LEZIONI GEOMETRIA
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LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
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Trasformazione geometrica
Movimento rigido
Traslazione
Simmetria
Costruzione di due punti simmetrici rispetto ad una retta
Poligoni aventi assi di simmetria
Rotazione
Omotetia
Similitudine
1. Trasformazione geometrica
Una trasformazione geometrica (t) tra i punti di un piano è una funzione che fa
corrispondere ai punti del piano altri punti del piano stesso e viceversa (trasformazione
biunivoca).
Dati due punti P e P' si può dire che:
• P' = t(P) è detto trasformato o immagine di P.
• P è detto antitrasformato o controimmagine
di P'.
• Si dice trasformazione identica o identità la trasformazione che associa ad ogni
punto P il punto stesso: t(P) = P.
In una trasformazione
• le caratteristiche che non cambiano si chiamano invarianti;
• le caratteristiche che cambiano si chiamano varianti;
• gli elementi che hanno per trasformati se stessi si chiamano elementi uniti.
Le principali caratteristiche che una trasformazione può lasciare invariate sono:
• la lunghezza dei segmenti
• l’ampiezza degli angoli
• il parallelismo
• le direzioni
• il rapporto tra i segmenti
• l’orientamento dei punti del piano
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ESEMPIO 1
A' = t(A) “A' corrisponde ad A”
B' = t(B) “B' corrisponde a B”
C'= t(C) “C' corrisponde a C”
Le invarianti di questa trasformazioni
sono:
• la lunghezza dei segmenti
(AB=A'B'; BC=B'C')
• l’ampiezza degli angoli
• il rapporto tra i segmenti (BC:AB=B'C':A'B')
• l’orientamento dei punti del piano
• Le direzioni
ESEMPIO 2
A' = t(A) “A' corrisponde ad A”
B' = t(B) “B' corrisponde a B”
C'= t(C) “C' corrisponde a C”
Le invarianti di questa trasformazioni sono:
•
•
•
•
l’ampiezza degli angoli
il rapporto tra i segmenti (BC:AB=B'C':A'B')
l’orientamento dei punti del piano
Le direzioni
Le varianti di questa trasformazioni sono:
•
La lunghezza dei segmenti
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2. Movimento rigido
Un movimento rigido è lo spostamento di una figura su un piano senza che essa
subisca deformazioni.
I movimenti rigidi sono detti anche isometrie (dal greco: figure uguali).
L' Isometria è una trasformazione geometrica che conserva le distanze fra i punti.
Sono isometrie le seguenti trasformazioni geometriche:
• simmetria
• traslazione
• rotazione
• ribaltamento
SINTESI
La simmetria, la traslazione, la rotazione e il ribaltamento sono movimenti rigidi
sul piano o isometrie che a loro volta sono trasformazioni geometriche
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3. La traslazione
La traslazione è il movimento rigido di una figura su un piano lungo una direzione e
secondo un verso assegnato
La traslazione è caratterizzata da tre elementi:
1. direzione, la retta passante per i punti corrispondenti
2. verso o senso
3. intensità o modulo, rappresentata dalla misura della lunghezza dello
spostamento
I tre elementi vengono rappresentati insieme con un
segmento orientato detto vettore (si rappresenta
con una v e una freccia sopra):
Il vettore AB indica che il verso va da A a B; il vettore BA indica il contrario.
Fraseologia
Se due figure F e F’ si corrispondono in una
traslazione di vettore AB si dice che “F’ è la
trasformata di F nella traslazione di vettore AB”.
PROPRIETA’ DELLA TRASLAZIONE
Una traslazione conserva
1. l’allineamento dei punti , il
parallellismo, le lunghezze dei
segmenti, le ampiezze degli angoli,le
aree, l’orientamento dei punti del
piano
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4. La rotazione
La rotazione è il movimento rigido di una figura su un piano mediante
rotazione attorno ad un punto, detto centro di rotazione.
La traslazione è caratterizzata da due elementi:
1. verso o senso, orario o antiorario
2. intensità o modulo, rappresentata dall’ampiezza dell’angolo di rotazione
PROPRIETA’
Una rotazione conserva
1. il parallellismo
2. le lunghezze dei segmenti
3. le ampiezze degli angoli
4. le aree
Nella figura è rappresentata una rotazione attorno al
punto O esterno alla figura di verso antiorario e angolo
80°
Nella figura a fianco è rappresentata una rotazione
attorno al punto O interno alla figura, di verso antiorario
e angolo 90°
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Come individuare l’angolo di rotazione se conosciamo il centro O
Per individuare l’angolo e il verso di rotazione in
due figure che si corrispondono in una rotazione
è sufficiente unire due punti corrispondenti (ad
esempio B e B’) con il centro O misurare
l’angolo con il goniometro. Il verso è da B a B’.
Come individuare il centro di rotazione,
l’angolo di rotazione e il verso
Date le due figure ABCD e A'B'C'D':
1. Unisci almeno tre coppie di vertici
corrispondenti (BB’, CC’, DD’)
2. Traccia gli assi dei tre segmenti ottenuti
(BB', CC', DD')
3. Se i tre assi si incontrano nello stesso
punto, il punto di incontro è il centro di
rotazione.
4. Unisci il di incontro degli assi con due
vertici corrispondenti. L’angolo
compreso fra i due segmenti è l’angolo
di rotazione
5. Costruisci un arco di centro O e raggio
A. Il verso di rotazione va da
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5. La simmetria assiale
Punti simmetrici
Due punti A e A' sono simmetrici rispetto ad una retta s quando
hanno la stessa distanza dalla retta s e la retta s è asse di
simmetria del segmento AA'.
La retta s è detta asse di simmetria.
Poligoni simmetrici
Due poligoni sono simmetrici rispetto a una retta s se i vertici
corrispondenti sono simmetrici rispetto a s, cioè ogni coppia di
punti corrispondenti sono alla stessa distanza dalla retta.
Due figure simmetriche sono sempre congruenti, ma opposte.
Invarianti e varianti di una simmetria assiale
Invarianti
1. la lunghezza dei lati corrispondenti
2. l'ampiezza degli angoli corrispondenti
Varianti
1. l'orientamento della figura F rispetto alla
figura F'.
Pertanto si dice che:
Due figure corrispondenti in una simmetria assiale
sono inversamente congruenti, cioè opposte
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Altri esempi di simmetria assiale
L'asse di simmetria attraversa il poligono
Osserva bene la disposizione dei punti rispetto
alla retta.
il simmetrico di B è a sinistra della retta
il simmetrico di A è a destra
Il quadrato è simmetrico di se stesso rispetto la
retta che lo attraversa nei punti medi dei lati.
La retta è detta asse di
simmetria del
quadrato
Analizza tutti i quadrilateri studiati.
Individua in essi tutti gli assi di simmetria
Come costruire due punti simmetrici rispetto ad una
retta
Per costruire due punti simmetrici rispetto a una retta r si
procede con il compasso nel seguente modo:
1. Si punta il compasso sul punto A in modo da tagliare
la retta r in due punti C e D (fig. 1);
2. Con la stessa apertura si punta su C e poi su D in
modo da tracciare due archi (fig. 2)
3. Il punto di intersezione dei due archi, detto A', è
simmetrico al punto A rispetto la retta r
4. Tracciare gli archi e il segmento AA' con la matita
Tracciare la retta r e i punti A e A' con una penna
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Figure dotate di assi di simmetria
Una figura è dotata di assi di si mmetria quando esiste una retta tale che, per ogni
punto della figura, anche il suo simmetrico appartiene alla figura
1. Il quadrato ha 4 assi di simmetria
2. Il triangolo equilatero ha tre assi di simmetria
Esercizi
Individua tutti i quadrilateri e triangoli che hanno uno o più assi di simmetria. Disegna i
poligoni e gli assi di simmetria.
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6. Omotetia
L’omotetia è una trasformazione non isometrica che comporta una
dilatazione secondo una costante K detta costante di omotetia e un punto O
detto centro di omotetia.
K=
OA ' 
OA
PROPRIETA’
L’omotetia conserva
1. il parallellismo
2. le ampiezze degli angoli
K=2
Fig. 1
A’B’:AB=B’C’:BC=C’D’:CD=A’D’:AD=2
OA’=2OA
OB’=2OB
OC’=2OC
OD’=2OD
Le dimensioni della figura ABCD sono state ingrandite due volte. Cioè sono
direttamente proporzionali.
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K=
1
2
Le dimensioni della figura
A’B’C’D’ sono la metà di quelle di
ABCD.
Fig. 2
Nell’immagine a sinistra il centro di omotetia
è interno ad ABCD
Fig. 3
Centro di omotetia sul vertice C
fig. 4
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Omotetia inversa.
A’B’C’D’ è dalla parte
opposta rispetto O. Una
simmetria centrale è
una omotetia inversa di
K=1
fig. 5
Osserva questo esempio di omotetia
inversa di cui O è interno ad ABCD.
Sembra uguale alla fig. 3. Quale differenza
noti?
Fig. 6