Questa è la funzione esponenziale
Questa è la funzione esponenziale
Consideriamo
f(x) =
a=2
2x
Se diamo alla x il valore X =
1, otteniamo per la
funzione
f(1) =21 = 2
Se diamo alla x il valore X =
1, otteniamo per la
funzione
f(1) =21 = 2
Mentre se diamo alla x il valore X = 10,
otteniamo per la funzione
f(10) =210 = 1024
Aumentando il valore della x di
10 volte il valore della funzione
aumenta di più di 1000 volte
Questo fatto può essere molto
scomodo quando si devono
eseguire calcoli ed utilizzare i
grafici
e poiché le funzioni
esponenziali, in modo più
o meno complicato, sono
usatissime in vari campi,
questo capita molto
spesso
?
Questa
parte del
grafico è
inutilizzabile
Per aggirare l’ostacolo dovuto alla scomodità del calcolo si ricorre
ad un «trucco»:
Poiché, in una funzione esponenziale, la base è sempre la stessa, è
possibile utilizzare nei calcoli , inizialmente, i valori degli esponenti
e solo successivamente il valore della funzione
f(x) = ax
CONCENTRIAMOCI SULL’ESPONENTE X
X è il valore da dare all’esponente della base a
per ottenere il valore della funzione
Esempio 1:
6 è il valore dell’esponente della base a che ci permette di
ottenere il valore della funzione
X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di
ottenere il valore della funzione
Esempio 2:
4 è il valore dell’esponente della base a = 3 che ci
permette di ottenere il valore della funzione
X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di
ottenere il valore della funzione
Esempio 3:
- 4 è il valore dell’esponente della base a = 5 che ci
permette di ottenere il valore della funzione
X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di
ottenere il valore della funzione
y
Invertiamo i ruoli tra l’esponente x e la funzione esponenziale y
in modo da ottenere il valore dell’esponente conoscendo la
funzione
X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di
ottenere il valore della funzione
Invertiamo i ruoli tra l’esponente e la funzione esponenziale
in modo da ottenere il valore dell’esponente conoscendo la
funzione
X , il valore dell’esponente della base a che ci permette di
ottenere il valore della funzione, si chiama
LOGARITMO IN BASE a DI x
x = loga(ax)
X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di
ottenere il valore della funzione
Invertiamo i ruoli tra l’esponente e la funzione esponenziale
in modo da ottenere il valore dell’esponente conoscendo la
funzione
x = F-1(y)
x = F-1(ax)
f(x) = ax
ha come funzione inversa
x = loga f(x)
E’ una funzione come tutte le altre, quindi può essere
definita indipendentemente dalla funzione esponenziale
f(x) = loga x
Che tipo di funzione è
E' una funzione biunivoca, perché
ad ogni valore di f(x)
corrisponde un solo valore di x
E così via . . .
f(x3)
f(x2)
f(x1)
x1
x2
x3
esempio di funzione non
invertibile
f1(x)
f(x) = ax2+ bx + c
Ad ogni valore di f(x)
corrispondono due valori di x
x1B
x1A
E' una funzione biunivoca, perché
ad ogni valore di f(x)
corrisponde un solo valore di x
E' una funzione biunivoca, perché
ad ogni valore di f(x)
corrisponde un solo valore di x
Quindi è una funzione invertibile, cioè
esiste una funzione tale che
x = f -1 (y)
da
y = ax
x=f
si passa a
-1 (y)
Funzione inversa
x = f -1 (y)
Per ottenere la funzione inversa è
sufficiente che l’asse delle x , dove
sono riportati gli esponenti prenda il
posto dell’asse delle y (VALORI DELLA
FUNZIONE) e viceversa
Gli esponenti sono correttamente sull’asse delle y
ma l’asse orizzontale, pur riportando i valori della
funzione, è diretto in senso opposto rispetto al
normale
Per ovviare a questo inconveniente l’asse orizzontale
deve ruotare perpendicolarmente al piano del
disegno, intorno all’asse verticale
x
1
x
Adesso rinominiamo gli assi
mettendo x su quello orizzontale
e y su quello verticale
1
x
Adesso rinominiamo gli assi
mettendo x su quello orizzontale
e y su quello verticale
1
f(x)
Questa è la funzione
logaritmo
f(x) = logax
1
x
f(x)
f(x) = logax
Questa è la funzione
logaritmo
a>1
f(x) = logax
1
x
f(x) = ax
0<a<1
0<a<1
f1(x) = loga x
f2(x) = logb x
f1(x) = loga x
f2(x) = logb x
0<a<1
b>1
Le due funzioni
f(x) = loga x
e
f(x) = a x
Sono simettriche
rispetto alla bisettrice
del I e del II quadrante
f(x) = loga x
X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di
ottenere il valore della funzione
PROPRIETA’ DEI LOGARITMI
IL LOGARITMO DI UN PRODOTTO E’ UGUALE ALLA
SOMMA DEI LOGARITMI
PROPRIETA’
IL LOGARITMO DI UN RAPPORTO E’ UGUALE ALLA
DIFFERENZA DEI LOGARITMI
PROPRIETA’
IL LOGARITMO DI UNA ESPONENZIALE E’ UGUALE AL
PRODOTTO DELL’ESPONENTE PER IL LOGARITMO DELLA
BASE