STRUTTURE RETICOLARI
Si considerino un arco a tre cerniere, costituito da due corpi rigidi rappresentabili come travi
collegate da cerniere puntuali. Supponiamo che in corrispondenza della cerniera interna agisca un
carico concentrato, P.
P
P
Si può facilmente verificare che il carico agente in sommità viene trasmesso alle due cerniere a terra
dalle due aste mediante sole forze di compressione. In altre parole, le due aste sono sollecitate solo
da sforzi normali, in questo caso di compressione. Questo elementare modello di struttura a traliccio
piana, di frequente impiego nelle prime applicazioni di copertura realizzati in materiale ligneo, è
chiaramente ispirata al principio statico della triangolazione. Se inseriamo una catena lignea a
collegamento dei due appoggi, come illustrato nella figura precedente, otteniamo la cosiddetta
capriata semplice a due spioventi. Tuttavia, l’impossibilità di coprire, mediante tale schema
semplice, luci sempre più grandi ha condotto via via all’inserimento di ulteriori elementi strutturali
al fine di parzializzarne la luce libera, fino ad ottenere elementi sempre più complessi quali ad
esempio la capriata tipo Polonceau illustrata nella seguente figura.
Capriata Polonceau
Una struttura come quella indicata in figura è denominata anche come struttura reticolare. Le
strutture reticolari offrono una delle più antiche soluzioni al problema delle coperture: le capriate in
legno che coprivano le basiliche romane rappresentano un primo esempio. Ma la forma reticolare da
anche soluzione ad un altro problema, la necessità di realizzare strutture di notevoli dimensioni con
elementi relativamente piccoli. In particolare, l’evoluzione di sistemi costruttivi basati su elementi
reticolari ha portato al passaggio dalla trave ad anima piena alla trave reticolare.
Il maggior sviluppo si ebbe nell’ottocento quando si riuscì a produrre industrialmente i laminati di
ferro con caratteristiche meccaniche sufficientemente sicure, diffusamente utilizzati nella
realizzazione di ponti ferroviari. Contemporaneamente, il reticolo di travi si viene ad orientare verso
schemi caratterizzati ciascuno da un preciso funzionamento statico.
Travatura Warren: travatura reticolare senza montanti
1
Si fa così gradualmente strada la tendenza a realizzare composizioni del reticolo mediante una
successione di elementi triangolari accostati, come per lo schema Warren (indicato nella seguente
figura), considerato come soluzione ottimale per opere da ponte. Il vantaggio di questo schema sta
nel fatto che permette di concentrare il materiale secondo le linee di massima concentrazione degli
sforzi.
Se però l’altezza necessaria per raggiungere determinati livelli di rigidezza è troppo estesa, nella
trave Warren si raggiungono eccessive lunghezze degli elementi che possono provocare nelle aste
compresse dei fenomeni di instabilità. Per tali motivi, si affermano altri tipi di travature reticolari,
quali i tipi Pratt e Howe, illustrati nella seguente figura.
Trave Pratt
Trave Howe
Lo sviluppo delle strutture reticolari fu man mano sostenuto da un corpo di conoscenze scientifiche
in rapida espansione, portando a realizzazioni sempre più articolate in relazione alle luci da coprire.
Attualmente le strutture reticolari sono perlopiù realizzate in acciaio, alluminio o legno, raramente
in cemento armato.
Geometria
La struttura reticolare quadrata formata da quattro aste evidentemente non è stabile. Si tratta di un
meccanismo, e lo stesso vale per ogni struttura poligonale formata da quattro o più aste.
Al contrario tre aste che formano un triangolo costituiscono una struttura stabile. Il triangolo è
quindi la forma più semplice di struttura reticolare di cui costituisce pertanto anche la cellula base
per formare un sistema rigido che non può essere deformato dall’applicazione di forze esterne senza
la deformazione di uno o più, degli elementi che lo compongono. Le strutture reticolari formate per
semplice giustapposizione di triangoli sono dette talora triangolazioni semplici.
Nello spazio a tre dimensioni la cellula base è il tetraedro e ogni nodo ha bisogno di tre aste per
garantire la sua stabilità.
Nelle strutture reticolari tutte le travi sono collegate tra loro mediante cerniere che possono essere
considerate sferiche. Ogni trave è dunque una biella. Se poi i carichi sono concentrati sui nodi (sulle
cerniere) le travi portano solo forze assiali.
Molto spesso è possibile immaginare i vincoli interni come veri e propri corpi rigidi. In quanto
corpo rigido si deve quindi imporre l’equilibrio anche del vincolo tramite le equazioni cardinali
della statica, in genere trascurando il peso del vincolo stesso. Per azione e reazione ogni corpo
rigido esercita sul vincoli forze uguali ed opposte.
2
Poiché per ipotesi si suppone che le dimensioni della cerniera siano trascurabili, tutte le forze sono
applicate in essa e quindi la seconda equazione cardinale della statica (MO=0) è soddisfatta.
Il metodo appena descritto è il metodo generale per stabilire le relazioni esistenti tra le reazioni
vincolari interne. Dato un vincolo se ne impone l’equilibrio considerando tutte le forze esercitate sul
vincolo, siano esse esterne, reattive interne, o reattive esterne.
Si definisce struttura reticolare un insieme di aste rettilinee incernierate collegate le une alle altre
mediante nodi in modo da formare una struttura portante stabile, piana oppure spaziale. Trave
reticolare è un sistema reticolare, formante un’unica membratura, nel quale una dimensione (la
lunghezza) è largamente preponderante rispetto all’altra (o alle altre nel caso tridimensionale).
Fra le diverse aste che compongono la struttura si distinguono i CORRENTI, costituiti dalle aste
essenzialmente orientate nella direzione della dimensione maggiore della trave reticolare, e le
DIAGONALI e MONTANTI, costituiti da aste orientate obliquamente o trasversalmente a tale
direzione.
Corrente Superiore
Diagonale
Montante
Corrente Inferiore
Struttura reticolare: terminologia
Se i carichi sono costituiti unicamente da forze concentrate sulle cerniere, ogni asta risulterà
soggetta a sola azione assiale, o sforzo normale, essendo quest’ultima l’unica caratteristica di
sollecitazione compatibile con l’equilibrio dei singoli elementi costitutivi isolati dal complesso
strutturale e con le prestazioni statiche dei vincoli.
Quindi, una struttura reticolare per definizione ha il seguente schema statico:
− i nodi sono cerniere perfette;
− gli assi delle aste concorrono ai nodi senza eccentricità;
− i carichi agiscono solo sui nodi, affinché le aste possano trasmettere forze solo alle loro
estremità.
In virtù di questa ultima ipotesi le aste saranno soggette soltanto a sforzo normale, di trazione o
compressione. La generica asta tesa si definisce comunemente come TIRANTE, quella compressa
come PUNTONE. Ciò permette un significativo risparmio di materiale rispetto alle travi a parete
piena. E’ molto importante che le travature reticolari siano caricate solamente da forze concentrate
applicate nei nodi, affinché, negli elementi, si sviluppino solo sforzi di trazione o di compressione.
Se i carichi fossero applicati direttamente agli elementi stessi si svilupperebbero anche degli sforzi
dovuti alla flessione e al taglio.
Questa modellazione fornisce risultati soddisfacenti, nel senso che le aste sono sollecitate solo da
sforzo normale, quando: i nodi sono piccoli e le aste sono snelle, gli assi delle aste sono concorrenti,
i carichi sono trasmessi ai nodi. Le inevitabili imperfezioni (peso proprio delle aste, ecc.)
introducono solo effetti secondari, trascurabili in prima approssimazione. Ad esempio il peso
proprio delle aste non è evidentemente trascurabile e se ne tiene conto, in pratica, concentrando la
metà del peso di ogni asta su ciascuna delle sue estremità. Ciò che invece è trascurabile è l’effetto
locale del peso proprio su ciascuna asta considerata isolatamente.
Una generica struttura tridimensionale o piana, si identifica per sua stessa definizione con un
sistema di corpi rigidi vincolati mutuamente e con l’esterno. Tuttavia è comodo considerare invertiti
i ruoli dei nodi e delle aste: riguardare cioè i primi come corpi puntiformi, ciascuno dotato di 2 (o 3
nello spazio) gradi di libertà, e le seconde come vincoli interni semplici che controllano la distanza
relativa tra due nodi.
3
Esiste una relazione tra il numero di nodi e il numero di aste. Se Nc è il numero di cerniere (nodi),
Na il numero di aste e Ne il numero di vincoli semplici esterni, affinché il sistema sia staticamente e
cinematicamente determinato, nell’ipotesi che i vincoli siano ben disposti (condizione sufficiente), è
necessario che il numero di vincoli, Na+Ne, sia pari ai gradi di libertà del sistema, cioè:
Na+Ne = 2Nc
nel piano (3Nc nello spazio)
Il problema statico delle strutture reticolari consiste nel calcolo dello sforzo normale in tutte le aste.
Tale calcolo è possibile servendosi delle sole equazioni di equilibrio.
Tutte le travi sono bielle caricate agli estremi: ogni trave sopporta solo carico assiale costante lungo
la trave. Si noti che questa semplice osservazione permette di affermare che le equazioni cardinali
della statica sono già automaticamente soddisfatte per ogni asta isolata, qualunque sia il valore delle
azioni assiali. In realtà ciò che resta da fare è imporre l’equilibrio dei perni delle cerniere, cioè dei
vincoli interni.
Il primo passo nell’analisi di una struttura reticolare è isolarne una parte e considerare il sistema di
forze agente su di essa. Se alcune forze sono note, è possibile calcolare le atre mediante le equazioni
cardinali della statica, dato che la porzione in esame dovrà risultare in equilibrio. L’estensione della
porzione di struttura scelta per lo studio dell’equilibrio non è vincolata in alcun modo. Potrebbe
essere limitata ad un singolo nodo o ad un insieme composto da diversi elementi e nodi. Il sistema
di forze considerato consiste non solamente di ciascuna forza esterna applicata alla parte in esame,
ma anche delle forze interne alla struttura.
Nel seguito vengono illustrati i due principali metodi per la determinazione degli sforzi nelle aste di
un sistema reticolare: il metodo dei nodi e il metodo delle sezioni o di Ritter.
METODO DEI NODI
In diverse geometrie di travature è possibile risolvere lo stato di sollecitazione operando per nodi
successivi. Tale procedimento richiede di individuare un nodo semplice o canonico, definito come
nodo in cui convergono due aste e di risolverlo mediante le due equazioni di equilibrio del nodo
stesso. Si procede quindi nell’isolare un nodo della struttura reticolare tagliando le aste che vi
convergono. Si esplicitano quindi gli sforzi normali trasmessi dalle aste al nodo e le eventuali forze
esterne. Si scrivono infine le equazioni di equilibrio per il nodo in esame.
Poiché le forze sono convergenti al nodo, l’equazione di equilibrio dei momenti rispetto al nodo
stesso è identicamente soddisfatta (ΣMnodo=0). Nel caso piano si hanno pertanto a disposizione per
ogni nodo solo le rimanenti due equazioni di equilibrio: ΣFx,nodo=0 ΣFy,nodo=0.
Si procede in sequenza, scrivendo l’equilibrio di un primo nodo e poi, servendosi dei risultati
ottenuti, di un secondo e così di seguito. Tuttavia poiché si hanno a disposizione solo due equazioni
di equilibrio per nodo, è necessario disporre di almeno un nodo a cui sono collegate solo due aste, in
modo da avere in partenza due sole incognite. Successivamente si procederà utilizzando di volta in
volta nodi per i quali si abbiano due sole incognite.
Si illustra il procedimento con un esempio pratico. Consideriamo il seguente sistema reticolare:
5
4
5
4
F
F
L
L
R1x
1
1
3
3
2
L
L
F
2
R1
R1y
L
L
R3y
R3y
R1
Il sistema è staticamente determinato in quanto:
4
Na=7 Ne=3 Nc=5 ⇒
Na+Ne = 2Nc
ed i vincoli sono ben disposti.
Procediamo innanzitutto al calcolo delle reazioni vincolari esterne:
R1x = F
R1y = R3y = F/2
Per trovare gli sforzi nelle aste si procede considerando l’equilibrio dei nodi. Guardando ai soli
nodi, si può vedere che come il sistema di forze agente su un nodo sia definito dalle aste collegate
da questo e dalle forze esterne applicate al nodo.
Si consideri quindi ogni nodo sul quale agiscono eventuali forze esterne e le azioni fornite dalle aste
che in esso concorrono. Nel caso piano, come questo, affinché sia rispettato l’equilibrio nel
generico nodo k devono essere rispettate le seguenti condizioni:
∑F
∑F
x
=0
⇒
y
=0
⇒
∑α
∑β
i
ki N ki
+ Fkx = 0
i
ki N ki
+ Fky = 0
dove si è indicato con k il nodo in esame,con i il generico nodo collegato a k mediante un’asta, con
αki il coseno dell’angolo che la direzione ki (orientata da k verso i) forma con l’asse x, e con β il
coseno dell’angolo che la direzione ki forma con l’asse y. Il sistema di riferimento Oxy è centrato
nel nodo k.
Consideriamo il nodo 1 (k=1) sul quale agiscono le due reazioni vincolari note e gli sforzi trasmessi
al nodo dalle due aste concorrenti. Si ha quindi:
Nodo 1 (k=1)
N12
y
N14
N14
R1x
N12
k=1
x
R1y
β12=0
α12=1
α14=
R1
2
2
β14=
2
2
Le frecce illustrano graficamente la direzione delle forze su un’asta. Il verso corrisponde ad una
forza di trazione nell’asta, che per il principio di azione e reazione è in verso uscente dal nodo. Si
scrivono quindi le equazioni di equilibrio per il nodo in esame (nella figura viene anche indicato il
poligono di equilibrio per il nodo):
∑F
x
2
F
N14 − F = 0 ⇒ N12 =
2
2
2
F
2
N14 − = 0 ⇒ N14 =
F
2
2
2
= 0 ⇒ α12 N12 + α14 N14 − R1x = 0 ⇒ N12 +
∑F
y
= 0 ⇒ β12 N12 + β14 N14 − R1 y = 0 ⇒
Si procede quindi con gli altri nodi.
Nodo 4 (k=4)
N45
y
N42
N45
k=4
N41
N41
x
N42
5
α45=1
β45=0
2
2
α41= −
α42=0
β41= −
β42= −1
2
2
2 2
F
F + N 45 = 0 ⇒ N 45 =
2 2
2
2 2
F
=0 ⇒ −
F − N 42 = 0 ⇒ N 42 = −
2 2
2
∑F
x
= 0 ⇒ α 41 N 41 + α 45 N 45 = 0 ⇒ −
∑F
y
= 0 ⇒ β 41 N 41 + β 42 N 42
Nodo 5 (k=5)
N54
y
N52
N53
F
N54
k=5
x
N52
F
N53
α54= −1
α52= −
α53=0
β54=0
2
2
β52= −
β53= −1
∑F
x
2
2
F
2
2
−
N 52 + F = 0 ⇒ N 52 =
F
2
2
2
2 2
F
=0 ⇒ −
F − N 53 = 0 ⇒ N 53 = −
2 2
2
= 0 ⇒ α 54 N 54 + α 52 N 52 + F = 0 ⇒ −
∑F
y
= 0 ⇒ β 52 N 52 + β 53 N 53
Nodo 3 (k=3)
y
N35
N32
k=3
x
F3y
Dalla figura si evince chiaramente che N32=0.
Si può quindi procedere a riassumere gli sforzi nelle aste (le frecce indicano gli sforzi nelle aste):
5
4
F
F
2
2
N14 =
F
2
F
N 45 =
2
N12 =
1
3
2
R1x
R1y
R3y
F
2
2
N 52 =
F
2
F
N 53 = −
2
N 42 = −
N 23 = 0
6
METODO DELLE SEZIONI o METODO DI RITTER
In diverse situazioni può non essere necessario determinare lo sforzo normale in tutte le aste, ma
solo in alcune, ad esempio le più sollecitate. Una travatura reticolare generata a partire da un
triangolo iniziale presenta la proprietà di poter essere tagliata da una sezione ideale, che divida la
struttura integralmente in due parti sezionando solo tre aste non concorrenti nello stesso punto.
Si può quindi disegnare lo schema isolato di una delle due porzioni. I limiti della porzione
considerata possono essere quindi estesi fino a considerare un sottoinsieme costituito da diversi
nodi e diverse aste. Se preventivamente sono state calcolate le eventuali reazioni scrivendo
l’equilibrio di tutto il traliccio, restano come incognite solo gli sforzi normali di tutte le aste tagliate.
Poiché l’equilibrio di questa porzione consente di scrivere solo tre equazioni, il taglio non dovrà
evidenziare più di tre incognite.
In generale, è comunque conveniente effettuare un taglio che consenta di calcolare uno sforzo
normale incognito quale che sia il numero di aste tagliate. Infine, poiché gli sforzi normali che si
agiscono sulle sezioni delle aste tagliate sono gli stessi per le due porzioni, si può scrivere
l’equilibrio per una sola porzione, quella che porta a calcoli più semplici.
Riprendiamo l’esempio precedente:
4
Sezione di Ritter
5
F
Sezione di Ritter
N45
4
L
1
N25
R1x=F
3
3
2
L
L
N23
1
2
L
5
L
R1y=F/2
L
La sezione taglia tre aste non concorrenti nello stesso nodo. Lo sforzo in una delle tre aste viene
calcolato mediante un’equazione di equilibrio dei momenti intorno al polo in cui convergono le
altre due:
∑M
∑
F
L=0 ⇒
2
F
2L −FL = 0
M 5 = −N23 L +
2
2
= −N45 L +
N45 =
F
2
⇒
N23 = 0
Per trovare lo sforzo nella terza asta si procede come segue:
∑F
=
y
F
2
2
N 25 −
F
= 0 ⇒ N 25 =
2
2
2
Lo stesso risultato si ottiene utilizzando la relazione
∑F
x
=0
Si può procedere allo stesso modo considerando l’altra parte ottenuta mediante la sezione di Ritter .
Sezione di Ritter
5
4
N54
F
L
N52
2
3
N32
L
∑M
5
=0
⇒
N32 = 0
R3y=F/2
7
∑M
∑F
y
2
= N54 L − FL +
F
L=0
2
⇒
N54 =
F
2
2
2
F
N 25 +
= 0 ⇒ N 25 =
F
2
2
2
= −
ESEMPIO
Si affronta il problema di trovare gli sforzi nelle aste della travatura reticolare in figura.
F
F
2
4
2
4
3
3
L
5
1
5
1
6
6
L
F/2
L
Na=9 Ne=3 Nc=6 ⇒
E il sistema è indeformabile.
Si utilizza il metodo dei nodi.
Nodo 1 (k=1)
y
x
∑F
N16
k=1
F/2
y
F/2
Na+Ne = 2Nc
∑F
N12
Reazioni vincolari
= 0 ⇒ α 16 N 16 = 0 ⇒ N 16 = 0
= 0 ⇒ β12 N 12 + R1 y = 0 ⇒ N 12 +
F
F
= 0 ⇒ N 12 = −
2
2
x
Nodo 2 (k=2)
y
∑F
x
k=2
N21
N23
N26
x
∑F
y
= 0 ⇒ α 26 N 26 + α 23 N 23 = 0 ⇒
2 2
F
F + N 23 = 0 ⇒ N 23 = −
2
2 2
= 0 ⇒ β 21 N 21 + β 26 N 26 = 0 ⇒ −
F
2
2
+
N 26 = 0 ⇒ N 26 =
F
2
2
2
Le azioni nelle altre aste si desumono da condizioni di simmetria del sistema. Si ha quindi,
riepilogando:
F
−F/2
−F/2
2
−F/2
4
3
− 2 F/2
−F/2
− 2 F/2
5
1
=0
F/2
6
=0
F/2
8
E’ interessante confrontare la soluzione della stessa trave reticolare con quella di una trave piena
della stessa luce e soggetta alla stessa condizione di carico.
F
B
A
L
L
F/2
F/2
F/2
+
T
−
F/2
M
FL/2
F
z
2
F
F
Per L ≤ z ≤ 2 L ⇒ M z = z − F (z − L ) = FL − z
2
2
Per 0 ≤ z ≤ L ⇒ M z =
Le azioni assiali nelle aste della travatura reticolare danno luogo, in ogni sezione a distanza z dalla
cerniera esterna, a risultanti che configurano le stesse azioni interne della trave a parete piena.
A
F/2
− 2 F/2
F/2
F/2
z
∑ M ( forze int erne) =
F
z
2
F
F
M B ( forze int erne ) =
L − (L − z)
2
2
A
∑
B
Si può notare che le componenti verticali danno luogo all’azione tagliante, mentre le componenti
orizzontali costituiscono coppie interne.
9
Materiale sviluppato in collaborazione con la Prof.ssa Silvia Bruno)
PROBLEMA 1
Per la trave reticolare rappresentata in Figura 1a si richiede di: verificare che il sistema sia
isostatico, calcolare il valore delle reazioni dei vincoli esterni, determinare le sollecitazioni nelle
aste.
Inoltre si chiede di confrontare lo stato di sollecitazione nella trave reticolare con quello della trave
piena di ugual luce e soggetta alla stessa condizione di carico, rappresentata in Figura 1b.
F
2F
F
2
6
4
L
1
8
7
5
3
L
L
L
L
Fig. 1a
F
2F
F
A
L
E
D
C
B
L
L
L
Fig. 1b
Dati: F = 100 kN
L=2m
SOLUZIONE
Verifica dell’isostaticità
Gradi di libertà del sistema: 2 × (numero di nodi) = 16
Numero di vincoli semplici: (numero di aste) + (numero di vincoli esterni) = 13 + 2 (cerniera nel
nodo 1) + 1 (appoggio scorrevole nel nodo 8)
In totale: 16 vincoli semplici, quindi in numero uguale a quello dei gradi di libertà del sistema.
Reazioni vincolari esterne
Diagramma di corpo libero:
F
2F
F
2
6
4
y
+
L
x
1
8
7
5
3
2F
2F
L
L
L
L
Fig. 1c
1
Materiale sviluppato in collaborazione con la Prof.ssa Silvia Bruno)
Azioni assiali
Equilibrio del nodo 1:
π
+ N13 = 0
4
π
R y = 0 : N12 sin + 2 F = 0 → N12 = −2 2 F
4
dalla condizione : R x = 0 segue: N13 = 2 F
N12
R x = 0 : N12 cos
1
N13
2F
N23
Equilibrio del nodo 3:
R x = 0 : N 35 − N13 = 0 → N 35 = N13 = 2 F
R y = 0 : N 23 = 0
3
N13
N35
Equilibrio del nodo 2:
π
π
− N12 cos = 0
4
4
π
π
R y = 0 : - N 12 sin - N 25 sin − F = 0 → N 25 = 2 F
4
4
dalla condizione : Rx = 0 segue : N 24 = −3F
F
R x = 0 : N 24 + N 25 cos
N24
2
N12
N25
N23 = 0
Equilibrio del nodo 4:
2F
R x = 0 : N 46 − N 24 = 0 → N 46 = N 24 = −3F
R y = 0 : N 45 + 2 F = 0 → N 45 = −2 F
4
N24
N46
N45
Le sollecitazioni nelle aste 4-6, 5-6, 5-7, 6-7, 6-8, 7-8 discendono dalla simmetria del sistema.
In alternativa all’imposizione dell’equilibrio dei nodi, è possibile ricavare lo sforzo nelle aste dei
correnti superiore e inferiore sezionando la trave reticolare in corrispondenza delle aste in esame e
imponendo, per una qualsiasi delle due porzioni risultanti dalla sezione, che sia nullo il momenti
risultante delle forze applicate (esterne e interne) rispetto a un polo opportunamente scelto.
S
F
N24
2
Per esempio:
y
M 2 = 0 : N 35 L − 2 FL = 0 → N 35 = 2 F
M 5 = 0 : FL − N 24 L − 4 FL = 0 → N 24 = −3F
+
N25
x
L
5
1
N35
3
2F
S
L
L
È senz’altro utile raccogliere in una tabella come quella riportata di seguito i valori degli sforzi
assiali via via ottenuti per ciascuna asta. Valori positivi corrispondono a sforzi normali di trazione
nelle aste e a forze nodali uscenti dal nodo; valori negativi corrispondono invece a sforzi normali di
compressione nelle aste e a forze nodali entranti nel nodo:
2
Materiale sviluppato in collaborazione con la Prof.ssa Silvia Bruno)
Asta
N
1-2, 6-8
− 2 2F
1-3, 7-8
2F
2-3,6-7
0
2-4, 4-6
-3F
2-5, 5-6
2F
3-5, 5-7
2F
4-5
-3F
Il grafico che segue illustra sinteticamente, assieme alle forze esterne (attive e reattive) agenti sui
nodi della travatura, il sistema di forze interne che nodi e aste si scambiano tra loro, con il verso
precedentemente dedotto attraverso l’imposizione delle condizioni di equilibrio.
2F
F
F
4
2
6
- Trazione
- Compressione
1
8
7
5
3
2F
2F
Lo stato di sollecitazione nel sistema può essere infine rappresentato come nella figura successiva,
nella quale i valori delle azioni assiali sono stati riportati (con segno) accanto a ciascuna asta,
eventualmente disegnata con un tratto diverso a seconda che si tratti di un elemento teso, compresso
o scarico.
F
2F
F
-3F
-3F
0
-2√2 F
-3F
√2 F
- Tirante
- Puntone
- Asta scarica
6
4
-2√2 F
0
2
L
√2 F
1
2F
3
2F
5
2F
2F
7
2F
8
2F
L
L
L
L
Confronto con la trave a parete piena
Nella trave a parete piena rappresentata in Fig. 1b, le azioni interne hanno valore:
N(x) = 0
T(x) = 2F
M(x) = 2Fx
(Fig. 1d)
N(x) = 0
T(x) = F
M(x) = F(x + L)
(Fig. 1e)
3
Materiale sviluppato in collaborazione con la Prof.ssa Silvia Bruno)
Tratto AB:
Tratto BC:
F
M
2F
2Fx
A
N
F(x + L)
B
T
2F
M
F
A
N
T
2F
L
x
x
Fig. 1d
Fig. 1e
Nelle corrispondenti sezioni della trave reticolare, effettuate con piani ortogonali alla direzione dei
correnti tra i nodi 1 e 3 e i nodi 3 e 5, rispettivamente, la risultante e il momento risultante degli
sforzi nelle aste hanno componenti:
Rx = 0
Ry = - 2F
(Fig. 1g)
M = 2Fx
Rx = 0
Ry = - F
(Fig. 1f)
M = 3FL - F(2L - x) = F(x + L)
S
F
S
3F
2
2√2 F
x-L
y
√2 F
x
1
S
2F
+
x
5
1
2F
5F
S
L
L
x
2L - x
x
Fig. 1f
Fig. 1g
Quindi, le componenti verticali delle azioni assiali in corrispondenza di una sezione S ortogonale
alla direzione dei correnti equivalgono allo sforzo di taglio nella trave a parete piena di confronto; le
componenti orizzontali danno luogo a coppie equivalenti alla sollecitazione di momento flettente
nella trave a parete piena.
4
Materiale sviluppato in collaborazione con la Prof.ssa Silvia Bruno)
PROBLEMA 2
Per la trave reticolare rappresentata in Figura 2a si richiede di: calcolare il valore delle reazioni dei
vincoli esterni, determinare le sollecitazioni nelle aste.
Inoltresi chiede di confrontare lo stato di sollecitazione nella trave reticolare con quello della trave
piena di ugual luce e soggetta alla stessa condizione di carico, rappresentata in Figura 2b.
2F
5
2F
6
C
L
L
F
Dati:
F = 150 kN
L=3m
F
4
B
3
L
L
A
2
1
L
Fig. 2a
Fig. 2b
SOLUZIONE
Verifica dell’isostaticità
Gradi di libertà del sistema: 2 × (numero di nodi) = 12
Numero di vincoli semplici: (numero di aste) + (numero di vincoli esterni) = 9 + 2 (cerniera nel
nodo 1) + 1 (appoggio scorrevole nel nodo 2)
In totale: 12 vincoli semplici, quindi in numero uguale a quello dei gradi di libertà del sistema.
L
Reazioni vincolari esterne
Diagramma di corpo libero:
2F
6
5
L
F
4
3
Fig. 2c
y
L
1
+
x
2
3F
5F
Azioni assiali
Equilibrio del nodo 6:
5F
N56
6
N46
R x = 0 : N 56 = 0
R y = 0 : N 23 = 0
N24
2
Equilibrio del nodo 2:
R x = 0 : N12 = 0
R y = 0 : N 24 + 5F = 0 → N 24 = −5F
N12
5F
5
Materiale sviluppato in collaborazione con la Prof.ssa Silvia Bruno)
Equilibrio del nodo 5:
π
+ 2 F = 0 → N 45 = −2 2 F
4
π
2
R y = 0 : N 45 sin + N 35 = −2 2 F
+ N 35 = 0 → N 35 = 2 F
4
2
N56 = 0
5
R x = 0 : N 45 cos
2F
N45
N35
N13
Equilibrio del nodo 1:
N14
1
π
− 3F = 0 → N14 = 3 2 F
4
π
R y = 0 : N13 + N14 sin − 5 F = 0 → N13 = 2 F
4
R x = 0 : N14 cos
3F
N12 = 0
5F
In alternativa all’imposizione dell’equilibrio dei nodi, è possibile ricavare lo sforzo nelle aste dei
correnti di sinistra e di destra sezionando la trave reticolare
L
in corrispondenza delle aste in esame e imponendo,
per una qualsiasi delle due porzioni risultanti dalla sezione,
4
N14
che sia nullo il momenti risultante delle forze applicate
N13
N24
(esterne e interne) rispetto a un polo opportunamente scelto.
L
S
S
Per esempio:
1
3F
M 1 = 0 : N 24 L + 5FL = 0 → N 25 = −5F
M 4 = 0 : 5FL − N13 L − 3FL = 0 → N 13 = 2 F
2
5F
5F
y
+
x
In sintesi:
1-3
2F
1-4
3 2F
2F
5
F
3
3-4
-F
4-5
− 2 2F
4-6
0
5-6
0
L
4
-5F
2F
6
-2√2 F
2-4
3-5
0
0
0
-F
-5F
1-2
L
- Tirante
- Puntone
- Asta scarica
2F
N
2F
Asta
L
3√2 F
1
0
3F
5F
2
5F
Confronto con la trave a parete piena
Nella trave a parete piena rappresentata in Fig. 2b, le azioni interne hanno valore:
N(y) = 0
T(y) = 3F
(Fig. 2d)
M(y) = 3Fy – 5FL
6
Materiale sviluppato in collaborazione con la Prof.ssa Silvia Bruno)
Trave a parete piena:
Trave reticolare:
L
M(y)
3F
T(y)
N
y
4
M
3√2 F
T
5F
2F
A
S
5FL
y
+
S
1
3F
x
y
L
2
5F
5F
y
Fig. 2d
Fig. 2e
Nella corrispondenti sezione della trave reticolare, effettuata con un piano ortogonale alla direzione
dei correnti tra i nodi 1 e 3, la risultante e il momento risultante degli sforzi nelle aste hanno
componenti:
Ry = 0
Rx = 3F
M = -2FL – 3F(L – y) = -5FL + 3Fy
(Fig. 2e)
Quindi, le componenti orizzontali delle azioni assiali in corrispondenza di una sezione S ortogonale
alla direzione dei correnti equivalgono allo sforzo di taglio nella trave a parete piena di confronto; le
componenti verticali danno luogo a coppie equivalenti alla sollecitazione di momento flettente nella
trave a parete piena. Considerazioni analoghe valgono per il confronto relativo al tratto BC della
trave a parete piena e alle aste appartenenti alla maglia compresa tra i nodi 3 e 5 della trave
reticolare.
Si osservi infine che la risultante e il momento risultante delle azioni esterne nei nodi 1 e 2 sono
equivalenti alle reazioni dell’incastro in A.
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