a.a. 2012/13
Laurea triennale in Scienze della Natura
Matematica ed Elementi di Statistica
Calcolo infinitesimale
Avvertenza
Questi sono appunti “informali” delle lezioni,
che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.
Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati,
la cui consultazione è vivamente incoraggiata.
L’idea generale di limite
Sia f una funzione e sia x0 ∈ R ∪ {−∞, +∞} =: R.
Determinare il limite di f per x che tende a x0 vuole dire analizzare
il comportamento di f “in prossimità” di x0 .
Affinché questo abbia senso è necessario che il dominio di f
contenga punti arbitrariamente vicini a x0 , cioè che x0 sia un
punto di accumulazione per il dominio di f .
Esempi . . .
Per qualsiasi x0 e ` in R, daremo un significato rigoroso alla scrittura
lim f (x) = `.
x→x0
Si legge: “il limite per x che tende a x0 di f (x) è uguale a `”.
Scrittura equivalente: f (x) → ` per x → x0
Si legge: “f (x) tende a ` per x che tende a x0 ”.
Limiti finiti al finito
Limite finito bilaterale
Sia f : D → R. Sia x0 ∈ R punto di accumulazione bilaterale per D .
Sia ` ∈ R.
lim f (x) = `
x→x0
def
⇐⇒
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 t.c. ∀ x ∈ D :
0 < |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − `| < ε (∗)
Interpretazione grafica . . .
Osservazione
Nella definizione il valore di f in x0 non viene considerato;
potrebbe anche non essere definito, visto che non si assume x0 ∈ D .
Esempi . . .
Limite finito destro e sinistro
Notiamo che la condizione 0 < |x − x0 | < δ equivale a
x ∈ (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ).
Se x0 ∈ R è punto di accumulazione destro per D e la disuguaglianza
(∗) vale per ogni x ∈ (x0 , x0 + δ) ∩ D , scriviamo lim + f (x) = `.
x→x0
Se x0 ∈ R è punto di accumulazione sinistro per D e la disuguaglianza
(∗) vale per ogni x ∈ (x0 − δ, x0 ) ∩ D , scriviamo lim f (x) = `.
x→x0 −
Osservazione
Il limite per x che tende a x0 di f (x) esiste ed è uguale a ` se e solo
se i limiti destro e sinistro esistono e sono entrambi uguali a `.
Esempi . . .
Funzioni continue in un punto e in un insieme
Sia f : D → R e sia x0 ∈ D punto di accumulazione per D .
Diciamo che f è
• continua in x0 se lim f (x) = f (x0 );
x→x0
• continua a destra in x0 se lim f (x) = f (x0 );
+
x→x0
• continua a sinistra in x0 se lim f (x) = f (x0 ).
x→x0−
Una funzione si dice continua in un insieme se è continua in tutti i
punti dell’insieme.
Significato “pratico” della continuità. . .
Osservazioni
Calcolare i limiti nei punti in cui una funzione è continua è equivalente
a valutare la funzione nei punti.
f è continua in x0 se e solo se è continua a destra e a sinistra in x0 .
Esempi
La funzione parte intera è continua a destra ma non a sinistra
in x0 = 3.
Lo stesso vale per qualsiasi x0 ∈ Z.
Nei punti di Z il grafico presenta un salto di ampiezza 1.
Idem per la funzione mantissa.

 −1 se x < 0
0 se x = 0
La funzione definita ponendo f (x) =

1 se x > 0
non è continua in x0 = 0, né a destra né a sinistra;
il grafico presenta un salto di ampiezza 2.
I punti del dominio di f in cui f non è continua si chiamano
punti di discontinuità.
Proposizione
Tranne che per le funzioni parte intera e mantissa, tutte le funzioni
“modello” sono continue nei rispettivi domini.
Come ottenere funzioni continue a partire da funzioni continue?
• La somma, la differenza, il prodotto, la combinazione lineare,
il reciproco, il rapporto di funzioni continue sono funzioni
continue nei rispettivi domini.
• La funzione composta di funzioni, ciascuna continua nel proprio
dominio, è a sua volta continua nel proprio dominio.
• La funzione inversa di una funzione continua e strettamente
monotona in un intervallo è una funzione continua nel proprio
dominio.
Limiti infiniti al finito
Sia f : D → R. Sia x0 ∈ R punto di accumulazione bilaterale per D .
lim f (x) = +∞
x→x0
def
⇐⇒
∀ M > 0 ∃ δ > 0 t.c. ∀ x ∈ D :
0 < |x − x0 | < δ =⇒ f (x) > M
lim f (x) = −∞
x→x0
def
⇐⇒
∀ M > 0 ∃ δ > 0 t.c. ∀ x ∈ D :
0 < |x − x0 | < δ =⇒ f (x) < −M
Interpretazione grafica . . .
Anche in questo caso si possono definire i limiti destro e sinistro;
il limite bilaterale esiste ed è uguale a +∞ [−∞] se e solo se i limiti
destro e sinistro esistono e sono entrambi uguali a +∞ [−∞].
Se almeno uno dei due limiti unilaterali è infinito, diciamo che la retta
di equazione x = x0 è un asintoto verticale per (il grafico di) f .
Esempi . . .
Limiti all’infinito
Sia f : D → R, con D insieme illimitato superiormente.
lim f (x) = ` ∈ R
x→+∞
def
⇐⇒
∀ ε > 0 ∃ x̄ ∈ R t.c. ∀ x ∈ D :
x > x̄ =⇒ |f (x) − `| < ε
lim f (x) = +∞
x→+∞
def
⇐⇒
∀ M > 0 ∃ x̄ ∈ R t.c. ∀ x ∈ D :
x > x̄ =⇒ f (x) > M
lim f (x) = −∞
x→+∞
def
⇐⇒
∀ M > 0 ∃ x̄ ∈ R t.c. ∀ x ∈ D :
x > x̄ =⇒ f (x) < −M
Interpretazione grafica . . .
Se
lim f (x) = ` ∈ R, diciamo che la retta di equazione y = `
x→+∞
è un asintoto orizzontale a destra per (il grafico di) f . Esempi . . .
Sia f : D → R, con D insieme illimitato inferiormente.
lim f (x) = ` ∈ R
x→−∞
def
⇐⇒
∀ ε > 0 ∃ x̄ ∈ R t.c. ∀ x ∈ D :
x < x̄ =⇒ |f (x) − `| < ε
lim f (x) = +∞
x→−∞
def
⇐⇒
∀ M > 0 ∃ x̄ ∈ R t.c. ∀ x ∈ D :
x < x̄ =⇒ f (x) > M
lim f (x) = −∞
x→−∞
def
⇐⇒
∀ M > 0 ∃ x̄ ∈ R t.c. ∀ x ∈ D :
x < x̄ =⇒ f (x) < −M
Interpretazione grafica . . .
Se
lim f (x) = ` ∈ R, diciamo che la retta di equazione y = `
x→−∞
è un asintoto orizzontale a sinistra per (il grafico di) f . Esempi . . .
Terminologia
• Diciamo che f converge se tende a un limite finito;
• diciamo che f è infinitesima se converge a 0;
• diciamo che f diverge (positivamente oppure negativamente)
se tende a +∞ oppure a −∞;
• una funzione divergente è anche detta infinita.
Limiti e operazioni algebriche
Sia x0 ∈ R.
Supponiamo che le funzioni f e g ammettano limite per x che tende
a x0 (possibilmente solo da destra o da sinistra).
Conoscendo i limiti di f e g , è possibile determinare i limiti delle
funzioni ottenute combinando algebricamente f e g ?
Regola della somma
f
g
f +g
converge
converge
converge e il limite è uguale
alla somma dei limiti di f e g
diverge
converge
diverge come f
diverge
diverge come f
diverge come f e g
diverge
diverge con segno
opposto rispetto a f
???
Regola della differenza?
Regola del multiplo
c ∈ R∗
f
c ·f
converge a `
converge a c · `
diverge
diverge con segno determinato
con la regola dei segni
Regola del prodotto
f
g
f ·g
converge
converge
converge e il limite è uguale
al prodotto dei limiti di f e g
diverge
diverge
diverge con segno determinato
con la regola dei segni
diverge
converge a ` 6= 0
diverge con segno determinato
con la regola dei segni
diverge
è infinitesima
???
Regola del rapporto
f
g
f
g
converge
converge a ` 6= 0
converge e il limite è uguale
al rapporto dei limiti di f e g
converge
diverge
è infinitesima
diverge
converge a ` 6= 0
diverge (con segno. . . )
diverge
è infinitesima
diverge se g ha segno costante;
non ha limite se g cambia segno
converge a ` 6= 0
è infinitesima
diverge se g ha segno costante;
non ha limite se g cambia segno
è infinitesima
è infinitesima
???
diverge
diverge
???
Ricapitoliamo le forme di indecisione:
• somma di funzioni che divergono con segni opposti /
differenza di funzioni che divergono con lo stesso segno
(forma +∞ − ∞);
• prodotto di funzione infinitesima per funzione infinita
(forma 0 · ∞);
• rapporto di funzioni infinite (forma ∞/∞);
• rapporto di funzioni infinitesime (forma 0/0).
Possibili strategie risolutive:
• manipolare algebricamente le espressioni in modo da ricondursi
a casi in cui sia possibile applicare le regole algebriche,
• applicare la regola di de l’Hôpital. La vedremo in seguito
Esempi:
x 2 − 3x + 2
,
x→1
x2 − 1
lim
x 2 − 3x + 2
x→+∞
x2 − 1
lim
Funzioni asintoticamente equivalenti
Siano f e g due funzioni definite vicino a x0 ∈ R.
Diciamo che f e g sono asintoticamente equivalenti per x che tende
a x0 , e scriviamo
f (x) ∼ g (x)
per x → x0 ,
se
lim
x→x0
f (x)
= 1,
g (x)
o, equivalentemente,
f (x) = g (x) h(x),
dove h è una funzione che tende a 1 per x → x0 .
Osservazione
Due funzioni asintoticamente equivalenti per x → x0 hanno lo stesso
limite.
Osservazione (da ricordare)
Per x → +∞ e per x → −∞, una funzione polinomiale è
asintoticamente equivalente al monomio con esponente maggiore.
Infatti:
an x n + an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0 =
a1
an−1
a0 an x n 1 +
+ ... +
+
an x
a x n−1 an x n
{z n
}
|
tende a 1
Esempi
lim (3x 4 + 2x 3 − 5),
x→−∞
lim (2x − x 2 − 3x 3 )
x→+∞
Proprietà delle equivalenze asintotiche
Per x → x0 :
f1 (x) ∼ f2 (x)
g1 (x) ∼ g2 (x)
f1 (x) g1 (x) ∼ f2 (x) g2 (x)
!
=⇒
f1 (x)
f2 (x)
∼
g1 (x)
g2 (x)
Osservazione (da ricordare)
Una funzione razionale è asintoticamente equivalente al rapporto
dei monomi con esponente maggiore che compaiono a numeratore
e a denominatore.
Esempi
3x 4 + 2x 3 − 5
lim
,
x→+∞ 2x − x 4 − 3x 3
3x 4 + 2x 3 − 5
,
x→−∞ 2x − x 2 − 3x 3
lim
3x 2 + 2x 3 − 5
x→+∞ 2x − x 4 − 3x 3
lim
Limiti e composizione funzionale
Proposizione
Siano f e g due funzioni. Sia x0 ∈ R punto di accumulazione
per il dominio della funzione composta f ◦g .
Supponiamo che lim g (x) = y0 ∈ R.
x→x0
L’uguaglianza
lim f (g (x)) = lim f (y )
x→x0
y →y0
vale se
• y0 ∈ {−∞, +∞}, oppure
• y0 ∈ R e f è continua in y0 ; in questo caso, il limite è f (y0 ).
Esempi
1
3
lim 4 + 2 ,
x→0 x
1
3
lim
+
2
, lim
x→−∞ x 4
x→1
s
3
x +2
,
(x − 1)2
s
lim
x→+∞
x 3 + 2x + 3
8x 3 + 5x 2 + 2
L’idea generale di variazione
Spesso più che ai valori di una certa grandezza siamo interessati al
modo in cui questi valori cambiano in risposta alla variazione di una
certa altra grandezza.
Esempi . . .
Possiamo parlare di
• variazione assoluta
• variazione media
• variazione istantanea
Traduciamo matematicamente questi concetti.
Rapporto incrementale
Da ora in poi supponiamo che l’insieme D sia un intervallo.
Sia f : D → R e sia x0 ∈ D . Sia x ∈ D \ {x0 }.
La differenza f (x) − f (x0 ) è la variazione assoluta della grandezza
espressa da f .
Il rapporto
f (x) − f (x0 )
x − x0
è la variazione media della grandezza espressa da f ; si chiama
rapporto incrementale di f in x0 , valutato in x .
Interpretazione cinematica? Interpretazione geometrica?
Posto h := x − x0 , possiamo riscrivere il rapporto incrementale in x0
f (x0 + h) − f (x0 )
come
, con h 6= 0.
h
Derivata e derivabilità
Sia f : D → R e sia x0 un punto interno all’intervallo D .
Se esiste, il limite
f (x) − f (x0 )
lim
x→x0
x − x0
f (x0 + h) − f (x0 )
= lim
h→0
h
si chiama derivata di f in x0 e si denota con f 0 (x0 ) oppure
df
(x0 ).
dx
Diciamo che f è derivabile in x0 se la derivata di f in x0 è finita;
in simboli: f 0 (x0 ) ∈ R.
Osservazione
La derivata corrisponde alla variazione istantanea della grandezza
espressa da f .
Interpretazione cinematica?
Esempi
Per ciascuna delle seguenti funzioni, calcolare (se esiste) la derivata
di f nel punto x0 assegnato e stabilire se f è derivabile in x0 .
f (x) = x 2
f (x) =
√
3
x0 = 1
x
(
f (x) =
f (x) = |x|
x0 = 0
x sin(1/x) se x 6= 0
0
se x = 0
x0 = 0
x0 = 0
Derivata e derivabilità a destra e a sinistra
Se esiste, il limite
f (x) − f (x0 )
lim+
x − x0
x→x0
"
f (x) − f (x0 )
lim
−
x − x0
x→x0
#
si chiama derivata destra [derivata sinistra] di f in x0 e si denota
con f+0 (x0 ) [f−0 (x0 )].
Diciamo che f è derivabile a destra [a sinistra] in x0 se la derivata
destra [sinistra] di f in x0 è finita.
Esempio: per f (x) = |x| si ha f+0 (0) = 1 e f−0 (0) = −1.
Osservazioni
La derivata destra [sinistra] può essere definita anche nel primo
[secondo] estremo del dominio di f (ammesso che vi siano inclusi).
In un punto interno, f è derivabile se e solo se è derivabile a destra
e a sinistra con derivata destra e sinistra uguali.
Continuità e derivabilità
Proposizione
Se f è derivabile (a destra, a sinistra) in x0 , allora è continua
(a destra, a sinistra) in x0 .
Verifica . . .
Corollario
Se f non è continua in x0 , allora non è derivabile in x0 .
Esempio
Le funzioni parte intera e mantissa non sono derivabili in x0 ∈ Z.
Osservazione
La continuità in un punto è condizione necessaria ma non sufficiente
per la derivabilità.
√
√
Per esempio, le funzioni x 7→ |x|, x 7→ 3 x , x 7→ x sono continue
in 0 ma non derivabili in 0.
Retta tangente
Sia f : D → R derivabile in x0 punto interno a D .
Chiamiamo retta tangente al grafico di f in x0 la retta di equazione
y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ).
Motivazione . . .
Questa definizione fornisce l’interpretazione geometrica della derivata:
f 0 (x0 ) è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f nel
punto di coordinate (x0 , f (x0 )).
Esempio
Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f (x) = x 2 nel
punto x0 = 1.
Interpretazione di f+0 (x0 ) e f−0 (x0 )?
Classificazione dei punti di non derivabilità
Sia f continua in x0 e non derivabile in x0 .
Se x0 è un estremo del dominio di f e la derivata (unilaterale) di f
in x0 è infinita, diciamo che x0 è un punto a tangente verticale.
Se x0 è un punto interno al dominio di f e la derivata di f in x0 è
infinita, diciamo che x0 è un flesso a tangente verticale.
Se x0 è un punto interno al dominio di f e le derivate destra e sinistra
di f in x0 esistono e sono diverse tra loro, diciamo che x0 è
• un punto angoloso se almeno una delle derivate è finita,
• un punto cuspidale se entrambe le derivate sono infinite.
Esempi . . .
Funzione derivata e derivate successive
Associando a ogni punto x in cui f è derivabile il numero f 0 (x)
otteniamo la funzione derivata (prima) di f , che denotiamo con f 0 .
Osservazione
Il dominio della funzione f 0 è sempre incluso nel dominio di f ;
alle volte l’inclusione è stretta. Esempio?
Se la funzione f 0 è derivabile in un punto x0 , diciamo che f è
derivabile due volte in x0 e chiamiamo derivata seconda di f in x0
il numero f 00 (x0 ) := (f 0 )0 (x0 ).
Associando a ogni punto x in cui f è derivabile due volte il numero
f 00 (x) otteniamo la funzione derivata seconda di f , che denotiamo
con f 00 .
Iterando, possiamo introdurre la nozione di funzione derivabile tre
volte, quattro volte, e cosı̀ via, e definire la funzione derivata terza,
quarta, e cosı̀ via; la derivata n -esima di f si denota con f (n) .
Derivata di alcune funzioni elementari
f (x)
f 0 (x)
c
0
ax +b
a
x n (n ≥ 2)
n x n−1
1
x
|x|
−
punti “singolari”
1
x2
sign(x)
x =0
Derivate e operazioni algebriche
Se f e g sono derivabili in x e c ∈ R, anche le funzioni f + g ,
f − g , f · g , c f sono derivabili in x e si ha
(f + g )0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x)
regola della somma
(f − g )0 (x) = f 0 (x) − g 0 (x)
regola della differenza
(c f )0 (x) = c f 0 (x)
regola del multiplo
(f · g )0 (x) = f 0 (x) · g (x) + f (x) · g 0 (x)
regola del prodotto
Se g (x) 6= 0, anche le funzioni
1 0
g
f 0
g
(x) = −
(x) =
1
f
e
sono derivabili in x e si ha
g
g
g 0 (x)
(g (x))2
f 0 (x) · g (x) − f (x) · g 0 (x)
(g (x))2
regola del reciproco
regola del rapporto
Corollario
La somma, la differenza, il prodotto, la combinazione lineare,
il reciproco, il rapporto di funzioni derivabili sono funzioni derivabili
nei rispettivi domini.
Osservazione (da ricordare!)
Sono derivabili nei rispettivi domini
• le funzioni polinomiali (combinazioni lineari di funzioni derivabili),
• le funzioni razionali (rapporti di funzioni derivabili).
Esempi
Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:
f (x) = 6 x 5 − 2x
f (x) =
1
3
5x + 2x − 1
f (x) =
Calcolare la derivata terza della funzione f (x) = 3 x 4 +
3x 2 − 2x + 1
x3 − x
5
.
x
Derivate e composizione funzionale
Siano f e g due funzioni tali che la funzione composta f ◦g sia
definita in un intervallo contenente x .
Se g è derivabile in x e f è derivabile in g (x), allora la funzione
composta è derivabile in x e si ha
(f ◦g )0 (x) = f 0 (g (x)) · g 0 (x).
Questa regola si generalizza alla composizione di tre o più funzioni.
Per esempio:
(f ◦g ◦h)0 (x) = f 0 (g (h(x))) · g 0 (h(x)) · h0 (x).
Corollario
La funzione composta di due o più funzioni derivabili nei rispettivi
domini è una funzione derivabile nel proprio dominio.
Esempio
Calcolare la derivata di f (x) = (3x 2 − 4x + 1)5 .
Derivata di f n ?
Derivate e inversione funzionale
Sia f la funzione inversa di una funzione g , strettamente monotona e
continua in un intervallo. Sia x un punto del dominio di f .
Se g è derivabile in f (x) e g 0 (f (x)) 6= 0, allora f è derivabile in x e
f 0 (x) =
1
g 0 (f (x))
.
Interpretazione geometrica?
Esempio
Sia f la funzione inversa della funzione g (x) = x 3 + 5x .
Calcolare f 0 (6).
Esempio
Per x 6= 0, la funzione f (x) =
√
n
1
.
x è derivabile e f 0 (x) = √
n
n x n−1
Nota: in x = 0 la regola di derivazione non è applicabile; sappiamo
già che f non è derivabile in x = 0 perché la derivata è infinita.
Osservazione
Abbiamo già calcolato le seguenti derivate:
f (x) = x n (n ≥ 2)
f (x) =
f (x) =
1
x
√
n
f 0 (x) = n x n−1
f 0 (x) = −
x
1
x2
1
f 0 (x) = √
n
n x n−1
(x 6= 0)
Notiamo che si tratta di tre casi particolari della seguente derivata:
f (x) = x p
f 0 (x) = p x p−1 .
Questa formula è valida per qualsiasi esponente p (con le opportune
restrizioni per x ).
Derivata di ulteriori funzioni elementari
f (x)
f 0 (x)
f (x)
f 0 (x)
ex
ex
ln(x)
1
x
px
ln(p) p x
logp (x)
1
ln(p) x
sin(x)
cos(x)
arcsin(x)
√
cos(x)
− sin(x)
arccos(x)
−√
tan(x)
1
(cos(x))2
arctan(x)
1
1 + x2
1
1 − x2
(x 6= ±1)
1
(x 6= ±1)
1 − x2
= 1 + (tan(x))2
Prendiamo per buone le derivate in rosso, e ricaviamo tutte le altre attraverso le regole
di derivazione.
Esempi
Calcolare le derivate delle seguenti funzioni applicando le regole di
derivazione; individuare i possibili punti di non derivabilità.
f (x) =
2
− sin(x)
x5
f (x) = arcsin(4x 2 )
f (x) = e 1/x
f (x) = (x 2 + 2e 3x − tan(x))4
f (x) = |x| e x
√
f (x) = (x − 1) 3 x 2 − 3x + 2
f (x) =
cos(x 4 − 3e x )
ex
Applicazione: ricerca di estremi globali e locali
Sia D ⊂ R un intervallo; sia f : D → R; sia x0 ∈ D .
Diciamo che x0 è un punto di
massimo
minimo
f (x) ≤ f (x0 )
globale per f se
∀ x ∈ D;
f (x) ≥ f (x0 )
in tal caso diciamo che f (x0 ) è il
max f
denotiamo con
D
min f
D
Interpretazione grafica?
.
massimo
minimo
globale di f e lo
Diciamo che x0 è un punto di
massimo
locale per f se
minimo
esiste un intervallo aperto D 0 , con x0 ∈ D 0 , tale che
f (x) ≤ f (x0 )
f (x) ≥ f (x0 )
in tal caso diciamo che f (x0 ) è un
∀ x ∈ D ∩ D0 ;
massimo
locale di f .
minimo
Osservazione
Un punto di massimo globale è anche di massimo locale; in generale
il viceversa non vale.
Interpretazione grafica?
Il massimo e il minimo globale di f si chiamano estremi globali di f ;
i punti di massimo e minimo globale di f si chiamano punti di estremo
globale di f .
I massimi e minimi locali di f si chiamano estremi locali di f ;
i punti di massimo e minimo locale di f si chiamano punti di estremo
locale di f .
Estremi = ordinate; punti di estremo = ascisse
Osservazione
• Se esistono, gli estremi globali sono unici, mentre i punti di
estremo globale possono essere molteplici.
• Sia gli estremi locali che i punti di estremo locale, se esistono,
possono essere molteplici.
Esempi . . .
Osservazioni
Non è detto che una funzione abbia estremi globali/locali. Esempi?
Se f è continua in un intervallo chiuso e limitato, allora ha estremi
globali (teorema di Weierstrass). Come facciamo a determinarli?
Se f è monotona:
• f crescente in [a, b]
=⇒ min f = f (a), max f = f (b);
[a,b]
• f decrescente in [a, b]
[a,b]
=⇒ min f = f (b), max f = f (a);
[a,b]
[a,b]
• f strettamente monotona =⇒ non vi sono punti interni
di estremo locale.
Come facciamo a stabilire se f è monotona?
E come facciamo in generale a trovare gli estremi globali/locali?
Ci aiutano le derivate . . .
Criterio per la ricerca di punti di estremo locale
Sia D un intervallo e sia f : D → R.
Sia x0 ∈ D un punto di estremo locale. Allora:
• x0 è uno degli estremi dell’intervallo D , oppure
• x0 è un punto interno a D in cui f non è derivabile
(punto singolare), oppure
• x0 è un punto interno a D in cui f è derivabile e f 0 (x0 ) = 0
(punto stazionario).
Interpretazione geometrica
In un punto di estremo locale interno a D la tangente al grafico di f ,
se esiste, è orizzontale.
Esempio: individuare i possibili punti di estremo locale per le funzioni
x 7→ x 2 (1 − x 2 ) ,
x 7→ x 3 (1 − x 2 ) ,
x 7→ |x|(1 − x 2 ) ,
x 7→ arcsin(4x 2 )
Osservazione
Sia f : D → R una funzione continua e sia x0 interno a D candidato
punto di estremo locale.
Se f ha lo stesso tipo di monotonia a sinistra e a destra di x0 , allora
x0 non è un punto di estremo locale. Esempi?
Se in x0 vi è un cambiamento di monotonia, allora x0 è un punto di
estremo locale. Precisamente:
monotonia di f
vicino a x0 , a sinistra
monotonia di f
vicino a x0 , a destra
classificazione di x0
crescente
decrescente
punto di massimo locale
decrescente
crescente
punto di minimo locale
Perciò: per classificare un candidato punto di estremo locale è utile
stabilire condizioni sufficienti per la monotonia di una funzione in un
intervallo.
Applicazione: studio della monotonia
Premessa: legame tra variazione media e variazione istantanea
Teorema del valor medio (o di Lagrange)
Sia D un intervallo.
Sia f : D → R continua in D e derivabile nei punti interni a D .
Allora: per ogni x1 , x2 ∈ D esiste x̄ compreso tra x1 e x2 tale che
f (x2 ) − f (x1 )
x2 − x1
coefficiente angolare della
retta secante
variazione media
Interpretazione cinematica?
=
f 0 (x̄).
coefficiente angolare della
retta tangente
variazione istantanea
Corollario
Sia D un intervallo.
Sia f : D → R continua in D e derivabile nei punti interni a D .
(1) f 0 (x) > 0 per ogni x interno a D =⇒
f strettamente crescente in D .
(2) f 0 (x) < 0 per ogni x interno a D =⇒
f strettamente decrescente in D .
(3) f 0 (x) = 0 per ogni x interno a D =⇒ f costante in D .
Motivazione . . .
(1)-(2): criterio di monotonia
(3): caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla (in un intervallo)
Test della derivata prima
Sia f : D → R una funzione continua e sia x0 interno a D candidato
punto di estremo locale. Supponiamo f derivabile vicino a x0 .
Se, per x vicino a x0 , f 0 (x) ha lo stesso segno a sinistra e a destra di
x0 , allora x0 non è un punto di estremo locale; è un punto di flesso a
tangente orizzontale.
Se, per x vicino a x0 , f 0 (x) ha segni discordi a sinistra e a destra di
x0 , allora x0 è un punto di estremo locale. Precisamente:
segno di f 0 (x)
vicino a x0 , a sinistra
segno di f 0 (x)
vicino a x0 , a destra
classificazione di x0
positivo
negativo
punto di massimo locale
negativo
positivo
punto di minimo locale
Esempio: classificare i candidati punti di estremo locale per le funzioni
x 7→ x 2 (1 − x 2 ) ,
x 7→ x 3 (1 − x 2 ) ,
x 7→ |x|(1 − x 2 ) ,
x 7→ arcsin(4x 2 )
Applicazione: studio della convessità
Sia D un intervallo e sia f : D → R una funzione derivabile.
Diciamo che f è
• (strettamente) convessa se per ogni x0 ∈ D si ha
f (x) >
f (x0 ) + f 0 (x0 )(x
− x0 )
∀ x ∈ D \ {x0 }
il grafico di f
è al di sopra
della retta
tangente in x0
• (strettamente) concava se per ogni x0 ∈ D si ha
f (x) <
f (x0 ) + f 0 (x0 )(x
− x0 )
∀ x ∈ D \ {x0 }
il grafico di f
è al di sotto
della retta
tangente in x0
Se f è convessa a sinistra di x0 e concava a destra di x0 , o viceversa,
diciamo che x0 è un punto di flesso.
Osservazione
In un punto di flesso la tangente al grafico di f attraversa il grafico.
Flessi a tangente verticale / orizzontale . . .
Criterio di convessità
Sia D un intervallo e sia f : D → R una funzione derivabile due volte.
• f 00 (x) > 0 ∀ x ∈ D
=⇒ f strettamente convessa in D .
• f 00 (x) < 0 ∀ x ∈ D
=⇒ f strettamente concava in D .
Cosa si può dire se f 00 (x) = 0 ∀ x ∈ D ?
Interpretazione geometrica della derivata seconda . . .
Osservazioni
In un punto di flesso la derivata seconda, se esiste, si annulla.
Non vale il viceversa. Esempio?
I punti di flesso sono punti di estremo locale per la derivata prima.
Interpretazione “pratica”?
Esercizio
Verificare le proprietà di monotonia e convessità delle funzioni
“modello” attraverso lo studio del segno delle rispettive derivate
prime e seconde.
Esempio (da ricordare)
Studiare le proprietà asintotiche, di monotonia e di convessità delle
seguenti funzioni, definite a partire dalla funzione esponenziale:
• funzione Gaussiana
• funzioni iperboliche
Esempio
1
Studiare le proprietà della funzione f (x) =
e tracciarne
ln(4 − x 2 )
un grafico approssimativo.
Esempio
Determinare graficamente il numero di soluzioni delle equazioni
x + 1
x 3 − 3x + 1 = 0
ln
+x +4=0
x
Applicazione: risoluzione di forme di indecisione
Regola di de l’Hôpital
Siano f e g due funzioni e sia x0 ∈ R un punto di accumulazione per
f
il dominio della funzione rapporto .
g
Supponiamo che:
(a) f e g siano entrambe infinitesime oppure entrambe infinite
per x che tende a x0 ;
(b) f e g siano derivabili vicino a x0 ;
(c) esista il limite
lim
x→x0
f 0 (x)
= ` ∈ R.
g 0 (x)
Allora:
f (x)
anche il rapporto
ammette limite in x0 e si ha
g (x)
f (x)
lim
= `.
x→x0 g (x)
Esempi
Calcolare lim
x→1
ln(x)
,
1 − x2
lim
x→0
sin(x) − x
.
x5
Ruolo delle ipotesi
f
Se (a) non è soddisfatta, non è detto che il limite di
sia uguale
g
0
f
x
al limite di 0 . Esempio: lim+
g
x→1 ln(x)
f
Se (c) non è soddisfatta, nulla può dirsi sul limite di , che può
g
x − sin(x)
esistere o non esistere. Esempio: lim
x→+∞ x + sin(x)
Nota:
lim
x→+∞
sin(x)
= 0 per “convergenza obbligata”
x
Confronto tra infiniti e infinitesimi
Siano f e g funzioni entrambe infinite oppure entrambe infinitesime
f (x)
per x → x0 , tali che esista il limite lim
=: ` ∈ R.
x→x0 g (x)
infiniti
dello stesso ordine.
infinitesimi
Se ` ∈ R∗ ,
f e g si dicono
Se ` = 0,
f si dice
infinito di ordine inferiore
rispetto a g ;
infinitesimo di ordine superiore
Se ` = ±∞,
f si dice
infinito di ordine superiore
rispetto a g .
infinitesimo di ordine inferiore
Osservazione
La nozione di “ordine” generalizza la nozione di “grado”, che si
applica esclusivamente alle funzioni polinomiali.
Gerarchia degli infiniti
Per x → +∞, le funzioni
x 7→ p x (p > 1),
x 7→ x α (α > 0),
x 7→ logq (x) (q > 1)
sono tutte e tre infinite.
px
• lim α = +∞
x→+∞ x
xα
• lim
= +∞
x→+∞ logq (x)
per x che tende a +∞
la funzione esponenziale di base maggiore di 1
è infinito di ordine superiore rispetto alla
funzione potenza con esponente positivo
per x che tende a +∞
la funzione potenza con esponente positivo
è infinito di ordine superiore rispetto alla
funzione logaritmo
Nota: la gerarchia è la stessa per il logaritmo con base 0 < q < 1;
in questo caso, sia il logaritmo che il rapporto qui sopra divergono
negativamente.
Esercizio
Calcolare i seguenti limiti:
lim
x→+∞
√
x − ln(x),
3x − x 2
x→+∞ 2x + x 3
lim
Esercizio
Studiare le proprietà asintotiche, la monotonia e la convessità della
funzione f (x) = |x + 1|e −x , tracciarne un grafico approssimativo e
utilizzarlo per determinare il numero delle soluzioni dell’equazione
f (x) = λ, al variare di λ ∈ R.
Esercizio
Studiare le proprietà asintotiche, la monotonia e la convessità della
funzione f (x) = x ln(x), tracciarne un grafico approssimativo e
utilizzarlo per determinare il numero delle soluzioni dell’equazione
f (x) = λ, al variare di λ ∈ R.
Completare lo studio del grafico della funzione f (x) =
1
...
ln(4 − x 2 )
Integrale indefinito
Sia f : D → R.
Si dice che la funzione g è una primitiva (o anti-derivata) di f in D
se g è derivabile in D e g 0 (x) = f (x) per ogni x ∈ D .
Esempi “pratici” di primitive?
L’insieme di tutte le primitive di una funzione
f si chiama integrale
R
indefinito di f e si denota con il simbolo f (x) dx .
Osservazione
Se l’insieme D è un intervallo, tutte le primitive di f differiscono per
una costante additiva. Perché?
Pertanto, se g è una qualsiasi primitiva di f , si ha
Z
f (x) dx = g (x) + c, c ∈ R.
In altre parole: per determinare tutte le primitive di una funzione è
sufficiente determinarne una.
Integrali indefiniti immediati
Z
Z
1 dx = x + c
x p+1
+c
x dx =
↑ p+1
p
Z
1
dx = ln |x| + c
x
p6=−1
Z
Z
e x dx = e x + c
p x dx =
Z
px
+c
ln(p)
Z
sin(x) dx = − cos(x) + c
Z
1
dx =
(cos(x))2
Z
Z
1
√
dx = arcsin(x) + c
1 − x2
cos(x) dx = sin(x) + c
(1 + (tan(x))2 ) dx = tan(x) + c
Z
1
dx = arctan(x) + c
1 + x2
Regole di integrazione (corrispondono a regole di derivazione)
1
Integrazione per scomposizione
Z
f (x) + g (x) dx =
Z
c f (x) dx =
(regola della somma e del multiplo)
Z
f (x) dx +
Z
c f (x) dx
Z
g (x) dx
2
Integrazione per sostituzione
(regola della funzione composta)
Z
Z
0
f (g (x)) g (x) dx = f (t) dt |t=g (x)
3
Integrazione per parti
(regola del prodotto)
Z
Z
f (x)g 0 (x) dx = f (x)g (x) − f 0 (x)g (x) dx.
Esempi
Calcolare l’integrale indefinito delle seguenti funzioni:
x 3 − 4x 2 + 3
e sin(x) cos(x)
x sin(2x)
3e x − 2x 4
(arcsin(x))2
√
1 − x2
x e −x
4
2
+ − 3 cos(x)
3
x
x
1
p
3
x ln(x) + 2
(x 2 + x) cos(3x)
x2
1 + x2
ex
e 2x + 1
e 2x sin(x)
g 0 (x)
g (x)
ln(x), arctan(x), arcsin(x)
e ax ; cos(ax); sin(ax)
1
x
;
3x − 1 1 + x 2
(x 2 + 3x) ln(x)
1
2
x + a2
x + 3 x 2 + 3x + 2
;
x 2 + 9 x 2 + 5x + 10
√
5
+ e −3x
1 − x2
Osservazione
Si può dimostrare che ogni funzione continua in un intervallo
è dotata di primitiva. Tuttavia:
• per alcune funzioni la determinazione esplicita di una primitiva
può essere notevolmente complicata;
−→ software
• esistono funzioni continue per le quali non esiste una primitiva
esprimibile attraverso funzioni elementari, come ad esempio le
sin(x)
2
funzioni x 7→ e −x , x 7→
.
−→ sviluppi in serie,
x
approssimazioni
Integrale definito
Siano a, b ∈ R con a < b ; sia n ∈ N∗ . Poniamo
b−a
xk := a + k
per k = 0, 1, 2, . . . , n .
n
L’insieme Pn := {x0 , x1 , . . . , xn } si chiama partizione uniforme
n -esima dell’intervallo [a, b].
I punti di Pn suddividono l’intervallo [a, b] in n sottointervalli
b−a
di ampiezza ∆x :=
. Esempio . . .
n
Sia ora f una funzione reale definita in [a, b].
Segliamo un punto x̄k ∈ [xk−1 , xk ] per ogni k = 1, . . . , n
e definiamo la somma di Cauchy:
Sn (f ) :=
n
X
k=1
f (x̄k ) (xk − xk−1 )
Significato geometrico
per funzioni
non negative?
Al variare di n , i numeri Sn (f ) costituiscono una successione,
cioè una funzione avente dominio N.
Dato che N è illimitato superiormente, ha senso considerare
il limite di Sn (f ) per n → +∞.
Domande:
1
esiste il limite di Sn (f )?
2
se esiste, il limite di Sn (f ) dipende dalla scelta dei punti x̄k ?
Due esempi “agli antipodi”:
• funzione costante f (x) ≡ c , x ∈ [a, b]:
Sn (f ) = c (b − a) per qualsiasi scelta di x̄k , quindi . . .
1 se x ∈ [a, b] ∩ Q
• funzione di Dirichlet f (x) =
0 se x ∈ [a, b] \ Q
(
b − a se x̄k ∈ Q per ogni k
Sn (f ) =
quindi . . .
0
se x̄k 6∈ Q per ogni k
Teorema
Se f è continua, il limite per n → +∞ di Sn (f ) esiste, è finito,
e non dipende dalla scelta dei punti x̄k .
Questo limite si chiama integrale definito di f in [a, b] e si denota
Rb
con a f (x)dx . In simboli:
Z b
n
X
f (x̄k ) (xk − xk−1 ) .
f (x) dx := lim Sn (f ) = lim
n→+∞
n→+∞
a
|
{z
}
k=1
:= ∆x
Se f : [a, b] → R è non negativa, l’interpretazione geometrica della
somma Sn (f ) fornisce l’interpretazione geometrica dell’integrale
definito:
Z
b
a
f (x) dx = area della regione piana compresa
tra il grafico di f e l’asse delle ascisse
(rettangoloide sotteso al grafico di f ).
Esempio: funzione costante
Alcune proprietà degli integrali definiti
Proprietà di additività
Sia f una funzione continua nell’intervallo D e siano a, b, c ∈ D ,
con a < c < b . Allora:
Z b
Z c
Z b
(integrale per funzioni
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx
continue a tratti . . . )
a
a
c
Osservazione
Nella definizione di somma di Cauchy, e quindi di integrale, abbiamo
supposto a < b . Possiamo eliminare questa restrizione, ponendo


se a = b
Z b
 0
Z
a
f (x) dx :=

f (x) dx
se a > b
a
 −
b
Con questa generalizzazione, la proprietà di additività vale per
a, b, c ∈ D qualsiasi.
Media integrale
Sia f una funzione continua in [a, b]. Il numero
Z b
1
Media(f ) :=
f (x) dx
b−a a
si chiama media integrale di f in [a, b].
Motivazione . . .
Proprietà della media integrale
• min f ≤ Media(f ) ≤ max f .
[a,b]
[a,b]
• Esiste x0 ∈ [a, b] tale che f (x0 ) = Media(f ).
Interpretazione
geometrica?
Come si calcola l’integrale di una funzione (non costante)?
Formula fondamentale del calcolo integrale
Teorema
Sia f una funzione continua nell’intervallo D .
Sia g una qualsiasi primitiva di f in D .
Allora: per ogni a, b ∈ D si ha
Z b
b
f (x) dx = g (b) − g (a) =: g (x) a .
a
Dimostrazione . . .
Esempio
Calcolare l’integrale definito tra 0 e π della funzione sin(x).
Osservazione
La formula fondamentale del calcolo integrale fornisce il legame tra
i due concetti di integrale che abbiamo introdotto, cioè l’integrale
definito e l’integrale indefinito.
Esempi
Calcolare l’area del rettangoloide sotteso al grafico della funzione
f (x) = x 2 , x ∈ [1, 3].
Calcolare la media integrale della funzione f (x) = x 2 nell’intervallo
[1, 3] e verificare che soddisfa le proprietà della media.
Calcolare l’area del rettangoloide sotteso al grafico della funzione
2
f (x) = e −x , x ∈ [1, 3]. ?!?
Calcolare l’area della regione piana compresa tra il grafico di
f (x) = x cos(x), l’asse delle ascisse, le rette x = 0, x = 3π/2. ?
Calcolare l’area della regione piana compresa tra i grafici di f (x) = x ,
g (x) = x 2 e le rette x = 0, x = 4. ?
Nota
Per f di segno qualsiasi in [a, b], l’area della regione piana compresa
Rb
tra il grafico di f e l’asse delle ascisse è uguale a a |f (x)| dx .
Per f , g : [a, b] → R, l’area della regione piana compresa tra il grafico
Rb
di f e il grafico di g è uguale a a |f (x) − g (x)| dx .
Integrali impropri (su intervalli illimitati)
Sia f : [a, +∞) → R una funzione continua.
Se esiste, il limite
Z t
Z +∞
lim
f (x) dx =:
f (x) dx
t→+∞ a
a
si chiama integrale improprio di f su [a, +∞).
Interpretazione
geometrica?
Nota: il limite esiste sicuramente se f ha segno costante. Perché?
Se il limite è finito, diciamo che l’integrale improprio converge e che
la funzione f è integrabile in senso improprio su [a, +∞).
Se il limite è infinito, diciamo che l’integrale improprio diverge.
Esempio

Z +∞
 1
1
p−1
dx =

xp
1
+∞
se p > 1
se p ≤ 1
Verifichiamo . . .
Analogamente si definisce l’integrale improprio per f : (−∞, a] → R:
Z a
Z a
f (x) dx := lim
f (x) dx.
−∞
t→−∞ t
Se f : R → R è integrabile in senso improprio sia su (−∞, a] che su
[a, +∞), per qualche a ∈ R, diciamo che f è integrabile in senso
improprio su R e poniamo
Z +∞
Z a
Z +∞
f (x) dx :=
f (x) dx +
f (x) dx.
−∞
−∞
a
Esempi
Z +∞
−∞
Z
+∞
−∞
1
dx = π
1 + x2
Verifichiamo . . .
1
2
φ(x) dx = 1, con φ(x) := √ e −x /2 funzione Gaussiana
2π
Polinomio di Taylor (solo qualche cenno)
Sia n un intero.
Sia f una funzione derivabile n volte in un intervallo D e sia x0 un
punto interno a D .
La funzione polinomiale
Pn (x) :=
n
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
(x − x0 )k
si chiama polinomio di Taylor di f di ordine n e centro x0 .
Più esplicitamente:
Pn (x) := f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + · · · +
f (n) (x0 )
(x − x0 )n .
n!
Notiamo che il grado di Pn è minore o uguale a n .
Casi particolari
• Il polinomio di Taylor di ordine 0 è
P0 (x) = f (x0 );
il suo grafico è la retta orizzontale passante per il punto
(x0 , f (x0 )).
• Il polinomio di Taylor di ordine 1 è
P1 (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 );
il suo grafico è la retta tangente al grafico di f nel punto
(x0 , f (x0 )).
• Il polinomio di Taylor di ordine 2 è
f 00 (x0 )
(x − x0 )2 ;
2
se f 00 (x0 ) 6= 0, il suo grafico è una parabola (parabola
osculatrice), tangente al grafico di f nel punto (x0 , f (x0 )).
P2 (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
Polinomio di Taylor di alcune funzioni elementari
Funzione esponenziale: f (x) = e x ,
Pn (x) = 1 + x +
x0 = 0
x2 x3 x4
xn
+
+
+ ... +
2
3!
4!
n!
Funzione coseno: f (x) = cos(x),
P2n (x) = P2n+1 (x) = 1 −
x0 = 0
x2 x4 x6
x 2n
+
−
+ . . . + (−1)n
2
4!
6!
(2n)!
Funzione seno: f (x) = sin(x),
P2n+1 (x) = P2n+2 (x) = x −
x0 = 0
x3 x5 x7
x 2n+1
+
−
+ . . . + (−1)n
3!
5!
7!
(2n + 1)!
Funzione logaritmo: f (x) = ln(x), x0 = 1
Pn (x) = (x − 1) −
(x − 1)2 (x − 1)3 (x − 1)4
(x − 1)n
+
−
+ . . . + (−1)n−1
2
3
4
n
Guardiamo qualche grafico . . .
vai
Introduciamo la funzione differenza Tn (x) := f (x) − Pn (x) (x ∈ D )
che si chiama resto di Taylor di ordine n e centro x0 .
I grafici che abbiamo visto suggeriscono le seguenti proprietà:
1
per ogni n fissato:
Tn (x) è uguale a zero in x0 , “piccola” vicino a x0 ,
“grande” lontano da x0 .
2
per x fissato (in R per exp, cos, sin; in (0, 2) per ln):
al crescere di n , Tn (x) decresce e tende a zero.
Conseguenza: possiamo approssimare f (x) con il polinomio Pn (x),
cioè scrivere
f (x) = Pn (x) + Tn (x) ' Pn (x),
commettendo un errore che possiamo rendere arbitrariamente piccolo
prendendo x sufficientemente vicino a x0 , oppure n sufficientemente
grande. Esempi . . .
Alcune applicazioni dei polinomi di Taylor
• Risoluzione di alcune forme di indecisione
Esempio: calcolare lim
x→0
sin(x) − x
x5
Confrontare con l’applicazione della regola di de l’Hôpital
• Interpretazione geometrica della derivata seconda
Usando il polinomio di ordine 2:
f 00 (x0 )
(x − x0 )2 + T2 (x)
2
f 00 (x0 )
(x − x0 )2 ,
' f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
2
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
h
i f 00 (x )
0
da cui f (x) − f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) '
(x − x0 )2
2
• Integrazione approssimata
Se possiamo approssimare f con il polinomio Pn , allora
possiamo approssimare l’integrale (definito o improprio)
Z b
Z b
f (x) dx con l’integrale
Pn (x) dx .
a
a
(Nota: se controlliamo l’errore commesso nell’approssimazione f (x) ' Pn (x) ,
possiamo controllare anche l’errore commesso nell’approssimare l’integrale.)
Vantaggio: per calcolare l’integrale di una funzione polinomiale
possiamo sempre avvalerci della F.F.C.I.!
Esempio “inutile”, serve solo a sperimentare il metodo . . .
Utilizzare il polinomio di Taylor dellaR funzione esponenziale per
1
calcolare un valore approssimato di 0 e x dx .
Esempio (importante!)
Consideriamo la funzione Φ : R → R definita ponendo
Z z
Z z
1
2
Φ(z) :=
φ(x) dx = √
e −x /2 dx
2π −∞
−∞
per ogni z ∈ R.
Interpretazione geometrica?
Sappiamo che questo integrale improprio non può essere calcolato
esplicitamente. Alcuni valori di Φ sono stati calcolati numericamente
vai alla tabella
in maniera approssimata e tabulati.
Descriviamo come si possono ottenere i valori della tabella utilizzando
il polinomio di Taylor della funzione esponenziale . . .
Osservazione
A partire dalla tabella possiamo calcolare l’integrale di φ su qualsiasi
intervallo.
GRAFICI
POLINOMI
DI
DI
ALCUNI
TAYLOR
Funzione esponenziale: f (x) = e x ,
1
P0 (x) = 1
x0 = 0
Funzione esponenziale: f (x) = e x ,
1
P1 (x) = 1 + x
x0 = 0
Funzione esponenziale: f (x) = e x ,
x0 = 0
1
P2 (x) = 1 + x +
x2
2
Funzione esponenziale: f (x) = e x ,
x0 = 0
1
P3 (x) = 1 + x +
x2 x3
+
2
6
Funzione seno: f (x) = sin(x),
P1 (x) = x
x0 = 0
Funzione seno: f (x) = sin(x),
P3 (x) = x −
x3
6
x0 = 0
Funzione seno: f (x) = sin(x),
P7 (x) = x −
x0 = 0
x3 x5 x7
+
−
3!
5!
7!
Funzione seno: f (x) = sin(x),
P17 (x) = x −
x0 = 0
x3 x5 x7
x 17
+
−
+ ··· +
3!
5!
7!
17!
Funzione seno: f (x) = sin(x),
P21 (x) = x −
x0 = 0
x3 x5 x7
x 21
+
−
+ ··· +
3!
5!
7!
21!
Funzione seno: f (x) = sin(x),
P35 (x) = x −
x0 = 0
x3 x5 x7
x 35
+
−
+ ··· −
3!
5!
7!
35!
Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x0 = 0
–1
P1 (x) = x
1
Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x0 = 0
–1
P2 (x) = x −
1
x2
2
Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x0 = 0
–1
P3 (x) = x −
1
x2 x3
+
2
3
Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x0 = 0
–1
P4 (x) = x −
1
x2 x3 x4
+
−
2
3
4
Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x0 = 0
–1
P7 (x) = x −
1
x2
x7
+ ... +
2
7
Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x0 = 0
–1
P8 (x) = x −
1
x2
x8
+ ... −
2
8
Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x0 = 0
–1
P11 (x) = x −
1
x2
x 11
+ ... +
2
11
Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x0 = 0
–1
P12 (x) = x −
torna indietro
1
x2
x 12
+ ... −
2
12
Valori (approssimati) di Φ(z)
z
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
.
.
.
3.2
3.3
3.4
0.00
0.5000
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.6915
0.7257
0.7580
0.7881
0.8159
0.8413
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.01
0.5040
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.6950
0.7291
0.7611
0.7910
0.8186
0.8438
0.8665
0.8869
0.9049
0.9207
0.9345
0.9463
0.9564
0.9649
0.9719
0.02
0.5080
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628
0.6985
0.7324
0.7642
0.7939
0.8212
0.8461
0.8686
0.8888
0.9066
0.9222
0.9357
0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.03
0.5120
0.5517
0.5910
0.6293
0.6664
0.7019
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.8485
0.8708
0.8907
0.9082
0.9236
0.9370
0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.04
0.5160
0.5557
0.5948
0.6331
0.6700
0.7054
0.7389
0.7704
0.7995
0.8264
0.8508
0.8729
0.8925
0.9099
0.9251
0.9382
0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.05
0.5199
0.5596
0.5987
0.6368
0.6736
0.7088
0.7422
0.7734
0.8023
0.8289
0.8531
0.8749
0.8944
0.9115
0.9265
0.9394
0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.06
0.5239
0.5636
0.6026
0.6406
0.6772
0.7123
0.7454
0.7764
0.8051
0.8315
0.8554
0.8770
0.8962
0.9131
0.9279
0.9406
0.9515
0.9608
0.9686
0.9750
0.07
0.5279
0.5675
0.6064
0.6443
0.6808
0.7157
0.7486
0.7794
0.8078
0.8340
0.8577
0.8790
0.8980
0.9147
0.9292
0.9418
0.9525
0.9616
0.9693
0.9756
0.08
0.5319
0.5714
0.6103
0.6480
0.6844
0.7190
0.7517
0.7823
0.8106
0.8365
0.8599
0.8810
0.8997
0.9162
0.9306
0.9429
0.9535
0.9625
0.9699
0.9761
0.09
0.5359
0.5753
0.6141
0.6517
0.6879
0.7224
0.7549
0.7852
0.8133
0.8389
0.8621
0.8830
0.9015
0.9177
0.9319
0.9441
0.9545
0.9633
0.9706
0.9767
0.9993
0.9995
0.9997
0.9993
0.9995
0.9997
0.9994
0.9995
0.9997
0.9994
0.9996
0.9997
0.9994
0.9996
0.9997
0.9994
0.9996
0.9997
0.9994
0.9996
0.9997
0.9995
0.9996
0.9997
0.9995
0.9996
0.9997
0.9995
0.9997
0.9998
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