LEZIONI N° 41, 42 E 43
FLESSIONE E TAGLIO ALLO STATO LIMITE ULTIMO
COMPORTAMENTO SPERIMENTALE DI UNA TRAVE DI C.A. SOTTOPOSTA A
FLESSIONE E TAGLIO
Consideriamo il comportamento sperimentale di una trave appoggiata di cemento
armato sottoposta ad un carico verticale uniformemente ripartito, all’aumentare
dell’intensità del carico applicato. Come abbiamo già avuto modo di osservare si
possono individuare tre fasi successive di comportamento.
I STADIO
Finché non si verifica la fessurazione del calcestruzzo teso la trave inflessa è integra
e si comporta, con buona approssimazione, come un solido elastico lineare.
Al suo interno è presente uno stato di tensione rappresentabile mediante il flusso
delle linee isostatiche di compressione e di trazione.
L’intensità e le direzioni delle tensioni principali in ciascun punto della trave possono
essere determinati costruendo il corrispondente cerchio di Mohr.
A titolo di esempio in un punto che si trova in corrispondenza dell’asse neutro ed in
prossimità dell’appoggio di sinistra si ha che le tensioni normali sono nulle e sono
presenti solo tensioni tangenziali.
Con riferimento all’elemento materiale rappresentato in figura, la tensione sul piano
verticale V vale [ = 0;  = +] e quella sul piano orizzontale O è: [ = 0;  = -].
176
Il cerchio di Mohr corrispondente (che passa per i punti O e V) ha centro nell’origine
e raggio . Si individua quindi il polo dei piani K tracciando la verticale per V e
l’orizzontale per O.
La costruzione mostra che la tensione principale di trazione è inclinata di 45° rispetto
alla linea d’asse della trave.
L’andamento delle linee isostatiche, alle quali le direzioni principali delle tensioni
sono tangenti, ha l’andamento di figura:
( da E. Mörsch, Der Eisenbetonbau,1909)
Il primo stadio termina con la comparsa delle prime fessure, che si producono
quando le tensioni di trazione superano la resistenza a trazione del calcestruzzo.
Esse si verificano ortogonalmente alle isostatiche di trazione e quindi parallelamente
alle isostatiche di compressione.
Pertanto le fessure sono verticali (anche per la simmetria) in mezzeria e poi tendono
ad assumere andamenti curvilinei, paralleli a quelli delle isostatiche di compressione
all’avvicinarsi degli appoggi.
Le prime lesioni si verificano, naturalmente, nella sezione di mezzeria della trave
dove la tensione di trazione al lembo inferiore è più grande.
II STADIO
Per tutto il II stadio la trave è fessurata. Le lesioni aumentano di numero e di
ampiezza finché la fessurazione non si stabilizza. Le lesioni sono, naturalmente,
ortogonali alle isostatiche di trazione e, di conseguenza sono verticali in mezzeria e
sono oblique in prossimità degli appoggi.
L’equilibrio è possibile solo per la presenza dell’armatura metallica, costituita da
barre longitudinali, staffe ed, eventualmente, barre piegate.
177
( da E. Mörsch, Der Eisenbetonbau,1909)
178
III STADIO
Nel terzo stadio la trave raggiunge lo stato limite ultimo.
( da E. Mörsch, Der Eisenbetonbau,1909)
Dal punto di vista qualitativo la rottura può avvenire per uno o più dei seguenti
fenomeni (stati limite) che possono verificarsi:
A) lo snervamento delle armature tese;
B) lo per schiacciamento del calcestruzzo compresso.
E’ da osservare che lo snervamento delle armature non riguarda solo quelle
longitudinali, ma anche quelle trasversali: staffe e ferri piegati.
Analogamente lo schiacciamento del calcestruzzo può avvenire tanto in direzione
orizzontale, che anche secondo direzioni inclinate nelle zone compresse dell’anima
della trave (le zone compresse sono quelle comprese tra una fessura e l’altra).
179
CASO DELLE STRUTTURE ARMATE A TAGLIO
La prima teoria moderna della sollecitazione di flessione e taglio del c.a. è dovuta ad
E. Mörsch, che, nel 1902, ebbe l’incarico dalla Ditta Wayss & Freytag di studiarne la
teoria.
Egli utilizzò come modello di calcolo della trave fessurata una trave reticolare
composta, parte di calcestruzzo e parte di acciaio. Tale modello di calcolo è
isostatico e pertanto e applicabile tanto nel II stadio che nel III stadio.
Il corrente inferiore e le aste inclinate di  sono di acciaio, il corrente superiore e le
aste inclinate di  sono di calcestruzzo.
L’altezza del traliccio è z=0,9 d (braccio delle forze interne) e la distanza fra due nodi
successivi è pari a:
z (cotg  + cotg ).
Poiché il traliccio è isostatico, le forze nelle aste possono essere determinate
mediante sezioni di Ritter.
La sezione di Ritter “a” conduce alla determinazione delle forza Fc nelle bielle
inclinate di calcestruzzo:
Fc sin  = V ----------> Fc = V/sin 
Una seconda sezione “b” conduce alla forza Fs nelle aste di acciaio inclinate:
Fs sin  = V ----------> Fs = V/sin 
180
Peraltro la pratica tecnica prevede che le armature trasversali siano disposte ad
interasse s inferiore rispetto a quello che deriva dall’applicazione del modello di
traliccio.
Per realizzare un interasse tra i nodi (e le staffe) minore, si può utilizzare un traliccio
“multiplo”, prevedendo di accostare fra di loro n tralicci semplici e sfalsandoli in
direzione longitudinale della quantità s.
E’ immediato verificare che il numero di tralicci necessari a realizzare l’interasse s è
dato da:
n = z (cotg  + cotg )/s
Supponendo poi che i tralicci multipli siano uguali fra di loro è ragionevole stabilire
che il taglio totale esterno si ripartisca in n parti uguali fra i vari tralicci semplici.
Poiché il taglio che agisce su un traliccio semplice, Vtr, è pari a:
Vtr = V/n = Vs/ z(cotg  + cotg )
le due relazioni precedenti si trasformano nelle:
Fc = Vs/ [z(cotg  + cotg )sin ]
Fs = Vs/ [z(cotg  + cotg )sin ]
Per quanto riguarda i carichi applicati, nel III stadio (stato limite ultimo di resistenza)
occorre considerare i carichi di esercizio moltiplicati per i corrispondenti coefficienti
parziali di sicurezza e opportunamente combinati fra di loro.
Per quanto riguarda le tensioni nei materiali, nel III stadio occorre considerare le
tensioni di crisi: ai fini della progettazione strutturale si utilizzano le tensioni
caratteristiche divise per i coefficienti parziali di sicurezza.
La verifica al taglio nel III stadio consiste nel confrontare fra loro il taglio di calcolo
esterno VEd, dovuto ai carichi applicati “di calcolo”, comprensivi cioè dei coefficienti
parziali di sicurezza, ed il taglio di calcolo interno VRd, corrispondente alla più piccola
tra la capacità portante dell’acciaio teso e quella del calcestruzzo compresso delle
bielle.
La verifica consiste quindi nel controllare che sia:
181
VEd  VRd
Per quanto detto i tagli di calcolo interni VRd sono dunque due:
a) quello dovuto all’armatura trasversale tesa che ha raggiunto lo snervamento,
VRsd;
b) quello dovuto alle bielle oblique di calcestruzzo compresso, considerato alla
soglia dello stato limite ultimo, VRcd.
Il taglio di calcolo esterno VEd deve essere confrontato separatamente con ognuno
dei due tagli di calcolo interni VRsd e VRcd, rispettivamente corrispondenti all’armatura
trasversale ed al calcestruzzo delle bielle:
VEd  VRsd (armatura trasversale)
VEd  VRcd (calcestruzzo delle bielle)
Nel caso della verifica dell’armatura trasversale, Asw, evidentemente si ha:
Fs = fyd Asw
ed utilizzando la:
Fs = V s/ [z(cotg  + cotg )sin ]
è possibile ricavare il taglio ultimo compatibile con la resistenza delle armature
trasversali:
VRsd  0,9  d 
Asw
 f yd   cotg  cotg   sin 
s
Nel caso di staffe verticali:  = 90° (cotg  = 0, sin  = 1.), ponendo (caso più
frequente)  = 45° (cotg 45° = 1.) si ottiene:
VRsd  0,9  d 
Asw
 f yd
s
Nel caso di barre piegate:  = 45° (cotg  = 1, sin  =
2 / 2 = 0.707), ponendo (caso
più frequente)  = 45° (cotg 45° = 1.) si ottiene:
182
VRsd  0,9  d 
 2
Asw
Asw
 f yd  1  1  
 f yd  2
  0,9  d 
s
s
 2 
Occorre però tener conto del fatto che numerosi meccanismi resistenti collaborano a
sopportare il taglio esterno di calcolo in aggiunta alla resistenza delle armature
trasversali:
a) le azioni tangenziali che si sviluppano nella zona di calcestruzzo compresso dei
correnti superiori;
b) l’incastro flessionale delle bielle di calcestruzzo inclinate dell’angolo  nel
corrente superiore;
c) l’ingranamento degli inerti che attraversano le fessure oblique;
d) l’”effetto spinotto” che si instaura tra le barre del corrente inferiore ed il
calcestruzzo delle bielle inclinate dell’angolo .
Per questi motivi è ragionevole pensare che non tutto il taglio di calcolo debba
essere affidato alle armature metalliche, per lo meno se non sono presenti fenomeni
dinamici rilevanti, che possano diminuire il contributo di alcuni dei meccanismi
resistenti sopra detti.
Esamineremo questi aspetti con particolare riferimento alle indicazioni della
Normativa italiana.
Verifica delle armature a taglio
La Normativa italiana consente di tener conto in modo indiretto dei contributi di
resistenza a taglio ulteriori rispetto a quello dovuto alle armature metalliche variando
l’inclinazione  delle bielle di calcestruzzo, nei limiti:
1 cotg   2,5
che corrisponde ad imporre i seguenti limiti su :
45   21,8
183
Queste limitazioni derivano dalla applicazione al taglio del cemento armato della
teoria della plasticità dovuta a B. Thürlimann.
Considerando di nuovo la formula generale per il calcolo del taglio portato dalle
armature metalliche
VRsd  0,9  d 
Asw
 f yd   cotg  cotg   sin 
s
nel caso di presenza di sole staffe, ma con inclinazione variabile  delle bielle di
calcestruzzo di ha:
VRsd  0,9  d 
Asw
 f yd  cotg
s
L’area di acciaio necessaria è quindi:
Asw 
VRsd
s
0,9  d  f yd  cotg
Si può vedere che l’area delle staffe diminuisce al diminuire di  (che fa aumentare
cotg).
Simultaneamente si verifica un aumento delle forze nelle bielle compresse di
calcestruzzo, che però non costituisce di solito un problema, in quanto la resistenza
delle bielle compresse è esuberante ed un aumento delle forze nel corrente inferiore
teso.
Con riferimento al caso di presenza di sole staffe si può valutare la forza nelle barre
di acciaio inferiori, T, in prossimità degli appoggi con la sezione di Ritter “c-c”.
Imponendo l’equilibrio alla rotazione intorno al punto A si ottiene:
R x zcotg  = Tz
184
La forza di trazione T nelle barre longitudinali inferiori vale:
T = R x cotg 
Si osserva, quindi, che, a parità di reazione vincolare, la forza di trazione nelle barre
longitudinali aumenta al diminuire di .
Lo sforzo di trazione nelle staffe si può determinare imponendo l’equilibrio alla
traslazione verticale in corrispondenza della sezione c-c.
Si ottiene:
 Fs 
P
R0
2
Detto p il carico uniformemente ripartito sulla trave, il carico P vale:
P p  z  cotg

2
2
Sostituendo si ottiene:
 Fs 
p  z  cotg
R0
2
Fs  R 
p  z  cotg
2
Si osserva, quindi, che, a parità di reazione vincolare, la forza di trazione nelle staffe
diminuisce al diminuire di .
Verifica del calcestruzzo delle bielle compresse
Nel caso della verifica del calcestruzzo delle bielle compresse non ha interesse la
divisione del taglio esterno fra gli n tralicci semplici, perché, ai fini del calcolo della
tensione media di compressione, basta dividere la forza obliqua totale per l’area della
sezione normale della biella, pari al rettangolo avente area:
Abiella = bw z (cotg  + cotg ) sin 
in cui bw è la larghezza della sezione della trave o l’anima della sezione (se è a T).
La biella di calcestruzzo si rompe quando
185
Fc = c,u Abiella = c,u bw z (cotg  + cotg )sin 
Poiché abbiamo trovato che la forza nelle bielle è:
Fc = V/sin 
si ottiene:
VRcd = c,u bw z (cotg  + cotg ) sin2
La normativa scrive questa espressione nel modo equivalente:
VRcd = 0,9 d bw c f’cd (cotg  + cotg)/(1+ cotg 2)
in cui f’cd = 0.5 fcd
ed c è un coefficiente maggiorativo che vale:
Il coefficiente riduttivo 0.5 applicato ad fcd tiene conto della riduzione di resistenza
delle bielle compresse dovuta alla presenza di fessure parallele alle bielle stesse.
Questa riduzione si trova anche nell’Eurocodice 2, dove è espressa, in modo più
articolato dalla formula:
f 

0, 6   1  ck 
 250 
Considerando, a titolo di esempio, un calcestruzzo avente fck = 30 N/mm2, si ottiene:
30 

0, 6  1 
  0, 6  1  0,12   0,528
 250 
valore assai vicino a quello previsto dalle Norme Italiane.
Nel caso di staffe verticali:  = 90° (cotg  = 0) si ottiene:
VRcd = 0,9 d bw c f’cd cotg  sin2 = 0,9 d bw c f’cd sin cos
Nel caso, invece, di piegati:  = 45° (cotg  = 1) si ottiene:
VRcd = 0,9 d bw c f’cd (1 + cotg ) sin2
186
IL CASO DELLE TRAVI NON ARMATE A TAGLIO
La normativa italiana consente l’impiego di elementi sprovvisti di armature trasversali
resistenti a taglio per solette, piastre e membrature a comportamento analogo, a
condizione che detti elementi abbiano sufficiente capacità di ripartire i carichi
trasversalmente.
Il meccanismo resistente a taglio è in questo caso quello di un arco a spinta eliminata
(arco di calcestruzzo – tirante orizzontale inferiore di acciaio).
Verifica delle armature longitudinali
La resistenza a taglio vale:

VRd  0,18  k 100  1  f ck 
13

 c  0,15   cp bw  d
con la limitazione: VRd   vmin  0,15   cp  bw  d ,
che equivale a dire che deve essere:
0,18  k 100    f
1

13
ck

 c bw  d  vmin
Il significato dei simboli è il seguente:
k  1   200 / d 
12
2
vmin  0, 035  k 3 2 f ck1 2
in cui:
d
1  Asl  bw  d 
è l’altezza utile espressa in mm;
è il rapporto geometrico di armatura longitudinale ( 0,02);
 cp  N Ed Ac
è la tensione media di compressione nella sezione ( 0,2 fcd);
bw
è la larghezza minima della sezione espressa in mm.
187
LA REGOLA DELLA TRASLAZIONE DEL DIAGRAMMA DEL MOMENTO
FLETTENTE
Dal punto di vista operativo, la verifica di sicurezza di una trave di cemento armato si
svolge in due fasi (progetto condizionato):
1) determinazione delle armature longitudinali, eseguita utilizzando la teoria della
flessione semplice;
2) determinazione dell’armatura trasversale (staffe e ferri piegati), svolta
utilizzando il modello del traliccio di Mörsch.
Vengono impiegati, quindi due modelli diversi: il primo è quello della trave a parete
piena (si studiano solo sezioni piane), il secondo è quello della trave reticolare.
Vediamo, innanzitutto qual è l’andamento delle forze nei ferri inferiori nei due casi.
Con riferimento ad un traliccio avente le bielle compresse inclinate a 45° e le aste
tese trasversali inclinate a 90° (ma non è una restrizione significativa), si vede che
l’andamento delle forze di trazione nel corrente inferiore varia a gradini,
mantenendosi costante tra un nodo e l’altro.
Viceversa nella trave a parete piena tale andamento è parabolico e tocca il
diagramma a gradini in corrispondenza dei nodi della trave reticolare, mantenendosi
altrove sempre al suo interno.
188
Se ne deduce che la verifica delle armature longitudinali con la procedura della trave
a parete piena è, quasi sempre, a sfavore di sicurezza.
Volendo continuare ad utilizzare i due modelli sopra detti in modo indipendente,
occorre armonizzarli fra di loro.
Ciò si può fare traslando verso gli appoggi il diagramma del momento flettente,
affinché si abbia che le forze di trazione corrispondenti sono sempre maggiori o
uguali a quelle del traliccio. Si effettua, cioè la traslazione di z del diagramma del
momento.
Poiché il traliccio è normalmente multiplo si può fare una traslazione pari a z/n, in cui
n è il numero dei tralicci. Nella pratica si adotta n=2 e quindi si trasla di z/2.
Vediamo ora lo stesso problema in forma analitica.
Consideriamo la figura seguente, relativa ad una trave realizzata con sole staffe e
proponiamoci di determinare la forza di trazione T nell’acciaio teso inferiore.
Con riferimento alla sezione di Ritter “a”, scriviamo la condizione di equilibrio alla
rotazione rispetto al polo A.
Si ottiene:
P
 2  z cotg   P  z cotg   0
2
P
T  z  R  3  z cotg    2  z cotg   P  z cotg 
2
T  z  R  3  z cotg  
Osserviamo che il valore del taglio V nella sezione “a” è:
V  R
P
P
2
189
Sostituendo nell’equazione di equilibrio alla rotazione l’espressione del taglio V si
ottiene:
T  z  V  z cotg   R  2  z cotg  
P
 z cotg 
2
Si nota che il momento flettente nel punto B si può scrivere come:
M B  R  2  z cotg  
P
 z cotg 
2
Considerato che il taglio nella sezione “a” è e uguale a quello nel punto B, a destra
del nodo, si ha allora:
T  z  M B  VB ,dx  z cotg 
T
1
 M B  VB ,dx  z cotg  
z
La seconda relazione individua il valore dello sforzo di trazione T.
La prima indica che il valore del momento da utilizzare per determinare T si ottiene
aggiungendo al valore del momento flettente determinato sulla trave a parete piena,
il termine aggiuntivo:
M B  VB ,dx  z cotg 
Questa relazione esprime la regola della traslazione del momento flettente, che va
traslato di L  z cotg  . Nel caso il cui sia  = 45°, si ha: L  z .
In presenza di n tralicci multipli si può scrivere:
z
T  z  M B  VB ,dx  cotg  .
n
Nel caso ricorrente in cui i tralicci siano almeno due, si può porre: n = 2 e si ottiene,
per  = 45°, che la traslazione va effettuata di
z
.
2
190