolo di Tartaglia: