DINAMICA DEI FLUIDI IDEALI
Moto stazionario
di un
fluido ideale
In ogni punto la velocità
resta costante nel tempo (il
campo vettoriale delle
velocità è costante).
incompressibile (lo è approssimativamente il liquido) e
non viscoso (lo è approssimativamente il gas).
Le linee di corrente sono parallele all’asse del tubo, la velocità
è costante su tutti i punti di ogni sezione normale del tubo
S
v
PORTATA = volume di fluido che
attraversa la sezione nell’unità di tempo
S
v
l = v t
Q
Q
Svt
 vS
t
V
t
m 3 s1
Legge di continuità
Q  Sv  cost
v1
S1
S1v 1  S2 v 2
S1
S1v 1  S2 v 2
S1
v2  v1
S2
S2  S1
v1
S2
S2  S1
Q1  Q2
v2
S2
v 2  v1
v2
S1
v2  v1
S2
v 2  v1
Nel moto stazionario di un fluido incompressibile le velocità in
due diverse sezioni sono inversamente proporzionali alle aree
delle sezioni stesse.
LEGGE DI BERNOULLI
Moto stazionario di un fluido ideale in un condotto a pareti rigide
F1 l1
Per t molto piccolo si ha:
A B1
1
h1
A1  B1
 l2
A 2 B2
F2
A2  B2
l 1  v 1t
l 2  v 2 t
h2
F1  p1 S1
Forze di superficie:
F2  p 2 S2
Forza di volume:
forza peso
Il volume tra A1 e B1 è uguale a quello compreso tra A2 e B2:
S2 l 2  S2 v 2 t
S1l 1  S1v 1t
e la massa di fluido di ciascun volumetto è:
se la densità è costante.
m  S1l 1  S2 l 2
F1 l1
A B1
1
h1
 l2
A 2 B2
F2
Il volume compreso tra B1
e A2 resta invariato. Forze
di superficie e forze di
volume compiono un
lavoro per portare m
dalla posizione iniziale a
quella finale.
h2
T  L s  L V
Lavoro delle forze di superficie
L s  F1l 1  F2 l 2  p 1S1v1t  p2 S2 v 2 t
ma:
m
m  S1v 1t  S2 v 2 t quindi: S1v 1t  S2 v 2 t 

m
LS 
( p1  p2 )
se la densità è costante.

Lavoro delle forze di volume:
L V  L g  U  m  g( h 2  h 1 )
F1 l1
A B1
1
h1
 l2
A 2 B2
F2
T  L S  L V
h2
1
1
m
2
2
m v 2  m v 1 
( p1  p 2 )  m  g( h 2  h 1 )
2
2

dividiamo per m e moltiplichiamo per :
1 2 1 2
v 2   v1  p1  p2  gh 2  gh 1
2
2
1
1
p1  gh 1  v 12  p 2  gh 2  v 22
2
2
1 2
p  gh  v  cost
2
Applicazioni della legge di Bernoulli
Teorema di Torricelli
Velocità di efflusso da un piccolo foro.
p0
S1
h
h1
v
h2
S2
p0
1 2
1 2
p1  gh 1  v 1  p 2  gh 2  v 2
2
2
S1  S2
v1  0
v2  v
1 2
v  g( h 1  h 2 )   gh
2
v  2 gh
p1  p2  p0
Applicazioni della legge di Bernoulli
Tubo orizzontale
S2
S1
v1
v2
1 2
1 2
p1  gh 1  v 1  p 2  gh 2  v 2
2
2
S1v 1  S2 v 2
S = cost
v =cost
h = cost
gh 1  gh 2
quindi:
p = cost
1 2 1 2
v 1   v2
2
2
S1
v1
S2
STENOSI E ANEURISMA
v2
h1  h 2
1 2
1 2
p1  gh 1  v 1  p 2  gh 2  v 2
2
2
S1v 1  S2 v 2
1
p1  p2  ( v 22  v12 )
2
S
v2  1 v1
S2
S2
S1
h1  h 2
v
v1
2
v 2  v1
p2  p1
{
{
v 2  v1
p2  p1