Controlli Automatici e Azionamenti
Elettrici
Marzo - Giugno 2011
Automation
Robotics and
System
CONTROL
Università degli Studi
di Modena e Reggio Emilia
Corso di laurea in Ingegneria
Meccatronica
DIAGRAMMI DI BODE
DiagrammiDiBode
Cesare Fantuzzi ([email protected])
Cristian Secchi ([email protected])
www.arscontrol.org
Diagrammi di Bode e polari
Nyquist Diagram
Im{F(ω)} 5000
4000
Problema della rappresentazione grafica di funzioni complesse di variabile reale del tipo:
3000
Imaginary Axis
2000
1000
Re{F(ω)}
0
arg{F(ω)}
-1000
|F(ω)|
-2000
Tre possibili rappresentazioni!
-3000
ω
-4000
-5000
-2000
Bode Diagram
70
50
ω
0
4000
6000
Real Axis
8000
10000
12000
ω
75
60
40
45
|F(ω)|
65
60
55
-45
-1
0
1
2
10
10
10
10
Marzo - Giugno
2012
Frequency (rad/sec)
3
10
4
10
ω
5
10
DiagrammiDiBode
45
arg{F(ω)}
φ(ω)
50
-90
-2
10
Cesare Fantuzzi
2000
Nichols Chart
|F(ω)|
70
arg{F(ω)}
Phase (deg)
0
80
Open-Loop Gain (dB)
Magnitude (dB)
|F(ω)|80
-80
-60
-40
-20
0
Open-Loop Phase (deg)
20
40
2
Pag. 1
Controlli Automatici e Azionamenti
Elettrici
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Diagrammi di Bode
Poiché la funzione di risposta armonica ha valori
complessi, si hanno due diversi diagrammi:
diagramma delle ampiezze o dei moduli o diagramma α,
che riporta il logaritmo (in base 10) del modulo della
risposta armonica, espresso in Decibel.
diagramma delle fasi o degli argomenti o diagramma β,
che riporta l'argomento della risposta armonica.
entrambi sono in funzione del (logaritmo in base 10) della
pulsazione ω.
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DiagrammiDiBode
3
Diagrammi delle Ampiezze e
delle Fasi
G( jω) = F (ω) = F (ω) e j arg(F (ω))
Bode Diagram
F (ω )
Diagramma delle
ampiezze : α
Magnitude (dB)
40
30
20
10
0
-10
arg(F(ω))
Diagramma delle
fasi : β
Marzo - Giugno 2012
Cesare Fantuzzi
Phase (deg)
-20
0
-45
-90
-1
10
0
10
DiagrammiDiBode
1
2
3
10
10
10
Frequency (rad/sec)
4
5
10
10
4
Pag. 2
Controlli Automatici e Azionamenti
Elettrici
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Perché usare una scala
logaritmica
Proprietà numeri complessi
Proprietà logaritmi
Dati quindi (a, b, c, … q) complessi e (k, …, q) interi si ha che
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DiagrammiDiBode
5
Il Decibel
Il decibel è un'unità logaritmica convenzionale che normalmente si
impiega per esprimere il guadagno di amplificatori (quindi una grandezza
adimensionale).
Un amplificatore di guadagno A (rapporto fra le ampiezze del segnale di
uscita e del segnale di ingresso) si dice anche che ha un guadagno di B
db, con
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Cesare Fantuzzi
DiagrammiDiBode
6
Pag. 3
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Elettrici
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Vantaggi della scala
logaritmica
Rappresentare col dovuto dettaglio grandezze che variano in campi
notevolmente estesi;
Sommare i diagrammi relativi a sistemi in cascata, per ottenere il
diagramma del sistema complessivo: infatti la risposta armonica
complessiva si ottiene eseguendo il prodotto delle singole risposte
armoniche, cioè eseguendo il prodotto delle ampiezze (che,
impiegando una scala logaritmica, si riconduce ad una somma) e la
somma delle fasi;
Costruire i diagrammi relativi ad una funzione di risposta armonica
data in forma fattorizzata come somma di diagrammi elementari,
di un numero limitato di tipi fondamentali, corrispondente ciascuno
ad un singolo fattore.
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DiagrammiDiBode
7
Somma di diagrammi
elementari
Il fattore sh corrisponde ad un eventuale polo nell'origine avente ordine di
molteplicità h: se la funzione di trasferimento non presenta poli nell'origine, è h=0
Nei casi di interesse nell'ambito dei controlli automatici l'amplificazione
comprende di regola la frequenza zero, cioè la frequenza zero o componente
continua rientra nella banda passante della catena, per cui si esclude la presenza
di uno zero nell'origine.
Forma fattorizzata in cui sono messi in evidenza i poli e gli zeri.
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Cesare Fantuzzi
DiagrammiDiBode
8
Pag. 4
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Forma con costanti di
tempo
Moltiplicando fra loro i fattori corrispondenti a coppie di zeri e poli complessi coniugati, in
modo che i coefficienti risultino tutti reali, e operando opportune posizioni, si ottiene
che equivale alla forma con costanti di tempo
in cui è
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DiagrammiDiBode
9
Funzione di risposta
armonica
Ponendo s = j ω, si ottiene la seguente espressione della funzione di
risposta armonica
La costante K è detta costante di guadagno.
Per h = 0, essa rappresenta il guadagno statico, cioè il valore della
funzione di risposta armonica per ω= 0
Per h = 1, la costante K si chiama anche costante di velocità
Per h = 2, la costante K si chiama anche costante di accelerazione
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Cesare Fantuzzi
DiagrammiDiBode
10
Pag. 5
Controlli Automatici e Azionamenti
Elettrici
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Scomposizione in funzioni
elementari
Si è ottenuto
Se si tracciano i diagrammi di Bode, delle ampiezze e delle fasi,
corrispondenti a funzioni elementari dei tipi:
è possibile, sommandoli, ottenere il diagramma di Bode della funzione
complessiva.
DiagrammiDiBode
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11
1. G(jω)=K
Diagrammi di Bode
15
|K| (db)
Costante K positiva
I diagrammi di Bode delle
ampiezze hanno l'andamento
rappresentato in figura; il diagramma
delle fasi è identicamente nullo.
10
|k|>1
5
0
|k|<1
-5
-10 -1
10
0
10
1
0
arg(K)
-100
k<0
-150
-200
-250
-1
10
0
10
ln(ω)
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Cesare Fantuzzi
10
k>0
-50
Costante K negativa
Cambia il diagramma delle fasi,
che è identicamente uguale a -π.
2
10
DiagrammiDiBode
1
2
10
10
[rad/sec]
12
Pag. 6
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2. G(j ω)=(j ω)-h
20 Log10 G ( jω ) = 20 Log10
x = Log10 (ω )
Ponendo
1
jω h
= −h 20 Log10 jω = −h 20 Log10 (ω )
Si ottiene
Diagrammi di Bode
Diagrammi di Bode
20
|1/(jω)2| (db)
|1/(jω)| (db)
20
10
0
-10
-20
-30
-40 -1
10
10
0
10
1
10
10
0
-10
-20
-30
-40 -1
10
2
10
0
10
1
10
2
0
arg(1/(j ω2))
0
arg(1/(j ω))
− h 20 Log10 (ω ) = −20hx
-50
-100
-150
-200
-250
-300 -1
10
10
0
ln(ω)
10
1
10
-50
-100
-150
-200
-250
-300 -1
10
2
[rad/sec]
10
0
10
ln(ω)
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1
10
2
[rad/sec]
DiagrammiDiBode
13
3. G(jω)= (1+j ω τ)±1
Nel caso di
G(j ω) = (1 + j ωτ)-1
|(1+jωτ)| (db)
-20
-30
-40
-50
-60 -1
10
10
0
10
1
10
60
50
40
30
20
10
0 -1
10
2
10
0
10
1
10
2
100
0
-20
-40
-60
-80
-100 -1
10
10
0
10
1
log(ω) [rad/sec]
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Cesare Fantuzzi
Diagrammi di Bode
arg(1+j ωτ)
arg(1/(1+j ωτ))
|1/(1+jωτ)| (db)
Diagrammi di Bode
0
-10
10
2
80
60
40
20
0 -1
10
DiagrammiDiBode
10
0
10
1
10
2
log(ω) [rad/sec]
14
Pag. 7
Controlli Automatici e Azionamenti
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Diagrammi approssimati
Impiegamo diagrammi di Bode approssimati a forma di spezzata. Sia data:
G ( jω ) =
G ( jω ) =
1
(1 + jωτ )
1
1
=
(1 + jωτ )
1 + (ωτ ) 2
20 Log10 G ( jω ) = −20 Log10 1 + (ωτ ) 2
DiagrammiDiBode
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15
Diagrammi approssimati
ω
0
limω →0 − 20 Log10 1 + (ωτ ) 2 = 0
ω 2τ 2 << 1 ⇒ ω <<
1
τ
⇒ −20 Log10 1 + (ωτ ) 2 ≈ 0
Bode Diagram
20
Magnitude (dB)
10
0
-10
-20
10
-1
10
0
10
1
10
2
Frequency (rad/sec)
Il diagramma coincide con l’asse delle ascisse
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Cesare Fantuzzi
DiagrammiDiBode
16
Pag. 8
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Diagrammi approssimati
ω >> 1/τ
ω 2τ 2 >> 1 ⇒ ω >>
1
⇒ −20 Log10 1 + (ωτ ) 2 ≈ −20 Log10 (ωτ )
τ
1
− 20 Log10 (ωτ ) = 20 Log10 − 20 Log10ω
τ
Il diagramma viene a coincidere con la retta passante
per il punto log ω = Log (1/τ) e di inclinazione -20 db/decade
Bode Diagram
20
Magnitude (dB)
10
0
-10
-20
10
-1
10
0
10
1
10
2
Frequency (rad/sec)
Marzo - Giugno 2012
DiagrammiDiBode
17
Diagrammi approssimati
Bode Diagram
20
Magnitude (dB)
10
0
-10
-20
10
-1
10
0
10
1
10
2
Frequency (rad/sec)
L'approssimazione asintotica del diagramma delle ampiezze è
pertanto costituita dalle due semirette
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Cesare Fantuzzi
DiagrammiDiBode
18
Pag. 9
Controlli Automatici e Azionamenti
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Errore di approssimazione
L'errore massimo di questa approssimazione si ha per
ω = 1/τ e vale − 20 Log10 2 ≈ −3 db
Diagrammi di Bode
20
15
0 per ω << 1 / τ
− 20 Log10 2 ≈ −3 db
Log101 / τ - Log10ω per ω >> 1 / τ
|1/(1+jω)| (db)
10
5
0
-5
-10
-15
-20 -1
10
0
1
10
10
DiagrammiDiBode
Marzo - Giugno 2012
19
Diagramma delle Fasi
=0
ω →0
1
) = − arg(1 + jωτ ) = − arctan(ωτ )
1 + jωτ
ω >>
1
τ
gradi
arg(
ω=
1
τ
= −45
= −90
10
fase
0
-10
-20
1
1+ s
-30
-40
-50
-60
-70
Impossibile v isualizzare l'immagine.
-80
-90
-100 -1
10
Marzo - Giugno 2012
Cesare Fantuzzi
DiagrammiDiBode
0
10
1
10
rad/sec
20
Pag. 10
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Diagrammi delle fasi
Approssimazione con la spezzata che si ottiene collegando i due asintoti
β= 0 e β = -π/2 con la tangente al diagramma nel punto
βcorrispondente alla pulsazione ω0 = 1/τ, in cui è β = π/4.
fase
gradi
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
-100 -1
10
0
10
ωa
ωb
1
10
rad/sec
21
DiagrammiDiBode
Marzo - Giugno 2012
Diagrammi delle Fasi
Come determinare ωa e ωb?
β = − arctan ωτ
dβ
dLog10ω
ω0
=
dβ
dω
dω dLog10ω
ω0
Pendenza della tangente in ω0
Marzo - Giugno 2012
Cesare Fantuzzi
=−
ωτ
1
2
1 + (ωτ ) Log10 e
−
DiagrammiDiBode
ω0
=−
1
2 Log10 e
1
2 Log10 e
22
Pag. 11
Controlli Automatici e Azionamenti
Elettrici
Marzo - Giugno 2011
Infatti…
Per la proprietà della derivata della funzione arctan
dβ
d (arctan ωτ )
1
=−
=−
dω
dω
1 + (ωτ ) 2
Per la proprietà della derivata della funzione logaritmo
(derivata dalla proprietà della derivata del logaritmo
naturale)
dLog10ωτ
1
=
Log10 e
dω
ωτ
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DiagrammiDiBode
23
Diagramma delle Fasi
le pulsazioni ωa e ωb si determinano, in funzione della
pulsazione corrispondente al “punto di rottura” del
diagramma asintotico delle ampiezze, mediante la
relazione
π /4
π /4
1
=
=
Log10ω0 − Log10ωa Log10ωb − Log10ω0 2 Log10 e
Log10
ω0
ω π
= Log10 b = Log10 e
ωa
ω0 2
ω 0 ωb
π
=
= Log10 ( Log10 e) = 4,81
ω a ω0
2
ωa =
ω0
Marzo - Giugno 2012
Cesare Fantuzzi
ωb = 4,81ω0
4,81
DiagrammiDiBode
24
Pag. 12
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Diagrammi per termimi (1+τs)-1
ampiezza
Pendenza 0
Pendenza -1 (-20 dB/decade)
20
db
10
0
-10
-20 -1
10
gradi
0o
0
10
fase
10
-10
-30
-50
-70
-90
-110 -1
10
1
10
1/τ
-90o
0
10
rad/sec
10
ωb = ω0 * 4.81
ωa = ω0 / 4.81
Marzo - Giugno 2012
1
DiagrammiDiBode
25
Diagrammi per termimi (1+τs)
ampiezza
Pendenza 0
Pendenza 1 (20 dB/decade)
20
db
10
0
-10
-20 -1
10
0
1
10
10
0o
gradi
fase
90
70
50
30
10
0
-10 -1
10
Marzo - Giugno 2012 ω
a
Cesare Fantuzzi
90o
1
0
10
DiagrammiDiBode
= ω0 / 4.81
rad/sec
10
ωb = ω0 * 4.81
26
Pag. 13
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Digrammi per τ<0
Per valori della costante di tempo τ < 0 in entrambi i casi:
il diagramma delle ampiezze risulta immutato, con il punto di rottura per
ω = 1/|τ|,
il diagramma delle fasi risulta ribaltato rispetto all'asse delle ascisse.
Marzo - Giugno 2012
DiagrammiDiBode
27
Un Esempio
k =1
db
ampiezza
40
20
0
1
1 + 10 s
G 2 ( s ) = 1 + 0 .5 s
-20
-40
-60 -2
10
-1
10
0
10
1
10
fase
gradi
G1 ( s ) =
2
10
rad/sec
100
60
20
G3 ( s ) =
1
1 + 0.1s
Marzo - Giugno 2012
Cesare Fantuzzi
-20
-60
-100 -2
10
-1
10
DiagrammiDiBode
0
10
1
10
2
10
28
rad/sec
Pag. 14
Controlli Automatici e Azionamenti
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Marzo - Giugno 2011
Consideriamo il caso in cui δ < 1
– se δ = 1, le radici sarebbero reali e il termine di secondo grado
sarebbe il prodotto di due termini di primo grado.
– Si fa riferimento all'esponente -1, data la natura logaritmica
dei diagrammi, se l'esponente valesse +1 basterebbe ribaltare
entrambi i diagrammi di Bode attorno all'asse delle ascisse.
1
20 Log10 G ( jω ) = 20 Log10
2
 ω2 
ω2
1 − 2  + 4δ 2 2
ωn
 ωn 
ω
ωn
arg G ( jω ) =− arctan
ω2
1− 2
ωn
2δ
Marzo - Giugno 2012
DiagrammiDiBode
29
Diagrammi approssimati
ω
per
0
ω2
<< 1 ⇒ 20 Log10
ω n2

1
2
ω2
ω2 
1 − 2  + 4δ 2 2
ωn
 ωn 
≈0
Bode Diagram
20
Magnitude (dB)
10
0
-10
-20
10
-1
10
0
10
1
10
2
Frequency (rad/sec)
Il diagramma coincide con l’asse delle ascisse
Marzo - Giugno 2012
Cesare Fantuzzi
DiagrammiDiBode
30
Pag. 15
Controlli Automatici e Azionamenti
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Marzo - Giugno 2011
Diagrammi approssimati
ω >> ωn
ω
>> 1 ⇒ 20 Log10
ωn2

2
per
1
2
ω2 
ω2
1 − 2  + 4δ 2 2
ωn
 ωn 
≈ 20 Log10
1
 ω2 
 2 
 ωn 
≈ 40 Log10ωn − 40 Log10ω
In questo caso il diagramma effettivo può discostarsi sensibilmente da quello
asintotico: in particolare, per δ = 0 e in corrispondenza della pulsazione di
rottura ωn, lo scostamento è infinito
Bode Diagram
20
10
Magnitude (dB)
Il diagramma ha
una inclinazione
-40 db/decade
0
-10
-20
10
-1
10
0
10
1
10
2
Frequency (rad/sec)
Marzo - Giugno 2012
DiagrammiDiBode
31
ω = ωn
per
ω2
= 1 ⇒ 20 Log10
ωn2

2
ω2
ω2 
1 − 2  + 4δ 2 2
ωn
 ωn 
Marzo - Giugno 2012
Cesare Fantuzzi
1
= 20 Log10
DiagrammiDiBode
1
4δ 2
= 20 Log10
1
2δ
32
Pag. 16
Controlli Automatici e Azionamenti
Elettrici
Marzo - Giugno 2011
Diagrammi di Bode
Il diagramma delle ampiezze ha le seguenti proprietà:
Per
la curva presenta un massimo;
Per
la curva interseca l'asse delle ascisse a
destra del punto ω = ωn ed è pertanto
tutta al di sopra della sua
approssimazione asintotica;
Per
la curva interseca l'asse delle ascisse a
sinistra del punto ω = ωn;
Per
la curva non interseca l'asse delle
ascisse ed è pertanto tutta al di sotto
della sua approssimazione asintotica.
Marzo - Giugno 2012
DiagrammiDiBode
33
Diagramma delle ampiezze per
diversi valori di δ.
2
10
δ = 0.001
1
|G(j ω )|
10
δ = 0.5
0
10
δ=1
-1
10
-2
10
0
10
Marzo - Giugno 2012
Cesare Fantuzzi
1
10
log(ω) [rad/sec]
DiagrammiDiBode
2
10
34
Pag. 17
Controlli Automatici e Azionamenti
Elettrici
Marzo - Giugno 2011
Picco di risonanza,
Pulsazione di risonanza
Il picco di risonanza MR è il valore massimo assunto dal diagramma
delle ampiezze.
La pulsazione di risonanza ωR è la pulsazione alla quale esso si
verifica.
10
|G(jω)|
10
10
2
picco di risonanza
δ = 0.001
1
δ = 0.5
0
δ= 1
10
pulsazione di risonanza
-1
-2
10 0
10
Marzo - Giugno 2012
1
2
10
10
log(ω) [rad/sec]
DiagrammiDiBode
35
Diagrammi di Bode
Per il calcolo di MR e ωR conviene, per semplicità, porre u = ω/ωn.
20 Log
10
G ( j ω ) = 20 Log
1
10
(1 − u ) 2 + 4 δ 2 u 2
2
Il massimo dell'ampiezza corrisponde quindi ad un minimo della funzione
Derivando e uguagliando a zero la derivata, si ottiene
Marzo - Giugno 2012
Cesare Fantuzzi
DiagrammiDiBode
36
Pag. 18
Controlli Automatici e Azionamenti
Elettrici
Marzo - Giugno 2011
Diagrammi di Bode
Si è ottenuto
Noto il valore di ωR, si calcola il valore dell'ampiezza alla risonanza, cioè del
picco di risonanza MR, come il modulo della funzione di risposta armonica per ω
= ωR. Si ricava:
10
9
8
7
6
MR
Andamento del picco di risonanza MR
in funzione del coefficiente di
smorzamento δ.
5
4
3
2
1
00
0.2
DiagrammiDiBode
Marzo - Giugno 2012
0.4
δ
0.6
0.8
37
1
Diagramma delle fasi
in funzione di δ
δ = 0.5
δ = 0.1
δ=0
0
-20
-40
δ=1
arg[G(jω)]
-60
-80
-100
-120
-140
-160
-180
0
10
1
10
2
10
log(ω) [rad/sec]
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Diagrammi di Bode
Per quanto riguarda l'approssimazione asintotica, si può ottenere congiungendo gli
asintoti β = 0 e β = -180° con un segmento inclinato come la tangente al diagramma
effettivo in corrispondenza della pulsazione di rottura ωn.in cui β=-90°
Si ottiene una famiglia di diagrammi, ciascuno per un diverso valore di δ.
Per il calcolo dell'approssimazione asintotica calcoliamo il valore della tangente al
diagramma delle fasi in ω=ωn:
dβ
dLog10ω
ω =ω n
=
dβ
du
du dLog10ω
u =1
=−
1
δLog10e
DiagrammiDiBode
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Diagrammi di Bode
Le pulsazioni ωa e ωb sono legate alla pulsazione di rottura ωn dalla
relazione
π /2
π /2
1
=
=
Log10ωn − Log10ωa Log10ωb − Log10ωn δLog10 e
dalla quale si ottiene
Log10
cioè
ωn
ω πδLog10 e
= Log10 b =
ωa
ωn
2
ωa = (4,81δ ) −1ωn

δ
 ωb = (4,81 )ωn
ω n ωb
=
= 4,81δ
ωa ωn
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Diagrammi di Bode
In pratica, per determinare sulla scala logaritmica la pulsazione omegaa (oppure la ωb) in
rapporto alla ωn, basta:
riportare su una striscia di carta la distanza, presa sulla scala stessa, fra il punto di
ascissa 1 e quello di ascissa 4.81
moltiplicare la lunghezza del segmento così ottenuto per δ (ad esempio, se è δ = 0.5,
si assume una distanza paria metà del segmento ottenuto).
log(ωa)
log(ωn)
log(ωb)
log(ω) [rad/sec]
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Diagrammi di Bode
La pulsazione naturale ωn, uguale al modulo delle radici complesse
coniugate cui corrisponde il termine del secondo ordine, non è mai
negativa
ωn > 0
sempre
Il coefficiente di smorzamento δ può essere invece negativo:
δ<0
In questo caso:
il diagramma delle ampiezze è uguale a quello che si avrebbe per
uno smorzamento pari a |δ|
il diagramma delle fasi risulta ribaltato rispetto all'asse delle ascisse.
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Caso con δ < 0
Diagramma delle ampiezze:
non cambia
Diagramma delle fasi:
ribaltato attorno all’asse
DiagrammiDiBode
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Diagrammi di Bode
Diagrammi di Bode per il termine di secondo ordine
δ
1
10
0
-20
0
10
δ
|G(j ω)|
-40
arg[G(j ω )]
-60
-1
10
-80
-100
-120
-140
-160
-2
10
0
10
1
2
10
ω)
log(ω) ln([rad/sec]
10
δ = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 1, 1.2, 1.5, 2
-180
10
0
DiagrammiDiBode
10
1
10
2
ω)
log(ω) ln(
[rad/sec]
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2
10
180
1
160
10
|G(j ω)|
140
arg[G(j ω)]
120
0
10
100
80
60
δ
40
δ
20
-1
10
0
10
1
10
ω)
log(ω)ln([rad/sec]
2
10
0
10
0
10
1
10
2
ω
Picco di attenuazione
)
log(ω) ln([rad/sec]
Si ribaltano attorno all'asse delle
ascisse i diagrammi ottenuti per
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Margini di Stabilita’
Il diagramma di Bode delle Ampiezze e delle Fasi
valutano quanto un sistema “guadagna” e “ritada in fase”
rispetto ad un segnale sinusoidale di ingresso.
Se il sistema e’ chiuso in retroazione un guadagno
elevato o uno sfasamento eccessivo comportano
comportamenti dinamici vicini alla instabilita’.
Si definiscono due parametri detti Margini di Stabilita’
che misurano la cosiddetta “stabilita’ relativa” dei
sistemi in retroazione.
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Margine di Ampiezza
Il Margine di Ampiezza MA e’ l’inverso del modulo del
guadagno di anello alla pulsazione corrispondente alla
fase –π (detta pulsazione di fase Pi Greco).
Bode Diagram
Gm = 16.8 dB (at 1.52 rad/sec) , Pm = 67 deg (at 0.436 rad/sec)
50
Magnitude (dB)
MA
0
-50
-100
-150
0
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
-225
-270
-3
10
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-2
10
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
DiagrammiDiBode
2
10
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Margine di Fase
Il Margine di Fase MF e’ l’angolo che occorre sottrarre
alla fase (normalmente negativa) del guadagno di anello
alla pulsazione ωi corrispondente al valore unitario del
modulo (detta pulsazione di intersezione o di incrocio)
per ottenere il valore –π
Il nome della pulsazione fa riferimento al diagramma di
Bode delle Ampiezze, che in corrispondenza di essa
interescano l’asse delle ascisse.
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Margine di Fase
Bode Diagram
Gm = 16.8 dB (at 1.52 rad/sec) , Pm = 67 deg (at 0.436 rad/sec)
Magnitude (dB)
50
0
-50
-100
-150
0
MF
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
-225
-270
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
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Sessione Matlab
>> Gs=tf(1,[1 3 3 1])
Transfer function:
1
--------------------------s^3 + 3 s^2 + 3 s + 1
>> margin(Gs)
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Margine di Guadagno
Bode Diagram
Gm = 18.1 dB (at 1.73 rad/sec) , Pm = -180 deg (at 0 rad/sec)
10
Magnitude (dB)
0
-10
-20
-30
-40
-50
0
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
-225
-270
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
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Margine di stabilità e
risposta all’impulso
>> simulink
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Incrementiamo di 10 il
guadagno del sistema
>> Gs=tf(10,[1 3 3 1]) % Incrementiamo di 10 il guadagno
Transfer function:
10
--------------------------s^3 + 3 s^2 + 3 s + 1
>> margin(Gs)
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Margine di guadagno
Bode Diagram
Gm = -1.94 dB (at 1.73 rad/sec) , Pm = -7.03 deg (at 1.91 rad/sec)
20
Magnitude (dB)
10
0
-10
-20
-30
-40
Phase (deg)
Il margine di
Guadagno è negativo:
-1.94 dB
-50
0
-45
-90
-135
-180
-225
-270
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
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Il sistema in retroazione è
instabile
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Assignment 7.1
Graficare i diagrammi di bode per i sistemi:
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Sommario
I diagrammi di Bode sono i grafici della funzione della
risposta armonica.
Si dividono in Diagramma delle fasi e Diagrammi delle
Ampiezze.
I diagrammi sono in scala logaritmica, in questo modo è
possibile costruire diagrammi complessi come somma di
diagrammi semplici.
Abbiamo visto alcune regole di tracciamento che
utilizzano approssimazioni per spezzate.
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