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CAPITOLO DECIMO
248, IJnparallelepipedorettangolo haladiagonale, la cui misura, rispetto al metro, è ÈVJ, che forma con
la diagonaledi baseun angolodi 30" e questaforma con una delle dimensioni di baseun angolo di75o.
Calcolarearea della superficietotale e volume del parallelepipedo.
= 1 p't,+ z^Jl);uotume
: ]^ P C1
lono
L5)2J
249, Una piramide quadrangolareregolare ha 1ospigolo laterale che misura 2 a eI'angolo formato dall' altezza
e da tale spigolo è di 10". Calcolarearea della superficietotale e volume della piramide.
= 1 r' fÀ
l** = 2a2(Ji+ t); uolume
))
250, Lo spigololateraledi una piramide regolarea basequadrataforma con il piano di baseun angolodi 60".
Calcolarearea della superficietotale e volume, sapendoche lo spigolo suddetto misura 4a.
=
+ r); uolume
ytrea= sa2617
*
n *l
251. Una piramide esagonaleregolareha le facce laterali inclinate di 30o sul piano di base. Sapendoche
I'apotema di base misura a, calcolarcarea della superficietotale e volume della piramide.
larea = 6a2(J3 + 2); aolunae= za3"6l
252. lJnapiramide esagonaleregolareha 1o spigololaterale,di misura k.J1, cheforma con il piano di base
un angolo di 15o. Calcolarearea della superficietotale e volume.
-l
|
3
b'
r-
l**
=
;
=
k'z7+ 2,13+.Jzs + t2 | 3\;uolurne
;
É *Vttl
25J. tJn cono circolare retto ha I'angolo di apertura di 45'ed il raggio di baseche misura ali.
Calcolarc
I'area della superficietotale e il volume.
larea = 3ra2(J2 + l); uolume = not lTl
254, rJncono circolareretto ha l'apotema,la cui misuraCa6l 5 - 1), che forma con il piano di baseun angolo
di 36". Calcolarearea della superficietotale e volume.
- "
lono= no'.li: uolunte
L3J
ot'vf
5 - 2.fi]
255. L'arca della base di una piramide quadrangolareregolareè2a2 e lo spigolo laterale è inclinato di 15o
256. Una piramide triangolarPlqgqlql: ha lo spigolo laterale che forma conl'altezza un angolo di 15o e
l'altezza che misura: a",l 7 - 4V3. Calcolaîe aîeadella suoerficietotale e volume.
257, Una piramide ha per baseun rombo aventeun angolodi 60'. Calcolare area della superficielaterale e
volume della piramíde sapendoínoltre che I'apoiema della piramide, che è di kr[6 cm, forma con
l'altezza della piramide stessaun angolo di 45'
farea= 8kt,,lZ;aolume: 8&rl
258. Un trapeziorettangolo ABCD, circoscrittibile ad un cerchio,ed aventeI'angolo acuto di 60o, è basedi
una píramideretta di vertice V. Sapendoche lo spigololateraleVB, inclinato di 30" sul piano della base,
è di8 crn, calcolarearea della superficielaterale e volume della piramide.
=8Vt(Vl + 2);uolunte
=
lorro
3
rr.,/t. ttl
u
í+
Unità3
{: t':.::
{}:li' t-asommadel latodi basee dell'apotema
di una piramidequadrangolare
regolaree cm gg e il loro
rappottoe
Calcolare
l'areadellasuperlicie
totalee il volumedellapiramide.
17200;34560]
,r.
'ffirl|lrr'
piramide
|n una
regolarequadrangolare,
la sommadel lato di base e dell'alrezza
è cm 20, mentre
tlii\r,.ttit...
l'altezza i O"t latodi base;calcolarel'areadellasuperficie
totalee il volume.
"
38al
1384;
,t':111.ìi'
e
ìi,,,,,lr
d ,,, Una piramide triangolare ha lo spigolo laterale che è i di quello di base; sapendo che il volume, in
I
cm3,e 72\/m, determinare
I'areadellasuoerficie
totale.
*|#.
I lato base: cm
.12]
Un solido è formato da un cubo sormontatoda una piramideretta avente per base una faccia del
cubo e lo spigolo lateraledella piramid"
Oi quello del cubo. Sapendo che la somma di tutti gli
" I
spigoli del solido è di cm 176, trovare superficiee volume del solido.
cubo:cm 10]
fspigolo
,{3
il i
ììì,,,,l.:t,
Calcolarel'altezzae il volume di una piramide regolarea base quadrata,dato il lato di base / e
sapendo che la sua superlicielateralee
i di quelladel prisma retto di base e allezzaegualia quelle
dettapiramide.
t,
-2,,u -3,'l
Inunc
di cm
l\{'" ,n,n
del cc
li.tnrn
lì$ill.
, r-"g"
èdi c
î,$. ,,r ug
della
.:,;:1,,1:1,.',
g alca
conof
L'i';".-|r,,,
.,..
ln un
Cilindro,cono,sfera
mino
.5,,
3
l' 1,,,,,,i',,,,
ln un cilindro I'alt ezza è del raggio di base e inoltre la somma dell'alLezzacon i del diametro è di
a
f,
dm 5.7. Trovarela misura del raggio, dell'allezza,la superficietotale il volume del cilindro.
lr - (dm)1.81
,,,,,,:li,,f
r}
A
ilr .:,, fssuperficietotaledi
uncilindroè1950re1'altezzaei]del
diametrodi
base.Calcolareil
volumedel
cilindro.
"
lr-i1;V:ii250r]
"ìiii, o","
raggi
,$?,ur1
ragg
ìììììììlllì
iírrrr,il
'" La differenzafra la super4icielateralee la supedicie delle due basi di un cilindro e 18. 75r. L'altezzaè
]f ,'rrtilii,,,
I
OetOiametro
di base.Calcolare
il volumedel cilindro.
ir-2.5:Y:39,0625211
,';ili, r-asu
'f
.i
rn un cilindrol'altezzae
I o"r raggioe l'areadellasezionefattacon un pianopassanteperl'assee, in
dmz. 12.348. Calcolarel'area della superficietotale e il volume.
-,,11,
,,,1i
f r- ( c m )2 . 1 1
,,i1'
La superficielateraledi un cilindo ha per sviluppoun quadratoil cui lato è lungo cm 48. TrovareI'area
"'""iii",,,,
della superficietotale e il volume.
|
2a
ì
lr--':h-481
"'v:.;:,|ir)
;Í i-ì,,,ln un cilindroil raggioe dell'altezza
e la sezionefatta con un pianopassanteper l'asseha il
i
perimetro
di cm 43,20.Tro"vare
l'areadellasuperficie
totalee il volume.lr : (cm)4,8: h : (cm)121
"''',1ìì
:ttt,.,ll'
t irl
ln un cilindroè inscrittoun prismatriangolare
regolare
la cui superficie
laterale
è di m2 7.20 el'allezza
e
,'l'.t','{3,
cul"o
i
Oetlatidi base.Trovarel'areadellasuperlicie
totalee il volumedel cilindro.
llatodi basedel prisma:m 2l
,i' d ,* ln un cilindrola superficie
è cm2 197.82,l'altezza
e i ] Oetdiametrodi base;trovarela misuradel
raggio,dell'altezza
e il volumedel cilindro.
"
[r: (cm) 3]
I lliiiilf'
Un cilindroe un conohannolo stessoraggiodi base,cheè dm 15,e le stesseareelaterali.
Calcolare
l'allezzadel cilindro,sapendoche quelladel cono e di dm 8.
fdm g.5l
circo
rtl+íÍ.catc
I'alte
*j 3 . cu'"o
Area
*H. ,nu
Calco
lli',;Ér-,u
èdm
#4- unu
secon
Areee volumi 75'.',,
ììììì,rr.rf,if
':,|:,:::,li
..15
. 4
, ,
,,)' ,,,ln un conol'alLezzae
if oetraggiodi basee la sommadei] oett'attezzacon
il doppiodell'apotema
è
di cm 108.Calcolare
le misuredel raggio,dell'altezza,
dell'apotema
e il volumedel cono.
[r : (cm) 16]
: t.F' rn un cono la superlicie
totaleè di cm2628e l'apotemae i { oerraggiodi base.Calcolare
il volume
o
del cono.
_
lr (cm) 8l
,,,.::,:
::a|"
".11
r r , ,l,l ,l l ìl n u n c o n o e q u i l a t e r o l a s u p e r f i c i e l a t e r a l e ècdmi 2 2 7 6 9 . 4 8 . T r o v a r e vi lo l u m e .
[r-(cm)21]
g!.
,:11""',i
\l
r,r,,,.i,r,' Le generatricidi un cono sono inclinatedi 30' sul piano della base.Sapendoche la superlicielaterale
è di cm2 56,52v6, determinareil volume.
[h - (cm)3]
'a,':"iìì:
,r'
',1,,,,11r,,,,,,,:ì
,, ll raggiodi basedi un conoè r e le generatrici
formanocon I'asseun angolodi 45";determinare
I'area
dellasupedicie
totalee il volume.
lorrl.l Jr,, lrló
L
l
,:,'3é$
,'ae&' Calcolareil raggio, l'altezzae l'apotemadi un cono, sapendo che sono in progressionearitmeticae
conoscendoil volume 12na3.
L3a. 4a. 5a)
t"::,,ì...1."'
6
1
1,,,,,,.',,,,,,r,,
tn un tronco di cono I'apotemaè . del raggio maggioreed e i ] Oet minore.La somma del raggio
426
minore e di dell'aOotemaè di cm 40. Trovarel'area della superficietotale e il volume.
a
lR:40;r-24; a:201
.,.,,..jj.
O"t"rtinareil volume
di unconolacuisuperficie
laterale
si sviluppa
in unsettore
circolare
di 'l20'e
r a g g i oc m 1 2 .
Lh- !ve)
Un troncodi cono,aventeil raggiodellabaseminoredi dm 9, e circoscritto
ad unasferadi dm 12 di
raggio.Òalcolare
l'arealateralee il volumedel tronco.
@25tr:s44gr)
111
,1,,,,,,;.
. t,.::"1:
'í'a.,'"':,
l'areadellasuperficie
Calcolare
e il volumedi unasferacircoscritta
ad un cubo di lato/. l, -'*]
z)
L
La supedicietotale di un cubo è di cm2 384; trovareil volume della sfera inscrittae quellodella sfera
circoscritta.
r:al
B:4tE:
.....llli,,,il
c"r""rareta superficie
e il volume di una sfera circoscrittaad un cono avente I'areadi base ra2 e
l'allezza2a.
| 25
,
125
"'l
48'*l
l+""
ìì'ì,:
la superficie
S i . Calcolare
e il volumedi unasferainscrittain un cono di altezza4a e raggiobase3a..,
l o n a 2I o: a 3 l
L-l
Area della superficie sferica
'-
,..r'j
.ii*.
'":
Una sfera e circoscrittaad un cono, il quale ha il raggio di base di cm 20 e I'allezzadi cm 16.
CalcolareI'areadella sfera.
1ì
1
L'altezza
di un cilindroe Oetraggiodi base.Sapendoche dellasommadell'allezzae
del diametro
i
U
è dm 4,2,si calcoliil raggiodellasfera,la cuisuper-ficie
è equivalente
allasuperficie
totaledelcilindro.
Unasferaha il diametrodi m 26;a qualedistanzadal centrobisognacondurreun pianopersecarla
secondoun cerchiodi area(m2)25r?
M557- ESAMEDI STATODI LICEO SCIENTIFICO
CORSODI ORDINAMENTO
Temadi: MATEMATICA
Il candidatoscelgaa suo piacirnentodtredei seguentiproblemi c li risolva:
1.
Sia f(x) una funzionerealedi variabilereale,continuasu tutto l'assereale.tale che:
. Jq*;dx=*5
Jr1*;a'=z
00
tll
a)
Di ciascunodei seguentiintegrali:
I
2
/__\
itf1lo-
it \z)
b)
c)
d)
e)
i'2.
f
dire se le condizroniI
questo.
Posto:
\
{
lrf\ zI) lo-
':
/
',,
,/
\
ì
frl\ ll) lo. ifrlz*ya*
,
sono sufficientiper calcolameil valore e in casodi rispostaaffermativaqual e
f(x):ax'+bx+c'
dove a, b, c sono plrantetri reali con a* 0, determinarele curve di equazioney: f(x) che soddisfano
allecondizioni[].
Dimostrareche ognunadelle curve trovate ha uno ed un solo punto di flessoche è centro di simmetria
per la curva medesima.
Determinarcquella,tra tali curye,cheha il flessonel puntodi ordinata- 4 .
Fra le curve suddettedeterminare,infine,quelleche hannopunti estremantie quelleche non ne hanno.
Il rettangoloABCD è tale che la rctta che congiungei punti medi dci suoi lati piu lunghi. AB e CD, 1odivide
in due rettangolisimili a quellodato.Tali latihanno lunghezzaassegnata
a.
a) Determinarela lunghezzadei lati minori del rettangolo.
b) Sulla rettacondottaperpendicolarmente
al piano del rettangolonel punto mediodel lato AD prendereun
punto V in modo che il piano dei punti V, B, C fonni col piano del rettangolodato un angolo di
coseno
2
-
. Calcolareil volumedellapiramidedi verticeV e baseABCD.
VIJ
c)
Condottoil piano cr paralleloal piano della faccia VAD della piramide,ad una distanzax da questo,in
tnodopero che cr sechila piramidestessa,esprimerein funzionedi x I'area del poligonosezione.
d)
Calcolareinfine i volumi delledue parti in cui il piano cr divide la piramidenel casoin
"ui
r = 1 .
L
3. Il candidatodimostrii seguentienunciati:
a)
Fra tutti i triangoli rettangoliaventila stessaipotenusa,quello isosceleha l'area massima.
b)
Fra tutti i coni circolari retti circoscritti ad una data sfera, quello di minima area lateraleha il suo
verticedistantedalla superFrcie
sfericadella quantitl rJ 2, se r è il raggiodella sfera.
Il candidatochiarisca,infine, il significatodi nl (fattoríole din ) e il suo legamecon i coeffrcientibinomiali.
Durata rnassimadella prova: 5 ore.
E consentitol'uso della calcolatricetascabilenon progralnmabile.
Non e cottsentitolasciarel'Istituto prilna che siano trascorse3 ore dalla dettaturadel tema.